Круг

Простая кривая евклидовой геометрии

Круг — это фигура , состоящая из всех точек плоскости , находящихся на заданном расстоянии от данной точки — центра . Расстояние между любой точкой круга и центром называется радиусом .

Круг был известен еще до начала письменной истории. Распространены естественные круги, такие как полная луна или кусочек круглого фрукта. Круг является основой колеса , которое, вместе с соответствующими изобретениями, такими как шестерни , делает возможным создание многих современных машин. В математике изучение круга помогло вдохновить развитие геометрии, астрономии и исчисления .

Терминология

• Кольцо : объект в форме кольца, область, ограниченная двумя концентрическими кругами.
• Дуга : любая соединенная часть круга. Указание двух конечных точек дуги и центра позволяет создать две дуги, которые вместе образуют полный круг.
• Центр : точка, равноудаленная от всех точек окружности.
• Хорда : отрезок прямой, конечные точки которого лежат на окружности, разделяя таким образом окружность на два сегмента.
• Окружность : длина одного контура по кругу или расстояние по кругу.
• Диаметр : отрезок линии, конечные точки которого лежат на окружности и проходит через центр; или длина такого отрезка. Это наибольшее расстояние между любыми двумя точками окружности. Это частный случай хорды, а именно самая длинная хорда для данной окружности, длина которой в два раза превышает длину радиуса.
• Диск : область плоскости, ограниченная кругом. В строгом математическом использовании круг — это только граница диска, тогда как в повседневной жизни термины «круг» и «диск» могут использоваться как синонимы.
• Линза : область, общая для (пересечения) двух перекрывающихся дисков.
• Радиус : отрезок линии, соединяющий центр круга с любой точкой на самом круге; или длина такого отрезка, равная половине (длине) диаметра. Обычно радиус обозначается и должен быть положительным числом. Окружность с является вырожденным случаем , состоящим из одной точки. ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle r=0}$
• Сектор : область, ограниченная двумя радиусами одинаковой длины с общим центром и любой из двух возможных дуг, определяемых этим центром и концами радиусов.
• Сегмент : область, ограниченная хордой и одной из дуг, соединяющих конечные точки хорды. Длина хорды накладывает нижнюю границу диаметра возможных дуг. Иногда термин « сегмент» используется только для регионов, не содержащих центр круга, которому принадлежит их дуга.
• Секанс : протяженная хорда, копланарная прямая, пересекающая окружность в двух точках.
• Полукруг : одна из двух возможных дуг, определяемых конечными точками диаметра, принимая ее середину за центр. В нетехническом обиходе это может означать внутреннюю часть двумерной области, ограниченную диаметром и одной из его дуг, что технически называется полудиском. Полудиск – это частный случай сегмента, а именно самый большой.
• Касательная : копланарная прямая линия, имеющая одну общую точку с окружностью («касается окружности в этой точке»).

Все указанные регионы можно считать открытыми , то есть не содержащими своих границ, или закрытыми , включая соответствующие границы.

Этимология

Слово «круг» происходит от греческого κίρκος/κύκλος ( kirkos/kuklos ), которое само по себе является метатезой гомеровского греческого κρίκος ( krikos ), что означает «обруч» или «кольцо». ^[1] Происхождение слов «цирк» и «круг» тесно связано.

История

Круглые наскальные рисунки в округе Санта-Барбара, Калифорния.

Круги на старом арабском астрономическом рисунке.

Доисторические люди создавали каменные и деревянные круги , а круглые элементы часто встречаются в петроглифах и наскальных рисунках . ^[2] Доисторические артефакты в форме диска включают небесный диск Небры и нефритовые диски под названием Би .

Египетский папирус Ринда , датированный 1700 годом до нашей эры, дает метод определения площади круга. Результат соответствует256/81(3,16049...) как приблизительное значение π . ^[3]

Третья книга «Начал» Евклида посвящена свойствам кругов. Определение круга, данное Евклидом, таково:

Круг — это плоская фигура, ограниченная одной изогнутой линией, причем все прямые линии, проведенные из определенной точки внутри нее до ограничивающей линии, равны. Ограничивающая линия называется окружностью, а точка — центром.

—  Евклид , «Начала» , книга I ^{[4] : ​​4.}

В «Седьмом письме» Платона есть подробное определение и объяснение круга. Платон объясняет идеальный круг и то, чем он отличается от любого рисунка, слова, определения или объяснения. Ранняя наука , особенно геометрия , астрология и астрономия , для большинства средневековых ученых была связана с божественным , и многие верили, что существует нечто по своей сути «божественное» или «совершенное», что можно найти в кругах. ^{[5] [6]}

В 1880 году Фердинанд фон Линдеманн доказал, что число π трансцендентно , доказав, что тысячелетнюю задачу о квадратуре круга невозможно решить с помощью линейки и циркуля. ^[7]

С появлением абстрактного искусства в начале 20 века геометрические объекты стали самостоятельным художественным предметом. Василий Кандинский особенно часто использовал круги как элемент своих композиций. ^{[8] [9]}

Символизм и религиозное использование

Компас в этой рукописи XIII века является символом Божьего творения . Обратите также внимание на круглую форму нимба .

Со времен самых ранних известных цивилизаций, таких как ассирийцы и древние египтяне, жители долины Инда и вдоль Желтой реки в Китае, а также западные цивилизации древней Греции и Рима во времена классической античности, круг использовался напрямую или косвенно в изобразительном искусстве, чтобы передать послание художника и выразить определенные идеи. Однако различия в мировоззрении (верованиях и культуре) оказали большое влияние на восприятие художников. В то время как некоторые подчеркивали периметр круга, чтобы продемонстрировать свое демократическое проявление, другие сосредоточились на его центре, чтобы символизировать концепцию космического единства. В мистических учениях круг преимущественно символизирует бесконечность и цикличность существования, но в религиозных традициях он олицетворяет небесные тела и божественных духов.

Круг означает множество священных и духовных концепций, включая единство, бесконечность, целостность, вселенную, божественность, баланс, стабильность и совершенство и другие. Такие концепции были переданы в культурах всего мира посредством использования символов, например, компаса, нимба, vesica piscis и его производных (рыба, глаз, ореол, мандорла и т. д.), уробороса, колеса Дхармы , радуга, мандалы, окна-розы и так далее. ^[10] Магические круги являются частью некоторых традиций западного эзотеризма .

Аналитические результаты

Длина окружности

Отношение длины окружности к ее диаметру равно π (пи), иррациональной константе , примерно равной 3,141592654. Таким образом, длина окружности C связана с радиусом r и диаметром d соотношением:

$${\displaystyle C=2\pi r=\pi d.}$$

Огороженная территория

Площадь, заключенная в круг = π × площадь заштрихованного квадрата.

Как доказал Архимед в своем «Измерении круга» , площадь, заключенная в круг , равна площади треугольника, основание которого имеет длину окружности круга, а высота равна радиусу круга, ^[11] что приводит к π, умноженному на π . по квадрату радиуса:

$${\displaystyle \mathrm {Area} =\pi r^{2}.}$$

Эквивалентно, обозначая диаметр d ,

$${\displaystyle \mathrm {Area} ={\frac {\pi d^{2}}{4}}\approx 0.7854d^{2},}$$

описанногоd

Окружность представляет собой плоскую кривую, охватывающую максимальную площадь для заданной длины дуги. Это связывает круг с проблемой вариационного исчисления, а именно с изопериметрическим неравенством .

Уравнения

Декартовы координаты

Круг радиуса r  = 1, центр ( a ,  b ) = (1,2, −0,5)

Уравнение круга

В декартовой системе координат x – y круг с центральными координатами ( a , b ) и радиусом r представляет собой набор всех точек ( x , y ), таких что

$${\displaystyle (x-a)^{2}+(y-b)^{2}=r^{2}.}$$

Это уравнение , известное как уравнение окружности , следует из теоремы Пифагора , примененной к любой точке окружности: как показано на соседней диаграмме, радиус — это гипотенуза прямоугольного треугольника, другие стороны которого имеют длину | Икс - а | и | у - б |. Если центр круга находится в начале координат (0, 0), то уравнение упрощается до

$${\displaystyle x^{2}+y^{2}=r^{2}.}$$

Параметрическая форма

Уравнение можно записать в параметрической форме с использованием тригонометрических функций синуса и косинуса как

$${\displaystyle {\begin{aligned}x&=a+r\,\cos t,\\y&=b+r\,\sin t,\end{aligned}}}$$

tпараметрическая переменнаяπуголabxyx

Альтернативная параметризация круга:

$${\displaystyle {\begin{aligned}x&=a+r{\frac {1-t^{2}}{1+t^{2}}},\\y&=b+r{\frac {2t}{1+t^{2}}}.\end{aligned}}}$$

В этой параметризации отношение t к r можно интерпретировать геометрически как стереографическую проекцию линии, проходящей через центр, параллельной оси x  (см . Замена касательного полуугла ). Однако эта параметризация работает только в том случае, если t будет распространяться не только на все действительные числа, но и на бесконечность; в противном случае самая левая точка круга будет опущена.

3-х очковая форма

Уравнение окружности, определяемое тремя точками, не лежащими на прямой, получается преобразованием трехточечной формы уравнения окружности : ${\displaystyle (x_{1},y_{1}),(x_{2},y_{2}),(x_{3},y_{3})}$

$${\displaystyle {\frac {({\color {green}x}-x_{1})({\color {green}x}-x_{2})+({\color {red}y}-y_{1})({\color {red}y}-y_{2})}{({\color {red}y}-y_{1})({\color {green}x}-x_{2})-({\color {red}y}-y_{2})({\color {green}x}-x_{1})}}={\frac {(x_{3}-x_{1})(x_{3}-x_{2})+(y_{3}-y_{1})(y_{3}-y_{2})}{(y_{3}-y_{1})(x_{3}-x_{2})-(y_{3}-y_{2})(x_{3}-x_{1})}}.}$$

Однородная форма

В однородных координатах каждое коническое сечение с уравнением окружности имеет вид

$${\displaystyle x^{2}+y^{2}-2axz-2byz+cz^{2}=0.}$$

Можно доказать, что коническое сечение является окружностью именно тогда, когда оно содержит (при продолжении на комплексную проективную плоскость ) точки I (1: i : 0) и J (1: - i : 0). Эти точки называются круговыми точками на бесконечности .

Полярные координаты

В полярных координатах уравнение окружности ^{[ неясно ]}

$${\displaystyle r^{2}-2rr_{0}\cos(\theta -\phi )+r_{0}^{2}=a^{2},}$$

где a — радиус круга, — полярные координаты общей точки на круге и — полярные координаты центра круга (т. е. r ₀ — расстояние от начала координат до центра круга, и φ — угол против часовой стрелки от положительной оси x  до линии, соединяющей начало координат с центром круга). Для круга с центром в начале координат, т.е. r ₀ = 0 , это сводится к r = a . Когда r ₀ = a или начало координат лежит на окружности, уравнение принимает вид ${\displaystyle (r,\theta )}$ ${\displaystyle (r_{0},\phi )}$

$${\displaystyle r=2a\cos(\theta -\phi ).}$$

В общем случае уравнение можно решить относительно r , дав

$${\displaystyle r=r_{0}\cos(\theta -\phi )\pm {\sqrt {a^{2}-r_{0}^{2}\sin ^{2}(\theta -\phi )}}.}$$

Сложный самолет

В комплексной плоскости окружность с центром в точке c и радиусом r имеет уравнение

$${\displaystyle |z-c|=r.}$$

В параметрической форме это можно записать как

$${\displaystyle z=re^{it}+c.}$$

Слегка обобщенное уравнение

$${\displaystyle pz{\overline {z}}+gz+{\overline {gz}}=q}$$

для вещественных p , q и комплексных g иногда называют обобщенным кругом . Это становится приведенным выше уравнением для круга с , поскольку . Не все обобщенные круги на самом деле являются кругами: обобщенный круг — это либо (истинный) круг, либо линия . ${\displaystyle p=1,\ g=-{\overline {c}},\ q=r^{2}-|c|^{2}}$ ${\displaystyle |z-c|^{2}=z{\overline {z}}-{\overline {c}}z-c{\overline {z}}+c{\overline {c}}}$

Касательные линии

Касательная линия , проходящая через точку P на окружности, перпендикулярна диаметру, проходящему через P . Если P = ( x ₁ , y ₁ ) и круг имеет центр ( a , b ) и радиус r , то касательная линия перпендикулярна линии от ( a , b ) до ( x ₁ , y ₁ ), поэтому имеет вид ( Икс ₁ - а ) Икс + ( y ₁ – б ) y знак равно c . Оценка в ( x ₁ , y ₁ ) определяет значение c , и в результате уравнение тангенса имеет вид

$${\displaystyle (x_{1}-a)x+(y_{1}-b)y=(x_{1}-a)x_{1}+(y_{1}-b)y_{1},}$$

$${\displaystyle (x_{1}-a)(x-a)+(y_{1}-b)(y-b)=r^{2}.}$$

Если y ₁ ≠ b , то наклон этой линии равен

$${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}=-{\frac {x_{1}-a}{y_{1}-b}}.}$$

Это также можно найти с помощью неявного дифференцирования .

Когда центр окружности находится в начале координат, уравнение касательной линии принимает вид

$${\displaystyle x_{1}x+y_{1}y=r^{2},}$$

$${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}=-{\frac {x_{1}}{y_{1}}}.}$$

Характеристики

• Круг — это фигура с наибольшей площадью при заданной длине периметра (см. Изопериметрическое неравенство ).
• Круг представляет собой очень симметричную форму: каждая линия, проходящая через центр, образует линию симметрии отражения и имеет вращательную симметрию вокруг центра для каждого угла. Его группой симметрии является ортогональная группа O(2, R ). Группа вращений сама по себе является группой кругов T .
• Все круги одинаковы . ^{[ нужна цитата ]}
  • Окружность и радиус круга пропорциональны .
  • Заключенная площадь и квадрат ее радиуса пропорциональны .
  • Константы пропорциональности равны 2 π и π соответственно.
• Круг с центром в начале координат и радиусом 1 называется единичным кругом .
  • Рассматриваемый как большой круг единичной сферы , он становится римановым кругом .
• Через любые три точки, не лежащие на одной прямой, проходит единственная окружность. В декартовых координатах можно дать явные формулы для координат центра круга и радиуса через координаты трех заданных точек. Смотри описанный круг .

Аккорд

• Хорды ​​равноудалены от центра окружности тогда и только тогда, когда они равны по длине.
• Биссектриса хорды проходит через центр окружности; эквивалентные утверждения, вытекающие из уникальности биссектрисы:
  • Перпендикулярная линия, проведенная из центра окружности, делит хорду пополам.
  • Отрезок , проходящий через центр и делящий хорду пополам, перпендикулярен хорде.
• Если центральный угол и вписанный угол окружности опираются на одну и ту же хорду и лежат по одну и ту же сторону от хорды, то центральный угол в два раза больше вписанного угла.
• Если два угла вписаны в одну хорду и по одну и ту же сторону хорды, то они равны.
• Если два угла вписаны в одну хорду и по разные стороны хорды, то они являются дополнительными .
  • Для вписанного четырехугольника внешний угол равен внутреннему противоположному углу.
• Вписанный угол, опирающийся на диаметр, является прямым углом (см. теорему Фалеса ).
• Диаметр – это самая длинная хорда окружности.
  • Среди всех окружностей, имеющих общую хорду AB, окружность минимального радиуса имеет диаметр AB.
• Если пересечение любых двух хорд делит одну хорду на длины a и b , а другую хорду на длины c и d , то ab = cd .
• Если пересечение любых двух перпендикулярных хорд делит одну хорду на длины a и b , а другую хорду на длины c и d , то a ² + b ² + c ² + d ² равно квадрату диаметра. ^[12]
• Сумма квадратов длин любых двух хорд, пересекающихся под прямым углом в данной точке, такая же, как и у любых других двух перпендикулярных хорд, пересекающихся в той же точке, и определяется выражением 8 r ² − 4 p ² , где r — длина радиус окружности, а p — расстояние от центральной точки до точки пересечения. ^[13]
• Расстояние от точки окружности до данной хорды, умноженное на диаметр окружности, равно произведению расстояний от точки до концов хорды. ^{[14] : стр.71}

Касательная

• Линия, проведенная перпендикулярно радиусу через конечную точку радиуса, лежащую на окружности, является касательной к окружности.
• Линия, проведенная перпендикулярно касательной, проходящей через точку касания окружности, проходит через центр окружности.
• К окружности из любой точки вне окружности всегда можно провести две касательные, и эти касательные равны по длине.
• Если касательная в точке A и касательная в точке B пересекаются во внешней точке P , то, обозначая центр как O , углы ∠ BOA и ∠ BPA являются дополнительными.
• Если AD касается окружности в точке A и AQ — хорда окружности, то ∠ DAQ =1/2дуга( AQ ) .

Теоремы

Теорема о секущем-секущем

• Теорема о хорде утверждает, что если две хорды, CD и EB , пересекаются в точке A , то AC × AD = AB × AE .
• Если две секущие, AE и AD , также разрезают окружность в точках B и C соответственно, то AC × AD = AB × AE (следствие теоремы об хорде).
• Касательную можно рассматривать как предельный случай секущей, концы которой совпадают. Если касательная из внешней точки A пересекает окружность в F , а секущая из внешней точки A пересекает окружность в C и D соответственно, то AF ² = AC × AD (теорема о касательном секущем).
• Угол между хордой и касательной в одном из ее концов равен половине угла, образуемого в центре окружности на противоположной стороне хорды (угол касательной хорды).
• Если угол, образуемый хордой в центре, равен 90 ° , то ℓ = r √2 , где ℓ — длина хорды, а r — радиус круга.
• Если в круг вписаны две секущие, как показано справа, то размер угла A равен половине разницы размеров вложенных в него дуг ( и ). То есть , где O — центр окружности (теорема о секущем-секущем). ${\displaystyle {\overset {\frown }{DE}}}$ ${\displaystyle {\overset {\frown }{BC}}}$ ${\displaystyle 2\angle {CAB}=\angle {DOE}-\angle {BOC}}$

Вписанные углы

Теорема о вписанном угле

Вписанный угол (примеры — синий и зеленый углы на рисунке) равен ровно половине соответствующего центрального угла (красного). Следовательно, все вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу (розовый), равны. Углы, вписанные в дугу (коричневые), являются дополнительными. В частности, каждый вписанный угол, опирающийся на диаметр, является прямым углом (поскольку центральный угол равен 180 °).

Стрелец

Сагитта – вертикальный сегмент.

Сагитта (также известная как версина ) — это отрезок линии, проведенный перпендикулярно хорде между серединой этой хорды и дугой круга.

Учитывая длину хорды y и длину сагитты x , теорему Пифагора можно использовать для расчета радиуса уникального круга, который будет соответствовать двум линиям:

$${\displaystyle r={\frac {y^{2}}{8x}}+{\frac {x}{2}}.}$$

Другое доказательство этого результата, опирающееся только на два приведенных выше свойства хорды, состоит в следующем. Учитывая хорду длины y и сагитту длины x , поскольку сагитта пересекает середину хорды, мы знаем, что она является частью диаметра круга. Поскольку диаметр в два раза больше радиуса, «недостающая» часть диаметра имеет длину ( 2 r − x ). Используя тот факт, что одна часть одной хорды, умноженная на другую часть, равна тому же произведению, взятому по хорде, пересекающей первую хорду, мы находим, что ( 2 r − x ) x = ( y / 2) ² . Решая относительно r , находим искомый результат.

Конструкции циркуля и линейки

Существует множество конструкций циркуля и линейки, в результате которых получаются круги.

Самая простая и основная — это построение по центру круга и точке на окружности. Поместите неподвижную ножку циркуля в центральную точку, подвижную ножку в точку круга и вращайте компас.

Конструкция заданного диаметра

• Постройте середину М диаметра.
• Постройте окружность с центром М , проходящим через один из концов диаметра (он также пройдет через другой конец).

Постройте окружность через точки A, B и C, найдя биссектрисы (красные) сторон треугольника (синие). Для нахождения центра нужны только две из трёх биссектрис.

Построение через три неколлинеарные точки

• Назовите точки P , Q и R ,
• Постройте биссектрису отрезка PQ .
• Постройте биссектрису отрезка PR .
• Обозначьте точку пересечения этих двух серединных перпендикуляров M . (Они встречаются, потому что точки не лежат на одной прямой ).
• Постройте круг с центром M , проходящим через одну из точек P , Q или R (он также пройдет через две другие точки).

Круг Аполлония

Определение круга Аполлонием: константа d ₁ / d _2.

Аполлоний Пергский показал, что круг также можно определить как набор точек на плоскости, имеющих постоянное отношение ( отличное от 1) расстояний до двух фиксированных фокусов, A и B. ^{[15] [16]} (Набор точек, в которых расстояния равны, представляет собой серединный перпендикуляр к отрезку AB , линии.) Иногда говорят, что этот круг нарисован вокруг двух точек.

Доказательство состоит из двух частей. Во-первых, нужно доказать, что при наличии двух фокусов A и B и отношения расстояний любая точка P , удовлетворяющая отношению расстояний, должна попадать на определенную окружность. Пусть C — еще одна точка, также удовлетворяющая соотношению и лежащая на отрезке AB . По теореме о биссектрисе отрезок PC делит внутренний угол APB пополам , поскольку отрезки подобны:

$${\displaystyle {\frac {AP}{BP}}={\frac {AC}{BC}}.}$$

Аналогично, отрезок PD, проходящий через некоторую точку D на продолжении AB , делит пополам соответствующий внешний угол BPQ , где Q находится на продолжении AP . Поскольку сумма внутреннего и внешнего углов равна 180 градусам, угол CPD равен ровно 90 градусам; то есть прямой угол. Множество точек P таких, что угол CPD является прямым, образует окружность, диаметр которой CD .

Во-вторых, см. в ^{[17] :15} доказательство того, что каждая точка указанной окружности удовлетворяет заданному соотношению.

Перекрестные отношения

Тесно связанное свойство окружностей включает в себя геометрию взаимного отношения точек на комплексной плоскости. Если A , B и C такие же, как указано выше, то окружность Аполлония для этих трех точек представляет собой совокупность точек P , для которых абсолютное значение двойного отношения равно единице:

$${\displaystyle {\bigl |}[A,B;C,P]{\bigr |}=1.}$$

Другими словами, P является точкой на окружности Аполлония тогда и только тогда, когда двойное отношение [ A , B ; C , P ] находится на единичной окружности комплексной плоскости.

Обобщенные круги

Если C — середина отрезка AB , то совокупность точек P, удовлетворяющих условию Аполлония

$${\displaystyle {\frac {|AP|}{|BP|}}={\frac {|AC|}{|BC|}}}$$

Таким образом, если A , B и C заданы разные точки на плоскости, то геометрическое место точек P , удовлетворяющих приведенному выше уравнению, называется «обобщенной окружностью». Это может быть либо настоящий круг, либо линия. В этом смысле линия представляет собой обобщенный круг бесконечного радиуса.

Надпись или описание других фигур

В каждый треугольник можно вписать уникальную окружность, называемую вписанной , так, чтобы она касалась каждой из трех сторон треугольника. ^[18]

Около каждого треугольника можно описать уникальную окружность, называемую описанной окружностью, так, чтобы она проходила через каждую из трех вершин треугольника . ^[19]

Касательный многоугольник , такой как касательный четырехугольник , — это любой выпуклый многоугольник , в который можно вписать окружность , касающуюся каждой стороны многоугольника. ^[20] Каждый правильный многоугольник и каждый треугольник является касательным многоугольником.

Циклический многоугольник — это любой выпуклый многоугольник, вокруг которого можно описать окружность , проходящую через каждую вершину. Хорошо изученный пример — вписанный четырехугольник. Каждый правильный многоугольник и каждый треугольник является вписанным многоугольником. Многоугольник, который является одновременно циклическим и касательным, называется бицентрическим многоугольником .

Гипоциклоида — это кривая, которая вписывается в данную окружность путем отслеживания фиксированной точки на меньшей окружности, которая катится внутри данной окружности и касается ее.

Предельный случай других цифр

Круг можно рассматривать как предельный случай различных других фигур:

• Серия правильных многоугольников с n сторонами имеет круг в качестве предела, когда n приближается к бесконечности. Этот факт был применен Архимедом для аппроксимации числа π .
• Декартов овал — это набор точек, взвешенная сумма расстояний от любой из его точек до двух фиксированных точек (фокусов) является постоянной. Эллипс — это случай , когда веса равны. Круг представляет собой эллипс с нулевым эксцентриситетом, что означает, что два фокуса совпадают друг с другом как центр круга. Круг также является частным случаем декартова овала, в котором один из весов равен нулю.
• Суперэллипс имеет уравнение вида для положительных a , b и n . Суперкруг имеет b = a . Круг — это частный случай суперкруга, в котором n = 2 . ${\displaystyle \left|{\frac {x}{a}}\right|^{n}\!+\left|{\frac {y}{b}}\right|^{n}\!=1}$
• Овал Кассини — это набор точек, произведение расстояний от любой из его точек до двух фиксированных точек является постоянным. Когда две фиксированные точки совпадают, получается круг.
• Кривая постоянной ширины — это фигура, ширина которой, определяемая как расстояние по перпендикуляру между двумя отдельными параллельными линиями, каждая из которых пересекает ее границу в одной точке, одинакова независимо от направления этих двух параллельных линий. Круг — простейший пример фигуры такого типа.

Локус постоянной суммы

Рассмотрим конечное множество точек на плоскости. Геометрическое место точек, у которых сумма квадратов расстояний до данных точек постоянна, представляет собой окружность, центр которой находится в центроиде данных точек. ^[21] Обобщение для высших степеней расстояний получается, если под точками взять вершины правильного многоугольника . ^[22] Геометрическое место точек, у которых сумма расстояний в -й степени до вершин данного правильного многоугольника с радиусом описанной окружности постоянна, является окружностью, если ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle P_{n}}$ ${\displaystyle 2m}$ ${\displaystyle d_{i}}$ ${\displaystyle R}$

$${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}d_{i}^{2m}>nR^{2m},\quad {\text{ where }}~m=1,2,\dots ,n-1;}$$

${\displaystyle P_{n}}$

В случае равностороннего треугольника местами постоянных сумм второй и четвертой степеней являются круги, тогда как для квадрата местами постоянных сумм второй, четвертой и шестой степеней являются круги. Для правильного пятиугольника будет складываться постоянная сумма восьмых степеней расстояний и так далее.

Квадратура круга

Квадратирование круга — это задача, предложенная древними геометрами , о построении квадрата той же площади, что и данный круг, используя только конечное число шагов с помощью циркуля и линейки .

В 1882 году задача оказалась невыполнимой, как следствие теоремы Линдеманна-Вейерштрасса , доказывающей, что pi( π ) — трансцендентное число , а не алгебраическое иррациональное число ; то есть он не является корнем какого-либо многочлена с рациональными коэффициентами. Несмотря на невозможность, эта тема продолжает интересовать любителей псевдоматематики .

Обобщения

В других p -нормах

Иллюстрации единичных кругов (см. также суперэллипс ) в разных p -нормах (каждый вектор от начала координат до единичного круга имеет длину, равную единице, длина вычисляется с помощью формулы длины соответствующего p ).

Определив круг как набор точек на фиксированном расстоянии от точки, разные формы можно считать кругами при разных определениях расстояния. В p -норме расстояние определяется формулой

$${\displaystyle \left\|x\right\|_{p}=\left(\left|x_{1}\right|^{p}+\left|x_{2}\right|^{p}+\dotsb +\left|x_{n}\right|^{p}\right)^{1/p}.}$$

p

$${\displaystyle \left\|x\right\|_{2}={\sqrt {\left|x_{1}\right|^{2}+\left|x_{2}\right|^{2}+\dotsb +\left|x_{n}\right|^{2}}}.}$$

В геометрии такси p = 1. Круги такси представляют собой квадраты со сторонами, ориентированными под углом 45 ° к осям координат. Хотя каждая сторона будет иметь длину, используя евклидову метрику , где r — радиус круга, ее длина в геометрии такси равна 2 r . Таким образом, длина окружности равна 8 r . Таким образом, значение геометрического аналога в этой геометрии равно 4. Формула единичного круга в геометрии такси находится в декартовых координатах и ${\displaystyle {\sqrt {2}}r}$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle |x|+|y|=1}$

$${\displaystyle r={\frac {1}{\left|\sin \theta \right|+\left|\cos \theta \right|}}}$$

Круг радиуса 1 (используя это расстояние) является окрестностью фон Неймана своего центра.

Окружность радиуса r для расстояния Чебышева ( метрика L ∞ ) на плоскости также представляет собой квадрат со стороной 2 r , параллельной осям координат, поэтому плоское расстояние Чебышева можно рассматривать как эквивалентное путем вращения и масштабирования плоскому расстоянию такси. Однако эта эквивалентность между метриками L ₁ и L _∞ не распространяется на более высокие измерения.

Топологическое определение

Круг — это одномерная гиперсфера (1-сфера).

В топологии круг ограничивается не геометрическим понятием, а всеми его гомеоморфизмами . Два топологических круга эквивалентны, если один можно преобразовать в другой путем деформации R 3 самого себя (известной как объемлющая изотопия ). ^[23]

Специально названные круги

Смотрите также

• Аффинная сфера
• Апейрогон
• Круглый фитинг
• Задача о круге Гаусса
• Инверсия в круге
• Пересечение линии и круга
• Список тем кружка
• Сфера
• Три точки определяют круг
• Перевод осей

Рекомендации

1. krikos. Архивировано 6 ноября 2013 г. в Wayback Machine , Генри Джордж Лидделл, Роберт Скотт, Греко-английский лексикон , о Персее.
2. Симек, Ян Ф.; Кресслер, Алан; Херрманн, Николас П.; Шервуд, Сара К. (1 июня 2013 г.). «Священные пейзажи юго-востока США: доисторическое наскальное и пещерное искусство в Теннесси». Античность . 87 (336): 430–446. дои : 10.1017/S0003598X00049048. ISSN  0003-598X. S2CID  130296519.
3. Хронология от 30000 до 500 г. до н.э. Архивировано 22 марта 2008 г. в Wayback Machine . History.mcs.st-andrews.ac.uk. Проверено 3 мая 2012 г.
4. ОЛ  7227282М
5. Артур Кестлер , Лунатики : История изменения взглядов человека на Вселенную (1959)
6. Прокл , Шесть книг Прокла, преемника Платона, по теологии Платона. Архивировано 23 января 2017 г. в Wayback Machine Tr. Томас Тейлор (1816) Том. 2, гл. 2, «О Платоне»
7. Квадратура круга. Архивировано 24 июня 2008 г. в Wayback Machine . History.mcs.st-andrews.ac.uk. Проверено 3 мая 2012 г.
8. «Круги в круге». Художественный музей Филадельфии . Проверено 28 декабря 2023 г.
9. Лессо, Рози (15 июня 2022 г.). «Почему Василий Кандинский рисовал круги?». Коллектор . Проверено 28 декабря 2023 г.
10. Абдуллахи, Яхья (29 октября 2019 г.). «Круг с Востока на Запад». В Шарнье, Жан-Франсуа (ред.). Лувр Абу-Даби: мировое видение искусства . Риццоли Интернэшнл Пабликейшнз, Инкорпорейтед. ISBN 9782370741004.
11. Кац, Виктор Дж. (1998), История математики / Введение (2-е изд.), Аддисон Уэсли Лонгман, стр. 108, ISBN 978-0-321-01618-8
12. Посаментье и Салкинд, «Сложные проблемы геометрии» , Дувр, 2-е издание, 1996: стр. 104–105, № 4–23.
13. Журнал колледжа математики 29 (4), сентябрь 1998 г., стр. 331, задача 635.
14. Джонсон, Роджер А., Расширенная евклидова геометрия , Dover Publ., 2007.
15. Харкнесс, Джеймс (1898). «Введение в теорию аналитических функций». Природа . 59 (1530): 30. Бибкод : 1899Natur..59..386B. дои : 10.1038/059386a0. S2CID  4030420. Архивировано из оригинала 7 октября 2008 года.
16. Огилви, К. Стэнли , Экскурсии по геометрии , Дувр, 1969, 14–17.
17. Альтшиллер-Корт, Натан, Колледж геометрии , Дувр, 2007 (оригинал 1952).
18. Incircle - из Wolfram MathWorld, архивировано 21 января 2012 г. в Wayback Machine . Mathworld.wolfram.com (26 апреля 2012 г.). Проверено 3 мая 2012 г.
19. Окружность - из Wolfram MathWorld, архивировано 20 января 2012 г. в Wayback Machine . Mathworld.wolfram.com (26 апреля 2012 г.). Проверено 3 мая 2012 г.
20. Тангенциальный многоугольник - из Wolfram MathWorld, архивировано 3 сентября 2013 г. в Wayback Machine . Mathworld.wolfram.com (26 апреля 2012 г.). Проверено 3 мая 2012 г.
21. Апостол, Том; Мнацаканян, Мамикон (2003). «Суммы квадратов расстояний в m-пространстве». Американский математический ежемесячник . 110 (6): 516–526. дои : 10.1080/00029890.2003.11919989. S2CID  12641658.
22. Месхишвили, Мамука (2020). «Циклические средние правильных многоугольников и платоновых тел». Коммуникации в математике и приложениях . 11 : 335–355. arXiv : 2010.12340 . doi : 10.26713/cma.v11i3.1420 (неактивен 31 января 2024 г.). Архивировано из оригинала 22 апреля 2021 года . Проверено 17 мая 2021 г.{{cite journal}}: CS1 maint: DOI inactive as of January 2024 (link)
23. Гамелен, Теодор (1999). Введение в топологию . Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN 0486406806.

дальнейшее чтение

• Педо, Дэн (1988). Геометрия: комплексный курс . Дувр. ISBN 9780486658124.
• «Круг» в архиве MacTutor History of Mathematics.

Внешние ссылки

• «Круг», Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]
• Круг в PlanetMath .
• Вайсштейн, Эрик В. «Круг». Математический мир .
• «Интерактивные Java-апплеты». о свойствах и элементарных конструкциях с участием окружностей
• «Интерактивное уравнение стандартной формы круга». Нажимайте и перетаскивайте точки, чтобы увидеть уравнение стандартной формы в действии.
• «Жевание кругов». разрезать узел