полет Леви

Случайное блуждание с длиной шагов с тяжелым хвостом

Полет Леви — это случайное блуждание , в котором длины шагов имеют стабильное распределение [ ^1] с тяжелым хвостом . Когда это определяется как прогулка по пространству размерностью больше единицы, шаги совершаются в изотропных случайных направлениях. Более поздние исследователи расширили использование термина «полет Леви», включив в него также случаи, когда случайное блуждание происходит на дискретной сетке, а не в непрерывном пространстве. ^[2]

Термин «полет Леви» был придуман в честь Поля Леви Бенуа Мандельбротом ^[3] , который использовал его для одного конкретного определения распределения размеров шагов. Он использовал термин «полет Коши» для случая, когда распределение размеров шагов представляет собой распределение Коши ^[4] и «полет Рэлея» для случая, когда распределение является нормальным распределением ^[5] (что не является примером распределения вероятностей с тяжелым хвостом) . ).

Частный случай, для которого Мандельброт использовал термин «полет Леви» ^[3], определяется функцией выживания распределения размеров шагов U , равной ^[6]

${\displaystyle \Pr(U>u)={\begin{cases}1&:\ u<1,\\u^{-D}&:\ u\geq 1.\end{cases}}}$

Здесь D — параметр, связанный с фрактальной размерностью , а распределение — это частный случай распределения Парето .

Характеристики

Полеты Леви по своей конструкции являются марковскими процессами . Для общих распределений размера шага, удовлетворяющих степенному условию, расстояние от начала случайного блуждания стремится после большого числа шагов к устойчивому распределению благодаря обобщенной центральной предельной теореме , позволяющей многим процессам моделироваться с использованием полетов Леви.

Плотности вероятностей частиц, совершающих полет Леви, можно смоделировать с помощью обобщенной версии уравнения Фоккера-Планка , которое обычно используется для моделирования броуновского движения . Уравнение требует использования дробных производных . Для длин прыжков, которые имеют симметричное распределение вероятностей, уравнение принимает простую форму в терминах дробной производной Рисса . В одном измерении уравнение имеет вид

${\displaystyle {\frac {\partial \varphi (x,t)}{\partial t}}=-{\frac {\partial }{\partial x}}f(x,t)\varphi (x,t)+\gamma {\frac {\partial ^{\alpha }\varphi (x,t)}{\partial |x|^{\alpha }}}}$

где γ — константа, подобная константе диффузии, α — параметр устойчивости ^{[ нужна ссылка ]} и f ( x , t ) — потенциал. Производную Рисса можно понять с точки зрения ее преобразования Фурье .

${\displaystyle F_{k}\left[{\frac {\partial ^{\alpha }\varphi (x,t)}{\partial |x|^{\alpha }}}\right]=-|k|^{\alpha }F_{k}[\varphi (x,t)]}$

Это можно легко расширить на несколько измерений.

Другим важным свойством полета Леви является расхождение дисперсий во всех случаях, кроме случая α  = 2, т.е. броуновского движения. В общем, дробный момент распределения θ расходится, если α  ≤  θ . Также,

${\displaystyle \left\langle |x|^{\theta }\right\rangle \propto t^{\theta /\alpha }\quad {\text{if }}\theta <\alpha .}$

Экспоненциальное масштабирование длин шагов придает полетам Леви ^{свойство} масштабной инвариантности , и ^они используются для моделирования данных, демонстрирующих кластеризацию ^{. [ нужна цитата ]}

Рисунок 1. Пример 1000 шагов полета Леви в двух измерениях. Начало движения находится в точке [0,0], угловое направление распределено равномерно, а размер шага распределен в соответствии с распределением Леви (т.е. стабильным ) с α  = 1 и β  = 0, которое является распределением Коши . Обратите внимание на наличие больших скачков местоположения по сравнению с броуновским движением, показанным на рисунке 2.

Рисунок 2. Пример 1000 шагов аппроксимации броуновского движения типа полета Леви в двух измерениях. Начало движения находится в точке [0, 0], угловое направление распределено равномерно, а размер шага распределен в соответствии с распределением Леви (т.е. стабильным ) с α  = 2 и β  = 0 ( т.е. нормальным распределением ).

Приложения

Определение полета Леви вытекает из математики, связанной с теорией хаоса , и полезно при стохастических измерениях и моделировании случайных или псевдослучайных природных явлений. Примеры включают анализ данных о землетрясениях , финансовую математику , криптографию , анализ сигналов, а также множество приложений в астрономии , биологии и физике .

Было обнаружено, что переход между состояниями климата, наблюдаемыми в палеоклиматических записях, может быть описан как полет Леви или альфа-стабильный процесс ^[7]. Другое применение - гипотеза полета Леви о поиске пищи . Когда акулы и другие океанские хищники не могут найти пищу, они отказываются от броуновского движения (случайного движения, наблюдаемого в закрученных молекулах газа) и выбирают полет Леви — смесь длинных траекторий и коротких случайных движений, наблюдаемых в турбулентных жидкостях. Исследователи проанализировали более 12 миллионов движений, зарегистрированных за 5700 дней у 55 помеченных регистратором данных животных 14 видов океанских хищников Атлантического и Тихого океанов, включая шелковистых акул , желтоперого тунца , голубого марлина и рыбу-меч. Данные показали, что полеты Леви, чередующиеся с броуновским движением, могут описать характер охоты животных. ^{[8] [9] [10] [11]} Птицы и другие животные (включая людей) ^[12] следуют путями, смоделированными с помощью полета Леви (например, при поиске пищи). ^[13] Примером животного, в частности жука, который использует схемы полета Леви, является Pterostichus melanarius . Когда жуки голодны и еды мало, они избегают поиска добычи в местах, которые посещали другие особи P. melanarius . Такое поведение оптимально для широко рассредоточенной добычи, которая не всегда может быть полностью съедена за один раз, например слизней. ^[14]

Кроме того, биологический полет, по-видимому, также может быть имитирован с помощью других моделей, таких как составные коррелированные случайные блуждания, которые растут по масштабам, сходясь к оптимальным блужданиям Леви. ^[13] Составные броуновские блуждания могут быть точно настроены на теоретически оптимальные блуждания Леви, но они не так эффективны, как поиск Леви в большинстве типов ландшафтов, что позволяет предположить, что давление отбора для характеристик блужданий Леви более вероятно, чем многомасштабные нормальные диффузионные модели. ^[15]

Эффективная маршрутизация в сети может быть реализована с помощью каналов, имеющих распределение длины полета Леви с определенными значениями альфа. ^[2]

Смотрите также

• Аномальная диффузия
• Распределение с толстым хвостом
• Распределение с тяжелым хвостом
• Процесс Леви
• Альфа-стабильное распределение Леви
• Гипотеза полета Леви о поиске пищи

Примечания

1. Чечкин, Алексей В.; Мецлер, Ральф; Клафтер, Джозеф; Гончар, Всеволод Ю. (2008). «Введение в теорию полетов Леви». Аномальный транспорт . стр. 129–162. дои : 10.1002/9783527622979.ch5. ISBN 9783527622979.
2. Дж. М. Кляйнберг (2000). «Навигация в маленьком мире». Природа . 406 (6798): 845. Бибкод : 2000Natur.406..845K. дои : 10.1038/35022643 . ПМИД  10972276.
3. Мандельброт (1982, стр. 289)
4. Мандельброт (1982, стр. 290)
5. Мандельброт (1982, стр. 288)
6. Мандельброт (1982, стр. 294)
7. П.Д. Дитлевсен, «Наблюдение альфа-стабильного шума и бистабильного климатического потенциала в записях ледяного керна», Geophys. Рез. Письмо 26, 1441–1444, 1999.
8. Симс, Дэвид В.; Саутхолл, Эмили Дж.; Хамфрис, Николас Э.; Хейс, Грэм С.; Брэдшоу, Кори Дж. А.; Питчфорд, Джонатан В.; Джеймс, Алекс; Ахмед, Мохаммед З.; Бриерли, Эндрю С.; Хинделл, Марк А.; Морритт, Дэвид; Музил, Майкл К.; Райтон, Дэвид; Шепард, Эмили LC; Уэрмут, Виктория Дж.; Уилсон, Рори П.; Витт, Мэтью Дж.; Меткалф, Джулиан Д. (2008). «Законы масштабирования поискового поведения морских хищников». Природа . 451 (7182): 1098–1102. Бибкод : 2008Natur.451.1098S. дои : 10.1038/nature06518. PMID  18305542. S2CID  4412923.
9. Хамфрис, Николас Э.; Кейруш, Нуну; Дайер, Дженнифер Р.М.; Паде, Николас Г.; Музил, Майкл К.; Шефер, Курт М.; Фуллер, Дэниел В.; Брунншвайлер, Юрг М.; Дойл, Томас К.; Хоутон, Джонатан Д.Р.; Хейс, Грэм С.; Джонс, Кэтрин С.; Ноубл, Лесли Р.; Уэрмут, Виктория Дж.; Саутхолл, Эмили Дж.; Симс, Дэвид В. (2010). «Экологический контекст объясняет модели Леви и броуновского движения морских хищников» (PDF) . Природа . 465 (7301): 1066–1069. Бибкод : 2010Natur.465.1066H. дои : 10.1038/nature09116. PMID  20531470. S2CID  4316766.
10. Витце, Александра. «Акулы обладают математическими способностями». открытие.com . Проверено 22 февраля 2013 г.
11. Дейси, Джеймс (11 июня 2010 г.). «Акулы охотятся с помощью рейсов Леви». Physicsworld.com . Проверено 22 февраля 2013 г.
12. Рейнольдс, Гретхен (1 января 2014 г.). «Навигация по нашему миру, как птицы», и некоторые авторы утверждают, что это движение пчел. Нью-Йорк Таймс .
13. Симс, Дэвид В .; Рейнольдс, Эндрю М.; Хамфрис, Николас Э.; Саутхолл, Эмили Дж.; Уэрмут, Виктория Дж.; Меткалф, Бретт; Твитчетт, Ричард Дж. (29 июля 2014 г.). «Иерархические случайные блуждания по следам окаменелостей и происхождение оптимального поискового поведения». Труды Национальной академии наук . 111 (30): 11073–11078. Бибкод : 2014PNAS..11111073S. дои : 10.1073/pnas.1405966111 . ISSN  0027-8424. ПМК 4121825 . ПМИД  25024221. 
14. Гай, Адам Г.; Бохан, Дэвид А.; Пауэрс, Стивен Дж.; Рейнольдс, Эндрю М. (1 сентября 2008 г.). «Избегание жужелицами конспецифического запаха: механизм возникновения безчешуйчатых моделей поиска». Поведение животных . 76 (3): 585–591. дои : 10.1016/j.anbehav.2008.04.004. ISSN  0003-3472.
15. Хамфрис, штат Невада; Симс, Д.В. (2014). «Оптимальные стратегии поиска пищи: ходьба Леви балансирует поиск и эксплуатацию патчей в очень широком диапазоне условий» (PDF) . Журнал теоретической биологии . 358 : 179–193. Бибкод : 2014JThBi.358..179H. дои : 10.1016/j.jtbi.2014.05.032. ПМИД  24882791.

Рекомендации

• Мандельброт, Бенуа Б. (1982). Фрактальная геометрия природы (обновленное и дополненное издание). Нью-Йорк: WH Freeman. ISBN 0-7167-1186-9. ОСЛК  7876824.

дальнейшее чтение

• Ченг, З.; Савит, Р. (1987). «Фрактальное и нефрактальное поведение в полетах Леви» (PDF) . Журнал математической физики . 28 (3): 592. Бибкод : 1987JMP....28..592C. дои : 10.1063/1.527644. hdl : 2027.42/70735 .
• Шлезингер, Майкл Ф.; Клафтер, Джозеф; Зумофен, Герт (декабрь 1999 г.). «Выше, ниже и за пределами броуновского движения» (PDF) . Американский журнал физики . 67 (12): 1253–1259. Бибкод : 1999AmJPh..67.1253S. дои : 10.1119/1.19112. Архивировано из оригинала (PDF) 28 марта 2012 г.

Внешние ссылки

• Сравнение картин Джексона Поллока с летной моделью Леви.