Конструируемый многоугольник

Правильный многоугольник, который можно построить с помощью циркуля и линейки.

Построение правильного пятиугольника

В математике конструируемый многоугольник — это правильный многоугольник , который можно построить с помощью циркуля и линейки . Например, правильный пятиугольник можно построить с помощью циркуля и линейки, а правильный семиугольник — нет. Существует бесконечно много многоугольников, которые можно построить, но известен только 31 из них с нечетным числом сторон.

Условия возможности строительства

Количество сторон известных конструктивных многоугольников, имеющих до 1000 сторон (жирный шрифт) или нечетное количество сторон (красный)

Строительство обычного 17-угольника

Некоторые правильные многоугольники легко построить с помощью циркуля и линейки; другие нет. Древнегреческие математики знали, как построить правильный многоугольник с 3, 4 или 5 сторонами ^{[1] : с. xi} , и они знали, как построить правильный многоугольник с двойным числом сторон данного правильного многоугольника. ^{[1] : с. 49–50} Это привело к заданию вопроса: можно ли построить все правильные многоугольники с помощью циркуля и линейки? Если нет, то какие n -угольников (то есть многоугольники с n ребрами) можно построить, а какие нет?

Карл Фридрих Гаусс доказал конструктивность правильного 17-угольника в 1796 году. Пять лет спустя он разработал теорию гауссовских периодов в своих Disquisitiones Arithmeticae . Эта теория позволила ему сформулировать достаточное условие конструктивности правильных многоугольников. Гаусс без доказательства заявил, что это условие также необходимо , ^[2] , но так и не опубликовал своего доказательства. Полное доказательство необходимости было дано Пьером Ванцелем в 1837 году. Результат известен как теорема Гаусса – Ванцеля :

Правильный n -угольник можно построить с помощью циркуля и линейки тогда и только тогда, когда n является степенью 2 или произведением степени 2 и любого количества различных простых чисел Ферма .

Простое число Ферма — это простое число вида ${\displaystyle 2^{(2^{m})}+1.}$

Чтобы свести геометрическую задачу к задаче чистой теории чисел , в доказательстве используется тот факт, что правильный n -угольник можно построить тогда и только тогда, когда косинус является конструктивным числом , то есть может быть записан в терминах четырех основные арифметические операции и извлечение квадратных корней . Эквивалентно, правильный n -угольник является конструктивным, если любой корень n - го кругового многочлена является конструктивным. ${\displaystyle \cos(2\pi /n)}$

Подробные результаты по теории Гаусса

Переформулируя теорему Гаусса – Ванцеля:

Правильный n -угольник можно построить с помощью линейки и циркуля тогда и только тогда, когда n = 2 ^k p ₁ p ₂ ... p _t , где k и t — неотрицательные целые числа , а _{числа pi} ( когда t > 0) являются различными простыми числами Ферма.

Пять известных простых чисел Ферма :

F ₀ = 3, F ₁ = 5, F ₂ = 17, F ₃ = 257 и F ₄ = 65537 (последовательность A019434 в OEIS ).

Поскольку существует 31 комбинация простых чисел Ферма от одного до пяти, существует 31 известный конструктивный многоугольник с нечетным числом сторон.

Следующие двадцать восемь чисел Ферма, _{от F5} до F32 , _{известны} как составные . ^[3]

Таким образом, правильный n -угольник можно построить, если

n = 3 , 4 , 5 , 6 , 8 , 10 , 12 , 15 , 16 , 17 , 20 , 24 , 30 , 32 , 34 , 40 , 48 , 51, 60 , 64 , 68, 80 , 85, 96 , 102, 120 , 128, 136, 160, 170, 192, 204, 240, 255, 256, 257, 272, 320, 340, 384, 408, 480, 510, 512, 514, 544, 640, 680 , 7 68, 771, 816, 960, 1020, 1024, 1028, 1088, 1280, 1285, 1360, 1536, 1542, 1632, 1920, 2040, 2048, ... (последовательность A003401 в OEIS ) ,

в то время как правильный n -угольник невозможно построить с помощью циркуля и линейки, если

п = 7 , 9 , 11 , 13 , 14 , 18 , 19 , 21 , 22 , 23 , 25, 26, 27 , 28, 29 , 31, 33, 35, 36, 37, 38, 39, 41, 42 , 43, 44, 45, 46, 47, 49, 50, 52 , 53, 54, 55, 56, 57, 58, 59, 61, 62, 63, 65, 66, 67, 69, 70, 71, 72 , 73, 74, 75, 76, 77, 78, 79, 81, 82, 83, 84, 86, 87, 88, 89, 90, 91, 92, 93, 94, 95, 97, 98 , 99, 100 , 101, 103, 104, 105, 106, 107, 108, 109, 110, 111, 112, 113, 114, 115, 116, 117, 118, 119, 121, 122, 123, 124, 125, 126, 127. , ... (последовательность A004169 в OEIS ).

Связь с треугольником Паскаля

Поскольку известно 5 простых чисел Ферма, мы знаем 31 число, являющееся произведением различных простых чисел Ферма, и, следовательно, 31 конструктивный правильный нечетный многоугольник. Это 3, 5, 15, 17, 51, 85, 255, 257, 771, 1285, 3855, 4369, 13107, 21845, 65535, 65537, 196611, 327685, 983055, 1114129 , 3342. 387, 5570645, 16711935, 16843009, 50529027, 84215045, 252645135, 286331153, 858993459, 1431655765, 4294967295 (последовательность A045544 в OEIS ). Как прокомментировал Джон Конвей в «Книге чисел» , эти числа, записанные в двоичном формате , равны первым 32 строкам треугольника Паскаля по модулю -2 минус верхняя строка, которая соответствует моногону . (Из-за этого единицы в таком списке образуют приближение к треугольнику Серпинского .) После этого этот шаблон нарушается, поскольку следующее число Ферма является составным (4294967297 = 641 × 6700417), поэтому следующие строки не соответствуют Конструируемые многоугольники. Неизвестно, существуют ли еще простые числа Ферма, и поэтому неизвестно, сколько существует нечетных конструктивных правильных многоугольников. В общем случае, если существует q простых чисел Ферма, то существует 2 ^q −1 нечетных правильных многоугольников, которые можно построить.

Общая теория

В свете более поздних работ по теории Галуа принципы этих доказательств были уточнены. На основе аналитической геометрии легко показать , что конструируемые длины должны быть получены из базовых длин путем решения некоторой последовательности квадратных уравнений . ^[4] С точки зрения теории поля , такие длины должны содержаться в расширении поля , порожденном башней квадратичных расширений . Отсюда следует, что поле, порожденное конструкциями, всегда будет иметь степень над базовым полем, равную степени двойки.

В частном случае правильного n -угольника вопрос сводится к вопросу о построении длины

потому что 2 π/н,

которое является тригонометрическим числом и, следовательно, алгебраическим числом . Это число лежит в n -м круговом поле — и фактически в его вещественном подполе , которое представляет собой вполне вещественное поле и рациональное векторное пространство размерности

½ φ( n ),

где φ( n ) — функция тотента Эйлера . Результат Ванцеля сводится к расчету, показывающему, что φ( n ) является степенью 2 именно в указанных случаях.

Что касается конструкции Гаусса, то, когда группа Галуа является 2-группой, отсюда следует, что она имеет последовательность подгрупп порядков

1, 2, 4, 8,...

которые вложены каждый в следующий ( композиционный ряд , в терминологии теории групп ), что в данном случае абелевой группы легко доказать по индукции . Следовательно, внутри кругового поля есть подполя, каждое из которых имеет степень 2 по сравнению с предыдущим. Генераторы для каждого такого поля можно записать с помощью теории гауссовского периода . Например, для n  = 17 существует период, представляющий собой сумму восьми корней из единицы , период, являющийся суммой четырех корней из единицы, и период, представляющий собой сумму двух, то есть

потому что 2 π/17.

Каждое из них является корнем квадратного уравнения , выраженного в предыдущем. Более того, эти уравнения имеют действительные , а не комплексные корни, поэтому их в принципе можно решить с помощью геометрической конструкции: это потому, что вся работа происходит внутри вполне реального поля.

Таким образом, результат Гаусса можно понять в современных терминах; для фактического расчета решаемых уравнений периоды можно возвести в квадрат и сравнить с «нижними» периодами с помощью вполне осуществимого алгоритма.

Конструкции циркуля и линейки

Для всех известных конструктивных многоугольников известны конструкции циркуля и линейки . Если n  =  pq с p  = 2 или p и q взаимно простые , n -угольник может быть построен из p -угольника и q -угольника.

• Если p  = 2, нарисуйте q -угольник и разделите пополам один из его центральных углов. Отсюда можно построить 2 q -угольник.
• Если p  > 2, впишите p -угольник и q -угольник в один круг так, чтобы они имели общую вершину. Поскольку p и q взаимно просты, существуют целые числа a и b такие, что ap + bq = 1. Тогда 2 a π/ q + 2 b π/ p = 2π/ pq . Отсюда можно построить pq -угольник.

Таким образом, достаточно найти конструкцию циркуля и линейки для n -угольников, где n — простое число Ферма.

• Конструкция равностороннего треугольника проста и известна с древности ; см. Равносторонний треугольник .
• Конструкции правильного пятиугольника были описаны как Евклидом ( «Элементы» , ок. 300 г. до н.э.), так и Птолемеем ( «Альмагест », ок. 150 г. н. э.).
• Хотя Гаусс доказал , что правильный 17-угольник можно построить, на самом деле он не показал , как это сделать. Первая конструкция принадлежит Эрхингеру, через несколько лет после работы Гаусса.
• Первые явные конструкции правильного 257-угольника были даны Магнусом Георгом Паукером (1822 г.) ^[5] и Фридрихом Юлиусом Ришело (1832 г.). ^[6]
• Конструкцию правильного 65537-угольника впервые предложил Иоганн Густав Гермес (1894 г.). Конструкция очень сложная; Гермес потратил 10 лет на завершение 200-страничной рукописи. ^[7]

Галерея

Слева направо конструкции 15-угольника , 17-угольника , 257-угольника и 65537-угольника . Показан только первый этап строительства 65537-угольника; конструкции 15-угольника, 17-угольника и 257-угольника приведены полностью.

Другие конструкции

Концепция конструктивности, обсуждаемая в этой статье, применима конкретно к конструкциям циркуля и линейки . Больше конструкций становится возможным, если разрешены другие инструменты. Например, в так называемых конструкциях neusis используется отмеченная линейка. Построения представляют собой математическую идеализацию и предполагается, что они выполнены точно.

Правильный многоугольник с n сторонами можно построить с помощью линейки, циркуля и трисектора угла тогда и только тогда, когда где r, s, k ≥ 0 и где _pi — различные простые числа Пьерпона , большие 3 (простые числа вида ^{[8] : Теория 2.} Эти многоугольники - это в точности правильные многоугольники, которые можно построить с помощью конического сечения , и правильные многоугольники, которые можно построить с помощью складывания бумаги . Первые числа сторон этих многоугольников равны: ${\displaystyle n=2^{r}3^{s}p_{1}p_{2}\cdots p_{k},}$ ${\displaystyle 2^{t}3^{u}+1).}$

3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 24, 26, 27, 28, 30, 32, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40, 42, 45, 48, 51, 52, 54, 56, 57, 60, 63, 64, 65, 68, 70, 72, 73, 74, 76, 78, 80, 81, 84, 85, 90, 91, 95, 96, 97, 102, 104, 105, 108, 109, 111, 112, 114, 117, 119, 120, 126, 128, 130, 133, 135, 136, 140, 144, 146, 148, 152, 153, 156, 160, 162, 163, 168, 170, 171, 180, 182, 185, 189, 190, 192, 193, 194, 195, 204, 208 , 210, 216, 218, 219, 221, 222, 224, 228, 234, 238, 240, 243, 247, 252, 255, 256, 257, 259, 260, 266, 270, 272, 273, 280, 285 , 288, 291, 292, 296, ... (последовательность A122254 в OEIS )

Смотрите также

• Полигон
• Карлайлский круг

Рекомендации

1. Болд, Бенджамин. Знаменитые проблемы геометрии и способы их решения , Dover Publications, 1982 (оригинал 1969).
2. Гаусс, Карл Фридрих (1966). Арифметические исследования. Нью-Хейвен и Лондон: Издательство Йельского университета. стр. 458–460 . Проверено 25 января 2023 г.
3. Простые факторы k · 2n + 1 чисел Ферма Fm и полный статус факторинга Уилфрида Келлера.
4. Кокс, Дэвид А. (2012), «Теорема 10.1.6», Теория Галуа , Чистая и прикладная математика (2-е изд.), John Wiley & Sons, стр. 259, номер домена : 10.1002/9781118218457, ISBN 978-1-118-07205-9.
5. Магнус Георг Паукер (1822). «Geometrische Verzeichnung des regelmäßigen Siebzehn-Ecks und Zweyhundersiebenundfünfzig-Ecks in den Kreis». Jahresverhandlungen der Kurländischen Gesellschaft für Literatur und Kunst (на немецком языке). 2 : 160–219.
6. Фридрих Юлиус Ришело (1832). «Desolvee алгебраическое уравнение x257 = 1, sive de Divisione circuli per bisectionem anguli septies repetitam in partes 257 inter se aequales commentatio coronata». Journal für die reine und angewandte Mathematik (на латыни). 9 : 1–26, 146–161, 209–230, 337–358. дои : 10.1515/crll.1832.9.337. S2CID  199545940.
7. Иоганн Густав Гермес (1894). «Über die Teilung des Kreises in 65537 gleiche Teile». Nachrichten von der Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen, Mathematisch-Physikalische Klasse (на немецком языке). Геттинген. 3 : 170–186.
8. Глисон, Эндрю М. (март 1988 г.). «Трисекция угла, семиугольник и трискайдекагон». Американский математический ежемесячник . 95 (3): 185–194. дои : 10.2307/2323624. JSTOR  2323624.

Внешние ссылки

• Дуэйн В. ДеТемпл (1991). «Круги Карлейля и простота Лемуана многоугольных конструкций». Американский математический ежемесячник . 98 (2): 97–108. дои : 10.2307/2323939. JSTOR  2323939. MR  1089454.
• Кристиан Готлиб (1999). «Простая и понятная конструкция правильного 257-угольника». Математический интеллект . 21 (1): 31–37. дои : 10.1007/BF03024829. MR  1665155. S2CID  123567824.
• Формулы правильных многоугольников, спросите часто задаваемые вопросы доктора математики.
• Карл Шик: Weiche Primzahlen und das 257-Eck: eine analytische Lösung des 257-Ecks. Цюрих: К. Шик, 2008. ISBN 978-3-9522917-1-9 . 
• 65537-гон, точное построение 1-й стороны, с использованием Квадратрисы Гиппия и ГеоГебры в качестве дополнительных вспомогательных средств, с кратким описанием (немецкий язык)