Постоянная распространения

Мера изменения амплитуды и фазы волны

Постоянная распространения синусоидальной электромагнитной волны является мерой изменения, претерпеваемого амплитудой и фазой волны при ее распространении в заданном направлении. Измеряемой величиной может быть напряжение , ток в цепи или вектор поля, такой как напряженность электрического поля или плотность потока . Сама по себе постоянная распространения измеряет безразмерное изменение величины или фазы на единицу длины . В контексте двухпортовых сетей и их каскадов постоянная распространения измеряет изменение, претерпеваемое исходной величиной при ее распространении от одного порта к другому.

Значение постоянной распространения выражается логарифмически , почти повсеместно по основанию e , а не по основанию 10, которое используется в телекоммуникациях в других ситуациях. Измеряемая величина, например напряжение, выражается как синусоидальный вектор . Фаза синусоиды изменяется с расстоянием, что приводит к тому, что постоянная распространения является комплексным числом , мнимая часть которого вызвана изменением фазы.

Альтернативные названия

Термин «постоянная распространения» является несколько неправильным названием, поскольку он обычно сильно меняется с ω . Это, вероятно, наиболее широко используемый термин, но существует большое количество альтернативных названий, используемых различными авторами для этой величины. К ним относятся параметр передачи , функция передачи , параметр распространения , коэффициент распространения и постоянная передачи . Если используется множественное число, это предполагает, что α и β упоминаются отдельно, но вместе, как в параметрах передачи , параметрах распространения и т. д. В теории линий передачи α и β считаются одними из «вторичных коэффициентов», причем термин «вторичный» используется для противопоставления коэффициентам первичной линии . Первичные коэффициенты — это физические свойства линии, а именно R, C, L и G, из которых вторичные коэффициенты могут быть выведены с помощью уравнения телеграфиста . В области линий передачи термин « коэффициент передачи» имеет другое значение, несмотря на схожесть названия: он является спутником коэффициента отражения .

Определение

Постоянная распространения, символ γ , для данной системы определяется отношением комплексной амплитуды в источнике волны к комплексной амплитуде на некотором расстоянии x , таким образом, что

${\displaystyle {\frac {A_{0}}{A_{x}}}=e^{\gamma x}}$

Обращение приведенного выше уравнения и выделение γ приводит к получению частного натурального логарифма комплексного отношения амплитуд и пройденного расстояния x :

${\displaystyle \gamma =\ln \left({\frac {A_{0}}{A_{x}}}\right)/x}$

Поскольку константа распространения является комплексной величиной, мы можем записать:

γ знак равно α + я β {\ Displaystyle \ гамма = \ альфа + я \ бета \}

где

• α , действительная часть, называется константой затухания
• β , мнимая часть, называется фазовой постоянной
• ${\displaystyle i\equiv j\equiv {\sqrt {-1\ }}\ ;}$чаще всего j используется для электрических цепей.

То, что β действительно представляет фазу, можно увидеть из формулы Эйлера :

${\displaystyle e^{i\theta }=\cos {\theta }+i\sin {\theta }\ }$

которая представляет собой синусоиду, которая изменяется по фазе при изменении θ , но не изменяется по амплитуде, поскольку

${\displaystyle \left|e^{i\theta }\right|={\sqrt {\cos ^{2}{\theta }+\sin ^{2}{\theta }\;}}=1}$

Причина использования основания e также теперь ясна. Мнимая фазовая константа i β может быть добавлена ​​непосредственно к константе затухания α для формирования единого комплексного числа, которое может быть обработано одной математической операцией при условии, что они имеют одинаковое основание. Углы, измеренные в радианах, требуют основания e , поэтому затухание также имеет основание e .

Постоянную распространения для проводящих линий можно рассчитать из коэффициентов первичной линии с помощью соотношения

${\displaystyle \gamma ={\sqrt {ZY\ }}}$

где

${\displaystyle Z=R+i\ \omega L\ ,}$последовательное сопротивление линии на единицу длины и,

${\displaystyle Y=G+i\ \omega C\ ,}$шунтирующая проводимость линии на единицу длины.

Плоская волна

Коэффициент распространения плоской волны, распространяющейся в линейной среде в направлении x, определяется выражением , где $${\displaystyle P=e^{-\gamma x}}$$

• ${\textstyle \gamma =\alpha +i\ \beta ={\sqrt {i\ \omega \ \mu \ (\sigma +i\ \omega \varepsilon )\ }}\ }$^{[1] : 126}
• ${\displaystyle x=}$ пройденное расстояние в направлении x
• ${\displaystyle \alpha =\ }$ постоянная затухания в единицах неперс /метр
• ${\displaystyle \beta =\ }$ фазовая постоянная в единицах радиан /метр
• ${\displaystyle \omega =\ }$частота в радианах/секунду
• ${\displaystyle \sigma =\ }$ проводимость среды
• ${\displaystyle \varepsilon =\varepsilon '-i\ \varepsilon ''\ }$= комплексная диэлектрическая проницаемость среды
• ${\displaystyle \mu =\mu '-i\ \mu ''\;}$= комплексная проницаемость среды
• ${\displaystyle i\equiv {\sqrt {-1\ }}}$

Соглашение о знаках выбрано для согласованности с распространением в средах с потерями. Если константа затухания положительна, то амплитуда волны уменьшается по мере распространения волны в направлении x .

Длина волны , фазовая скорость и глубина скин-слоя имеют простые соотношения с компонентами постоянной распространения: $${\displaystyle \lambda ={\frac {2\pi }{\beta }}\qquad v_{p}={\frac {\omega }{\beta }}\qquad \delta ={\frac {1}{\alpha }}}$$

Постоянная затухания

В телекоммуникациях термин постоянная затухания , также называемый параметром затухания или коэффициентом затухания , представляет собой затухание электромагнитной волны, распространяющейся через среду на единицу расстояния от источника. Это действительная часть постоянной распространения, которая измеряется в неперах на метр. Непер составляет приблизительно 8,7  дБ . Постоянная затухания может быть определена отношением амплитуд

${\displaystyle \left|{\frac {A_{0}}{A_{x}}}\right|=e^{\alpha x}}$

Постоянная распространения на единицу длины определяется как натуральный логарифм отношения тока или напряжения на передающем конце к току или напряжению на принимающем конце, деленный на соответствующее расстояние x :

${\displaystyle \alpha =\ln \left(\left|{\frac {A_{0}}{A_{x}}}\right|\right)/x}$

Проводящие линии

Постоянная затухания для проводящих линий может быть рассчитана из коэффициентов первичной линии, как показано выше. Для линии, удовлетворяющей условию отсутствия искажений , с проводимостью G в изоляторе, постоянная затухания определяется как

${\displaystyle \alpha ={\sqrt {RG}}\,\!}$

Однако реальная линия вряд ли будет соответствовать этому условию без добавления нагрузочных катушек и, кроме того, существуют некоторые частотно-зависимые эффекты, действующие на первичные "константы", которые вызывают частотную зависимость потерь. Существуют два основных компонента этих потерь: потери в металле и диэлектрические потери.

Потери большинства линий передачи в основном обусловлены потерями в металле, которые вызывают зависимость от частоты из-за конечной проводимости металлов, и скин-эффектом внутри проводника. Скин-эффект приводит к тому, что R вдоль проводника приблизительно зависит от частоты в соответствии с

${\displaystyle R\propto {\sqrt {\omega }}}$

Потери в диэлектрике зависят от тангенса угла потерь (tan  δ ) материала, деленного на длину волны сигнала. Таким образом, они прямо пропорциональны частоте.

${\displaystyle \alpha _{d}={{\pi }{\sqrt {\varepsilon _{r}}} \over {\lambda }}{\tan \delta }}$

Оптическое волокно

Постоянная затухания для конкретной моды распространения в оптическом волокне представляет собой действительную часть аксиальной постоянной распространения.

Фазовая константа

В электромагнитной теории фазовая константа , также называемая константой изменения фазы , параметром или коэффициентом, является мнимой составляющей постоянной распространения плоской волны. Она представляет собой изменение фазы на единицу длины вдоль пути, пройденного волной в любой момент времени, и равна действительной части углового волнового числа волны. Она представлена ​​символом β и измеряется в радианах на единицу длины.

Из определения (углового) волнового числа для поперечных электромагнитных (ТЕМ) волн в средах без потерь,

${\displaystyle k={\frac {2\pi }{\lambda }}=\beta }$

Для линии передачи уравнения телеграфиста говорят нам, что волновое число должно быть пропорционально частоте, чтобы передача волны не искажалась во временной области . Это включает в себя, но не ограничивается, идеальный случай линии без потерь. Причину этого условия можно увидеть, если учесть, что полезный сигнал состоит из множества различных длин волн в частотной области. Чтобы не было искажения формы волны , все эти волны должны распространяться с одинаковой скоростью, чтобы они прибывали на дальний конец линии одновременно как группа . Поскольку фазовая скорость волны определяется как

${\displaystyle v_{p}={\frac {\lambda }{T}}={\frac {f}{\tilde {\nu }}}={\frac {\omega }{\beta }},}$

доказано, что β должна быть пропорциональна ω . В терминах первичных коэффициентов линии это дает из уравнения телеграфиста для линии без искажений условие

${\displaystyle \beta =\omega {\sqrt {LC}},}$

где L и C — соответственно индуктивность и емкость на единицу длины линии. Однако можно ожидать, что практические линии будут лишь приблизительно соответствовать этому условию в ограниченном диапазоне частот.

В частности, фазовая константа не всегда эквивалентна волновому числу . Соотношение ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle k}$

${\displaystyle \beta =k}$

применяется к волне TEM, которая распространяется в свободном пространстве или в TEM-устройствах, таких как коаксиальный кабель и две параллельные линии передачи . Тем не менее, это не относится к волне TE (поперечная электрическая волна) и волне TM (поперечная магнитная волна). Например, ^[2] в полом волноводе , где волна TEM не может существовать, но волны TE и TM могут распространяться,

${\displaystyle k={\frac {\omega }{c}}}$

${\displaystyle \beta =k{\sqrt {1-{\frac {\omega _{c}^{2}}{\omega ^{2}}}}}}$

Вот частота среза . В прямоугольном волноводе частота среза равна ${\displaystyle \omega _{c}}$

${\displaystyle \omega _{c}=c{\sqrt {\left({\frac {n\pi }{a}}\right)^{2}+\left({\frac {m\pi }{b}}\right)^{2}}},}$

где — номера мод для сторон прямоугольника длиной и соответственно. Для мод TE (но не допускается), а для мод TM . ${\displaystyle m,n\geq 0}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle m,n\geq 0}$ ${\displaystyle m=n=0}$ ${\displaystyle m,n\geq 1}$

Фазовая скорость равна

${\displaystyle v_{p}={\frac {\omega }{\beta }}={\frac {c}{\sqrt {1-{\frac {\omega _{\mathrm {c} }^{2}}{\omega ^{2}}}}}}>c}$

Фильтры и двухпортовые сети

Термин константа распространения или функция распространения применяется к фильтрам и другим двухпортовым сетям , используемым для обработки сигналов . Однако в этих случаях коэффициенты затухания и фазы выражаются в терминах неперов и радиан на секцию сети, а не на единицу длины. Некоторые авторы ^[3] проводят различие между мерами на единицу длины (для которых используется «константа») и мерами на секцию (для которых используется «функция»).

Постоянная распространения является полезным понятием в проектировании фильтров, которые неизменно используют каскадную топологию секций . В каскадной топологии постоянная распространения, постоянная затухания и фазовая постоянная отдельных секций могут быть просто сложены для нахождения общей постоянной распространения и т. д.

Каскадные сети

Три сети с произвольными константами распространения и импедансами, соединенные каскадом. Члены Z _i представляют импеданс изображения , и предполагается, что соединения находятся между соответствующими импедансами изображения.

Отношение выходного напряжения к входному для каждой сети определяется по формуле ^[4]

${\displaystyle {\frac {V_{1}}{V_{2}}}={\sqrt {\frac {Z_{I1}}{Z_{I2}}}}e^{\gamma _{1}}}$

${\displaystyle {\frac {V_{2}}{V_{3}}}={\sqrt {\frac {Z_{I2}}{Z_{I3}}}}e^{\gamma _{2}}}$

${\displaystyle {\frac {V_{3}}{V_{4}}}={\sqrt {\frac {Z_{I3}}{Z_{I4}}}}e^{\gamma _{3}}}$

Эти термины являются терминами масштабирования импеданса ^[5] , и их использование объясняется в статье об импедансе изображения . ${\displaystyle {\sqrt {\frac {Z_{In}}{Z_{Im}}}}}$

Общее отношение напряжений определяется по формуле

${\displaystyle {\frac {V_{1}}{V_{4}}}={\frac {V_{1}}{V_{2}}}\cdot {\frac {V_{2}}{V_{3}}}\cdot {\frac {V_{3}}{V_{4}}}={\sqrt {\frac {Z_{I1}}{Z_{I4}}}}e^{\gamma _{1}+\gamma _{2}+\gamma _{3}}}$

Таким образом, для n каскадных секций, имеющих совпадающие импедансы и обращенных друг к другу, общая постоянная распространения определяется выражением

${\displaystyle \gamma _{\mathrm {total} }=\gamma _{1}+\gamma _{2}+\gamma _{3}+\cdots +\gamma _{n}}$

Смотрите также

Концепция глубины проникновения — один из многих способов описания поглощения электромагнитных волн. Для других и их взаимосвязей см. статью: Математические описания непрозрачности .

• Скорость распространения

Примечания

1. Джордон, Эдвард С.; Балман, Кейт Г. (1968). Электромагнитные волны и излучающие системы (2-е изд.). Prentice-Hall.
2. Позар, Дэвид (2012). Микроволновая техника (4-е изд.). John Wiley &Sons. стр. 62–164. ISBN 978-0-470-63155-3.
3. Маттеи и др., стр. 49
4. Маттеи и др., стр. 51-52
5. Маттеи и др., стр. 37-38

Ссылки

•  В этой статье использованы материалы из общедоступного федерального стандарта 1037C. Администрация общих служб . Архивировано из оригинала 2022-01-22..
• Маттеи, Янг, Джонс Микроволновые фильтры, сети согласования импеданса и структуры связи McGraw-Hill 1964.

Внешние ссылки

• "Константа распространения". Микроволновая энциклопедия. 2011. Архивировано из оригинала (Онлайн) 14 июля 2014 г. Получено 2 февраля 2011 г.
• Paschotta, Dr. Rüdiger (2011). "Propagation Constant" (Онлайн) . Энциклопедия лазерной физики и технологий . Получено 2 февраля 2011 г.
• Janezic, Michael D.; Jeffrey A. Jargon (февраль 1999 г.). "Определение комплексной диэлектрической проницаемости по измерениям постоянной распространения" (PDF) . IEEE Microwave and Guided Wave Letters . 9 (2): 76–78. doi :10.1109/75.755052 . Получено 2 февраля 2011 г. .Бесплатная загрузка PDF доступна. Существует обновленная версия от 6 августа 2002 года.