Потенциальный поток

Поле скорости как градиент скалярной функции

Потенциальный поток обтекает профиль NACA 0012 под углом атаки 11° , с идентифицированными верхними и нижними трубками потока . Поток двумерный, а профиль имеет бесконечный размах.

В гидродинамике потенциальный поток представляет собой идеальную картину течения невязкой жидкости . Потенциальные потоки описываются и определяются математическими методами.

Потенциальный поток описывает поле скорости как градиент скалярной функции: потенциал скорости . В результате потенциальный поток характеризуется полем безвихревой скорости , которое является допустимым приближением для нескольких приложений. Безвихревость потенциального потока обусловлена ​​тем, что ротор градиента скаляра всегда равен нулю.

В случае несжимаемого потока потенциал скорости удовлетворяет уравнению Лапласа и применима теория потенциала . Однако потенциальные потоки также использовались для описания сжимаемых потоков . Подход потенциального потока используется при моделировании как стационарных, так и нестационарных потоков.

Приложения потенциального потока включают: внешнее поле потока для аэродинамических профилей , водные волны , электроосмотический поток и поток грунтовых вод . Для течений (или их частей) с сильными эффектами завихренности приближение потенциального течения неприменимо.

Характеристики и применение

Потенциальный поток строится путем сложения простых элементарных потоков и наблюдения за результатом.

Линии тока для потенциального обтекания кругового цилиндра несжимаемой жидкостью равномерным натеканием.

Описание и характеристики

В гидродинамике потенциальный поток описывается с помощью потенциала скорости φ , являющегося функцией пространства и времени. Скорость потока v представляет собой векторное поле , равное градиенту ∇ потенциала скорости φ : ^[1]

${\displaystyle \mathbf {v} =\nabla \varphi .}$

Иногда также используется определение v = −∇ φ со знаком минус. Но здесь мы будем использовать определение выше, без знака минус. Из векторного исчисления известно, что ротор градиента равен нулю: ^[1]

${\displaystyle \nabla \times \nabla \varphi =\mathbf {0} \,,}$

и, следовательно , завихренность , ротор поля скорости v , равна нулю: ^[1]

${\displaystyle \nabla \times \mathbf {v} =\mathbf {0} \,.}$

Это означает, что потенциальный поток является безвихревым потоком . Это имеет прямые последствия для применимости потенциального потока. В областях потока, где завихренность, как известно, важна, таких как следы и пограничные слои , теория потенциального потока не может обеспечить разумные предсказания потока. ^[2] К счастью, часто существуют большие области потока, где предположение о безвихревости справедливо, поэтому потенциальный поток используется для различных приложений. Например, в: обтекании самолета , потоке грунтовых вод , акустике , волнах на воде и электроосмотическом потоке . ^[3]

несжимаемый поток

В случае несжимаемого потока — например , жидкости или газа при малых числах Маха ; но не для звуковых волн — скорость v имеет нулевую дивергенцию : ^[1]

${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {v} =0\,,}$

с точкой, обозначающей внутренний продукт . В результате потенциал скорости φ должен удовлетворять уравнению Лапласа ^[1]

${\displaystyle \nabla ^{2}\varphi =0\,,}$

где ∇ ² = ∇ ⋅ ∇ — оператор Лапласа (иногда также обозначаемый ∆ ). В этом случае течение можно полностью определить из его кинематики : предположения безвихревости и нулевой дивергенции потока. Динамику необходимо применять только потом, если кто-то заинтересован в расчете давления: например, для обтекания аэродинамических профилей с помощью принципа Бернулли .

В двух измерениях потенциальный поток сводится к очень простой системе, которая анализируется с помощью комплексного анализа (см. ниже).

Сжимаемый поток

Постоянный поток

Теорию потенциального потока также можно использовать для моделирования безвихревого течения сжимаемой жидкости. Полное потенциальное уравнение , описывающее установившийся поток , имеет вид: ^[4]

${\displaystyle \left(1-M_{x}^{2}\right){\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial x^{2}}}+\left(1-M_{y}^{2}\right){\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial y^{2}}}+\left(1-M_{z}^{2}\right){\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial z^{2}}}-2M_{x}M_{y}{\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial x\,\partial y}}-2M_{y}M_{z}{\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial y\,\partial z}}-2M_{z}M_{x}{\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial z\,\partial x}}=0\,,}$

с компонентами числа Маха

${\displaystyle {\begin{aligned}M_{x}&={\frac {1}{a}}{\frac {\partial \Phi }{\partial x}}\,,&M_{y}&={\frac {1}{a}}{\frac {\partial \Phi }{\partial y}}\,,{\text{ and }}&M_{z}&={\frac {1}{a}}{\frac {\partial \Phi }{\partial z}}\,,\end{aligned}}}$

где а — локальная скорость звука . Скорость потока v снова равна ∇Φ , где Φ — потенциал скорости. Полное потенциальное уравнение справедливо для до- , транс- и сверхзвукового потока при произвольном угле атаки , пока применимо предположение о безвихревости. ^[4]

В случае как дозвукового, так и сверхзвукового (но не трансзвукового или гиперзвукового ) течения, при малых углах атаки и тонких телах можно сделать дополнительное предположение: потенциал скорости расщепляется на невозмущенную скорость набегающего потока V _∞ в направлении x , и его малая скорость возмущения ∇ φ . Итак: ^[4]

${\displaystyle \nabla \Phi =V_{\infty }x+\nabla \varphi \,.}$

В этом случае можно использовать линеаризованное потенциальное уравнение малого возмущения — приближение к полному потенциальному уравнению: ^[4]

${\displaystyle \left(1-M_{\infty }^{2}\right){\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial z^{2}}}=0,}$

где M _∞ =В _∞/а _∞число Маха набегающего набегающего потока. Это линейное уравнение гораздо легче решить, чем уравнение полного потенциала: его можно преобразовать в уравнение Лапласа простым растяжением координаты в направлении x .

Вывод полного потенциального уравнения

Для стационарного невязкого течения уравнения Эйлера — для плотности массы и импульса — в индексных обозначениях и в несохраняющейся форме имеют вид : ^[5]

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial }{\partial x_{i}}}\left(\rho \,v_{i}\right)&=0\,,\\\rho \,v_{j}\,{\frac {\partial v_{i}}{\partial x_{j}}}&=-{\frac {\partial p}{\partial x_{i}}}\,,\end{aligned}}}$

при использовании соглашения о суммировании : поскольку j встречается более одного раза в члене в левой части уравнения импульса, j суммируется по всем его компонентам (которые составляют от 1 до 2 в двумерном потоке и от 1 до 3 в трех измерениях). Дальше:

• ρ — плотность жидкости ,
• р — давление ,
• ( Икс ₁ , Икс ₂ , Икс ₃ ) = ( Икс , y , z ) — координаты и
• ( v ₁ , v ₂ , v ₃ ) — соответствующие компоненты вектора скорости v .

Скорость звука в квадрате a ² равна производной давления p по плотности ρ при постоянной энтропии S : ^[6]

${\displaystyle a^{2}=\left[{\frac {\partial p}{\partial \rho }}\right]_{S}.}$

В результате уравнения потока можно записать в виде:

${\displaystyle {\begin{aligned}v_{i}\,{\frac {\partial \rho }{\partial x_{i}}}+\rho \,{\frac {\partial v_{i}}{\partial x_{i}}}&=0\,,{\text{ and }}&\rho \,v_{j}\,{\frac {\partial v_{i}}{\partial x_{j}}}&=-a^{2}\,{\frac {\partial \rho }{\partial x_{i}}}\,.\end{aligned}}}$

Умножение (и суммирование) уравнения количества движения на _vi и использование уравнения массы для устранения градиента плотности дает:

${\displaystyle \rho \,v_{i}\,v_{j}\,{\frac {\partial v_{i}}{\partial x_{j}}}=\rho \,a^{2}\,{\frac {\partial v_{i}}{\partial x_{i}}}\,.}$

При делении на ρ и со всеми членами в одной части уравнения уравнение потока сжимаемой жидкости имеет вид:

${\displaystyle {\frac {\partial v_{i}}{\partial x_{i}}}-{\frac {v_{i}\,v_{j}}{a^{2}}}{\frac {\partial v_{i}}{\partial x_{j}}}=0\,.}$

Заметим, что до этого этапа никаких предположений относительно течения не делалось (кроме того, что оно стационарное и невязкое).

Теперь для безвихревого потока скорость v представляет собой градиент потенциала скорости Φ , а компоненты локального числа Маха M _i определяются как:

${\displaystyle {\begin{aligned}v_{i}&={\frac {\partial \Phi }{\partial x_{i}}}\,,{\text{ and }}&M_{i}&={\frac {v_{i}}{a}}={\frac {1}{a}}{\frac {\partial \Phi }{\partial x_{i}}}\,.\end{aligned}}}$

При использовании в уравнении потока получается уравнение полного потенциала:

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial x_{i}\,\partial x_{i}}}-M_{i}\,M_{j}\,{\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial x_{i}\,\partial x_{j}}}=0\,.}$

При записи в компонентах получается форма, приведенная в начале этого раздела. Если предоставить конкретное уравнение состояния , связывающее давление p и плотность ρ , можно определить скорость звука. Впоследствии, вместе с адекватными граничными условиями, можно решить полное потенциальное уравнение (чаще всего с использованием программы вычислительной гидродинамики ).

Нестационарный поток

Теорию потенциального потока также можно использовать для моделирования нестационарного безвихревого течения сжимаемой жидкости. Полное потенциальное уравнение , описывающее нестационарный поток, имеет вид: ^[4]

${\displaystyle {\begin{aligned}0=-{\frac {1}{a^{2}}}\left[{\frac {\partial }{\partial t}}(\nabla \Phi \cdot \nabla \Phi )+{\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial t^{2}}}\right]&+\left(1-M_{x}^{2}\right){\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial x^{2}}}+\left(1-M_{y}^{2}\right){\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial y^{2}}}+\left(1-M_{z}^{2}\right){\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial z^{2}}}\\[3pt]&-2M_{x}M_{y}{\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial x\,\partial y}}-2M_{y}M_{z}{\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial y\,\partial z}}-2M_{z}M_{x}{\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial z\,\partial x}}\end{aligned}}}$

с компонентами числа Маха

${\displaystyle {\begin{aligned}M_{x}&={\frac {1}{a}}{\frac {\partial \Phi }{\partial x}}\,,&M_{y}&={\frac {1}{a}}{\frac {\partial \Phi }{\partial y}}\,,{\text{ and }}&M_{z}&={\frac {1}{a}}{\frac {\partial \Phi }{\partial z}}\,,\end{aligned}}}$

где а — локальная скорость звука . Скорость потока v снова равна ∇Φ , где Φ — потенциал скорости. Полное потенциальное уравнение справедливо для до- , транс- и сверхзвукового потока при произвольном угле атаки , пока применимо предположение о безвихревости. ^[4]

В случае как дозвукового, так и сверхзвукового (но не трансзвукового или гиперзвукового ) течения, при малых углах атаки и тонких телах можно сделать дополнительное предположение: потенциал скорости расщепляется на невозмущенную скорость набегающего потока V _∞ в направлении x , и его малая скорость возмущения ∇ φ . Итак: ^[4]

${\displaystyle \nabla \Phi =V_{\infty }x+\nabla \varphi \,.}$

В этом случае можно использовать линеаризованное потенциальное уравнение малого возмущения — приближение к полному потенциальному уравнению: ^[4]

${\displaystyle -{\frac {1}{a^{2}}}\left[2V_{\infty }{\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial x\partial t}}+{\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial t^{2}}}\right]+\left(1-M_{\infty }^{2}\right){\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial z^{2}}}=0,}$

где M _∞ =В _∞/а _∞число Маха набегающего набегающего потока.

Вывод полного потенциального уравнения

Начнем с уравнения сохранения массы

${\displaystyle {\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial \rho }{\partial t}}+{\frac {{\vec {v}}\cdot \nabla \rho }{\rho }}+\nabla \cdot {\vec {v}}=0}$

Рассмотрим первый термин. Используя принцип Бернулли, запишем

${\displaystyle {\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial \rho }{\partial t}}={\frac {1}{a^{2}\rho }}{\frac {\partial p}{\partial t}}={\frac {1}{a^{2}}}{\frac {\partial }{\partial t}}\int _{p_{1}}^{p}{\frac {d{\tilde {p}}}{d\rho ({\tilde {p}})}}=-{\frac {1}{a^{2}}}{\frac {\partial }{\partial t}}\left[{\frac {\partial \Phi }{\partial t}}+{\frac {\nabla \Phi \cdot \nabla \Phi }{2}}\right]}$

Аналогично можно записать и второе слагаемое

${\displaystyle {\frac {{\vec {v}}\cdot \nabla \rho }{\rho }}={\frac {{\vec {v}}\cdot \nabla p}{a^{2}\rho }}=-{\frac {1}{a^{2}}}{\vec {v}}\cdot \nabla \left[{\frac {\partial \Phi }{\partial t}}+{\frac {\nabla \Phi \cdot \nabla \Phi }{2}}\right]=-{\frac {1}{a^{2}}}\nabla \Phi \cdot \nabla \left[{\frac {\partial \Phi }{\partial t}}+{\frac {\nabla \Phi \cdot \nabla \Phi }{2}}\right]}$

Собирая члены и переставляя, уравнение сохранения массы принимает вид

${\displaystyle {\begin{aligned}\nabla ^{2}\Phi -{\frac {1}{a^{2}}}{\frac {\partial }{\partial t}}\left[{\frac {\partial \Phi }{\partial t}}+{\frac {\nabla \Phi \cdot \nabla \Phi }{2}}\right]-{\frac {1}{a^{2}}}\nabla \Phi \cdot \nabla \left[{\frac {\partial \Phi }{\partial t}}+{\frac {\nabla \Phi \cdot \nabla \Phi }{2}}\right]&=0\\\Rightarrow \nabla ^{2}\Phi -{\frac {1}{a^{2}}}\left[{\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial t^{2}}}+{\frac {\partial }{\partial t}}(\nabla \Phi \cdot \nabla \Phi )+\nabla \Phi \cdot \nabla \left({\frac {\nabla \Phi \cdot \nabla \Phi }{2}}\right)\right]&=0\end{aligned}}}$

Звуковые волны

Звуковые волны малой амплитуды можно аппроксимировать следующей моделью потенциального потока: ^[7]

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial t^{2}}}={\overline {a}}^{2}\Delta \varphi ,}$

которое представляет собой линейное волновое уравнение для потенциала скорости φ . Колебательная часть вектора скорости v снова связана с потенциалом скорости соотношением v = ∇ φ , при этом, как и ранее, Δ — оператор Лапласа , а ā — средняя скорость звука в однородной среде . Обратите внимание, что в этом приближении колебательные части давления p и плотности ρ по отдельности удовлетворяют волновому уравнению.

Применимость и ограничения

Потенциальный поток не включает в себя все характеристики потоков, встречающихся в реальном мире. Теория потенциального течения не может быть применена для вязких внутренних течений ^[2] , за исключением течений между близко расположенными пластинами . Ричард Фейнман считал потенциальный поток настолько нефизическим, что единственной жидкостью, которая подчинялась этим предположениям, была «сухая вода» (цитируя Джона фон Неймана). ^[8] Несжимаемый потенциальный поток также делает ряд неверных предсказаний, таких как парадокс Даламбера , который утверждает, что сопротивление любого объекта, движущегося через бесконечную жидкость, в противном случае находящегося в состоянии покоя, равно нулю. ^[9] Точнее, потенциальный поток не может объяснить поведение потоков, включающих пограничный слой . ^[2] Тем не менее, понимание потенциального потока важно во многих разделах механики жидкости. В частности, простые потенциальные потоки (называемые элементарными потоками ), такие как свободный вихрь и точечный источник, обладают готовыми аналитическими решениями. Эти решения можно накладывать друг на друга для создания более сложных потоков, удовлетворяющих множеству граничных условий. Эти потоки близко соответствуют реальным потокам во всей механике жидкости; кроме того, многие ценные идеи возникают при рассмотрении отклонения (часто незначительного) между наблюдаемым потоком и соответствующим потенциальным потоком. Потенциальный поток находит множество применений в таких областях, как проектирование самолетов. Например, в вычислительной гидродинамике одним из методов является объединение решения потенциального потока вне пограничного слоя с решением уравнений пограничного слоя внутри пограничного слоя. Отсутствие эффектов пограничного слоя означает, что любая линия тока может быть заменена твердой границей без изменения поля потока - метод, используемый во многих подходах к аэродинамическому проектированию. Другой метод — использование твердых тел Риабучинского . ^{[ сомнительно ]}

Анализ двумерного потока

Потенциальный поток в двух измерениях легко анализировать с помощью конформного отображения , используя преобразования комплексной плоскости . Однако использование комплексных чисел не требуется, как, например, при классическом анализе течения жидкости вокруг цилиндра. Невозможно решить потенциальный поток, используя комплексные числа в трех измерениях. ^[10]

Основная идея состоит в использовании голоморфной (также называемой аналитической ) или мероморфной функции f , которая отображает физическую область ( x , y ) в преобразованную область ( φ , ψ ) . Хотя x , y , φ и ψ имеют действительные значения , удобно определить комплексные величины

${\displaystyle {\begin{aligned}z&=x+iy\,,{\text{ and }}&w&=\varphi +i\psi \,.\end{aligned}}}$

Теперь, если мы запишем отображение f как ^[10]

${\displaystyle {\begin{aligned}f(x+iy)&=\varphi +i\psi \,,{\text{ or }}&f(z)&=w\,.\end{aligned}}}$

Тогда, поскольку f — голоморфная или мероморфная функция, она должна удовлетворять уравнениям Коши–Римана ^[10]

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial \varphi }{\partial x}}&={\frac {\partial \psi }{\partial y}}\,,&{\frac {\partial \varphi }{\partial y}}&=-{\frac {\partial \psi }{\partial x}}\,.\end{aligned}}}$

Компоненты скорости ( u , v ) в направлениях ( x , y ) соответственно могут быть получены непосредственно из f путем дифференцирования по z . Это ^[10]

${\displaystyle {\frac {df}{dz}}=u-iv}$

Таким образом, поле скорости v = ( u , v ) определяется формулой ^[10]

${\displaystyle {\begin{aligned}u&={\frac {\partial \varphi }{\partial x}}={\frac {\partial \psi }{\partial y}},&v&={\frac {\partial \varphi }{\partial y}}=-{\frac {\partial \psi }{\partial x}}\,.\end{aligned}}}$

Тогда и φ , и ψ удовлетворяют уравнению Лапласа : ^[10]

${\displaystyle {\begin{aligned}\Delta \varphi &={\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial y^{2}}}=0\,,{\text{ and }}&\Delta \psi &={\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial y^{2}}}=0\,.\end{aligned}}}$

Таким образом, φ можно определить как потенциал скорости, а ψ называют функцией тока . ^[10] Линии постоянного ψ известны как линии тока , а линии постоянного φ известны как эквипотенциальные линии (см. Эквипотенциальная поверхность ).

Линии тока и эквипотенциальные линии ортогональны друг другу, поскольку ^[10]

${\displaystyle \nabla \varphi \cdot \nabla \psi ={\frac {\partial \varphi }{\partial x}}{\frac {\partial \psi }{\partial x}}+{\frac {\partial \varphi }{\partial y}}{\frac {\partial \psi }{\partial y}}={\frac {\partial \psi }{\partial y}}{\frac {\partial \psi }{\partial x}}-{\frac {\partial \psi }{\partial x}}{\frac {\partial \psi }{\partial y}}=0\,.}$

Таким образом, течение происходит вдоль линий постоянной ψ и под прямым углом к ​​линиям постоянной φ . ^[10]

∇ ψ = 0 также выполняется, это соотношение эквивалентно ∇ × v = 0 . Таким образом, течение является безвихревым. Автоматическое состояние∂ ² Ψ/∂ х ∂ у"="∂ ² Ψ/∂ у ∂ хтогда дает ограничение несжимаемости ∇ · v = 0 .

Примеры двумерных потоков

В качестве f можно использовать любую дифференцируемую функцию . В следующих примерах используются различные элементарные функции ; Также могут использоваться специальные функции . Обратите внимание, что можно использовать многозначные функции , такие как натуральный логарифм , но внимание должно быть ограничено одной римановой поверхностью .

Степенные законы

Примеры конформных отображений для степенного закона w = Az ⁿ

Примеры конформных отображений для степенного закона w = Az ⁿ , для разных значений степени n . Показана плоскость z , на которой показаны линии постоянного потенциала φ и функции тока ψ , а w = φ + iψ .

В случае применения следующего степенного конформного отображения от z = x + iy до w = φ + iψ : ^[11]

${\displaystyle w=Az^{n}\,,}$

тогда, записывая z в полярных координатах как z = x + iy = re ^iθ , имеем ^[11]

${\displaystyle \varphi =Ar^{n}\cos n\theta \qquad {\text{and}}\qquad \psi =Ar^{n}\sin n\theta \,.}$

На рисунках справа примеры приведены для нескольких значений n . Черная линия — граница потока, более темные синие линии — линии тока, а более светлые синие линии — эквипотенциальные линии. Некоторые интересные степени n : ^[11]

• п =1/2: это соответствует обтеканию полубесконечной пластины,
• п =2/3: обтекать правый угол,
• n = 1 : тривиальный случай равномерного потока,
• n = 2 : поток через угол или вблизи критической точки, и
• n = −1 : поток из-за дублета источника

Константа A является параметром масштабирования: ее абсолютное значение | А | определяет масштаб, а его аргумент arg( A ) вводит вращение (если оно не равно нулю).

Степенные законы с n = 1 : равномерный поток

Если w = Az ¹ , то есть степенной закон с n = 1 , линии тока (т.е. линии постоянного ψ ) представляют собой систему прямых линий, параллельных оси x . Это проще всего увидеть, написав в терминах действительных и мнимых компонентов:

${\displaystyle f(x+iy)=A\,(x+iy)=Ax+iAy}$

таким образом давая φ = Ax и ψ = Ay . Этот поток можно интерпретировать как равномерный поток , параллельный оси x .

Степенные законы с n = 2

Если n = 2 , то w = Az ² и линия тока, соответствующая конкретному значению ψ , являются точками, удовлетворяющими условиям

${\displaystyle \psi =Ar^{2}\sin 2\theta \,,}$

которая представляет собой систему прямоугольных гипербол . В этом можно убедиться, еще раз переписав уравнение с точки зрения действительных и мнимых компонентов. Заметив, что sin 2 θ = 2 sin θ cos θ , и переписав sin θ =й/ри потому что θ =Икс/рвидно (при упрощении), что линии тока имеют вид

${\displaystyle \psi =2Axy\,.}$

Поле скорости определяется как ∇ φ или

${\displaystyle {\begin{pmatrix}u\\v\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}{\frac {\partial \varphi }{\partial x}}\\[2px]{\frac {\partial \varphi }{\partial y}}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}+{\partial \psi \over \partial y}\\[2px]-{\partial \psi \over \partial x}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}+2Ax\\[2px]-2Ay\end{pmatrix}}\,.}$

В гидродинамике поле течения вблизи начала координат соответствует критической точке . Обратите внимание, что жидкость в начале координат покоится (это следует из дифференцирования f (z) = z ² при z = 0 ). Линия тока ψ = 0 особенно интересна: она имеет две (или четыре) ветви, следующие по осям координат, т. е. x = 0 и y = 0 . Поскольку жидкость не течет через ось x , ее ( ось x ) можно рассматривать как твердую границу. Таким образом, можно игнорировать течение в нижней полуплоскости, где y < 0 , и сосредоточиться на потоке в верхней полуплоскости. В этой интерпретации течение представляет собой поток вертикально направленной струи, падающей на горизонтальную плоскую пластину. Поток также можно интерпретировать как поток в угол 90 градусов, если игнорируются области, заданные, скажем, x , y < 0 .

Степенные законы при n = 3

Если n = 3 , результирующий поток представляет собой своего рода гексагональную версию случая n = 2 , рассмотренного выше. Линии тока определяются как ψ = 3 x ² y − y ³ , и поток в этом случае можно интерпретировать как поток в угол 60 °.

Степенные законы с n = −1 : дублет

Если n = −1 , линии тока определяются выражением

${\displaystyle \psi =-{\frac {A}{r}}\sin \theta .}$

Это легче интерпретировать с точки зрения действительных и мнимых компонентов:

${\displaystyle {\begin{aligned}\psi ={\frac {-Ay}{r^{2}}}&={\frac {-Ay}{x^{2}+y^{2}}}\,,\\x^{2}+y^{2}+{\frac {Ay}{\psi }}&=0\,,\\x^{2}+\left(y+{\frac {A}{2\psi }}\right)^{2}&=\left({\frac {A}{2\psi }}\right)^{2}\,.\end{aligned}}}$

Таким образом, линии тока представляют собой круги , касающиеся оси X в начале координат. Таким образом, круги в верхней полуплоскости движутся по часовой стрелке, а круги в нижней полуплоскости - против часовой стрелки. Заметим, что компоненты скорости пропорциональны r ⁻² ; и их значения в начале координат бесконечны. Эту структуру потока обычно называют дублетом или диполем и можно интерпретировать как комбинацию пары источник-приемник бесконечной силы, находящейся на бесконечно малом расстоянии друг от друга. Поле скорости определяется выражением

${\displaystyle (u,v)=\left({\frac {\partial \psi }{\partial y}},-{\frac {\partial \psi }{\partial x}}\right)=\left(A{\frac {y^{2}-x^{2}}{\left(x^{2}+y^{2}\right)^{2}}},-A{\frac {2xy}{\left(x^{2}+y^{2}\right)^{2}}}\right)\,.}$

или в полярных координатах:

${\displaystyle (u_{r},u_{\theta })=\left({\frac {1}{r}}{\frac {\partial \psi }{\partial \theta }},-{\frac {\partial \psi }{\partial r}}\right)=\left(-{\frac {A}{r^{2}}}\cos \theta ,-{\frac {A}{r^{2}}}\sin \theta \right)\,.}$

Степенные законы с n = −2 : квадруполь

Если n = −2 , линии тока определяются выражением

${\displaystyle \psi =-{\frac {A}{r^{2}}}\sin 2\theta \,.}$

Это поле течения, связанное с квадруполем . ^[12]

Линейный источник и приемник

Линейный источник или сток силы ( для источника и для стока) определяется потенциалом ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle Q>0}$ ${\displaystyle Q<0}$

${\displaystyle w={\frac {Q}{2\pi }}\ln z}$

где фактически представляет собой объемный поток на единицу длины через поверхность, окружающую источник или сток. Поле скорости в полярных координатах равно ${\displaystyle Q}$

${\displaystyle u_{r}={\frac {Q}{2\pi r}},\quad u_{\theta }=0}$

т. е. чисто радиальный поток.

Линейный вихрь

Линейный вихрь силы определяется выражением ${\displaystyle \Gamma }$

${\displaystyle w={\frac {\Gamma }{2\pi i}}\ln z}$

где – циркуляция вокруг любого простого замкнутого контура, охватывающего вихрь. Поле скорости в полярных координатах равно ${\displaystyle \Gamma }$

${\displaystyle u_{r}=0,\quad u_{\theta }={\frac {\Gamma }{2\pi r}}}$

т. е. чисто азимутальный поток.

Анализ трехмерного потока

Для трехмерных течений комплексный потенциал получить невозможно.

Точечный источник и сток

Потенциал скорости точечного источника или стока силы ( для источника и для стока) в сферических полярных координатах определяется выражением ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle Q>0}$ ${\displaystyle Q<0}$

${\displaystyle \phi =-{\frac {Q}{4\pi r}}}$

где фактически – объемный поток через замкнутую поверхность, окружающую источник или сток. Поле скорости в сферических полярных координатах равно ${\displaystyle Q}$

${\displaystyle u_{r}={\frac {Q}{4\pi r^{2}}},\quad u_{\theta }=0,\quad u_{\phi }=0.}$

Смотрите также

• Потенциальный поток вокруг круглого цилиндра
• Код аэродинамического потенциального потока
• Конформное отображение
• Дарвиновский дрейф
• Сеть
• Лапласово поле
• Уравнение Лапласа для безвихревого течения
• Потенциальная теория
• Функция потока
• Потенциал скорости
• Разложение Гельмгольца

Примечания

1. Batchelor (1973), стр. 99–101.
2. Batchelor (1973), стр. 378–380.
3. Кирби, Б.Дж. (2010), Микро- и наномасштабная механика жидкости: транспорт в микрофлюидных устройствах., Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-11903-0
4. Андерсон, JD (2002). Современный сжимаемый поток . МакГроу-Хилл. стр. 358–359. ISBN 0-07-242443-5.
5. Лэмб (1994) §6–§7, стр. 3–6.
6. Бэтчелор (1973) с. 161.
7. Лэмб (1994) §287, стр. 492–495.
8. Фейнман, Р.П .; Лейтон, РБ ; Сэндс, М. (1964), Фейнмановские лекции по физике , том. 2, Аддисон-Уэсли, п. 40-3. Глава 40 имеет название: Поток сухой воды .
9. Бэтчелор (1973), стр. 404–405.
10. Batchelor (1973), стр. 106–108.
11. Batchelor (1973), стр. 409–413.
12. Кирала, А. (1972). Прикладные функции комплексной переменной . Уайли-Интерсайенс. стр. 116–117. ISBN 9780471511298.

Рекомендации

• Бэтчелор, Г.К. (1973), Введение в гидродинамику , Cambridge University Press, ISBN 0-521-09817-3
• Шансон, Х. (2009), Прикладная гидродинамика: введение в идеальные и реальные потоки жидкости, CRC Press, Taylor & Francisco Group, Лейден, Нидерланды, 478 страниц, ISBN 978-0-415-49271-3
• Ламб, Х. (1994) [1932], Гидродинамика (6-е изд.), Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-45868-9
• Милн-Томсон, LM (1996) [1968], Теоретическая гидродинамика (5-е изд.), Дувр, ISBN 0-486-68970-0

дальнейшее чтение

• Шансон, Х. (2007), «Le potentiel de vitesse pour les écoulements de Fluides Réels: la вклад Жозефа-Луи Лагранжа [Потенциал скорости в реальных потоках жидкости: вклад Жозефа-Луи Лагранжа]», La Houille Blanche (на французском языке) , 93 (5): 127–131, doi : 10.1051/lhb:2007072
• Вехаузен, СП ; Лайтоне, Э.В. (1960), «Поверхностные волны», во Флюгге, С .; Трусделл, К. (ред.), Энциклопедия физики, том. IX, Springer Verlag, стр. 446–778, заархивировано из оригинала 5 января 2009 г. , получено 29 марта 2009 г.

Внешние ссылки

• «Безвихревое течение невязкой жидкости». Университет Генуи , инженерный факультет . Проверено 29 марта 2009 г.
• «Галерея конформных карт». 3D-XplorMath . Проверено 29 марта 2009 г.— Java-апплеты для изучения конформных карт.
• Потенциальные визуализации потока — интерактивные веб-приложения