Парное сравнение обычно представляет собой любой процесс сравнения сущностей в парах для оценки того, какая из сущностей предпочтительнее или имеет большее количество некоторого количественного свойства , или идентичны ли две сущности. Метод парного сравнения используется в научном изучении предпочтений , установок, систем голосования , социального выбора , общественного выбора , проектирования требований и многоагентных систем ИИ . В психологической литературе его часто называют парным сравнением .
Известный психометрист Л. Л. Терстоун впервые представил научный подход к использованию парных сравнений для измерения в 1927 году, который он назвал законом сравнительного суждения . Терстоун связал этот подход с психофизической теорией, разработанной Эрнстом Генрихом Вебером и Густавом Фехнером . Терстоун продемонстрировал, что этот метод можно использовать для упорядочивания элементов по такому измерению, как предпочтение или важность, с использованием шкалы интервального типа.
Математик Эрнст Цермело (1929) впервые описал модель парных сравнений для шахматного рейтинга в неполных турнирах, которая служит основой (хотя и не получила признания в течение некоторого времени) для таких методов, как рейтинговая система Эло , и эквивалентна модели Брэдли–Терри, предложенной в 1952 году.
Если человек или организация выражает предпочтение между двумя взаимно различными альтернативами, это предпочтение может быть выражено как парное сравнение. Если две альтернативы — это x и y , то возможны следующие парные сравнения:
Агент предпочитает x перед y : « x > y » или « xPy »
Агент предпочитает y вместо x : « y > x » или « yPx ».
Агенту безразлично, какая из двух альтернатив: « x = y » или « xIy ».
С точки зрения современной психометрической теории вероятностные модели, которые включают подход Терстоуна (также называемый законом сравнительного суждения), модель Брэдли–Терри–Льюса (BTL) и общие модели стохастической транзитивности [1] , более уместно рассматривать как модели измерения. Модель Брэдли–Терри–Льюса (BTL) часто применяется к данным попарного сравнения для масштабирования предпочтений. Модель BTL идентична модели Терстоуна, если используется простая логистическая функция . Терстоун использовал нормальное распределение в приложениях модели. Простая логистическая функция изменяется менее чем на 0,01 от кумулятивной нормальной огивы по всему диапазону, учитывая произвольный масштабный коэффициент.
В модели BTL вероятность того, что объект j будет оценен как имеющий больше атрибутов, чем объект i, составляет:
где - масштабное местоположение объекта ; - логистическая функция (обратная логит ) . Например, масштабное местоположение может представлять воспринимаемое качество продукта или воспринимаемый вес объекта.
Модель BTL, модель Терстона, а также модель Раша для измерения тесно связаны и относятся к одному и тому же классу стохастической транзитивности .
Терстоун использовал метод парных сравнений как подход к измерению воспринимаемой интенсивности физических стимулов, установок, предпочтений, выборов и ценностей. Он также изучал последствия разработанной им теории для опросов общественного мнения и политического голосования (Терстоун, 1959).
Для данного агента принятия решений, если информация, цель и альтернативы, используемые агентом, остаются постоянными, то обычно предполагается, что парные сравнения этих альтернатив агентом принятия решений являются транзитивными. Большинство согласны с тем, что такое транзитивность, хотя существуют споры о транзитивности безразличия. Правила транзитивности для данного агента принятия решений следующие.
Это соответствует тому, что (xPy или xIy) является полным предпорядком , P является соответствующим строгим слабым порядком , а I является соответствующим отношением эквивалентности .
Вероятностные модели также порождают стохастические варианты транзитивности , все из которых могут быть проверены на предмет соответствия (нестохастической) транзитивности в пределах ошибок оценок масштабных местоположений сущностей. Таким образом, решения не должны быть детерминированно транзитивными для применения вероятностных моделей. Однако транзитивность, как правило, будет сохраняться для большого числа сравнений, если такие модели, как BTL, могут быть эффективно применены.
Используя тест транзитивности [2], можно исследовать, содержит ли набор данных попарных сравнений более высокую степень транзитивности, чем ожидалось случайно.
Некоторые утверждают, что безразличие не является транзитивным. Рассмотрим следующий пример. Предположим, что вам нравятся яблоки, и вы предпочитаете яблоки большего размера. Теперь предположим, что существуют яблоко A, яблоко B и яблоко C, которые имеют идентичные внутренние характеристики, за исключением следующих. Предположим, что B больше, чем A, но это не различимо без чрезвычайно чувствительной шкалы. Далее предположим, что C больше, чем B, но это также не различимо без чрезвычайно чувствительной шкалы. Однако разница в размерах между яблоками A и C достаточно велика, чтобы вы могли различить, что C больше, чем A, без чувствительной шкалы. В психофизических терминах разница в размерах между A и C больше едва заметной разницы («jnd»), в то время как различия в размерах между A и B и B и C меньше jnd.
Вам показывают три яблока парами, не имея возможности использовать чувствительную шкалу. Поэтому, когда вам показывают только A и B, вам безразлично, что выбрать: яблоко A или яблоко B; и вам безразлично, что выбрать: яблоко B или яблоко C, когда вам показывают только B и C. Однако, когда вам показывают пару A и C, вы предпочитаете C, а не A.
Если парные сравнения на самом деле транзитивны относительно четырех упомянутых правил, то парные сравнения для списка альтернатив ( A 1 , A 2 , A 3 , ..., An −1 и An ) могут иметь вид:
Например, если имеется три альтернативы a , b и c , то возможные порядки предпочтений следующие:
Если число альтернатив равно n, а безразличие не допускается, то число возможных порядков предпочтений для любого заданного значения n равно n !. Если безразличие допускается, то число возможных порядков предпочтений равно числу общих предварительных порядков . Его можно выразить как функцию от n:
где S 2 ( n , k ) — число Стирлинга второго рода .
Одним из важных применений парных сравнений является широко используемый Аналитический иерархический процесс , структурированный метод, помогающий людям справляться со сложными решениями. Он использует парные сравнения материальных и нематериальных факторов для построения шкал отношений, которые полезны при принятии важных решений. [3] [4]
Другим важным применением является метод потенциально всех парных ранжирований всех возможных альтернатив (PAPRIKA). [5] Метод включает в себя многократное парное сравнение и ранжирование лицом, принимающим решения, альтернатив, определенных по двум критериям или атрибутам одновременно, и предполагает компромисс, а затем, если лицо, принимающее решения, решает продолжить, парные сравнения альтернатив, определенных по последовательно большему количеству критериев. Из парных ранжирований определяется относительная важность критериев для лица, принимающего решения, представленная в виде весов.
