Куб

В геометрии куб — это трехмерный твердый объект , ограниченный шестью квадратными гранями. Он имеет двенадцать ребер и восемь вершин. Его можно представить в виде прямоугольного кубоида с шестью квадратными гранями или параллелепипеда с равными ребрами. Это пример многих типов твердых тел: платоново тело , правильный многогранник , параллелоэдр , зоноэдр и плезиоэдр . Двойственный многогранник кубу — правильный октаэдр .

Куб можно представить разными способами, одним из которых является граф, известный как кубический граф . Его можно построить, используя декартово произведение графов . Куб был обнаружен еще в древности. Платон , основатель платоновского твердого тела, связал его с природой земли . Она использовалась как часть Солнечной системы , предложенная Иоганном Кеплером . Его можно вывести по-другому, чтобы создать больше многогранников, и у него есть приложения для построения нового многогранника путем присоединения других. Его можно обобщить как тессеракт в четырехмерном пространстве.

Характеристики

Куб — это частный случай прямоугольного кубоида , у которого ребра равны по длине. ^[1] Как и другие кубоиды, каждая грань куба имеет четыре вершины, каждая из которых соединяется тремя конгруэнтными прямыми. Эти ребра образуют квадратные грани, в результате чего двугранный угол куба между каждыми двумя соседними квадратами является внутренним углом квадрата, равным 90 °. Следовательно, куб имеет шесть граней, двенадцать ребер и восемь вершин. ^[2] Из-за таких свойств его классифицируют как одно из пяти Платоновых тел — многогранника , в котором все правильные многоугольники конгруэнтны и в каждой вершине сходится одинаковое количество граней. ^[3]

Измерение и другие свойства метрик

Учитывая, что куб с длиной ребра . Диагональ грани куба — это диагональ квадрата , а пространственная диагональ куба — это линия, соединяющая две вершины, не находящиеся в одной грани, сформулированная как . Обе формулы можно определить с помощью теоремы Пифагора . Площадь поверхности куба в шесть раз превышает площадь квадрата: ^[4] Объем кубоида — это произведение длины, ширины и высоты. Поскольку все ребра куба имеют одинаковую длину, это: ^[4] $a$ $a{\sqrt {2}}$ $a{\sqrt {3}}$ $A$ $A=6a^{2}.$ $V=a^{3}.$

Единичный куб — это особый случай, когда длина каждого ребра куба составляет 1 единицу. Площадь поверхности и объем единичного куба равны 1. ^[5]^[6] Он обладает свойством Руперта , что означает, что многогранник того же или большего размера может пройти в отверстие единичного куба. Куб принца Руперта , названный в честь принца Руперта Рейнского , является самым большим кубом, который может поместиться внутри, его размер на 6% больше. ^[7]

Геометрическая задача удвоения куба , также известная как проблема Делоса , требует построения куба, объем которого в два раза превышает исходный, с использованием исключительно циркуля и линейки . Древние математики не могли решить эту старую задачу, пока французский математик Пьер Ванцель в 1837 году не доказал, что это невозможно. ^[8]

Отношение к сферам

При длине ребра вписанная сфера куба — это сфера, касающаяся граней куба в их центроидах с радиусом . Средняя сфера куба — это сфера, касающаяся ребер куба радиусом . Описанная сфера куба — это сфера, касающаяся вершин куба радиусом . ^[9] $a$ ${\textstyle {\frac {1}{2}}a}$ ${\textstyle {\frac {1}{\sqrt {2}}}a}$ ${\textstyle {\frac {\sqrt {3}}{2}}a}$

Для куба, описанная сфера которого имеет радиус , и для данной точки в его трехмерном пространстве с расстояниями от восьми вершин куба, это: ^[10] $R$ $d_{i}$ ${\frac {1}{8}}\sum _{i=1}^{8}d_{i}^{4}+{\frac {16R^{4}}{9}}=\left({\frac {1}{8}}\sum _{i=1}^{8}d_{i}^{2}+{\frac {2R^{2}}{3}}\right)^{2}.$

Симметрия

Куб обладает октаэдрической симметрией . Он состоит из отражательной симметрии , симметрии, возникающей при разрезании плоскости на две половины. Всего существует девять симметрий отражения: пять разрезают куб по серединам его ребер, а четыре — по диагонали. Он также состоит из вращательной симметрии , симметрии, возникающей за счет вращения вокруг оси, благодаря чему внешний вид взаимозаменяем. Он имеет октаэдрическую симметрию вращения : три оси проходят через центроид противоположных граней куба, шесть - через средние точки противоположных ребер куба и четыре - через противоположные вершины куба; каждая из этих осей имеет соответственно четырехкратную вращательную симметрию (0 °, 90 °, 180 ° и 270 °), двухкратную вращательную симметрию (0 ° и 180 °) и трехкратную вращательную симметрию (0 °, 120 °). ° и 240°). ^[11]^[12]^[13] $\mathrm {O} _{\mathrm {h} }$ $\mathrm {O}$

Двойственный многогранник может быть получен из каждой вершины многогранника, касающейся плоскости, с помощью процесса, известного как полярное возвратно-поступательное движение . ^[14] Одним из свойств двойственных многогранников обычно является то, что многогранник и его двойственный многогранник имеют общую трехмерную точечную группу симметрии . В этом случае двойственным многогранником кубу является правильный октаэдр , и оба этих многогранника имеют одинаковую симметрию — октаэдрическую симметрию. ^[15]

Куб является транзитивным по граням , то есть его два квадрата одинаковы и могут быть отображены путем вращения и отражения. ^[16] Он вершинно-транзитивен , то есть все его вершины эквивалентны и могут быть отображены изометрически в соответствии с его симметрией. ^[17] Он также транзитивен по ребрам , что означает, что одни и те же грани окружают каждую из его вершин в одинаковом или обратном порядке, все две соседние грани имеют одинаковый двугранный угол . Следовательно, куб является правильным многогранником, поскольку он требует этих свойств. ^[18]

Классификации

Куб является особым случаем среди всех кубоидов . Как упоминалось выше, куб можно представить в виде прямоугольного кубоида с равными длинами ребер и всеми гранями, состоящими из квадратов. ^[1] Куб можно рассматривать как параллелепипед , в котором все его ребра равны. ^[19]

Куб — это плезиоэдр , особый вид заполняющего пространство многогранника, который можно определить как ячейку Вороного симметричного множества Делоне . ^[20] Плезиоэдры включают параллелоэдры , которые можно перемещать без вращения, чтобы заполнить пространство, называемое сотами , в котором каждая грань любой из его копий прикреплена к аналогичной грани другой копии. Существует пять видов параллелоэдров, один из которых — кубовидный. ^[21] Каждый трехмерный параллелоэдр является зоноэдром , центрально-симметричным многогранником, грани которого представляют собой центрально-симметричные многоугольники , ^[22]

Строительство

Простейший способ построить куб — использовать сетку . Сеть — это совокупность многоугольников, соединяющих края, образующих многогранник путем соединения по краям этих многоугольников. Здесь имеется одиннадцать различных сеток кубов. ^[23]

В аналитической геометрии куб может быть построен с использованием декартовых систем координат . Для куба с центром в начале координат, краями, параллельными осям, и длиной ребра, равной 2, декартовы координаты вершин равны . ^[24] Его внутренняя часть состоит из всех точек с для всех . Поверхность куба с длиной центра и ребра равна геометрическому месту всех точек таких, что $(\pm 1,\pm 1,\pm 1)$ $(x_{0},x_{1},x_{2})$ $-1<x_{i}<1$ $i$ $(x_{0},y_{0},z_{0})$ $2a$ $(x,y,z)$ $\max\{|x-x_{0}|,|y-y_{0}|,|z-z_{0}|\}=a.$

Куб является многогранником Ханнера , потому что его можно построить, используя декартово произведение трех отрезков прямой. Его двойственный многогранник, правильный октаэдр, построен прямой суммой трех отрезков. ^[25]

Представительство

В виде графика

Граф куба и его построение

По теореме Стейница граф можно представить как остов многогранника; грубо говоря, каркас многогранника. Такой граф имеет два свойства. Он плоский , то есть ребра графа соединены с каждой вершиной, не пересекая другие ребра. Это также 3-связный граф , что означает, что всякий раз, когда в графе более трех вершин и две вершины удалены, ребра остаются связанными. ^[26]^[27] Скелет куба можно представить в виде графа, и его называют кубическим графом , платоновым графом . У него такое же количество вершин и ребер, как у куба: двенадцать вершин и восемь ребер. ^[28]

Кубический граф является частным случаем графа гиперкуба или -куба , обозначаемого как , поскольку его можно построить с помощью операции, известной как декартово произведение графов . Проще говоря, его конструкция включает в себя два графа, соединяющие пару вершин с ребром, чтобы сформировать новый граф. ^[29] В случае кубического графа это произведение двух ; грубо говоря, это график, напоминающий квадрат. Другими словами, кубический граф строится путем соединения каждой вершины двух квадратов ребром. Условно кубический граф можно обозначить как . ^[30] Это график единичных расстояний . ^[31] $n$ $Q_{n}$ $Q_{2}$ $Q_{3}$

Как и другие графы кубоидов, кубический граф также классифицируется как призменный граф . ^[32]

В ортогональной проекции

Объект, освещенный параллельными лучами света, отбрасывает тень на плоскость, перпендикулярную этим лучам, называемую ортогональной проекцией . Многогранник считается эквипроективным , если для некоторого положения света его ортогональная проекция представляет собой правильный многоугольник. Куб эквипроективен, потому что, если свет параллелен одной из четырех линий, соединяющих вершину с противоположной вершиной, его проекция представляет собой правильный шестиугольник . Условно куб 6-эквипроективен. ^[33]

В качестве матрицы конфигурации

Куб можно представить в виде матрицы конфигурации . Матрица конфигурации — это матрица , в которой строки и столбцы соответствуют элементам многогранника, таким как вершины, ребра и грани. Диагональ матрицы обозначает количество каждого элемента, который появляется в многограннике, тогда как недиагональ матрицы обозначает количество элементов столбца, которые встречаются в элементе строки или рядом с ним . Как упоминалось выше, куб имеет восемь вершин, двенадцать ребер и шесть граней; каждый элемент диагонали матрицы обозначается цифрами 8, 12 и 6. Первый столбец средней строки указывает, что на каждом ребре (т. е. на крайних точках) есть две вершины, обозначенные цифрой 2; средний столбец первой строки указывает, что в каждой вершине сходятся три ребра, обозначенные цифрой 3. Следующая матрица: ^[34] ${\begin{bmatrix}{\begin{matrix}8&3&3\\2&12&2\\4&4&6\end{matrix}}\end{bmatrix}}$

Появления

В древности

Платоново тело – это набор многогранников, известный с античности. Он был назван в честь Платона в его диалоге «Тимей» , который приписывал эти твердые тела природе. Один из них, куб, представлял классический элемент земли из-за его устойчивости . ^[35] «Элементы » Евклида определили Платоновы тела, включая куб, и использовали эти тела для решения задачи, связанной с нахождением отношения диаметра описанной сферы к длине ребра. ^[36]

Следуя Платону за приписыванием его природе, Иоганн Кеплер в своих «Гармониях мира» нарисовал каждое из платоновых тел, одно из которых представляет собой куб, на котором Кеплер изобразил на нем дерево. ^[35] В своей «Mysterium Cosmographicum» Кеплер также предложил Солнечную систему , используя Платоновы тела, входящие в одно другое, и разделяя их шестью сферами, напоминающими шесть планет. Упорядоченные тела начинались от самого внутреннего к самому внешнему: правильный октаэдр , правильный икосаэдр , правильный додекаэдр , правильный тетраэдр и куб. ^[37]

Многогранники, соты и многогранники

Некоторые из производных куба, звездчатый октаэдр и тетракис-гексаэдр .

Куб может выступать в конструкции многогранника, а некоторые его виды могут быть выведены по-разному в следующем:

При огранке куба, то есть удалении части многоугольных граней без создания новых вершин куба, результирующим многогранником является звездчатый октаэдр . ^[38]
Присоединение квадратной пирамиды к каждой квадратной грани куба образует Клитоп , многогранник, известный как тетракис-гексаэдр . ^[39] Предположим, к их квадратным граням прикреплены одна и две равносторонние квадратные пирамиды. В этом случае они представляют собой построение вытянутой квадратной пирамиды и вытянутой квадратной бипирамиды соответственно, примеры тела Джонсона . ^[40]
Каждую вершину куба можно обрезать , и полученный многогранник представляет собой архимедово тело , усеченный куб . ^[41] Когда его края усечены, это ромбокубооктаэдр . ^[42] Соответственно, ромбокубооктаэдр также можно построить, разделив грани куба и затем разложив его, после чего между ними добавляются другие треугольные и квадратные грани; это известно как «расширенный куб». Аналогично его можно построить и на основе двойственного кубу правильного октаэдра. ^[43]
Курносый куб — это архимедово тело, которое можно построить, отделив грань квадрата куба и заполнив их промежутки равносторонними треугольниками с закрученными углами; этот процесс известен как курносый . ^[44]

Соты — это заполнение пространства или мозаика в трехмерном пространстве, то есть это объект, построение которого начинается с прикрепления любых многогранников к их граням, не оставляя зазоров . Куб можно представить в виде ячейки , а примерами сот являются кубические соты , кубические соты 5-го порядка , кубические соты 6-го порядка и кубические соты 7-го порядка . ^[45] Куб можно построить из шести квадратных пирамид , замостив пространство, соединив их вершины. ^[46]

Поликуб – это многогранник, в котором соединены грани множества кубов. Аналогично его можно интерпретировать как полимино в трехмерном пространстве. ^[47] Когда четыре куба сложены вертикально, а остальные четыре прикреплены ко второму сверху кубу стопки, в результате получается поликуб — крест Дали , в честь Сальвадора Дали . Крест Дали представляет собой многогранник тайлового пространства, ^[48]^[49] который можно представить как сеть тессеракта . Тессеракт — это четырехмерное пространство, аналогичное кубу , ограниченное двадцатью четырьмя квадратами и восемью кубами, известными как его ячейки . ^[50]

Ссылки

^ аб Миллс, Стив; Кольф, Хиллари (1999). Математический словарь. Хайнеманн. п. 16. ISBN 978-0-435-02474-1.
^ Джонсон, Норман В. (1966). «Выпуклые многогранники с правильными гранями». Канадский математический журнал . 18 : 169–200. дои : 10.4153/cjm-1966-021-8 . MR 0185507. S2CID 122006114. Збл 0132.14603.См. таблицу II, строка 3.
^ Херрманн, Дайан Л.; Салли, Пол Дж. (2013). Число, форма и симметрия: введение в теорию чисел, геометрию и теорию групп. Тейлор и Фрэнсис. п. 252. ИСБН 978-1-4665-5464-1.
^ Аб Хаттар, Динеш (2008). Руководство по объективной арифметике (2-е изд.). Образование Пирсона . п. 377. ИСБН 978-81-317-1682-3.
^ Болл, Кейт (2010). «Многомерная геометрия и ее вероятностные аналоги». В Гауэрсе, Тимоти (ред.). Принстонский спутник математики . Издательство Принстонского университета. п. 671. ИСБН 9781400830398.
^ Геометрия: мастера переобучения . Холт Райнхарт и Уинстон. 2001. с. 74. ИСБН 9780030543289.
^ Шрираман, Бхарат (2009). «Математика и литература (продолжение): воображение как путь к передовым математическим идеям и философии». В Шрирамане, Бхарат; Фрейман, Виктор; Лиретт-Питр, Николь (ред.). Междисциплинарность, творчество и обучение: математика с литературой, парадоксами, историей, технологиями и моделированием . Энтузиаст математики из Монтаны: серия монографий по математическому образованию. Том. 7. Information Age Publishing, Inc., стр. 41–54. ISBN 9781607521013.
^ Лютцен, Йеспер (2010). «Алгебра геометрической невозможности: Декарт и Монтукла о невозможности удвоения куба и трисекции угла». Центавр . 52 (1): 4–37. дои : 10.1111/j.1600-0498.2009.00160.x.
^ Коксетер (1973) Таблица I (i), стр. 292–293. См. столбцы с пометками , и , обозначения Коксетера для радиуса описанной окружности, среднего радиуса и внутреннего радиуса соответственно, также отметив, что Коксетер использует в качестве длины ребра (см. стр. 2). ${}_{0}\!\mathrm {R} /\ell$ ${}_{1}\!\mathrm {R} /\ell$ ${}_{2}\!\mathrm {R} /\ell$ $2\ell$
^ Пу-Сон, Пак, Пу-Сон (2016). «Расстояния регулярных многогранников» (PDF) . Форум Геометрикорум . 16 : 227–232.{{cite journal}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
^ Френч, Дуг (1988). «Размышления о кубе». Математика в школе . 17 (4): 30–33. JSTOR 30214515.
^ Кромвель, Питер Р. (1997). Многогранники. Издательство Кембриджского университета. п. 309. ИСБН 978-0-521-55432-9.
^ Каннингем, Гейб; Пеллисер, Дэниел (2024). «Конечные трехорбитальные многогранники в обычном пространстве, II». Boletín de la Sociedad Matemática Mexicana . 30 (32). дои : 10.1007/s40590-024-00600-z .См. стр. 276.
^ Канди, Х. Мартин ; Роллетт, AP (1961). «3.2 Двойственность». Математические модели (2-е изд.). Оксфорд: Кларендон Пресс. стр. 78–79. МР 0124167.
^ Эриксон, Мартин (2011). Красивая математика. Математическая ассоциация Америки . п. 62. ИСБН 978-1-61444-509-8.
^ Маклин, К. Робин (1990). «Подземелья, драконы и кости». Математический вестник . 74 (469): 243–256. дои : 10.2307/3619822. JSTOR 3619822. S2CID 195047512.См. стр. 247.
^ Грюнбаум, Бранко (1997). «Изогональные призматоиды». Дискретная и вычислительная геометрия . 18 :13–52. дои : 10.1007/PL00009307.
^ Сенешаль, Марджори (1989). «Краткое введение в тайлинги». В Яриче, Марко (ред.). Введение в математику квазикристаллов . Академическая пресса . п. 12.
^ Калтер, Пол; Колтер, Майкл (2011). Техническая математика. Джон Уайли и сыновья . п. 197. ИСБН 978-0-470-53492-2.
^ Эрдал, РМ (1999). «Зонотопы, кубики и гипотеза Вороного о параллелоэдрах». Европейский журнал комбинаторики . 20 (6): 527–549. дои : 10.1006/eujc.1999.0294 . МР 1703597.. Вороной предположил, что все разбиения пространств более высоких размерностей сдвигами одного выпуклого многогранника комбинаторно эквивалентны разбиениям Вороного, и Эрдал доказывает это в частном случае зонотопов . Но, как он пишет (стр. 429), гипотеза Вороного для размерностей не более четырех была доказана уже Делоне. О классификации трехмерных параллелоэдров на эти пять типов см. Grünbaum, Branko ; Шепард, GC (1980). «Плитки с одинаковыми плитками». Бюллетень Американского математического общества . Новая серия. 3 (3): 951–973. дои : 10.1090/S0273-0979-1980-14827-2 . МР 0585178.
^ Александров, А.Д. (2005). «8.1 Параллелоэдры». Выпуклые многогранники . Спрингер. стр. 349–359.
^ Однако в более высоких измерениях существуют параллелопы, которые не являются зонотопами. См., например, Шепард, GC (1974). «Зонотопы, заполняющие пространство». Математика . 21 (2): 261–269. дои : 10.1112/S0025579300008652. МР 0365332.
^ Чон, Кёнсун (2009). «Математика прячется в сетях за КУБОМ». Обучение детей математике . 15 (7): 394–399. дои : 10.5951/TCM.15.7.0394. JSTOR 41199313.
^ Смит, Джеймс (2000). Методы геометрии. Джон Уайли и сыновья . п. 392. ИСБН 978-1-118-03103-2.
^ Козачок, Марина (2012). «Совершенные призматоиды и гипотеза о числах граней центрально-симметричных многогранников». Ярославская международная конференция «Дискретная геометрия», посвященная 100-летию А.Д.Александрова (Ярославль, 13-18 августа 2012 г.) (PDF) . Ярославский государственный университет им. П.Г. Демидова, Международная лаборатория Б.Н. Делоне. стр. 46–49.
^ Грюнбаум, Бранко (2003). «13.1 Теорема Стейница». Выпуклые многогранники . Тексты для аспирантов по математике . Том. 221 (2-е изд.). Спрингер-Верлаг. стр. 235–244. ISBN 0-387-40409-0.
^ Циглер, Гюнтер М. (1995). «Глава 4: Теорема Стейница для 3-многогранников». Лекции о многогранниках . Тексты для аспирантов по математике . Том. 152. Шпрингер-Верлаг. стр. 103–126. ISBN 0-387-94365-Х.
^ Рудольф, Майкл (2022). Математика конечных сетей: введение в теорию операторных графов. Издательство Кембриджского университета . п. 25. doi : 10.1007/9781316466919 (неактивен 17 июля 2024 г.). ISBN 9781316466919.{{cite book}}: CS1 maint: DOI inactive as of July 2024 (link)
^ Харари, Ф .; Хейс, JP; Ву, Х.-Дж. (1988). «Обзор теории графов гиперкубов». Компьютеры и математика с приложениями . 15 (4): 277–289. дои : 10.1016/0898-1221(88)90213-1. hdl : 2027.42/27522 .
^ Чартран, Гэри; Чжан, Пин (2012). Первый курс теории графов. Дуврские публикации . п. 25.
^ Хорват, Борис; Писанский, Томаж (2010). «Продукты графов единичных расстояний». Дискретная математика . 310 (12): 1783–1792. дои : 10.1016/j.disc.2009.11.035 . МР 2610282.
^ Писанский, Томаж; Серватиус, Бриджит (2013). Конфигурация с графической точки зрения. Спрингер. п. 21. дои : 10.1007/978-0-8176-8364-1. ISBN 978-0-8176-8363-4.
^ Хасан, Масуд; Хоссейн, Мохаммед М.; Лопес-Ортис, Алехандро; Нусрат, Сабрина; Квадер, Саад А.; Рахман, Набила (2010). «Некоторые новые эквипроективные многогранники». arXiv : 1009.2252 [cs.CG].
^ Коксетер, HSM (1973). Правильные многогранники (3-е изд.). Нью-Йорк: Dover Publications . стр. 122–123.См. §1.8 Конфигурации.
^ аб Кромвель (1997), с. 55.
^ Хит, Томас Л. (1908). Тринадцать книг элементов Евклида (3-е изд.). Издательство Кембриджского университета . п. 262, 478, 480.
^ Ливио, Марио (2003) [2002]. Золотое сечение: история Фи, самого удивительного числа в мире (1-е издание в мягкой обложке). Нью-Йорк: Broadway Books . п. 147. ИСБН 978-0-7679-0816-0.
^ Инчбальд, Гай (2006). «Диаграммы фасетирования». Математический вестник . 90 (518): 253–261. дои : 10.1017/S0025557200179653. JSTOR 40378613.
^ Слободан, Мишич; Обрадович, Мария; Джуканович, Гордана (2015). «Композитные вогнутые купола как геометрические и архитектурные формы» (PDF) . Журнал геометрии и графики . 19 (1): 79–91.
^ Раджваде, Арканзас (2001). Выпуклые многогранники с условиями регулярности и третья проблема Гильберта. Тексты и чтения по математике. Книжное агентство Индостан. п. 84–89. дои : 10.1007/978-93-86279-06-4. ISBN 978-93-86279-06-4.
^ Кромвель (1997), стр. 81–82.
^ Линти, Г. (2013). «Катенированные соединения - Группа 13 [Al, Ga, In, Tl]». В Ридейке, Дж.; Поппельммайер, К. (ред.). Комплексная неорганическая химия II: от элементов к приложениям. Ньюнес. п. 41. ИСБН 978-0-08-096529-1.
^ Виана, Вера; Ксавье, Жоау Педро; Айрес, Ана Паула; Кампос, Хелена (2019). «Интерактивное разложение ахиральных многогранников». В Коккьярелле, Луиджи (ред.). ICGG 2018 — Материалы 18-й Международной конференции по геометрии и графике, посвященной 40-летию — Милан, Италия, 3-7 августа 2018 г. Достижения в области интеллектуальных систем и вычислений. Том. 809. Спрингер. п. 1123. дои : 10.1007/978-3-319-95588-9. ISBN 978-3-319-95587-2.См. рис. 6.
^ Холм, А. (2010). Геометрия: наше культурное наследие. Спрингер . дои : 10.1007/978-3-642-14441-7. ISBN 978-3-642-14441-7.
^ Коксетер, HSM (1968). Красота геометрии: двенадцать эссе. Дуврские публикации . п. 167. ИСБН 978-0-486-40919-1.См. таблицу III.
^ Барнс, Джон (2012). Жемчужины геометрии (2-е изд.). Спрингер. п. 82. дои : 10.1007/978-3-642-30964-9. ISBN 978-3-642-30964-9.
^ Ланнон, WF (1972). «Симметрия кубических и общих полимино». В Риде, Рональд К. (ред.). Теория графов и вычисления. Нью-Йорк: Академическая пресса . стр. 101–108. ISBN 978-1-48325-512-5.
^ Диас, Джованна; О'Рурк, Джозеф (2015). «Гиперкуб разворачивает плитку и ». arXiv : 1512.02086 [cs.CG]. $\mathbb {R} ^{3}$ $\mathbb {R} ^{2}$
^ Лангерман, Стефан ; Уинслоу, Эндрю (2016). «Развертки Поликуба, удовлетворяющие критерию Конвея» (PDF) . 19-я Японская конференция по дискретной и вычислительной геометрии, графам и играм (JCDCG^3, 2016) .
^ Холл, Т. Проктор (1893). «Проекция четверной фигуры на трехмерную». Американский журнал математики . 15 (2): 179–189. дои : 10.2307/2369565. JSTOR 2369565.

Внешние ссылки

Вайсштейн, Эрик В. «Куб». Математический мир .
Куб: интерактивная модель многогранника*
Объем куба с интерактивной анимацией
Cube (сайт Роберта Уэбба)