Поликуб — это объемная фигура, образованная путем соединения одного или нескольких равных кубов лицом к лицу. Поликубы — это трехмерные аналоги плоских полимино . Куб Сомы , куб Бедлама , Дьявольский куб , головоломка Слотубера-Граатсмы и головоломка Конвея — примеры задач упаковки, основанных на поликубах. [1]
Как и полимино , поликубы можно нумеровать двумя способами, в зависимости от того, считаются ли киральные пары поликубов (эквивалентные зеркальным отражением , а не использованием только перемещений и вращений) одним поликубом или двумя. Например, 6 тетракубов являются ахиральными, а один - хиральным, что дает соответственно 7 или 8 тетракубов. [2] В отличие от полимино, поликубы обычно считаются с выделенными зеркальными парами, потому что нельзя перевернуть поликуб, чтобы отразить его, как это можно сделать с полимино, имеющим три измерения. В частности, куб Сома использует обе формы хирального тетракуба.
Поликубы классифицируются в зависимости от количества кубических ячеек: [3]
Фиксированные поликубы (как отражения, так и вращения считаются отдельными (последовательность A001931 в OEIS )) и односторонние поликубы пронумерованы до n = 20. Свободные поликубы пронумерованы до n =16. [4] Совсем недавно были исследованы конкретные семейства поликубов. [5] [6]
Как и полимино, поликубы можно классифицировать в зависимости от того, сколько у них симметрий. Симметрии поликуба (классы сопряженности подгрупп ахиральной октаэдрической группы ) были впервые перечислены У. Ф. Лунноном в 1972 году. Большинство поликубов асимметричны, но многие имеют более сложные группы симметрии, вплоть до полной группы симметрии куба с 48 элементами. . Возможны многочисленные другие симметрии; например, существует семь возможных форм 8-кратной симметрии. [2]
12 пентакубов плоские и соответствуют пентамино . 5 из оставшихся 17 обладают зеркальной симметрией, а остальные 12 образуют 6 киральных пар.
Ограничительные рамки пятикубов имеют размеры 5×1×1, 4×2×1, 3×3×1, 3×2×1, 4×2×2, 3×2×2 и 2×2×2. . [7]
Поликуб может иметь до 24 ориентаций в кубической решетке или 48, если разрешено отражение. Из пентакубов 2 плоские (5-1-1 и крест) имеют зеркальную симметрию по всем трем осям; они имеют только три направления. 10 имеют одну зеркальную симметрию; они имеют 12 направлений. Каждый из оставшихся 17 пентакубов имеет 24 ориентации.
Тессеракт (четырехмерный гиперкуб ) имеет восемь кубов в качестве граней , и так же , как куб можно развернуть в гексомино , тессеракт можно развернуть в октакуб. Одно развертывание, в частности, имитирует хорошо известное развертывание куба в латинский крест : оно состоит из четырех кубиков, сложенных один на другой, а еще четыре кубика прикреплены к открытым квадратным граням второго сверху. куб стопки, чтобы сформировать трехмерную форму двойного креста . Сальвадор Дали использовал эту форму в своей картине «Распятие» (Corpus Hypercubus) 1954 года [8] и она описана в рассказе Роберта А. Хайнлайна 1940 года « И он построил кривой дом ». [9] В честь Дали этот октакуб был назван крестом Дали . [10] [11] Он может замостить пространство . [10]
В более общем смысле (отвечая на вопрос, заданный Мартином Гарднером в 1966 году), из всех 3811 различных свободных октакубов 261 являются развертками тессеракта. [10] [12]
Хотя кубы поликуба должны быть соединены квадрат с квадратом, квадраты его границы не обязательно должны быть соединены ребром с ребром. Например, 26-куб, образованный путем создания сетки кубов 3×3×3 с последующим удалением центрального куба, является действительным поликубом, в котором граница внутренней пустоты не соединена с внешней границей. Также не требуется, чтобы граница поликуба образовывала многообразие . Например, один из пятикубов состоит из двух кубов, соприкасающихся ребром к ребру, так что ребро между ними является стороной четырех граничных квадратов.
Если поликуб обладает дополнительным свойством, заключающимся в том, что его дополнение (множество целочисленных кубов, не принадлежащих поликубу) соединено путями кубов, пересекающимися квадрат с квадратом, то граничные квадраты поликуба обязательно также соединены путями квадратов, соприкасающихся от края до края. [13] То есть в этом случае граница образует полиминоид .
Можно ли любой поликуб со связной границей развернуть в полимино? Если да, то можно ли каждый такой поликуб развернуть в полимино, замощающее плоскость?
Каждый k -куб с k <7 , а также крест Дали (с k = 8 ) можно развернуть в полимино, которое замостит плоскость. Вопрос о том, можно ли каждый поликуб со связной границей развернуть в полимино, или это всегда можно сделать с дополнительным условием, что полимино замостит плоскость, остается открытым . [11]
Структуру поликуба можно визуализировать с помощью «двойного графа», в котором есть вершина для каждого куба и ребро для каждых двух кубов, имеющих общий квадрат. [14] Это отличается от одноименных понятий двойственного многогранника и двойственного графа к графу, вложенному в поверхность.
Двойственные графы также использовались для определения и изучения специальных подклассов поликубов, например тех, чей двойственный граф является деревом. [15]
Роберт Хайнлайн И он построил кривой дом», опубликованную в 1940 году, и книгу Мартина Гарднера «Безсторонний профессор», опубликованную в 1946 году, являются одними из первых произведений научной фантастики, которые знакомят читателей с лентой Мебиуса, бутылкой Клейна и гиперкубом. тессеракт)..
