stringtranslate.com

Предел функции

Хотя функция ⁠ ⁠ не определена в нуле, по мере того, как x становится все ближе и ближе к нулю, ⁠ ⁠ становится произвольно близкой к 1. Другими словами, предел ⁠ ⁠ при приближении x к нулю равен 1.

В математике предел функции — это фундаментальное понятие в исчислении и анализе, касающееся поведения этой функции вблизи определенного входного значения , которое может находиться или не находиться в области определения функции.

Ниже приведены формальные определения, впервые разработанные в начале 19 века. Неформально, функция f назначает выход f ( x ) каждому входу x . Мы говорим, что функция имеет предел L на входе p , если f ( x ) становится все ближе и ближе к L по мере того, как x приближается к p . Более конкретно, выходное значение может быть сделано произвольно близким к L , если вход для f взят достаточно близко к p . С другой стороны, если некоторые входы, очень близкие к p , взяты для выходов, которые остаются на фиксированном расстоянии друг от друга, то мы говорим, что предела не существует .

Понятие предела имеет множество применений в современном исчислении . В частности, многие определения непрерывности используют концепцию предела: грубо говоря, функция непрерывна, если все ее пределы согласуются со значениями функции. Концепция предела также появляется в определении производной : в исчислении одной переменной это предельное значение наклона секущих к графику функции.

История

Хотя и подразумевалось в развитии исчисления 17-го и 18-го веков, современная идея предела функции восходит к Больцано , который в 1817 году ввел основы техники эпсилон-дельта (см. (ε, δ)-определение предела ниже) для определения непрерывных функций. Однако его работа не была известна при его жизни. [1]

В своей книге 1821 года «Cours d'analyse » Огюстен-Луи Коши обсуждал переменные величины, бесконечно малые величины и пределы и определил непрерывность, сказав, что бесконечно малое изменение x обязательно производит бесконечно малое изменение y , в то время как Грабинер утверждает, что он использовал строгое эпсилон-дельта определение в доказательствах. [2] В 1861 году Вейерштрасс впервые ввел эпсилон-дельта определение предела в той форме, в которой оно обычно записывается сегодня. [3] Он также ввел обозначения и [4]

Современное обозначение размещения стрелки под символом предела принадлежит Харди и представлено в его книге «Курс чистой математики» в 1908 году . [5]

Мотивация

Представьте себе человека, идущего по ландшафту, представленному графиком y = f ( x ) . Его горизонтальное положение задается x , во многом подобно положению, заданному картой земли или глобальной системой позиционирования . Его высота задается координатой y . Предположим, что он идет к точке x = p , по мере приближения к этой точке он заметит, что его высота приближается к определенному значению L . Если его спросить о высоте, соответствующей x = p , он ответит, что y = L .

Что же тогда означает, что их высота приближается к L ? Это означает, что их высота становится все ближе и ближе к L — за исключением возможной небольшой ошибки в точности. Например, предположим, что мы ставим определенную цель точности для нашего путешественника: он должен оказаться в пределах десяти метров от L . Они сообщают, что действительно могут оказаться в пределах десяти вертикальных метров от L , утверждая, что пока они находятся в пределах пятидесяти горизонтальных метров от p , их высота всегда будет в пределах десяти метров от L .

Затем цель точности меняется: могут ли они приблизиться на расстояние в один вертикальный метр? Да, предположим, что они могут двигаться в пределах пяти горизонтальных метров от p , их высота всегда будет оставаться в пределах одного метра от целевой высоты L. Подводя итог вышеупомянутой концепции, мы можем сказать, что высота путешественника приближается к L, когда его горизонтальное положение приближается к p , так что для каждой целевой цели точности, какой бы малой она ни была, существует некоторая окрестность p , где все (а не только некоторые) высоты соответствуют всем горизонтальным положениям, за исключением, может быть, самого горизонтального положения p , в этой окрестности удовлетворяют этой цели точности.

Первоначальное неформальное заявление теперь можно пояснить:

Предел функции f ( x ) при приближении x к p представляет собой число L со следующим свойством: для любого целевого расстояния от L существует расстояние от p, в пределах которого значения f ( x ) остаются в пределах целевого расстояния.

На самом деле, это явное утверждение довольно близко к формальному определению предела функции со значениями в топологическом пространстве .

Конкретнее, сказать, что

это значит, что f ( x ) можно сделать сколь угодно близким к L , сделав x достаточно близким, но не равным  p .

Следующие определения, известные как ( ε , δ ) -определения, являются общепринятыми определениями предела функции в различных контекстах.

Функции одной переменной

( ε , δ )-определение предела

Для изображенных f , a и b мы можем гарантировать, что значение f ( x ) находится в пределах произвольно малого интервала ( b – ε, b + ε), ограничив x достаточно малым интервалом ( a – δ, a + δ). Следовательно, f ( x ) → b при xa .

Предположим, что есть функция, определенная на действительной прямой , и есть два действительных числа p и L. Можно сказать, что предел f , когда x стремится к p , равен L и записывается [6]

или, в качестве альтернативы, скажем, f ( x ) стремится к L, когда x стремится к p , и записывается:

если выполняется следующее свойство: для каждого действительного ε > 0 существует действительное δ > 0 такое, что для всех действительных x 0 < | xp | < δ влечет | f ( x ) − L | < ε . [6] Символически,

Например, мы можем сказать , что для каждого действительного ε > 0 можно взять δ = ε /4 , так что для всех действительных x , если 0 < | x − 2 | < δ , то | 4 x + 1 − 9 | < ε .

Более общее определение применимо к функциям, определенным на подмножествах действительной прямой. Пусть S будет подмножеством ⁠ ⁠ Пусть будет вещественной функцией . Пусть p будет точкой такой, что существует некоторый открытый интервал ( a , b ), содержащий p с Тогда говорят, что предел f при приближении x к p равен L , если:

Для каждого действительного ε > 0 существует действительное δ > 0 такое, что для всех x ( a , b ) 0 < | xp | < δ влечет, что | f ( x ) − L | < ε .

Или, символически:

Например, мы можем сказать, потому что для каждого действительного ε > 0 мы можем взять δ = ε , так что для всех действительных x ≥ −3 , если 0 < | x − 1 | < δ , то | f ( x ) − 2 | < ε . В этом примере S = [−3, ∞) содержит открытые интервалы вокруг точки 1 (например, интервал (0, 2)).

Здесь следует отметить, что значение предела не зависит ни от определения f в точке p , ни от значения f ( p ) — если оно определено. Например, пусть поскольку для любого ε > 0 , можно взять δ = ε /2 , так что для всех действительных x ≠ 1 , если 0 < | x − 1 | < δ , то | f ( x ) − 3 | < ε . Обратите внимание, что здесь f (1) не определено.

На самом деле, предел может существовать, в котором равно , где int S — это внутренняя часть S , а iso S c — это изолированные точки дополнения S. В нашем предыдущем примере, где мы видим, в частности, это определение предела допускает существование предела в 1, но не в 0 или 2.

Буквы ε и δ можно понимать как «ошибка» и «расстояние». Фактически, Коши использовал ε как сокращение от «ошибки» в некоторых своих работах [2] , хотя в своем определении непрерывности он использовал бесконечно малую величину, а не ε или δ (см. Cours d'Analyse ). В этих терминах ошибка ( ε ) в измерении значения на пределе может быть сделана сколь угодно малой, путем уменьшения расстояния ( δ ) до предельной точки. Как обсуждается ниже, это определение также работает для функций в более общем контексте. Идея о том, что δ и ε представляют расстояния, помогает предложить эти обобщения.

Существование и односторонние ограничения

Предел при отличается от предела при Поэтому предел при xx 0 не существует.

В качестве альтернативы x может приближаться к p сверху (справа) или снизу (слева), в этом случае пределы можно записать как

или

Первые три функции имеют точки, для которых предел не существует, при этом функция не определена при , но ее предел существует.

соответственно. Если эти пределы существуют в точке p и равны там, то это можно назвать пределом f ( x ) в точке p . [ 7 ] Если односторонние пределы существуют в точке p , но не равны, то предела в точке p нет (т. е. предел в точке p не существует). Если какой-либо односторонний предел не существует в точке p , то предел в точке p также не существует.

Формальное определение следующее. Предел f при приближении x к p сверху равен L , если:

Для каждого ε > 0 существует δ > 0 такое, что всякий раз, когда 0 < xp < δ , мы имеем | f ( x ) − L | < ε .

Предел f при приближении x к p снизу равен L , если:

Для каждого ε > 0 существует δ > 0 такое, что всякий раз, когда 0 < px < δ , мы имеем | f ( x ) − L | < ε .

Если предела не существует, то колебание f в точке p не равно нулю.

Более общее определение с использованием предельных точек и подмножеств

Пределы также можно определить, используя подмножества домена.

В общем случае: [8] Пусть будет действительной функцией, определенной на некотором Пусть p будет предельной точкой некоторого — то есть p является пределом некоторой последовательности элементов T, отличных от p . Тогда мы говорим, что предел f , когда x приближается к p из значений в T , есть L , записанный, если выполняется следующее:

Для каждого ε > 0 существует δ > 0 такое, что для всех xT , 0 < | xp | < δ влечет, что | f ( x ) − L | < ε .

Обратите внимание, что T может быть любым подмножеством S , области определения f . И предел может зависеть от выбора T . Это обобщение включает в себя в качестве особых случаев пределы на интервале, а также левосторонние пределы вещественнозначных функций (например, принимая T как открытый интервал вида (–∞, a ) ), и правосторонние пределы (например, принимая T как открытый интервал вида ( a , ∞) ). Оно также расширяет понятие односторонних пределов на включенные конечные точки (полу)замкнутых интервалов, поэтому функция квадратного корня может иметь предел 0, когда x стремится к 0 сверху: поскольку для каждого ε > 0 , мы можем взять δ = ε так, что для всех x ≥ 0 , если 0 < | x − 0 | < δ , то | f ( x ) − 0 | < ε .

Это определение позволяет определить предел в предельных точках области S , если выбрано подходящее подмножество T , имеющее ту же предельную точку.

Примечательно, что предыдущее двустороннее определение работает на том , что является подмножеством предельных точек S.

Например, пусть Предыдущее двустороннее определение будет работать при , но не будет работать при 0 или 2, которые являются предельными точками S .

Удаленные и не удаленные лимиты

Определение предела, данное здесь, не зависит от того, как (или определено ли) f в точке p . Бартл [9] называет это удаленным пределом , поскольку он исключает значение f в точке p . Соответствующий не удаленный предел зависит от значения f в точке p , если p находится в области определения f . Пусть будет вещественной функцией. Не удаленный предел f , когда x приближается к точке p , равен L , если

Для каждого ε > 0 существует δ > 0 такое, что для всех xS из | xp | < δ следует | f ( x ) − L | < ε .

Определение то же самое, за исключением того, что окрестность | xp | < δ теперь включает точку p , в отличие от удаленной окрестности 0 < | xp | < δ . Это делает определение неудаляемого предела менее общим. Одним из преимуществ работы с неудаляемыми пределами является то, что они позволяют сформулировать теорему о пределах композиций без каких-либо ограничений на функции (кроме существования их неудаляемых пределов). [10]

Бартл [9] отмечает, что хотя под «пределом» некоторые авторы подразумевают именно этот неудалённый предел, наиболее популярны удалённые пределы. [11]

Примеры

Отсутствие одностороннего предела(ов)

Функция без ограничений при существенном разрыве

Функция не имеет предела при x 0 = 1 (левосторонний предел не существует из-за колебательного характера функции синуса, а правосторонний предел не существует из-за асимптотического поведения обратной функции, см. рисунок), но имеет предел при каждой другой координате x .

Функция (она же функция Дирихле ) не имеет предела ни при какой координате x .

Неравенство односторонних пределов

Функция имеет предел при каждой ненулевой x- координате (предел равен 1 для отрицательных x и равен 2 для положительных x ). Предела при x = 0 не существует (левый предел равен 1, тогда как правый предел равен 2).

Ограничения только в одной точке

Обе функции имеют предел при x = 0 , и он равен 0.

Пределы в счетном числе точек

Функция имеет предел при любой координате x вида , где n — любое целое число.

Пределы, включающие бесконечность

Пределы на бесконечности

Предел этой функции на бесконечности существует

Пусть будет функцией, определенной на Предел f при x, стремящемся к бесконечности, равен L , обозначается

означает, что:

Для каждого ε > 0 существует c > 0 такое, что всякий раз, когда + x > c , мы имеем | f ( x ) − L | < ε .

Аналогично, предел f при стремлении x к минус бесконечности равен L , обозначаемому

означает, что:

Для каждого ε > 0 существует c > 0 такое, что всякий раз, когда x < − c , мы имеем | f ( x ) − L | < ε .

Например, поскольку для любого ε > 0 можно взять c = 3/ ε , то для всех действительных x , если x > c , то | f ( x ) − 4 | < ε .

Другой пример: поскольку для любого ε > 0 , мы можем взять c = max{1, −ln( ε )}, такое, что для всех действительных x , если x < − c , то | f ( x ) − 0 | < ε .

Бесконечные пределы

Для функции, значения которой растут неограниченно, функция расходится и обычного предела не существует. Однако в этом случае можно ввести пределы с бесконечными значениями.

Пусть будет функцией, определенной на . Утверждение, что предел f при x, стремящемся к p, равен бесконечности , обозначается

означает, что:

Для каждого N > 0 существует δ > 0 такое, что всякий раз, когда 0 < | xp | < δ , мы имеем f ( x ) > N .

Утверждение, что предел f при x, стремящемся к p, равен минус бесконечности , обозначается

означает, что:

Для каждого N > 0 существует δ > 0 такое, что всякий раз, когда 0 < | xp | < δ , мы имеем f ( x ) < − N .

Например, поскольку для любого N > 0 можно взять такое, что для всех действительных x > 0 , если 0 < x − 1 < δ , то f ( x ) > N.

Эти идеи можно использовать вместе для создания определений различных комбинаций, например:

или

Например, поскольку для каждого N > 0 мы можем взять δ = e N такое, что для всех действительных x > 0 , если 0 < x − 0 < δ , то f ( x ) < − N .

Пределы, включающие бесконечность, связаны с понятием асимптот .

Эти понятия предела пытаются дать интерпретацию пределов на бесконечности в метрическом пространстве. Фактически, они согласуются с топологическим пространственным определением предела, если

В этом случае ⁠ ⁠ является топологическим пространством и любая функция вида с подчиняется топологическому определению предела. Заметим, что с этим топологическим определением легко определить бесконечные пределы в конечных точках, которые не были определены выше в метрическом смысле.

Альтернативная нотация

Многие авторы [12] допускают использование проективно расширенной действительной прямой в качестве способа включения бесконечных значений, а также расширенной действительной прямой . С этой записью расширенная действительная прямая задается как ⁠ ⁠ , а проективно расширенная действительная прямая — ⁠ ⁠ , где окрестность ∞ представляет собой множество вида Преимущество состоит в том, что для охвата всех случаев требуется всего три определения пределов (левый, правый и центральный). Как представлено выше, для полностью строгого описания нам нужно было бы рассмотреть 15 отдельных случаев для каждой комбинации бесконечностей (пять направлений: −∞, левый, центральный, правый и +∞; три границы: −∞, конечный или +∞). Существуют также заслуживающие внимания подводные камни. Например, при работе с расширенной действительной прямой не обладает центральным пределом (что нормально):

Напротив, при работе с проективной действительной прямой бесконечности (подобно 0) не имеют знака, поэтому в этом контексте центральный предел существует :

На самом деле, существует множество конфликтующих формальных систем. В некоторых приложениях численного дифференцирования и интегрирования , например, удобно иметь нули со знаком . Простая причина связана с обратным, а именно, удобно считать истинным. Такие нули можно рассматривать как приближение к бесконечно малым .

Пределы на бесконечности для рациональных функций

Горизонтальная асимптота около y = 4

Существует три основных правила оценки пределов на бесконечности для рациональной функции (где p и q — многочлены):

Если предел на бесконечности существует, он представляет собой горизонтальную асимптоту при y = L. Многочлены не имеют горизонтальных асимптот; такие асимптоты могут, однако, возникать у рациональных функций.

Функции более чем одной переменной

Обычные пределы

Заметив, что | xp | представляет собой расстояние , определение предела можно распространить на функции более чем одной переменной. В случае функции, определенной на , мы определили предел следующим образом: предел f при ( x , y ) стремящемся к ( p , q ) равен L , записанный

если выполняется следующее условие:

Для каждого ε > 0 существует δ > 0 такое, что для всех x из S и y из T , всякий раз, когда мы имеем | f ( x , y ) − L | < ε , [13]

или формально:

Вот евклидово расстояние между ( x , y ) и ( p , q ) . (На самом деле его можно заменить любой нормой | | ( x , y ) − ( p , q ) | | и распространить на любое количество переменных.)

Например, мы можем сказать, что поскольку для любого ε > 0 , мы можем взять такое, что для всех действительных x ≠ 0 и действительных y ≠ 0 , то | f ( x , y ) − 0 | < ε .

Как и в случае с одной переменной, значение f в точке ( p , q ) не имеет значения в этом определении предела.

Для существования такого многомерного предела это определение требует, чтобы значение f приближалось к L вдоль каждого возможного пути, приближающегося к ( p , q ) . [14] В приведенном выше примере функция удовлетворяет этому условию. Это можно увидеть, рассмотрев полярные координаты , которые дают Здесь θ = θ ( r ) — функция r , которая управляет формой пути, вдоль которого f приближается к ( p , q ) . Поскольку cos θ ограничен между [−1, 1], по теореме о сэндвиче этот предел стремится к 0.

Напротив, функция не имеет предела в точке (0, 0) . Взяв путь ( x , y ) = ( t , 0) → (0, 0) , мы получаем взяв путь ( x , y ) = ( t , t ) → (0, 0) , мы получаем

Поскольку два значения не совпадают, f не стремится к одному значению, когда ( x , y ) приближается к (0, 0) .

Множественные ограничения

Хотя он используется реже, существует другой тип предела для функции многих переменных, известный как множественный предел . Для функции двух переменных это двойной предел . [15] Пусть определено на мы говорим, что двойной предел функции f , когда x стремится к p , а y стремится к q, равен L , записанный

если выполняется следующее условие:

Для каждого ε > 0 существует δ > 0 такое, что для всех x в S и y в T , всякий раз, когда 0 < | xp | < δ и 0 < | yq | < δ , мы имеем | f ( x , y ) − L | < ε . [15]

Для существования такого двойного предела это определение требует, чтобы значение f приближалось к L по каждому возможному пути, приближающемуся к ( p , q ) , исключая две прямые x = p и y = q . В результате кратный предел является более слабым понятием, чем обычный предел: если обычный предел существует и равен L , то кратный предел существует и также равен L . Обратное неверно: существование кратных пределов не подразумевает существование обычного предела. Рассмотрим пример , где но не существует.

Если область определения f ограничена, то два определения пределов совпадают. [15]

Множественные пределы на бесконечности

Концепция множественного предела может быть расширена до предела на бесконечности, аналогично тому, как это происходит с функцией одной переменной. Мы говорим, что двойной предел f , когда x и y стремятся к бесконечности, равен L , записанный

если выполняется следующее условие:

Для каждого ε > 0 существует c > 0 такое, что для всех x из S и y из T , всякий раз, когда x > c и y > c , мы имеем | f ( x , y ) − L | < ε .

Мы говорим, что двойной предел f, когда x и y стремятся к минус бесконечности, равен L , записанному

если выполняется следующее условие:

Для каждого ε > 0 существует c > 0 такое, что x в S и y в T , всякий раз, когда x < − c и y < − c , мы имеем | f ( x , y ) − L | < ε .

Точечные пределы и равномерные пределы

Пусть Вместо того, чтобы брать предел как ( x , y ) → ( p , q ) , мы можем рассмотреть взятие предела только одной переменной, скажем, xp , чтобы получить функцию от y с одной переменной , а именно Фактически, этот процесс ограничения может быть выполнен двумя различными способами. Первый из них называется точечным пределом . Мы говорим, что точечный предел f при приближении x к p есть g , обозначаемый или

В качестве альтернативы мы можем сказать, что f стремится к g поточечно, когда x приближается к p , что обозначается или

Этот предел существует, если выполняется следующее:

Для каждого ε > 0 и каждого фиксированного y в T существует δ ( ε , y ) > 0 такое, что для всех x в S , когда 0 < | xp | < δ , мы имеем | f ( x , y ) − g ( y ) | < ε . [16]

Здесь δ = δ ( ε , y ) является функцией как ε , так и y . Каждое δ выбирается для определенной точки y . Поэтому мы говорим, что предел является поточечным в y . Например, имеет поточечный предел постоянной нулевой функции , потому что для каждого фиксированного y предел, очевидно, равен 0. Этот аргумент неверен, если y не фиксирован: если y очень близко к π /2 , значение дроби может отклоняться от 0.

Это приводит к другому определению предела, а именно равномерному пределу . Мы говорим, что равномерный предел f на T, когда x приближается к p , есть g , обозначаемый или

В качестве альтернативы мы можем сказать, что f стремится к g равномерно на T, когда x приближается к p , что обозначается или

Этот предел существует, если выполняется следующее:

Для каждого ε > 0 существует δ ( ε ) > 0 такое, что для всех x в S и y в T , всякий раз, когда 0 < | xp | < δ , мы имеем | f ( x , y ) − g ( y ) | < ε . [16]

Здесь δ = δ ( ε ) является функцией только ε , но не y . Другими словами, δ равномерно применима ко всем y в T . Поэтому мы говорим, что предел равномерен по y . Например, имеет равномерный предел постоянной нулевой функции , потому что для всех действительных y cos y ограничен между [−1, 1] . Следовательно, независимо от того, как ведет себя y , мы можем использовать теорему о сэндвиче , чтобы показать, что предел равен 0.

Повторяющиеся пределы

Пусть Мы можем рассмотреть взятие предела только одной переменной, скажем, xp , чтобы получить функцию одной переменной от y , а именно , а затем взять предел по другой переменной, а именно, yq , чтобы получить число L. Символически,

Этот предел известен как итеративный предел многомерной функции. [17] Порядок взятия пределов может повлиять на результат, т.е.

в общем.

Достаточное условие равенства дается теоремой Мура-Осгуда , которая требует , чтобы предел был равномерным на T. [18]

Функции на метрических пространствах

Предположим, что M и N являются подмножествами метрических пространств A и B соответственно, и f  : MN определено между M и N , причем xM , p — предельная точка M и LN. Говорят, что предел f при стремлении x к p равен L , и записывают

если выполняется следующее свойство:

Для каждого ε > 0 существует δ > 0 такое, что для всех точек xM , 0 < d A ( x , p ) < δ влечет d B ( f ( x ), L ) < ε . [19]

Опять же, обратите внимание, что p не обязательно должен находиться в области определения f , равно как и L не обязательно должен находиться в диапазоне значений f , и даже если f ( p ) определена, она не обязательно должна быть равна L.

Евклидова метрика

Предел в евклидовом пространстве является прямым обобщением пределов на векторные функции . Например, мы можем рассмотреть функцию , такую ​​что Тогда, в рамках обычной евклидовой метрики , если выполняется следующее:

Для каждого ε > 0 существует δ > 0 такое, что для всех x из S и y из T следует [20 ]

В этом примере рассматриваемая функция является конечномерной векторной функцией. В этом случае предельная теорема для векторной функции гласит, что если предел каждого компонента существует, то предел векторной функции равен вектору, для каждого компонента которого взят предел: [20]

Манхэттенская метрика

Можно также рассмотреть пространства, отличные от евклидова. Примером может служить пространство Манхэттена. Рассмотрим такое, что Тогда, в рамках метрики Манхэттена , если выполняется следующее:

Для каждого ε > 0 существует δ > 0 такое, что для всех x из S 0 < | xp | < δ влечет | f 1L 1 | + | f 2L 2 | < ε .

Поскольку это также конечномерная векторная функция, то предельная теорема, изложенная выше, также применима. [21]

Единая метрика

Наконец, мы обсудим предел в функциональном пространстве , которое имеет бесконечные измерения. Рассмотрим функцию f ( x , y ) в функциональном пространстве. Мы хотим выяснить, как при приближении x к p f ( x , y ) будет стремиться к другой функции g ( y ) , которая находится в функциональном пространстве. «Близость» в этом функциональном пространстве может быть измерена в рамках равномерной метрики . [22] Тогда мы будем говорить, что равномерный предел f на T при приближении x к p равен g и писать или

если выполняется следующее:

Для каждого ε > 0 существует δ > 0 такое, что для всех x в S 0 < | xp | < δ влечет

Фактически, можно видеть, что это определение эквивалентно определению равномерного предела многомерной функции, введенному в предыдущем разделе.

Функции в топологических пространствах

Предположим, что X и Yтопологические пространства , а Y — хаусдорфово пространство . Пусть pпредельная точка Ω X , а LY. Для функции f  : Ω → Y говорят, что предел f при стремлении x к p — это L , что записывается как

если выполняется следующее свойство:

Для каждой открытой окрестности V точки L существует открытая окрестность U точки p такая, что f ( U ∩ Ω − { p }) ⊆ V .

Эту последнюю часть определения можно также сформулировать так: «существует открытая проколотая окрестность U точки p, такая, что f ( U ∩ Ω) ⊆ V ».

Область определения f не обязательно должна содержать p . Если это так, то значение f в точке p не имеет значения для определения предела. В частности, если область определения f равна X − { p } (или всему X ), то предел f при xp существует и равен L , если для всех подмножеств Ω из X с предельной точкой p предел ограничения f на Ω существует и равен L . Иногда этот критерий используется для установления несуществования двустороннего предела функции на ⁠ ⁠ путем показа того, что односторонние пределы либо не существуют, либо не согласуются. Такой взгляд является фундаментальным в области общей топологии , где пределы и непрерывность в точке определяются в терминах специальных семейств подмножеств, называемых фильтрами , или обобщенных последовательностей, известных как сети .

В качестве альтернативы требование, чтобы Y было хаусдорфовым пространством, можно ослабить до предположения, что Y будет общим топологическим пространством, но тогда предел функции может быть не единственным. В частности, больше нельзя говорить о пределе функции в точке, а скорее о пределе или множестве пределов в точке.

Функция непрерывна в предельной точке p функции и в своей области определения тогда и только тогда, когда f ( p ) является пределом (или, в общем случае, а ) функции f ( x ) при стремлении x к p .

Существует другой тип предела функции, а именно последовательный предел . Пусть f  : XY — отображение из топологического пространства X в хаусдорфово пространство Y , pX — предельная точка X и LY. Последовательный предел f при стремлении x к p равен L, если

Для каждой последовательности ( x n ) в X − { p }, которая сходится к p , последовательность f ( x n ) сходится к L .

Если L является пределом (в указанном выше смысле) f при приближении x к p , то он также является последовательным пределом, однако обратное не обязательно должно выполняться в общем случае. Если вдобавок X метризуемо , то L является последовательным пределом f при приближении x к p, если и только если он является пределом (в указанном выше смысле) f при приближении x к p .

Другие характеристики

С точки зрения последовательностей

Для функций на вещественной прямой один из способов определения предела функции — через предел последовательностей. (Это определение обычно приписывается Эдуарду Гейне .) В этой постановке: тогда и только тогда, когда для всех последовательностей x n (при x n , не равном a для всех n ), сходящихся к a , последовательность f ( x n ) сходится к L . В 1916 году Серпинский показал , что доказательство эквивалентности этого определения и определения выше требует и эквивалентно слабой форме аксиомы выбора . Обратите внимание, что определение того, что означает для последовательности x n сходимость к a , требует метода эпсилон, дельта .

Аналогично определению Вейерштрасса, более общее определение Гейне применимо к функциям, определенным на подмножествах действительной прямой. Пусть f — вещественная функция с областью определения Dm ( f ) . Пусть a — предел последовательности элементов Dm ( f ) \ { a }. Тогда предел (в этом смысле) функции f равен L при x, стремящемся к p , если для каждой последовательности x nDm ( f ) \ { a } (так что для всех n , x n не равно a ), которая сходится к a , последовательность f ( x n ) сходится к L . Это то же самое , что и определение последовательного предела в предыдущем разделе, полученное путем рассмотрения подмножества Dm ( f ) как метрического пространства с индуцированной метрикой.

В нестандартном исчислении

В нестандартном исчислении предел функции определяется следующим образом: тогда и только тогда, когда для всех является бесконечно малым, когда xa является бесконечно малым. Вот гипердействительные числа , а f* является естественным расширением f до нестандартных действительных чисел. Кейслер доказал, что такое гипердействительное определение предела уменьшает сложность кванторов на два квантора. [23] С другой стороны, Хрбачек пишет, что для того, чтобы определения были действительны для всех гипердействительных чисел, они должны неявно основываться на методе ε-δ, и утверждает, что с педагогической точки зрения надежда на то, что нестандартное исчисление может быть выполнено без методов ε-δ, не может быть реализована в полной мере. [24] Блащик и др. подробно описывают полезность микронепрерывности в разработке прозрачного определения равномерной непрерывности и характеризуют критику Хрбачека как «сомнительный плач». [25]

С точки зрения близости

На международном математическом конгрессе 1908 года Ф. Рисс предложил альтернативный способ определения пределов и непрерывности в концепции, называемой «близостью». [26] Точка x определяется как близкая к множеству , если для каждого r > 0 существует точка aA такая, что | xa | < r . В этой постановке тогда и только тогда, когда для всех L находится вблизи f ( A ) всякий раз, когда a находится вблизи A . Здесь f ( A ) — это множество Это определение также можно распространить на метрические и топологические пространства.

Отношение к преемственности

Понятие предела функции очень тесно связано с понятием непрерывности. Функция f называется непрерывной в точке c , если она определена в точке c и ее значение в точке c равно пределу f при приближении x к c :

Здесь мы предположили, что c является предельной точкой области определения f .

Характеристики

Если функция f имеет вещественное значение, то предел f в точке p равен L тогда и только тогда , когда существуют как правосторонний предел, так и левосторонний предел f в точке p и они равны L. [27]

Функция f непрерывна в точке p тогда и только тогда, когда предел f ( x ) при приближении x к точке p существует и равен f ( p ) . Если f  : MN — функция между метрическими пространствами M и N , то это эквивалентно тому, что f преобразует каждую последовательность в M , которая сходится к точке p , в последовательность в N , которая сходится к точке f ( p ) .

Если Nнормированное векторное пространство , то операция предела линейна в следующем смысле: если предел f ( x ) при приближении x к p равен L , а предел g ( x ) при приближении x к p равен P , то предел f ( x ) + g ( x ) при приближении x к p равен L + P. Если a — скаляр из базового поля , то предел af ( x ) при приближении x к p равен aL .

Если f и g являются вещественными (или комплекснозначными) функциями, то взятие предела операции над f ( x ) и g ( x ) (например, f + g , fg , f × g , f / g , f g ) при определенных условиях совместимо с операцией пределов f ( x ) и g ( x ) . Этот факт часто называют алгебраической предельной теоремой . Основное условие, необходимое для применения следующих правил, заключается в том, что пределы в правых частях уравнений существуют (другими словами, эти пределы являются конечными значениями, включая 0). Кроме того, тождество для деления требует, чтобы знаменатель в правой части был ненулевым (деление на 0 не определено), а тождество для возведения в степень требует, чтобы основание было положительным или нулевым, а показатель степени положительным (конечным).

Эти правила также действительны для односторонних пределов, включая случай, когда p равно ∞ или −∞. В каждом правиле выше, когда один из пределов справа равен ∞ или −∞, предел слева иногда может все еще определяться следующими правилами.

(см. также Расширенная прямая действительных чисел ).

В других случаях предел слева может все еще существовать, хотя правая часть, называемая неопределенной формой , не позволяет определить результат. Это зависит от функций f и g . Эти неопределенные формы:

См. далее правило Лопиталя и неопределенную форму .

Пределы композиций функций

В общем случае, из знания того, что и не следует , что Однако это «цепное правило» выполняется, если выполняется одно из следующих дополнительных условий:

В качестве примера этого явления рассмотрим следующую функцию, которая нарушает оба дополнительных ограничения:

Поскольку значение при f (0) является устранимым разрывом , для всех a . Таким образом, наивное цепное правило предполагает, что предел f ( f ( x )) равен 0. Однако это тот случай, когда и поэтому для всех a .

Пределы особого интереса

Рациональные функции

Для n — неотрицательного целого числа и констант и

Это можно доказать, разделив числитель и знаменатель на x n . Если числитель — многочлен более высокой степени, предел не существует. Если знаменатель — более высокой степени, предел равен 0.

Тригонометрические функции

Экспоненциальные функции

Логарифмические функции

Правило Лопиталя

Это правило использует производные для нахождения пределов неопределенных форм 0/0 или ±∞/∞ и применяется только к таким случаям. Другие неопределенные формы могут быть преобразованы в эту форму. Даны две функции f ( x ) и g ( x ) , определенные на открытом интервале I , содержащем желаемую предельную точку c , тогда если:

  1. или и
  2. и дифференцируемы по и
  3. для всех и
  4. существует,

затем:

Обычно первое условие является наиболее важным.

Например:

Суммы и интегралы

Указание бесконечной границы для суммы или интеграла является общепринятым сокращением для указания предела.

Короткий способ записи предела : Важным примером пределов сумм, подобных этим, являются ряды .

Короткий способ записать предел :

Короткий способ записать предел :

Смотрите также

Примечания

  1. ^ Фельшер, Вальтер (2000), «Больцано, Коши, Эпсилон, Дельта», American Mathematical Monthly , 107 (9): 844–862, doi : 10.2307/2695743, JSTOR  2695743
  2. ^ ab Grabiner, Judith V. (1983), «Кто дал вам эпсилон? Коши и истоки строгого исчисления», American Mathematical Monthly , 90 (3): 185–194, doi :10.2307/2975545, JSTOR  2975545, собранные в Who Gave You the Epsilon?, ISBN 978-0-88385-569-0 стр. 5–13. Также доступно на: http://www.maa.org/pubs/Calc_articles/ma002.pdf 
  3. ^ Синкевич, Г.И. (2017), «Historia epsylontyki», Antiquitates Mathematicae , 10 , Корнельский университет, arXiv : 1502.06942 , doi : 10.14708/am.v10i0.805
  4. ^ Бертон, Дэвид М. (1997), История математики: Введение (Третье изд.), Нью-Йорк: McGraw–Hill, стр. 558–559, ISBN 978-0-07-009465-9
  5. Миллер, Джефф (1 декабря 2004 г.), Earlyest Uses of Symbols of Calculus , получено 18 декабря 2008 г.
  6. ^ ab Swokowski, Earl W. (1979), Исчисление с аналитической геометрией (2-е изд.), Taylor & Francis, стр. 58, ISBN 978-0-87150-268-1
  7. ^ Своковски (1979), с. 72–73.
  8. ^ (Бартл и Шерберт 2000)
  9. ^ ab Bartle (1967)
  10. ^ Хаббард (2015)
  11. ^ Например, Апостол (1974), Курант (1924), Харди (1921), Рудин (1964), Уиттекер и Уотсон (1904) — все они понимают под «пределом» удаленный предел.
  12. ^ Например, Предел в Энциклопедии математики
  13. ^ Стюарт, Джеймс (2020), «Глава 14.2 Пределы и непрерывность», Многомерное исчисление (9-е изд.), Cengage Learning, стр. 952, ISBN 9780357042922
  14. ^ Стюарт (2020), стр. 953.
  15. ^ abc Zakon, Elias (2011), «Глава 4. Пределы функций и непрерывность», Математический анализ, том I , Виндзорский университет, стр. 219–220, ISBN 9781617386473
  16. ^ ab Zakon (2011), стр. 220.
  17. ^ Закон (2011), стр. 223.
  18. ^ Тейлор, Ангус Э. (2012), Общая теория функций и интегрирования , Dover Books on Mathematics Series, стр. 139–140, ISBN 9780486152141
  19. ^ Рудин, В. (1986), Принципы математического анализа, McGraw - Hill Book C, стр. 84, OCLC  962920758
  20. ^ ab Hartman, Gregory (2019), The Calculus of Vector-Valued Functions II , получено 31 октября 2022 г.
  21. ^ Закон (2011), стр. 172.
  22. ^ Рудин, В. (1986), Принципы математического анализа, McGraw - Hill Book C, стр. 150–151, OCLC  962920758
  23. ^ Кейслер, Х. Джером (2008), «Квантификаторы в пределах» (PDF) , Анджей Мостовский и фундаментальные исследования , IOS, Амстердам, стр. 151–170
  24. ^ Хрбачек, К. (2007), «Стратифицированный анализ?», в Ван Ден Берг, И.; Невес, В. (ред.), Сила нестандартного анализа , Springer
  25. ^ Bŀaszczyk, Piotr; Katz, Michael ; Sherry, David (2012), «Десять заблуждений из истории анализа и их разоблачение», Foundations of Science , 18 (1): 43–74, arXiv : 1202.4153 , doi : 10.1007/s10699-012-9285-8, S2CID  119134151
  26. ^ Ф. Рис (7 апреля 1908 г.), "Stetigkeitsbegriff und abstrakte Mengenlehre (Концепция непрерывности и абстрактная теория множеств)", Международный конгресс математиков 1908 г.
  27. ^ Своковски (1979), стр. 73.

Ссылки

Внешние ссылки