Приближение Блэка

В финансах приближение Блэка — это приблизительный метод расчета стоимости американского опциона колл на акции, выплачивающие один дивиденд . Он был описан Фишером Блэком в 1975 году. ^[1]

Формула Блэка-Шоулза (далее «Формула BS») представляет собой явное уравнение для стоимости опциона колл на акции, не выплачивающие дивиденды. В случае, если акция выплачивает один или несколько дискретных дивидендов, закрытая формула неизвестна, но можно использовать несколько приближений, иначе придется решать УЧП Блэка-Шоулза численно. Одно из таких приближений описано здесь. См. также модель Блэка–Шоулза#Американские опционы .

По сути, этот метод предполагает использование формулы BS для расчета стоимости двух европейских опционов колл:
(1) Европейский колл с тем же сроком погашения, что и оцениваемый американский колл, но с ценой акций, уменьшенной на приведенную стоимость дивиденда, и
(2) Европейский колл, срок действия которого истекает за день до выплаты дивидендов. За приблизительное значение американского колла принимается наибольшее из (1) и (2). См. пример в стороне. Полученное значение иногда называют «псевдоамериканским» значением вызова.

Приложение

Рассмотрим американский опцион колл с датами выплаты дивидендов через 3 и 5 месяцев и сроком действия 6 месяцев. Ожидается, что в каждую дату после выплаты дивидендов будет выплачено 0,70 доллара США. Дополнительная информация представлена ​​ниже. Найдите стоимость американского опциона колл.

${\displaystyle {\begin{aligned}S_{0}&=\$40\\X&=\$40\\\sigma &=30\%\;p.a.\\r&=10\%\;p.a.\\T&=6\;months=.5\;years\\D&=\$0.70\\\end{aligned}}}$

Во-первых, нам нужно произвести расчет на основе двух методов, представленных выше в разделе «Методы». Здесь мы рассчитаем обе части:

(1) Это первый метод расчета, который гласит:

Европейский колл с тем же сроком погашения, что и оцениваемый американский колл, но с ценой акции, уменьшенной на приведенную стоимость дивиденда.

${\displaystyle {\begin{aligned}PV&=D_{1}e^{-(r)({\frac {\Delta t_{1}}{m}})}+D_{2}e^{-(r)({\frac {\Delta t_{2}}{m}})}\end{aligned}}}$

где

${\displaystyle PV}$— чистая приведенная стоимость дивидендов на дату без выплаты дивидендов (мы используем даты без выплаты дивидендов, потому что в эту дату цена акций снижается на сумму дивиденда)

${\displaystyle D_{1,2}}$дивиденды на даты без дивидендов

${\displaystyle r}$— безрисковая рыночная ставка, которую в этом примере мы будем считать постоянной.

${\displaystyle \Delta t_{1,2}}$количество времени до экс-дивидендной даты

${\displaystyle m}$коэффициент деления, позволяющий довести Δt до полного года. (пример = 2 месяца, = 12 месяцев, следовательно = 2/12 = 0,166667) ${\displaystyle \Delta t}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle {\frac {\Delta t}{m}}}$

${\displaystyle e}$является показательной функцией.

Применяя эту формулу к вопросу:

${\displaystyle {\begin{aligned}0.7e^{-(.1)({\frac {3}{12}})}+0.7e^{-(.1)({\frac {5}{12}})}=1.3541\end{aligned}}}$

Таким образом, цена опциона может быть рассчитана с использованием модели Блэка-Шоулза -Мертона, в которой будут дисконтированы дивиденды, которые я обозначим через для новой стоимости: ${\displaystyle S_{0}}$ ${\displaystyle S_{0}'}$

${\displaystyle S_{0}'=40-1.3541=38.6459}$

Остальные переменные остаются прежними. Теперь нам нужно вычислить d ₁ и d _2, используя эти формулы.

${\displaystyle {\begin{aligned}C&=S_{0}N(d_{1})-Xe^{-r(T)}N(d_{2})\\d_{1}&={\frac {\left[\ln \left({\frac {S_{0}}{X}}\right)+\left(r+{\frac {\sigma ^{2}}{2}}\right)(T)\right]}{\sigma {\sqrt {T}}}}\\d_{2}&=d_{1}-\sigma {\sqrt {T}}\end{aligned}}}$

где,

${\displaystyle N(\cdot )}$- кумулятивная функция распределения стандартного нормального распределения

${\displaystyle T}$пришло время взросления

${\displaystyle S_{0}}$текущая цена базового актива

${\displaystyle X}$это страйк-цена

${\displaystyle r}$— безрисковая ставка (годовая ставка, выраженная в терминах непрерывного начисления процентов )

${\displaystyle \sigma }$это волатильность доходности базового актива

Вводя значения получаем:

${\displaystyle {\begin{aligned}d_{1}&={\frac {\left[\ln \left({\frac {38.6459}{40}}\right)+\left(0.1+{\frac {0.3^{2}}{2}}\right)(0.5)\right]}{0.3{\sqrt {0.5}}}}=0.1794\\d_{2}&=0.1794-0.3{\sqrt {0.5}}=-0.0327\\N(d_{1})&=0.5712\\N(d_{2})&=0.4870\\C&=38.6459(0.5712)-40e^{-0.1(0.5)}(0.4870)=3.5446\approx \$3.54\end{aligned}}}$

(2) Это второй метод расчета, который гласит:

Европейский колл, срок действия которого истекает за день до выплаты дивидендов.

Этот метод начинается так же, как предыдущий метод, за исключением того, что срок погашения этого опциона устанавливается на последний срок перед выплатой последнего дивиденда (то есть второй дивиденд в пятом месяце):

${\displaystyle {\begin{aligned}PV&=D_{1}e^{-(r)({\frac {\Delta t_{1}}{m}})}\end{aligned}}}$

По большей части переменные остаются прежними, за исключением времени до погашения, которое равно:

${\displaystyle {\begin{aligned}T&=5\;months=.4167\;years\end{aligned}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}PV&=0.7e^{-(0.1)({\frac {3}{12}})}=0.6827\\S_{0}'&=40-0.6827=39.3173\\d_{1}&={\frac {\left[\ln \left({\frac {39.3173}{40}}\right)+\left(0.1+{\frac {0.3^{2}}{2}}\right)(0.4167)\right]}{0.3{\sqrt {0.4167}}}}=0.2231\\d_{2}&=0.2231-0.3{\sqrt {0.4167}}=0.0294\\N(d_{1})&=0.5883\\N(d_{2})&=0.5117\\C&=39.3173(0.5883)-40e^{-0.1(0.4167)}(0.5117)=3.4997\approx \$3.50\end{aligned}}}$

Вспоминая цену метода (1) из метода (2), мы видим, что цена американского опциона колл, согласно приближению Фишера Блэка, является большей из двух методов, следовательно, цена опциона = . ${\displaystyle \$3.54>\$3.50}$ ${\displaystyle \$3.54}$

Рекомендации

• Халл, Джон К. (1997). Опционы, фьючерсы и другие производные финансовые инструменты . Прентис Холл. ISBN 0-13-601589-1.

1. Ф. Блэк: Факты и фантазии в использовании вариантов, FAJ, июль – август 1975 г., стр.36.