Евклид ( / ˈ j uː k l ɪ d / ; греч. : Εὐκλείδης ; ок. 300 г. до н. э.) был древнегреческим математиком, работавшим как геометр и логик . [2] Его считают «отцом геометрии», [3] он в основном известен трактатом «Начала» , в котором были заложены основы геометрии , которые в значительной степени доминировали в этой области до начала 19 века. Его система, теперь называемая евклидовой геометрией , включала инновации в сочетании с синтезом теорий более ранних греческих математиков, включая Евдокса Книдского , Гиппократа Хиосского , Фалеса и Теэтета . Вместе с Архимедом и Аполлонием Пергским Евклид обычно считается одним из величайших математиков древности и одним из самых влиятельных в истории математики .
О жизни Евклида известно очень мало, и большая часть информации исходит от ученых Прокла и Паппа из Александрии много веков спустя. Средневековые исламские математики придумали причудливую биографию, а средневековые византийские и ранние ученые эпохи Возрождения ошибочно принимали его за более раннего философа Евклида из Мегары . В настоящее время общепризнано, что он провел свою карьеру в Александрии и жил около 300 г. до н. э., после учеников Платона и до Архимеда. Есть некоторые предположения, что Евклид учился в Платоновской академии , а затем преподавал в Мусеуме ; его считают связующим звеном между ранней платоновской традицией в Афинах и более поздней традицией Александрии.
В « Началах » Евклид вывел теоремы из небольшого набора аксиом . Он также написал труды по перспективе , коническим сечениям , сферической геометрии , теории чисел и математической строгости . В дополнение к « Началам » Евклид написал центральный ранний текст в области оптики , «Оптика» , и менее известные работы, включая «Данные» и «Явления» . Авторство Евклида в «О делениях фигур» и «Катоптрике» подвергалось сомнению. Считается, что он написал много утерянных работ.
Английское имя «Euclid» является англизированной версией древнегреческого имени Eukleídes ( Εὐκλείδης ) . [4] [a] Оно образовано от «eu-» (εὖ; «хорошо») и «klês» (-κλῆς; «слава»), что означает «знаменитый, славный». [6] В английском языке, с помощью метонимии , «Euclid» может означать его самую известную работу, «Euclid's Elements », или ее копию, [5] и иногда является синонимом слова «geometry». [2]
Как и в случае со многими древнегреческими математиками , подробности жизни Евклида в основном неизвестны. [7] Он считается автором четырех наиболее сохранившихся трактатов — « Начала» , «Оптика» , «Данные» , «Явления» , — но, кроме этого, о нем ничего достоверно не известно. [8] [b] Традиционное повествование в основном следует рассказу Прокла V века н. э. в его «Комментариях к первой книге «Начал» Евклида» , а также нескольким анекдотам Паппа Александрийского начала IV века. [4] [c]
Согласно Проклу, Евклид жил вскоре после нескольких последователей Платона ( ум. 347 до н. э.) и до математика Архимеда ( ок. 287 – ок. 212 до н. э.); [d] в частности, Прокл поместил Евклида во времена правления Птолемея I ( ок. 305/304–282 до н. э.). [7] [8] [e] Дата рождения Евклида неизвестна; некоторые ученые оценивают ее примерно в 330 [11] [12] или 325 г. до н. э., [2] [13] но другие воздерживаются от предположений. [14] Предполагается, что он был греческого происхождения, [11] но место его рождения неизвестно. [15] [f] Прокл считал, что Евклид следовал платоновской традиции , но точного подтверждения этому нет. [17] Маловероятно, что он был современником Платона, поэтому часто предполагается, что он получил образование у учеников Платона в Платоновской академии в Афинах. [18] Историк Томас Хит поддержал эту теорию, отметив, что большинство способных геометров жили в Афинах, включая многих из тех, на чьих работах основывался Евклид; [19] историк Михалис Сиаларос считает это всего лишь предположением. [4] [20] В любом случае, содержание работы Евклида демонстрирует знакомство с традицией платоновской геометрии. [11]
В своей коллекции Паппус упоминает, что Аполлоний учился у учеников Евклида в Александрии , и это было воспринято как намек на то, что Евклид работал и основал там математическую традицию . [8] [21] [19] Город был основан Александром Великим в 331 г. до н. э., [22] а правление Птолемея I с 306 г. до н. э. и далее придало ему стабильность, которая была относительно уникальной среди хаотичных войн за раздел империи Александра . [23] Птолемей начал процесс эллинизации и заказал многочисленные постройки, построив огромное учреждение Musaeum , которое было ведущим центром образования. [15] [g] Предполагается, что Евклид был одним из первых ученых Musaeum. [22] Дата смерти Евклида неизвестна; предполагалось, что он умер около 270 г. до н. э . [22]
Евклида часто называют «Евклидом Александрийским», чтобы отличить его от более раннего философа Евклида из Мегары , ученика Сократа, упомянутого в диалогах Платона, с которым он исторически отождествлялся. [4] [14] Валерий Максим , римский составитель анекдотов I века н. э., по ошибке заменил имя Евклида на имя Евдокса (IV век до н. э.) как математика, к которому Платон отправлял тех, кто спрашивал, как удвоить куб . [26] Возможно, на основе этого упоминания о математике Евклиде примерно столетием ранее, Евклида стали путать с Евклидом из Мегары в средневековых византийских источниках (ныне утерянных), [27] что в конечном итоге привело к тому, что Евклиду-математику приписали детали биографий обоих мужчин и описали как Мегаренсиса ( буквально « из Мегары » ). [4] [28] Византийский ученый Феодор Метохит ( ок. 1300 г. ) явно объединил двух Евклидов, как и печатник Эрхард Ратдольт в своем издании 1482 г. «Editio princeps» латинского перевода «Начал» Кампануса Новарского . [27] После того, как математик Бартоломео Замберти добавил большинство сохранившихся биографических фрагментов об обоих Евклидах к предисловию к своему переводу « Начал » 1505 г. , последующие публикации перешли к этой идентификации. [27] Более поздние ученые эпохи Возрождения, в частности Питер Рамус , переоценили это утверждение, доказав его ложность с помощью проблем в хронологии и противоречий в ранних источниках. [27]
Средневековые арабские источники предоставляют огромное количество информации о жизни Евклида, но они совершенно не поддаются проверке. [4] Большинство ученых считают их сомнительными по своей подлинности; [8] Хит, в частности, утверждает, что беллетризация была сделана для укрепления связи между почитаемым математиком и арабским миром. [17] Существует также множество анекдотических историй, касающихся Евклида, все с неопределенной историчностью, которые «изображают его как доброго и кроткого старика». [29] Самая известная из них — история Прокла о том, как Птолемей спросил Евклида, есть ли более быстрый путь к изучению геометрии, чем чтение его «Начал» , на что Евклид ответил: «нет царской дороги к геометрии». [29] Этот анекдот сомнителен, поскольку очень похожее взаимодействие между Менехмом и Александром Македонским зафиксировано у Стобея . [30] Оба рассказа были написаны в V веке нашей эры, ни один из них не указывает свой источник и ни один из них не встречается в древнегреческой литературе. [31]
Любая точная датировка деятельности Евклида около 300 г. до н. э. ставится под сомнение из-за отсутствия современных ссылок. [4] Самая ранняя оригинальная ссылка на Евклида содержится в вступительном письме Аполлония к «Коникам» (начало II в. до н. э.): «Третья книга « Коник» содержит много удивительных теорем, которые полезны как для синтезов, так и для определения числа решений пространственных геометрических мест . Большинство из них, и самые прекрасные из них, являются новыми. И когда мы их обнаружили, мы поняли, что Евклид не сделал синтеза геометрического места на трех и четырех линиях, а только случайный его фрагмент, и даже это было сделано не совсем удачно». [26] Предполагается, что «Начала » были, по крайней мере, частично в обращении к III в. до н. э., поскольку Архимед и Аполлоний принимают несколько его положений как должное; [4] однако Архимед использует более старый вариант теории пропорций, чем тот, который содержится в « Началах» . [8] Самые старые физические копии материалов, включенных в «Начала» , датируемые примерно 100 годом н. э., можно найти на фрагментах папируса, найденных в древней свалке в Оксиринхе , Римский Египет . Самые старые сохранившиеся прямые ссылки на «Начала» в работах, даты которых точно известны, относятся к II веку н. э. , к этому времени это был стандартный школьный текст, написанный Галеном и Александром Афродисийским . [26] Некоторые древнегреческие математики упоминают Евклида по имени, но обычно его называют «ὁ στοιχειώτης» («автор « Начал »). [32] В Средние века некоторые ученые утверждали, что Евклид не был исторической личностью и что его имя возникло в результате искажения греческих математических терминов. [33]
Евклид наиболее известен своим тринадцатикнижным трактатом « Начала» ( греч . Στοιχεῖα ; Stoicheia ), считающимся его главным произведением . [3] [35] Большая часть его содержания восходит к трудам более ранних математиков, включая Евдокса , Гиппократа Хиосского , Фалеса и Теэтета , в то время как другие теоремы упоминаются Платоном и Аристотелем. [36] Трудно отличить работу Евклида от работы его предшественников, особенно потому, что « Начала» по сути заменили гораздо более раннюю и ныне утерянную греческую математику. [37] [h] Классицист Маркус Аспер заключает, что «очевидно, достижение Евклида состоит в том, что он собрал общепринятые математические знания в убедительный порядок и добавил новые доказательства для заполнения пробелов», а историк Серафина Куомо описала его как «хранилище результатов». [38] [36] Несмотря на это, Сиаларос утверждает, что «удивительно плотная структура «Элементов» демонстрирует авторский контроль, выходящий за рамки простого редактора». [9]
« Начала » не рассматривают исключительно геометрию, как иногда полагают. [37] Традиционно они делятся на три темы: планиметрия (книги 1–6), базовая теория чисел (книги 7–10) и стереометрия (книги 11–13) — хотя книги 5 (о пропорциях) и 10 (об иррациональных прямых) не совсем соответствуют этой схеме. [39] [40] Сердцем текста являются теоремы, разбросанные по всему тексту. [35] Используя терминологию Аристотеля, их можно в целом разделить на две категории: «первые принципы» и «вторые принципы». [41] Первая группа включает утверждения, обозначенные как «определение» ( греч . ὅρος или ὁρισμός ), «постулат» ( αἴτημα ) или «общее понятие» ( κοινὴ ἔννοια ); [41] [42] только первая книга включает постулаты — позже известные как аксиомы — и общие понятия. [37] [i] Вторая группа состоит из предложений, представленных вместе с математическими доказательствами и диаграммами. [41] Неизвестно, задумывал ли Евклид « Начала» как учебник, но его метод представления делает его естественным. [9] В целом, авторский голос остается общим и безличным. [36]
Первая книга «Начал » является основополагающей для всего текста. [37] Она начинается с серии из 20 определений основных геометрических понятий, таких как линии , углы и различные правильные многоугольники . [44] Затем Евклид представляет 10 предположений (см. таблицу справа), сгруппированных в пять постулатов (аксиом) и пять общих понятий. [45] [k] Эти предположения призваны обеспечить логическую основу для каждой последующей теоремы, т.е. служить аксиоматической системой . [46] [l] Общие понятия касаются исключительно сравнения величин . [48] В то время как постулаты с 1 по 4 относительно просты, [m] пятый известен как постулат о параллельности и особенно знаменит. [48] [n] Первая книга также включает 48 утверждений, которые можно условно разделить на те, которые касаются основных теорем и построений планиметрии и конгруэнтности треугольников (1–26); параллельных прямых (27–34); площади треугольников и параллелограммов (35–45) ; и теорема Пифагора (46–48). [48] Последняя из них включает в себя самое раннее сохранившееся доказательство теоремы Пифагора, описанное Сиаларосом как «удивительно тонкое». [41]
Книга 2 традиционно понимается как касающаяся « геометрической алгебры », хотя эта интерпретация активно обсуждалась с 1970-х годов; критики описывают характеристику как анахроничную, поскольку основы даже зарождающейся алгебры появились много столетий спустя. [41] Вторая книга имеет более узкую направленность и в основном предоставляет алгебраические теоремы для сопровождения различных геометрических фигур. [37] [48] Она фокусируется на площади прямоугольников и квадратов (см. Квадратура ) и приводит к геометрическому предшественнику закона косинусов . [50] Книга 3 фокусируется на кругах, в то время как 4-я рассматривает правильные многоугольники , особенно пятиугольник . [37] [51] Книга 5 является одним из самых важных разделов работы и представляет то, что обычно называют «общей теорией пропорции». [52] [o] Книга 6 использует «теорию отношений » в контексте планиметрии. [37] Он построен почти полностью на своем первом предложении: [53] «Треугольники и параллелограммы, находящиеся на одной высоте, относятся друг к другу как их основания». [54]
Начиная с 7-й книги математик Бенно Артманн отмечает, что «Евклид начинает заново. Ничего из предыдущих книг не используется». [55] Теория чисел рассматривается в книгах с 7 по 10, первая начинается с набора из 22 определений для четности , простых чисел и других понятий, связанных с арифметикой. [37] 7-я книга включает в себя алгоритм Евклида , метод нахождения наибольшего общего делителя двух чисел. [55] 8-я книга обсуждает геометрические прогрессии , в то время как 9-я книга включает в себя предложение, теперь называемое теоремой Евклида , о том, что существует бесконечно много простых чисел . [37] Из « Начал » 10-я книга является самой большой и сложной, поскольку имеет дело с иррациональными числами в контексте величин. [41]
Последние три книги (11–13) в основном обсуждают стереометрию . [39] Вводя список из 37 определений, Книга 11 контекстуализирует следующие две. [56] Хотя ее основополагающий характер напоминает Книгу 1, в отличие от последней в ней нет аксиоматической системы или постулатов. [56] Три раздела Книги 11 включают содержание по стереометрии (1–19), телесным углам (20–23) и параллелепипедным телам (24–37). [56]
Помимо «Начал» , до наших дней сохранилось не менее пяти работ Евклида. Они следуют той же логической структуре, что и «Начала» , с определениями и доказанными предложениями.
Четыре других произведения достоверно приписываются Евклиду, но они были утеряны. [9]
Евклид, как правило, считается одним из величайших математиков древности наряду с Архимедом и Аполлонием Пергским. [11] Многие комментаторы называют его одной из самых влиятельных фигур в истории математики . [2] Геометрическая система, установленная «Началами », долгое время доминировала в этой области; однако сегодня эту систему часто называют « евклидовой геометрией », чтобы отличить ее от других неевклидовых геометрий, открытых в начале 19 века. [61] Среди многочисленных тезок Евклида — космический корабль Европейского космического агентства (ESA) «Евклид» , [62] лунный кратер «Евклид» , [63] и малая планета 4354 «Евклид» . [64]
«Начала » часто считаются после Библии наиболее часто переводимой, публикуемой и изучаемой книгой в истории западного мира . [61] Наряду с «Метафизикой» Аристотеля , « Начала» являются, пожалуй, самым успешным древнегреческим текстом и были доминирующим математическим учебником в средневековом арабском и латинском мире. [61]
Первое английское издание «Начал » было опубликовано в 1570 году Генри Биллинсли и Джоном Ди . [27] Математик Оливер Бирн опубликовал известную версию «Начал » в 1847 году под названием «Первые шесть книг «Начал» Евклида, в которых вместо букв для большего удобства учащихся используются цветные диаграммы и символы» , включавшую цветные диаграммы, призванные усилить педагогический эффект. [65] Дэвид Гильберт стал автором современной аксиоматизации «Начал » . [66]
