Ограничьте низшее и ограничьте высшее

Границы последовательности

В математике нижний и верхний предел последовательности можно рассматривать как предельные (то есть конечные и крайние) границы последовательности. Их можно рассматривать аналогичным образом для функции (см. предел функции ). Для набора они являются нижней и верхней границей предельных точек набора соответственно. В общем, когда существует несколько объектов, вокруг которых накапливается последовательность, функция или набор, нижний и верхний пределы извлекают наименьший и наибольший из них; тип объекта и мера размера зависят от контекста, но понятие крайних пределов инвариантно. Нижний предел также называется нижним пределом , нижним пределом , liminf , нижним пределом , нижним пределом или внутренним пределом ; Верхний предел также известен как верхний предел , верхний предел , лимсуп , верхний предел , верхний предел или внешний предел .

Иллюстрация верхнего и нижнего предела. Последовательность x _n показана синим цветом. Две красные кривые приближаются к верхнему и нижнему пределу x _n , показанному пунктирными черными линиями. В этом случае последовательность накапливается вокруг двух пределов. Верхний предел — больший из двух, нижний предел — меньший. Нижний и верхний пределы совпадают тогда и только тогда, когда последовательность сходится (т. е. когда существует единственный предел).

Нижний предел последовательности обозначается через ${\displaystyle (x_{n})}$

$${\displaystyle \liminf _{n\to \infty }x_{n}\quad {\text{or}}\quad \varliminf _{n\to \infty }x_{n},}$$

${\displaystyle (x_{n})}$

$${\displaystyle \limsup _{n\to \infty }x_{n}\quad {\text{or}}\quad \varlimsup _{n\to \infty }x_{n}.}$$

Определение последовательностей

The нижний предел последовательности (x _n ) определяется выражением

$${\displaystyle \liminf _{n\to \infty }x_{n}:=\lim _{n\to \infty }\!{\Big (}\inf _{m\geq n}x_{m}{\Big )}}$$

$${\displaystyle \liminf _{n\to \infty }x_{n}:=\sup _{n\geq 0}\,\inf _{m\geq n}x_{m}=\sup \,\{\,\inf \,\{\,x_{m}:m\geq n\,\}:n\geq 0\,\}.}$$

Аналогичным образом,верхний предел (x _n ) определяется формулой

$${\displaystyle \limsup _{n\to \infty }x_{n}:=\lim _{n\to \infty }\!{\Big (}\sup _{m\geq n}x_{m}{\Big )}}$$

$${\displaystyle \limsup _{n\to \infty }x_{n}:=\inf _{n\geq 0}\,\sup _{m\geq n}x_{m}=\inf \,\{\,\sup \,\{\,x_{m}:m\geq n\,\}:n\geq 0\,\}.}$$

Альтернативно иногда используются обозначения и . ${\displaystyle \varliminf _{n\to \infty }x_{n}:=\liminf _{n\to \infty }x_{n}}$ ${\displaystyle \varlimsup _{n\to \infty }x_{n}:=\limsup _{n\to \infty }x_{n}}$

Верхние и нижние пределы могут быть эквивалентно определены с использованием концепции последовательных пределов последовательности . ^[1] Элемент расширенных действительных чисел является последовательным пределом , если существует строго возрастающая последовательность натуральных чисел такая, что . Если – множество всех последующих пределов , то ${\displaystyle (x_{n})}$ ${\displaystyle \xi }$ ${\displaystyle {\overline {\mathbb {R} }}}$ ${\displaystyle (x_{n})}$ ${\displaystyle (n_{k})}$ ${\displaystyle \xi =\lim _{k\to \infty }x_{n_{k}}}$ ${\displaystyle E\subseteq {\overline {\mathbb {R} }}}$ ${\displaystyle (x_{n})}$

${\displaystyle \limsup _{n\to \infty }x_{n}=\sup E}$

и

${\displaystyle \liminf _{n\to \infty }x_{n}=\inf E.}$

Если членами последовательности являются действительные числа , верхний предел и нижний предел всегда существуют, поскольку действительные числа вместе с ±∞ (т. е. расширенная линия действительных чисел ) являются полными . В более общем плане эти определения имеют смысл в любом частично упорядоченном множестве при условии существования верхних и нижних точек , например, в полной решетке .

Всякий раз, когда существует обычный предел, нижний предел и верхний предел равны ему; следовательно, каждый из них можно рассматривать как обобщение обычного предела, что особенно интересно в тех случаях, когда предел не существует . Всякий раз, когда существуют lim inf  x _n и lim sup  x _n , мы имеем

${\displaystyle \liminf _{n\to \infty }x_{n}\leq \limsup _{n\to \infty }x_{n}.}$

Пределы нижний и верхний связаны с обозначением большого О , поскольку они ограничивают последовательность только «в пределе»; последовательность может превышать границу. Однако с обозначением big-O последовательность может превышать границу только в конечном префиксе последовательности, тогда как верхний предел последовательности типа e ^{- n} может фактически быть меньше, чем все элементы последовательности. Единственное обещание состоит в том, что некоторый хвост последовательности может быть ограничен сверху верхним пределом плюс сколь угодно малой положительной константой и ограничен снизу нижним пределом минус сколь угодно малой положительной константой.

Верхний и нижний пределы последовательности являются частным случаем функций (см. ниже).

Случай последовательностей действительных чисел

В математическом анализе верхний и нижний пределы являются важными инструментами для изучения последовательностей действительных чисел . Поскольку верхняя и нижняя грань неограниченного множества действительных чисел могут не существовать (действительные числа не являются полной решеткой), удобно рассматривать последовательности в аффинно расширенной системе действительных чисел : к вещественной прямой добавляем положительную и отрицательную бесконечности чтобы дать полное, полностью упорядоченное множество [−∞,∞], которое является полной решеткой.

Интерпретация

Рассмотрим последовательность , состоящую из действительных чисел. Предположим, что верхний предел и нижний предел являются действительными числами (то есть не бесконечными). ${\displaystyle (x_{n})}$

• Верхний предел — это наименьшее действительное число, такое, что для любого положительного действительного числа существует такое натуральное число, что для всех . Другими словами, любое число, превышающее верхний предел, является возможной верхней границей последовательности. Только конечное число элементов последовательности больше . ${\displaystyle x_{n}}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle x_{n}<b+\varepsilon }$ ${\displaystyle n>N}$ ${\displaystyle b+\varepsilon }$
• Нижний предел — это наибольшее действительное число, такое что для любого положительного действительного числа существует такое натуральное число, что для всех . Другими словами, любое число ниже нижнего предела является возможной нижней границей последовательности. Только конечное число элементов последовательности меньше . ${\displaystyle x_{n}}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle x_{n}>b-\varepsilon }$ ${\displaystyle n>N}$ ${\displaystyle b-\varepsilon }$

Характеристики

В случае ограниченной последовательности для всех почти все члены последовательности лежат в открытом интервале ${\displaystyle \epsilon >0}$ ${\displaystyle (\liminf _{n\to \infty }x_{n}-\epsilon ,\limsup _{n\to \infty }x_{n}+\epsilon ).}$

Отношения нижнего и верхнего пределов для последовательностей действительных чисел следующие:

$${\displaystyle \limsup _{n\to \infty }\left(-x_{n}\right)=-\liminf _{n\to \infty }x_{n}}$$

Как упоминалось ранее, удобно продолжить до Тогда, in сходится тогда и только тогда, когда ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle [-\infty ,\infty ].}$ ${\displaystyle \left(x_{n}\right)}$ ${\displaystyle [-\infty ,\infty ]}$

$${\displaystyle \liminf _{n\to \infty }x_{n}=\limsup _{n\to \infty }x_{n}}$$

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }x_{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ,}$ ${\displaystyle -\infty }$ ${\displaystyle \infty }$

$${\displaystyle {\begin{alignedat}{4}\liminf _{n\to \infty }x_{n}&=\infty &&\;\;{\text{ implies }}\;\;\lim _{n\to \infty }x_{n}=\infty ,\\[0.3ex]\limsup _{n\to \infty }x_{n}&=-\infty &&\;\;{\text{ implies }}\;\;\lim _{n\to \infty }x_{n}=-\infty .\end{alignedat}}}$$

Если и , то интервал не обязательно должен содержать какие-либо числа, но каждое небольшое расширение для сколь угодно малых будет содержать все индексы, кроме конечного числа. Фактически, интервал представляет собой наименьший замкнутый интервал с этим свойством. Мы можем формализовать это свойство следующим образом: существуют подпоследовательности и (где и возрастают ), для которых имеем ${\displaystyle I=\liminf _{n\to \infty }x_{n}}$ ${\displaystyle S=\limsup _{n\to \infty }x_{n}}$ ${\displaystyle [I,S]}$ ${\displaystyle x_{n},}$ ${\displaystyle [I-\epsilon ,S+\epsilon ],}$ ${\displaystyle \epsilon >0,}$ ${\displaystyle x_{n}}$ ${\displaystyle n.}$ ${\displaystyle [I,S]}$ ${\displaystyle x_{k_{n}}}$ ${\displaystyle x_{h_{n}}}$ ${\displaystyle x_{n}}$ ${\displaystyle k_{n}}$ ${\displaystyle h_{n}}$

$${\displaystyle \liminf _{n\to \infty }x_{n}+\epsilon >x_{h_{n}}\;\;\;\;\;\;\;\;\;x_{k_{n}}>\limsup _{n\to \infty }x_{n}-\epsilon }$$

С другой стороны, существует такое, что для всех ${\displaystyle n_{0}\in \mathbb {N} }$ ${\displaystyle n\geq n_{0}}$

$${\displaystyle \liminf _{n\to \infty }x_{n}-\epsilon <x_{n}<\limsup _{n\to \infty }x_{n}+\epsilon }$$

Подводя итог:

• Если оно больше верхнего предела, то существует не более конечного числа отличных, а если оно меньше, то их бесконечно много. ${\displaystyle \Lambda }$ ${\displaystyle x_{n}}$ ${\displaystyle \Lambda ;}$
• Если меньше нижнего предела, то их не более конечного числа меньше, чем если он больше, то их бесконечно много. ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle x_{n}}$ ${\displaystyle \lambda ;}$

И наоборот, можно также показать, что:

• Если существует бесконечно много значений , больших или равных , то это меньше или равно предельному пределу; если существует только конечное число значений, превышающих , то оно больше или равно предельному пределу. ${\displaystyle x_{n}}$ ${\displaystyle \Lambda }$ ${\displaystyle \Lambda }$ ${\displaystyle x_{n}}$ ${\displaystyle \Lambda }$ ${\displaystyle \Lambda }$
• Если существует бесконечно много меньших или равных , то больше или равно нижнему пределу; если существует лишь конечное число меньших , то меньше или равно нижнему пределу. ^[2] ${\displaystyle x_{n}}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle x_{n}}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \lambda }$

В общем,

$${\displaystyle \inf _{n}x_{n}\leq \liminf _{n\to \infty }x_{n}\leq \limsup _{n\to \infty }x_{n}\leq \sup _{n}x_{n}.}$$

точки кластера^[3]

• Для любых двух последовательностей действительных чисел верхний предел удовлетворяет субаддитивности всякий раз, когда определена правая часть неравенства (т. е. не или ): ${\displaystyle (a_{n}),(b_{n}),}$ ${\displaystyle \infty -\infty }$ ${\displaystyle -\infty +\infty }$
  $${\displaystyle \limsup _{n\to \infty }\,(a_{n}+b_{n})\leq \limsup _{n\to \infty }a_{n}+\ \limsup _{n\to \infty }b_{n}.}$$

Аналогично, нижний предел удовлетворяет супераддитивности :

$${\displaystyle \liminf _{n\to \infty }\,(a_{n}+b_{n})\geq \liminf _{n\to \infty }a_{n}+\ \liminf _{n\to \infty }b_{n}.}$$

${\displaystyle a_{n}\to a,}$ ${\displaystyle \limsup _{n\to \infty }a_{n}}$ ${\displaystyle \liminf _{n\to \infty }a_{n}}$ ${\displaystyle a}$

• Для любых двух последовательностей неотрицательных действительных чисел выполняются неравенства ${\displaystyle (a_{n}),(b_{n}),}$
  $${\displaystyle \limsup _{n\to \infty }\,(a_{n}b_{n})\leq \left(\limsup _{n\to \infty }a_{n}\!\right)\!\!\left(\limsup _{n\to \infty }b_{n}\!\right)}$$
  и
  $${\displaystyle \liminf _{n\to \infty }\,(a_{n}b_{n})\geq \left(\liminf _{n\to \infty }a_{n}\right)\!\!\left(\liminf _{n\to \infty }b_{n}\right)}$$

удерживать всякий раз, когда правая часть не имеет формы ${\displaystyle 0\cdot \infty .}$

Если существует (включая случай ), а затем при условии, что он не имеет вида ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}=A}$ ${\displaystyle A=+\infty }$ ${\displaystyle B=\limsup _{n\to \infty }b_{n},}$ ${\displaystyle \limsup _{n\to \infty }\left(a_{n}b_{n}\right)=AB}$ ${\displaystyle AB}$ ${\displaystyle 0\cdot \infty .}$

Примеры

• В качестве примера рассмотрим последовательность, заданную функцией синуса : Используя тот факт, что π иррационально , отсюда следует, что ${\displaystyle x_{n}=\sin(n).}$
  $${\displaystyle \liminf _{n\to \infty }x_{n}=-1}$$
  и
  $${\displaystyle \limsup _{n\to \infty }x_{n}=+1.}$$
  (Это потому, что последовательность равномерно распределена по модулю 2π , что является следствием теоремы о равнораспределении .) ${\displaystyle \{1,2,3,\ldots \}}$

• Пример из теории чисел :
  $${\displaystyle \liminf _{n\to \infty }\,(p_{n+1}-p_{n}),}$$
  где -ое простое число . ${\displaystyle p_{n}}$ ${\displaystyle n}$

Предполагается, что значение этого нижнего предела равно 2 – это гипотеза о простых числах-близнецах – но по состоянию на апрель 2014 года ^[update]было доказано , что оно меньше или равно 246. ^[4] Соответствующий верхний предел равен , потому что существуют произвольные значения. большие промежутки между последовательными простыми числами . ${\displaystyle +\infty }$

Вещественные функции

Предположим, что функция определена из подмножества действительных чисел. Как и в случае с последовательностями, нижний предел и верхний предел всегда четко определены, если мы допускаем значения +∞ и −∞; на самом деле, если оба согласны, то предел существует и равен их общему значению (опять же, возможно, включая бесконечности). Например, учитывая , мы имеем и . Разница между ними является грубой мерой того, насколько «дико» колеблется функция, и, учитывая этот факт, ее называют колебанием f в точке 0. Этой идеи колебания достаточно, например, для характеристики интегрируемой по Риману функции . функционирует как непрерывно , за исключением множества нулевой меры . ^[5] Обратите внимание, что точки ненулевых колебаний (т.е. точки, в которых f « ведёт себя плохо ») представляют собой разрывы, которые, если они не составляют набор нулей, ограничены пренебрежимо малым набором. ${\displaystyle f(x)=\sin(1/x)}$ ${\displaystyle \limsup _{x\to 0}f(x)=1}$ ${\displaystyle \liminf _{x\to 0}f(x)=-1}$

Функции от топологических пространств до полных решеток

Функции из метрических пространств

Существует понятие limsup и liminf для функций, определенных в метрическом пространстве , отношение которых к пределам вещественнозначных функций отражает отношение между limsup, liminf и пределом вещественной последовательности. Возьмем метрическое пространство , подпространство, содержащееся в нем , и функцию . Определим для любой предельной точки , ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f:E\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle E}$

${\displaystyle \limsup _{x\to a}f(x)=\lim _{\varepsilon \to 0}\left(\sup \,\{f(x):x\in E\cap B(a,\varepsilon )\setminus \{a\}\}\right)}$

и

${\displaystyle \liminf _{x\to a}f(x)=\lim _{\varepsilon \to 0}\left(\inf \,\{f(x):x\in E\cap B(a,\varepsilon )\setminus \{a\}\}\right)}$

где обозначает метрический шар радиуса около . ${\displaystyle B(a,\varepsilon )}$ ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle a}$

Обратите внимание, что при уменьшении ε верхняя граница функции по шару монотонно убывает , поэтому мы имеем

${\displaystyle \limsup _{x\to a}f(x)=\inf _{\varepsilon >0}\left(\sup \,\{f(x):x\in E\cap B(a,\varepsilon )\setminus \{a\}\}\right)}$

и аналогично

${\displaystyle \liminf _{x\to a}f(x)=\sup _{\varepsilon >0}\left(\inf \,\{f(x):x\in E\cap B(a,\varepsilon )\setminus \{a\}\}\right).}$

Функции из топологических пространств

Это, наконец, мотивирует определения общих топологических пространств . Возьмем X , E и a , как и раньше, но теперь пусть X — топологическое пространство. В этом случае мы заменяем метрические шары окрестностями :

${\displaystyle \limsup _{x\to a}f(x)=\inf \,\{\,\sup \,\{f(x):x\in E\cap U\setminus \{a\}\}:U\ \mathrm {open} ,\,a\in U,\,E\cap U\setminus \{a\}\neq \emptyset \}}$

${\displaystyle \liminf _{x\to a}f(x)=\sup \,\{\,\inf \,\{f(x):x\in E\cap U\setminus \{a\}\}:U\ \mathrm {open} ,\,a\in U,\,E\cap U\setminus \{a\}\neq \emptyset \}}$

(есть способ написать формулу, используя «lim», используя сети и фильтр соседства ). Эта версия часто бывает полезна при обсуждении полунепрерывности , которая довольно часто возникает в анализе. Интересно отметить, что эта версия включает последовательную версию, рассматривая последовательности как функции натуральных чисел как топологическое подпространство расширенной действительной линии, в пространство (замыкание N в [−∞, ∞], расширенное действительное число линия , есть  N  ∪ {∞}.)

Последовательности наборов

Набор степеней ℘( X ) множества X представляет собой полную решетку , упорядоченную по включению множества , поэтому верхняя и нижняя грань любого набора подмножеств (с точки зрения включения множества) всегда существуют. В частности, каждое подмножество Y множества X ограничено сверху X и снизу пустым множеством ∅, поскольку ∅ ⊆ Y ⊆ X . Следовательно, возможно (и иногда полезно) рассматривать верхний и нижний пределы последовательностей в ℘( X ) (т. е. последовательностей подмножеств X ).

Существует два распространенных способа определения предела последовательностей множеств. В обоих случаях:

• Последовательность накапливается вокруг наборов точек, а не отдельных точек. То есть, поскольку каждый элемент последовательности сам по себе является набором, существуют наборы накопления , которые каким-то образом близки к бесконечному множеству элементов последовательности.
• Верхний/верхний/внешний предел — это набор, который объединяет эти наборы накопления вместе. То есть это объединение всех наборов накопления. При упорядочении по включению множества верхний предел является наименьшей верхней границей набора точек накопления, поскольку он содержит каждую из них. Следовательно, это верхняя граница предельных точек.
• Нижний/нижний/внутренний предел — это набор, в котором встречаются все эти наборы накопления . То есть это пересечение всех наборов накопления. При упорядочивании по включению множества нижний предел является наибольшей нижней границей множества точек накопления, поскольку он содержится в каждой из них. Следовательно, это нижняя грань предельных точек.
• Поскольку упорядочение осуществляется путем включения множества, внешний предел всегда будет содержать внутренний предел (т. е. lim inf  X _n ⊆ lim sup  X _n ). Следовательно, при рассмотрении сходимости последовательности множеств обычно достаточно рассмотреть сходимость внешнего предела этой последовательности.

Разница между двумя определениями заключается в том, как определяется топология (т. е. как количественно оценить разделение). Фактически, второе определение идентично первому, когда дискретная метрика используется для создания топологии на X.

Общая сходимость множества

Последовательность множеств в метризуемом пространстве приближается к предельному множеству, когда элементы каждого члена последовательности приближаются к элементам предельного множества. В частности, если это последовательность подмножеств, то : ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle (X_{n})}$ ${\displaystyle X,}$

• ${\displaystyle \limsup X_{n},}$который также называется внешним пределом , состоит из тех элементов, которые являются пределами точек, взятых из (счетного) бесконечного числа . То есть, тогда и только тогда, когда существует последовательность точек и подпоследовательность таких , что и ${\displaystyle X_{n}}$ ${\displaystyle n.}$ ${\displaystyle x\in \limsup X_{n}}$ ${\displaystyle (x_{k})}$ ${\displaystyle (X_{n_{k}})}$ ${\displaystyle (X_{n})}$ ${\displaystyle x_{k}\in X_{n_{k}}}$ ${\displaystyle \lim _{k\to \infty }x_{k}=x.}$
• ${\displaystyle \liminf X_{n},}$который также называется внутренним пределом , состоит из тех элементов, которые являются пределами точек для всех, кроме конечного числа (то есть коконечного числа ). То есть тогда и только тогда, когда существует последовательность точек такая, что и ${\displaystyle X_{n}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle x\in \liminf X_{n}}$ ${\displaystyle (x_{k})}$ ${\displaystyle x_{k}\in X_{k}}$ ${\displaystyle \lim _{k\to \infty }x_{k}=x.}$

Предел существует тогда и только тогда, когда и согласованы, и в этом случае ^[6] Внешние и внутренние пределы не следует путать с теоретико-множественными пределами, высшими и нижними, поскольку последние множества не чувствительны к топологической структуре пространства. ${\displaystyle \lim X_{n}}$ ${\displaystyle \liminf X_{n}}$ ${\displaystyle \limsup X_{n}}$ ${\displaystyle \lim X_{n}=\limsup X_{n}=\liminf X_{n}.}$

Особый случай: дискретная метрика

Это определение используется в теории меры и вероятности . Дальнейшее обсуждение и примеры с теоретико-множественной точки зрения, в отличие от топологической точки зрения, обсуждаемой ниже, находятся на теоретико-множественном пределе .

Согласно этому определению, последовательность множеств приближается к предельному множеству, когда предельное множество включает элементы, которые входят во все множества последовательности, кроме конечного числа, и не включает элементы, которые входят во все, кроме конечного числа, дополнения к множествам последовательности. То есть этот случай специализируется на общем определении, когда топология на множестве X индуцируется из дискретной метрики .

В частности, для точек x , y ∈ X дискретная метрика определяется формулой

${\displaystyle d(x,y):={\begin{cases}0&{\text{if }}x=y,\\1&{\text{if }}x\neq y,\end{cases}}}$

при котором последовательность точек ( x _k ) сходится к точке x ∈ X тогда и только тогда, когда x _k = x для всех k , кроме конечного числа . Следовательно, если предельное множество существует, оно содержит точки и только те точки, которые входят во все множества последовательности, кроме конечного числа. Поскольку сходимость в дискретной метрике является самой строгой формой сходимости (т. е. требует больше всего), это определение предельного множества является самым строгим из возможных.

Если ( X _n ) — последовательность подмножеств X , то всегда существуют следующие условия:

• lim sup  X _n состоит из элементов X , принадлежащих X _n для бесконечного числа n (см . счетное число ). То есть x ∈ lim sup  _X n _{тогда и только тогда ,} когда существует подпоследовательность ( Xnk ₎ из ( Xn ₎ такая, что x ∈ Xnk для всех _k .
• lim inf  X _n состоит из элементов X , которые принадлежат X _n для всех, кроме конечного числа n (т. е. для коконечного числа n ). То есть x ∈ lim inf  X _n тогда и только тогда, когда существует такое m > 0, что x ∈ X _n для всех n > m .

Заметим, что x ∈ lim sup  X _n тогда и только тогда, когда x ∉ lim inf  X _n ^c .

• lim  X _n существует тогда и только тогда, когда lim inf  X _n и lim sup  X _n совпадают, и в этом случае lim  X _n = lim sup  X _n = lim inf  X _n .

В этом смысле последовательность имеет предел до тех пор, пока каждая точка X либо появляется во всех, кроме конечного числа Xn _, ^{либо появляется во всех ,} кроме конечного _числа Xnc .^[7]

Используя стандартный язык теории множеств, включение множеств обеспечивает частичное упорядочение совокупности всех подмножеств X , что позволяет пересечению множеств для создания наибольшей нижней границы и объединению множеств для создания наименьшей верхней границы. Таким образом, нижняя граница или граница набора подмножеств является наибольшей нижней границей, а верхняя граница или соединение — наименьшей верхней границей. В этом контексте внутренний предел lim inf  X _n — это наибольшее совпадение хвостов последовательности, а внешний предел lim sup  X _n — это наименьшее соединение хвостов последовательности. Нижеследующее поясняет это.

• Пусть I _n будет пересечением n- ^го хвоста последовательности. То есть,

${\displaystyle {\begin{aligned}I_{n}&=\inf \,\{X_{m}:m\in \{n,n+1,n+2,\ldots \}\}\\&=\bigcap _{m=n}^{\infty }X_{m}=X_{n}\cap X_{n+1}\cap X_{n+2}\cap \cdots .\end{aligned}}}$

Последовательность ( I _n ) неубывающая (т. е. I _n ⊆ I _{n +1} ), поскольку каждое I _{n +1} является пересечением меньшего числа множеств, чем I _n . Наименьшая верхняя граница этой последовательности встреч решек равна

${\displaystyle {\begin{aligned}\liminf _{n\to \infty }X_{n}&=\sup \,\{\,\inf \,\{X_{m}:m\in \{n,n+1,\ldots \}\}:n\in \{1,2,\dots \}\}\\&=\bigcup _{n=1}^{\infty }\left({\bigcap _{m=n}^{\infty }}X_{m}\right)\!.\end{aligned}}}$

Таким образом, предельная нижняя грань содержит все подмножества, которые являются нижними границами для всех множеств последовательности, кроме конечного числа.

• Аналогично, пусть J _n — объединение n ^-го хвоста последовательности. То есть,

${\displaystyle {\begin{aligned}J_{n}&=\sup \,\{X_{m}:m\in \{n,n+1,n+2,\ldots \}\}\\&=\bigcup _{m=n}^{\infty }X_{m}=X_{n}\cup X_{n+1}\cup X_{n+2}\cup \cdots .\end{aligned}}}$

Последовательность ( Jn ₎ невозрастающая (т.е. Jn ⊇ Jn _{+1 )} , поскольку каждое _Jn + _{1 представляет} собой объединение меньшего числа множеств, _чем Jn . Наибольшая нижняя граница этой последовательности соединений хвостов равна

${\displaystyle {\begin{aligned}\limsup _{n\to \infty }X_{n}&=\inf \,\{\,\sup \,\{X_{m}:m\in \{n,n+1,\ldots \}\}:n\in \{1,2,\dots \}\}\\&=\bigcap _{n=1}^{\infty }\left({\bigcup _{m=n}^{\infty }}X_{m}\right)\!.\end{aligned}}}$

Таким образом, предельная верхняя грань содержится во всех подмножествах, которые являются верхними границами для всех множеств последовательности, кроме конечного числа.

Примеры

Ниже приведены несколько примеров сходимости множеств. Они разбиты на разделы в зависимости от метрики, используемой для создания топологии на множестве X.

Использование дискретной метрики

• Лемма Бореля – Кантелли является примером применения этих конструкций.

Использование дискретной метрики или евклидовой метрики

• Рассмотрим множество X = {0,1} и последовательность подмножеств:

${\displaystyle (X_{n})=(\{0\},\{1\},\{0\},\{1\},\{0\},\{1\},\dots ).}$

«Нечетные» и «четные» элементы этой последовательности образуют две подпоследовательности: ({0}, {0}, {0},...) и ({1}, {1}, {1},... ), которые имеют предельные точки 0 и 1 соответственно, поэтому внешний или верхний предел — это набор {0,1} этих двух точек. Однако не существует предельных точек, которые можно было бы взять из последовательности ( X _n ) в целом, поэтому внутренним или нижним пределом является пустое множество { }. То есть,

• lim суп  X _n = {0,1}
• lim инф  X _n = { }

Однако для ( Y _n ) = ({0}, {0}, {0}, ...) и ( Z _n ) = ({1}, {1}, {1}, ...):

• lim sup  Y _n = lim inf  Y _n = lim  Y _n = {0}
• lim sup  Z _n = lim inf  Z _n = lim  Z _n = {1}

• Рассмотрим множество X = {50, 20, −100, −25, 0, 1} и последовательность подмножеств:

${\displaystyle (X_{n})=(\{50\},\{20\},\{-100\},\{-25\},\{0\},\{1\},\{0\},\{1\},\{0\},\{1\},\dots ).}$

Как и в двух предыдущих примерах,

• lim суп  X _n = {0,1}
• lim инф  X _n = { }

То есть четыре элемента, не соответствующие шаблону, не влияют на lim inf и lim sup, поскольку их число конечно. Фактически, эти элементы могут быть размещены в любом месте последовательности. Пока сохраняются хвосты последовательности, внешние и внутренние пределы не изменятся. Связанные концепции существенных внутренних и внешних пределов, в которых используются существенная верхняя граница и существенная нижняя грань , обеспечивают важную модификацию, которая «сжимает» счетное количество (а не просто конечное множество) промежуточных дополнений.

Использование евклидовой метрики

• Рассмотрим последовательность подмножеств рациональных чисел :

${\displaystyle (X_{n})=(\{0\},\{1\},\{1/2\},\{1/2\},\{2/3\},\{1/3\},\{3/4\},\{1/4\},\dots ).}$

«Нечетные» и «четные» элементы этой последовательности образуют две подпоследовательности ({0}, {1/2}, {2/3}, {3/4}, ...) и ({1}, { 1/2}, {1/3}, {1/4}, ...), которые имеют предельные точки 1 и 0 соответственно, и поэтому внешний или верхний предел - это набор {0,1} из этих двух точки. Однако не существует предельных точек, которые можно было бы взять из последовательности ( X _n ) в целом, поэтому внутренним или нижним пределом является пустое множество { }. Итак, как и в предыдущем примере,

• lim суп  X _n = {0,1}
• lim инф  X _n = { }

Однако для ( Y _n ) = ({0}, {1/2}, {2/3}, {3/4}, ...) и ( Z _n ) = ({1}, {1/2 }, {1/3}, {1/4}, ...):

• lim sup  Y _n = lim inf  Y _n = lim  Y _n = {1}
• lim sup  Z _n = lim inf  Z _n = lim  Z _n = {0}

В каждом из этих четырех случаев элементы предельных множеств не являются элементами ни одного из множеств исходной последовательности.

• Предел Ω (т. е. предельное множество ) решения динамической системы является внешним пределом траекторий решения системы. ^{[6] : 50–51} Поскольку траектории становятся все ближе и ближе к этому предельному множеству, хвосты этих траекторий сходятся к предельному множеству.

• Например, система ЛТИ, представляющая собой каскадное соединение нескольких устойчивых систем с незатухающей системой ЛТИ второго порядка (т. е. с нулевым коэффициентом затухания ), после возмущения будет бесконечно колебаться (например, идеальный колокол после удара). Следовательно, если положение и скорость этой системы сопоставлены друг с другом, траектории будут приближаться к кругу в пространстве состояний . Этот круг, который является предельным множеством Ω системы, является внешним пределом траекторий решения системы. Круг представляет собой точку траектории, соответствующей выходному чисто синусоидальному тону; то есть выходной сигнал системы приближается к чистому тону.

Обобщенные определения

Приведенные выше определения недостаточны для многих технических приложений. Фактически, приведенные выше определения являются специализацией следующих определений.

Определение набора

Нижний предел множества X  ⊆  Y — это нижняя грань всех предельных точек набора. То есть,

${\displaystyle \liminf X:=\inf \,\{x\in Y:x{\text{ is a limit point of }}X\}\,}$

Точно так же верхний предел X является верхней границей всех предельных точек набора. То есть,

${\displaystyle \limsup X:=\sup \,\{x\in Y:x{\text{ is a limit point of }}X\}\,}$

Обратите внимание, что для того, чтобы эти определения имели смысл, множество X необходимо определить как подмножество частично упорядоченного множества Y , которое также является топологическим пространством . Более того, это должна быть полная решетка , чтобы всегда существовали верхние и нижние точки. В этом случае каждый набор имеет верхний и нижний предел. Также обратите внимание, что нижний предел и верхний предел набора не обязательно должны быть элементами набора.

Определение баз фильтров

Возьмем топологическое пространство X и базу фильтров B в этом пространстве. Набор всех точек кластера для этой базы фильтров определяется выражением

${\displaystyle \bigcap \,\{{\overline {B}}_{0}:B_{0}\in B\}}$

где закрытие . _ _ Очевидно, это замкнутое множество , аналогичное множеству предельных точек множества. Предположим, что X также является частично упорядоченным множеством . Верхний предел базы фильтра B определяется как ${\displaystyle {\overline {B}}_{0}}$ ${\displaystyle B_{0}}$

${\displaystyle \limsup B:=\sup \,\bigcap \,\{{\overline {B}}_{0}:B_{0}\in B\}}$

когда эта супремум существует. Когда X имеет полный порядок , является полной решеткой и имеет порядковую топологию ,

${\displaystyle \limsup B=\inf \,\{\sup B_{0}:B_{0}\in B\}.}$

Аналогично, нижний предел базы фильтра B определяется как

${\displaystyle \liminf B:=\inf \,\bigcap \,\{{\overline {B}}_{0}:B_{0}\in B\}}$

когда эта нижняя грань существует; если X полностью упорядочен, является полной решеткой и имеет порядковую топологию, то

${\displaystyle \liminf B=\sup \,\{\inf B_{0}:B_{0}\in B\}.}$

Если нижний предел и верхний предел совпадают, то должна быть ровно одна точка кластера, и предел базы фильтра равен этой уникальной точке кластера.

Специализация на последовательностях и сетях

Обратите внимание, что базы фильтров являются обобщениями сетей , которые являются обобщениями последовательностей . Следовательно, эти определения также дают нижний и верхний предел любой сети (и, следовательно, любой последовательности). Например, возьмем топологическое пространство и сеть , где – направленное множество и для всех . База фильтра («хвостов»), сгенерированная этой сетью, определяется выражением ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle (x_{\alpha })_{\alpha \in A}}$ ${\displaystyle (A,{\leq })}$ ${\displaystyle x_{\alpha }\in X}$ ${\displaystyle \alpha \in A}$ ${\displaystyle B}$

${\displaystyle B:=\{\{x_{\alpha }:\alpha _{0}\leq \alpha \}:\alpha _{0}\in A\}.\,}$

Следовательно, нижний предел и верхний предел сети равны верхнему и нижнему пределу соответственно . Аналогично для топологического пространства возьмем последовательность где для любого . База фильтра («хвостов»), сгенерированная этой последовательностью, определяется выражением ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle (x_{n})}$ ${\displaystyle x_{n}\in X}$ ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ ${\displaystyle C}$

${\displaystyle C:=\{\{x_{n}:n_{0}\leq n\}:n_{0}\in \mathbb {N} \}.\,}$

Следовательно, нижний предел и верхний предел последовательности равны верхнему и нижнему пределу соответственно . ${\displaystyle C}$

Смотрите также

• Эссенциальная нижняя грань и эссенциальная супремум
• Конверт (волны)
• Односторонний лимит
• Производные Дини
• Теоретико-множественный предел

Рекомендации

1. Рудин, В. (1976). Принципы математического анализа. Нью-Йорк: МакГроу-Хилл. п. 56. ИСБН 007054235X.
2. Глисон, Эндрю М. (1992). Основы абстрактного анализа . Бока-Ратон, Флорида. стр. 176–177. ISBN 978-1-4398-6481-4. ОСЛК  1074040561.{{cite book}}: CS1 maint: location missing publisher (link)
3. Глисон, Эндрю М. (1992). Основы абстрактного анализа . Бока-Ратон, Флорида. стр. 160–182. ISBN 978-1-4398-6481-4. ОСЛК  1074040561.{{cite book}}: CS1 maint: location missing publisher (link)
4. «Ограниченные промежутки между простыми числами». Полимат вики . Проверено 14 мая 2014 г.^{[ ненадежный источник? ]}
5. «Критерий Лебега интегрируемости по Риману (конспекты лекций MATH314)» (PDF) . Виндзорский университет . Архивировано из оригинала (PDF) 3 марта 2007 г. Проверено 24 февраля 2006 г.
6. Гебель, Рафаль; Санфеличе, Рикардо Г.; Тил, Эндрю Р. (2009). «Гибридные динамические системы». Журнал IEEE Control Systems . 29 (2): 28–93. дои : 10.1109/MCS.2008.931718.
7. Халмос, Пол Р. (1950). Теория меры . Принстон, Нью-Джерси: D. Van Nostand Company, Inc.

• Аманн, Х.; Эшер, Иоахим (2005). Анализ . Базель; Бостон: Биркхойзер. ISBN 0-8176-7153-6.
• Гонсалес, Марио О (1991). Классический комплексный анализ . Нью-Йорк: М. Деккер. ISBN 0-8247-8415-4.

Внешние ссылки

• «Верхний и нижний пределы», Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]