Осциллятор Ван дер Поля

Колебательная динамическая система с нелинейным демпфированием

При изучении динамических систем генератор Ван дер Поля (названный в честь голландского физика Бальтазара ван дер Поля ) представляет собой неконсервативную колебательную систему с нелинейным затуханием . Оно развивается во времени согласно дифференциальному уравнению второго порядка

$${\displaystyle {d^{2}x \over dt^{2}}-\mu (1-x^{2}){dx \over dt}+x=0,}$$

x — координатафункциейtμскалярныйнелинейность

Фазовый график осциллятора Ван дер Поля , где значение μ варьируется от 0,1 до 3,0. Зеленые линии — это линии x - nullclines .

Тот же фазовый график осциллятора, но с преобразованием Льенара .

Осциллятор Ван дер Поля, смоделированный с помощью Brain Dynamics Toolbox ^[1]

Эволюция предельного цикла на фазовой плоскости . Предельный цикл начинается с круга и с изменением ц становится все более острым. Пример релаксационного генератора .

История

Генератор Ван дер Поля был первоначально предложен голландским инженером-электриком и физиком Бальтазаром ван дер Полем, когда он работал в компании Philips . ^[2] Ван дер Поль обнаружил устойчивые колебания, ^[3] которые он впоследствии назвал релаксационными колебаниями ^[4] и которые теперь известны как тип предельного цикла , в электрических цепях , использующих электронные лампы . Когда эти цепи работают вблизи предельного цикла , они увлекаются , то есть управляющий сигнал тянет за собой ток. Ван дер Поль и его коллега ван дер Марк сообщили в сентябрьском номере журнала Nature за 1927 год, что на определенных частотах возбуждения был слышен нерегулярный шум , ^[5] который, как позже выяснилось, является результатом детерминированного хаоса . ^[6]

Уравнение Ван дер Поля имеет долгую историю использования как в физических , так и в биологических науках . Например, в биологии Фитцхью [ ^7] и Нагумо ^[8] расширили уравнение плоского поля как модель потенциалов действия нейронов . Уравнение также использовалось в сейсмологии для моделирования двух пластин в геологическом разломе [ ^9] и в исследованиях фонации для моделирования генераторов правой и левой голосовых связок . ^[10]

Двумерная форма

Теорему Льенара можно использовать для доказательства того, что система имеет предельный цикл. Применяя преобразование Льенара , где точка указывает производную по времени, осциллятор Ван дер Поля можно записать в двумерной форме: ^[11] ${\displaystyle y=x-x^{3}/3-{\dot {x}}/\mu }$

${\displaystyle {\dot {x}}=\mu \left(x-{\tfrac {1}{3}}x^{3}-y\right)}$

${\displaystyle {\dot {y}}={\frac {1}{\mu }}x}$.

Другая часто используемая форма, основанная на преобразовании, приводит к: ${\displaystyle y={\dot {x}}}$

${\displaystyle {\dot {x}}=y}$

${\displaystyle {\dot {y}}=\mu (1-x^{2})y-x}$.

Результаты для невынужденного осциллятора

Релаксационные колебания в генераторе Ван дер Поля без внешнего воздействия. Параметр нелинейного демпфирования равен µ = 5 .

^[12]

• Когда µ = 0 , т.е. функция демпфирования отсутствует, уравнение принимает вид
  $${\displaystyle {\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}+x=0.}$$
  Это разновидность простого гармонического осциллятора , в котором всегда сохраняется энергия .

• Когда µ > 0 , все начальные условия сходятся к глобально уникальному предельному циклу. Вблизи начала координат система неустойчива, а вдали от начала координат система затухает. ${\displaystyle x={\tfrac {dx}{dt}}=0,}$
• Осциллятор Ван дер Поля не имеет точного аналитического решения. ^[13] Однако такое решение существует для предельного цикла, если f ( x ) в уравнении Льенара является постоянной кусочной функцией.
• Период при малых μ имеет серийное разложение
  $${\displaystyle T={\frac {2\pi }{1-\mu ^{2}/16+17\mu ^{4}/3072+O(\mu ^{6})}}.}$$
  См. метод Пуанкаре – Линдстедта для вывода до порядка 2. См. главу 10 в ^[14] для вывода до порядка 3 и ^[15] для численного вывода до порядка 164.
• При больших ц поведение генератора имеет цикл медленного нарастания и быстрого ослабления (цикл нарастания и снятия напряжения, то есть релаксационные колебания ). Это легче всего увидеть в виде
  $${\displaystyle {\dot {x}}=\mu \left(x-{\frac {1}{3}}x^{3}-y\right)\!,\quad {\dot {y}}={\frac {1}{\mu }}x.}$$
  В этой форме осциллятор завершает один цикл следующим образом:
  • Медленно поднимаемся по правой ветви кубической кривой от (2, –2/3) к (1, 2/3) . ${\displaystyle y=x-{\tfrac {x^{3}}{3}},}$
  • Быстрое движение к левой ветви кубической кривой от (1, 2/3) к (–2, 2/3) .
  • Повторите два шага на левой ветке.
• Ведущий член периода цикла обусловлен медленными восходящими и нисходящими темпами, которые можно рассчитать как:
  $${\displaystyle T=2\int dt=2\int \mu {\frac {dy}{x}}=2\mu \int _{2}^{1}{\frac {dy}{dx}}{\frac {dx}{x}}=(3-2\ln 2)\mu }$$
  Высшие порядки периода цикла
  $${\displaystyle T=(3-2\ln 2)\mu +3\alpha \mu ^{-1/3}-{\frac {23}{\mu ^{-1}}}\ln \mu +O(\ln \mu ^{-1}).}$$
  где α ≈ 2,338 — наименьший корень из Ai(– α ) = 0 , где Ai — функция Эйри . (Раздел 9.7 ^[16] ) ( ^[17] содержит вывод, но имеет опечатку от 3 α до 2 α ). )
• Амплитуда цикла равна ^[18]
  $${\displaystyle 2+{\frac {\alpha }{3}}\mu ^{-4/3}-{\frac {16}{27}}\mu ^{-2}\ln \mu +O(\mu ^{-2})}$$

бифуркация Хопфа

Когда μ перемещается от меньшего нуля к большему нуля, спиральный сток в начале становится спиральным источником, и «неожиданно» появляется предельный цикл с радиусом два. Это связано с тем, что переход не является общим: когда ε = 0 , дифференциальное уравнение становится линейным, а начало координат становится круговым узлом.

Зная, что при бифуркации Хопфа предельный цикл должен иметь размер, мы можем попытаться преобразовать его в бифуркацию Хопфа, используя замену переменных, которая дает ${\displaystyle \propto \varepsilon ^{1/2},}$ ${\displaystyle u=\varepsilon ^{1/2}x,}$

$${\displaystyle {\ddot {u}}+u+u^{2}{\dot {u}}-\varepsilon {\dot {u}}=0}$$

^[19]

Гамильтониан для осциллятора Ван дер Поля

Случайно выбранные начальные условия притягиваются к устойчивой орбите.

Можно также написать независимый от времени гамильтонов формализм для осциллятора Ван дер Поля, дополнив его до четырехмерной автономной динамической системы с использованием вспомогательного нелинейного дифференциального уравнения второго порядка следующим образом:

${\displaystyle {\ddot {x}}-\mu (1-x^{2}){\dot {x}}+x=0,}$

${\displaystyle {\ddot {y}}+\mu (1-x^{2}){\dot {y}}+y=0.}$

Обратите внимание, что на динамику исходного осциллятора Ван дер Поля не влияет односторонняя связь между временными изменениями переменных x и y . Можно показать, что гамильтониан H для этой системы уравнений имеет вид ^[20]

${\displaystyle H(x,y,p_{x},p_{y})=p_{x}p_{y}+xy-\mu (1-x^{2})yp_{y},}$

где и — сопряженные импульсы , соответствующие x и y соответственно. В принципе это может привести к квантованию генератора Ван дер Поля. Такой гамильтониан также связывает ^[21] геометрическую фазу системы предельного цикла, параметры которой зависят от времени, с углом Ханнея соответствующей гамильтоновой системы. ${\displaystyle p_{x}={\dot {y}}+\mu (1-x^{2})y}$ ${\displaystyle p_{y}={\dot {x}}}$

Квантовый осциллятор

Квантовый осциллятор Ван дер Поля, который представляет собой квантовомеханическую версию классического осциллятора Ван дер Поля, был предложен с использованием уравнения Линдблада для изучения его квантовой динамики и квантовой синхронизации. ^[22] Обратите внимание, что приведенный выше гамильтонов подход со вспомогательным уравнением второго порядка дает неограниченные траектории в фазовом пространстве и, следовательно, не может использоваться для квантования осциллятора Ван дер Поля. В пределе слабой нелинейности (т.е. µ→ 0) осциллятор Ван дер Поля сводится к уравнению Стюарта – Ландау . Уравнение Стюарта–Ландау фактически описывает целый класс осцилляторов предельного цикла в слабонелинейном пределе. Форма классического уравнения Стюарта-Ландау намного проще и, что, возможно, неудивительно, может быть квантована с помощью уравнения Линдблада, которое также проще, чем уравнение Линдблада для осциллятора Ван дер Поля. Квантовая модель Стюарта-Ландау сыграла важную роль в изучении квантовой синхронизации ^{[23] [24]} (где ее часто называли осциллятором Ван дер Поля, хотя ее нельзя однозначно связать с осциллятором Ван дер Поля). Связь между классической моделью Стюарта – Ландау ( ц → 0) и более общими осцилляторами предельного цикла (произвольный ц ) также была продемонстрирована численно в соответствующих квантовых моделях. ^[22]

Принудительный генератор Ван дер Поля

Хаотическое поведение генератора Ван дер Поля с синусоидальным воздействием. Параметр нелинейного демпфирования равен ц = 8,53 , а воздействие имеет амплитуду А = 1,2 и угловую частоту ю = 2π/10 .

Вынужденный или ведомый генератор Ван дер Поля берет «исходную» функцию и добавляет движущую функцию A sin( ωt ) , чтобы получить дифференциальное уравнение вида:

${\displaystyle {d^{2}x \over dt^{2}}-\mu (1-x^{2}){dx \over dt}+x-A\sin(\omega t)=0,}$

где A — амплитуда или смещение волновой функции , а ω — ее угловая скорость .

Популярная культура

Электрическая схема с использованием триода , образующая вынужденный генератор Ван дер Поля. ^[25] Схема содержит: триод, резистор R , конденсатор C , связанный набор индуктивностей с собственной индуктивностью L и взаимной индуктивностью M. В последовательной RLC-цепи имеется ток i , а в сторону анода триода («обкладки») ток i _a , при этом на сетке управления триодом _{имеется} напряжение ug . Генератор Ван дер Поля приводится в действие источником переменного напряжения E _s .

Автор Джеймс Глейк описал ламповый генератор Ван дер Поля в своей книге 1987 года « Хаос: создание новой науки» . ^[26] Согласно статье в New York Times , ^[27] Глейк получил современный электронный генератор Ван дер Поля от читателя в 1988 году.

Смотрите также

• Мэри Картрайт , британский математик, одна из первых, кто изучил теорию детерминированного хаоса, в частности, применительно к этому осциллятору. ^[28]

Рекомендации

1. Хайтманн, С., Брейкспир, М (2017–2022) Набор инструментов для динамики мозга. bdtoolbox.org doi.org/10.5281/zenodo.5625923
2. Картрайт, ML (1960). «Бальтазар Ван Дер Поль». Журнал Лондонского математического общества . с1-35(3). Уайли: 367–376. дои : 10.1112/jlms/s1-35.3.367. ISSN  0024-6107.
3. Б. ван дер Пол: «Теория амплитуды свободных и вынужденных колебаний триода», Radio Review (позже Wireless World) 1 701–710 (1920)
4. ван дер Пол, Балт. (1926). «О «релаксации-колебаниях»". Лондонский, Эдинбургский и Дублинский философский журнал и научный журнал . 2 (11). Informa UK Limited: 978–992. doi : 10.1080/14786442608564127. ISSN  1941-5982.
5. ВАН ДЕР ПОЛ, БАЛТ; ВАН ДЕР МАРК, Дж. (1927). «Деммножение частоты». Природа . 120 (3019). ООО «Спрингер Сайенс энд Бизнес Медиа»: 363–364. Бибкод : 1927Natur.120..363V. дои : 10.1038/120363a0. ISSN  0028-0836. S2CID  186244992.
6. Канамару, Т., «Осциллятор Ван дер Поля», Scholarpedia , 2 (1), 2202, (2007).
7. ФитцХью, Ричард (1961). «Импульсы и физиологические состояния в теоретических моделях нервной мембраны». Биофизический журнал . 1 (6). Эльзевир Б.В.: 445–466. Бибкод : 1961BpJ.....1..445F. дои : 10.1016/s0006-3495(61)86902-6. ISSN  0006-3495. ПМЦ 1366333 . ПМИД  19431309. 
8. Нагумо, Дж.; Аримото, С.; Ёсидзава, С. (1962). «Активная линия передачи импульсов, имитирующая нервный аксон». Труды ИРЭ . 50 (10). Институт инженеров по электротехнике и электронике (IEEE): 2061–2070. дои : 10.1109/jrproc.1962.288235. ISSN  0096-8390. S2CID  51648050.
9. Картрайт, Джулиан HE ; Эгилуз, Виктор М.; Эрнандес-Гарсия, Эмилио; Пиро, Оресте (1999). «Динамика упругих возбудимых сред». Международный журнал бифуркации и хаоса . 09 (11): 2197–2202. arXiv : чао-дин/9905035 . Бибкод : 1999IJBC....9.2197C. дои : 10.1142/s0218127499001620. ISSN  0218-1274. S2CID  9120223.
10. Лусеро, Хорхе К.; Шентген, Жан (2013). Моделирование асимметрии голосовых связок с помощью связанных осцилляторов Ван дер Поля. Материалы совещаний по акустике. Том. 19. с. 060165. дои : 10.1121/1.4798467. ISSN  1939-800Х.
11. Каплан Д. и Гласс Л., Понимание нелинейной динамики , Springer, 240–244, (1995).
12. Гримшоу, Р., Нелинейные обыкновенные дифференциальные уравнения , CRC Press , 153–163, (1993), ISBN 0-8493-8607-1 . 
13. Панайотунакос, Делавэр; Панайотунаку, Северная Дакота; Вакакис, А.Ф. (1 сентября 2003 г.). «Об отсутствии аналитического решения осциллятора Ван дер Поля». ЗАММ . 83 (9). Уайли: 611–615. Бибкод :2003ЗаММ...83..611П. дои :10.1002/zamm.200310040. ISSN  0044-2267. S2CID  120504403.
14. Ферхюльст, Фердинанд (1996). Нелинейные дифференциальные уравнения и динамические системы. Университеттекст. Берлин, Гейдельберг: Springer Berlin Heidelberg. дои : 10.1007/978-3-642-61453-8. ISBN 978-3-540-60934-6.
15. Андерсен, CM; Гир, Джеймс Ф. (июнь 1982 г.). «Разложение в степенной ряд для частоты и периода предельного цикла уравнения Ван дер Поля». SIAM Journal по прикладной математике . 42 (3): 678–693. дои : 10.1137/0142047. ISSN  0036-1399.
16. Бендер, Карл М. (1999). Перспективные математические методы для ученых и инженеров I: асимптотические методы и теория возмущений. Стивен А. Орзаг. Нью-Йорк, штат Нью-Йорк. ISBN 978-1-4757-3069-2. ОСЛК  851704808.{{cite book}}: CS1 maint: отсутствует местоположение издателя ( ссылка )
17. Гримшоу, Р. (1993). Нелинейные обыкновенные дифференциальные уравнения. Бока-Ратон, Флорида: CRC Press. стр. 161–163. ISBN 0-8493-8607-1. ОСЛК  28275539.
18. Зонневельд, JA (1966). «Периодические решения уравнения Ван дер Поля». Indagationes Mathematicae (Труды) . 69 : 620–622. дои : 10.1016/s1385-7258(69)50068-x . ISSN  1385-7258.
19. Строгац, Стивен (2019). «Пример 8.4.1». Нелинейная динамика и хаос: с приложениями к физике, биологии, химии и технике (2-е изд.). Бока-Ратон. ISBN 978-0-367-09206-1. ОСЛК  1112373147.{{cite book}}: CS1 maint: отсутствует местоположение издателя ( ссылка )
20. Шах, Тирт; Чаттопадхьяй, Рохиташва; Вайдья, Кедар; Чакраборти, Сагар (2015). «Консервативная теория возмущений для неконсервативных систем». Физический обзор E . 92 (6): 062927. arXiv : 1512.06758 . Бибкод : 2015PhRvE..92f2927S. doi : 10.1103/physreve.92.062927. PMID  26764794. S2CID  14930486.
21. Чаттопадхьяй, Рохиташва; Шах, Тирт; Чакраборти, Сагар (2018). «Нахождение угла Ханнея в диссипативных колебательных системах с помощью консервативной теории возмущений». Физический обзор E . 97 (6): 062209. arXiv : 1610.05218 . Бибкод : 2018PhRvE..97f2209C. doi : 10.1103/PhysRevE.97.062209. PMID  30011548. S2CID  51635019.
22. Чиа, А.; Квек, LC; Но, К. (16 октября 2020 г.). «Релаксационные колебания и унос частоты в квантовой механике». Физический обзор E . 102 (4): 042213. arXiv : 1711.07376 . Бибкод : 2020PhRvE.102d2213C. doi : 10.1103/physreve.102.042213. ISSN  2470-0045. PMID  33212685. S2CID  224801468.
23. Уолтер, Стефан; Нунненкамп, Андреас; Брудер, Кристоф (6 марта 2014 г.). «Квантовая синхронизация ведомого автогенератора». Письма о физических обзорах . 112 (9): 094102. arXiv : 1307.7044 . Бибкод : 2014PhRvL.112i4102W. doi : 10.1103/physrevlett.112.094102. ISSN  0031-9007. PMID  24655255. S2CID  7950471.
24. Ли, Тони Э.; Садегпур, HR (4 декабря 2013 г.). «Квантовая синхронизация квантовых осцилляторов Ван дер Поля с захваченными ионами». Письма о физических отзывах . 111 (23): 234101. arXiv : 1306.6359 . Бибкод : 2013PhRvL.111w4101L. doi : 10.1103/physrevlett.111.234101. ISSN  0031-9007. PMID  24476274. S2CID  33622111.
25. К. Томита (1986): «Периодически вынужденные нелинейные генераторы». В: Хаос , Ред. Арун В. Холден. Издательство Манчестерского университета, ISBN 0719018110 , стр. 213–214. 
26. Глейк, Джеймс (1987). Хаос: создание новой науки . Нью-Йорк: Книги Пингвина. стр. 41–43. ISBN 0-14-009250-1.
27. Колман, Дэвид (11 июля 2011 г.). «Нет тишины без шума». Газета "Нью-Йорк Таймс . Проверено 11 июля 2011 г.
28. Картрайт, ML ; Литтлвуд, Дж. Э. (1945). «О нелинейных дифференциальных уравнениях второго порядка: I. Уравнение y¨ − k (1-y 2 )y˙ + y = b λk cos(λl + α), k Large». Журнал Лондонского математического общества . с1-20 (3). Уайли: 180–189. дои : 10.1112/jlms/s1-20.3.180. ISSN  0024-6107.

Внешние ссылки

• «Уравнение Ван дер Поля», Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]
• Осциллятор Ван дер Поля в Scholarpedia
• Интерактивные демонстрации осциллятора Ван дер Поля, заархивированные 14 февраля 2017 г. в Wayback Machine