stringtranslate.com

Борда граф

Метод Борда или порядок заслуг — это позиционное правило голосования , которое дает каждому кандидату количество баллов, равное количеству кандидатов, находящихся ниже него в рейтинге: кандидат с самым низким рейтингом получает 0 баллов, второй по рангу — 1 балл и т. д. После подсчета всех голосов победителем становится вариант или кандидат с наибольшим количеством баллов.

Система Борда разрабатывалась независимо несколько раз, впервые предложенная в 1435 году Николаем Кузанским (см. Историю ниже), [1] [2] [примечание 1], но названа в честь французского математика и военно-морского инженера XVIII века Жана-Шарля де Борда , который разработал эту систему в 1770 году. [3]

Подсчет Борда хорошо известен в теории общественного выбора как своими приятными теоретическими свойствами, так и легкостью манипулирования. При отсутствии стратегического голосования и стратегического выдвижения кандидатов подсчет Борда имеет тенденцию выбирать широко приемлемые варианты или кандидатов (вместо того, чтобы последовательно следовать предпочтениям большинства); [4] когда и модели голосования, и модели выдвижения кандидатов полностью случайны, подсчет Борда обычно имеет исключительно высокую эффективность социальной полезности . [5] Однако метод весьма уязвим к эффектам спойлера , когда есть кластеры похожих кандидатов. [5] В частности, обработка некоторых реализаций равноранговых или усеченных бюллетеней может стимулировать стратегии разведения индеек . [6] [7]

Традиционный метод Борда в настоящее время используется для избрания двух членов Национальной ассамблеи Словении от этнических меньшинств , [7] в измененных формах для определения того, какие кандидаты избираются на места по партийным спискам на парламентских выборах в Исландии , [ нужна ссылка ] и для отбора кандидатов на президентских выборах в Кирибати . [8] Вариант, известный как система Даудалла, используется для избрания членов парламента Науру . [9] До начала 1970-х годов другой вариант использовался в Финляндии для отбора отдельных кандидатов в партийных списках. [ нужна ссылка ] Он также широко используется во всем мире различными частными организациями и конкурсами.

Система квот Борда представляет собой пропорциональный вариант с несколькими победителями .

Голосование и подсчет голосов

Бюллетень для голосования

Подсчет Борда — это ранжированная система голосования : избиратель ранжирует список кандидатов в порядке предпочтения. Так, например, избиратель ставит 1 своему наиболее предпочтительному кандидату, 2 своему второму по предпочтению кандидату и т. д. В этом отношении это то же самое, что и выборы в таких системах, как мгновенное голосование , единый передаваемый голос или методы Кондорсе . Целочисленные ранги для оценки кандидатов были обоснованы Лапласом , который использовал вероятностную модель, основанную на законе больших чисел .

Система подсчета Борда классифицируется как позиционная система голосования , то есть все предпочтения подсчитываются, но с разными значениями; другая широко используемая позиционная система — это система относительного большинства , которая присваивает только один балл лучшему кандидату.

Каждому кандидату присваивается количество баллов из каждого бюллетеня, равное количеству кандидатов, которым он или она отданы в предпочтение, так что при n кандидатах каждый получает n – 1 балл за первое предпочтение, n – 2 за второе и т. д. [10] Победителем становится кандидат с наибольшим общим количеством баллов. Например, при выборах с четырьмя кандидатами количество баллов, присваиваемых за предпочтения, выраженные избирателем в одном бюллетене, может быть:

Предположим, что есть 3 избирателя: U , V и W , из которых U и V ранжируют кандидатов в порядке ABCD, а W ранжирует их в порядке BCDA.

Таким образом, Брайан был избран.

Ниже представлен более подробный пример, основанный на вымышленных выборах в столицу штата Теннесси.

Характеристики

Выборы как оценочные процедуры

Кондорсе рассматривал выборы как попытку объединить оценщики. Предположим, что у каждого кандидата есть показатель заслуг, а у каждого избирателя есть шумная оценка ценности каждого кандидата. Бюллетень позволяет избирателю ранжировать кандидатов в порядке предполагаемых заслуг. Целью выборов является получение объединенной оценки лучшего кандидата. Такая оценка может быть более надежной, чем любой из ее отдельных компонентов. Применяя этот принцип к решениям присяжных, Кондорсе вывел свою теорему о том, что достаточно большое жюри всегда будет принимать правильное решение. [11]

Пейтон Янг показал, что подсчет Борда дает приблизительно оценку максимального правдоподобия лучшего кандидата. [5] Его теорема предполагает, что ошибки независимы, другими словами, если избиратель высоко оценивает конкретного кандидата, то нет причин ожидать, что он будет высоко оценивать «похожих» кандидатов. Если это свойство отсутствует — если избиратель дает коррелированные рейтинги кандидатам с общими атрибутами — то свойство максимального правдоподобия теряется, и подсчет Борда сильно подвержен эффектам номинации : кандидат с большей вероятностью будет избран, если в бюллетене есть похожие кандидаты.

Эффект нерелевантных кандидатов

Выборы по версии Борда
Выборы по версии Борда

Подсчет Борда особенно подвержен искажению из-за присутствия кандидатов, которые сами по себе не принимаются во внимание, даже когда избиратели находятся вдоль спектра. Системы голосования, которые удовлетворяют критерию Кондорсе , защищены от этой слабости, поскольку они автоматически удовлетворяют теореме о медианном избирателе , которая гласит, что победителем выборов станет кандидат, которого предпочитает медианный избиратель, независимо от того, какие другие кандидаты баллотируются.

Предположим, что имеется 11 избирателей, чьи позиции по спектру можно записать как 0, 1, ..., 10, и предположим, что имеется 2 кандидата, Эндрю и Брайан, чьи позиции показаны:

Медианный избиратель Марлен находится на позиции 5, и оба кандидата находятся справа от нее, поэтому мы ожидаем, что будет избран А. Мы можем проверить это для системы Борда, построив таблицу, иллюстрирующую подсчет. Основная часть таблицы показывает избирателей, которые предпочитают первого кандидата второму, как указано в заголовках строк и столбцов, в то время как дополнительный столбец справа дает баллы за первого кандидата.

А действительно избран.

Но теперь предположим, что в выборах участвуют еще два кандидата, расположенные правее.

Таблица подсчета расширяется следующим образом:

Вступление двух подставных кандидатов позволяет B выиграть выборы. Подобные примеры привели маркиза де Кондорсе к утверждению, что подсчет Борда «обязательно приведет к ошибке», поскольку он « полагается на не имеющие отношения к делу факторы для формирования своих суждений». [9]

Другие свойства

Существует ряд формализованных критериев системы голосования , результаты которых обобщены в следующей таблице.



Моделирование показывает, что у Борды высокая вероятность выбора победителя по Кондорсе, если таковой существует, при отсутствии стратегического голосования и с бюллетенями, ранжирующими всех кандидатов. [1] [9]

Равные ранги

Было предложено несколько различных методов обработки связанных рангов. Их можно проиллюстрировать с помощью выборов 4 кандидатов, обсуждавшихся ранее.

Влияние на стратегию

Модифицированные методы Борда и турнирные методы Борда, а также методы Борда, не допускающие равных рейтингов, хорошо известны своим катастрофическим поведением в ответ на тактическое голосование, реакцию, называемую « выборами индейки» . [6] Французская академия наук (членом которой был Борда) экспериментировала с системой Борда, но отказалась от нее, отчасти потому, что «избиратели нашли способ манипулировать правилом Борда». [13] В ответ на вопрос о стратегической манипуляции в подсчете Борда г-н де Борда сказал: [14] [13] [15]

Я не вникаю в то, что нужно людям.
Моя схема предназначена только для честных мужчин.

Несмотря на отказ от правила округления Борда, оно имеет существенно менее серьезную реакцию на тактическое голосование, чем турнир или . Тактическое голосование состоит из относительно мягкого голосования пулей , которое только заставляет гонку вести себя как нечто среднее между большинством голосов и честным подсчетом Борда, а не производить потенциальные выборы индейки. В Словении, где используется эта форма правила, примерно 42% избирателей ранжируют второе предпочтение. [16]

Принудительное усечение

Некоторые реализации голосования по методу Борда требуют, чтобы избиратели обрезали свои бюллетени до определенной длины:

Многократные победители

Система, изобретенная Бордой, была предназначена для использования на выборах с одним победителем, но также возможно провести подсчет Борды с более чем одним победителем, признав желаемое количество кандидатов с наибольшим количеством очков победителями. Другими словами, если нужно заполнить два места, то побеждают два кандидата с наибольшим количеством очков; на трехместных выборах — три кандидата с наибольшим количеством очков и т. д. В Науру, где используется многоместный вариант подсчета Борды, используются парламентские округа из двух и четырех мест.

Система квот Борда — это система пропорционального представительства в многомандатных округах, которая использует подсчет Борда. Система STV-B Криса Геллера использует квоты подсчета голосов для выборов, но исключает кандидата с самым низким баллом Борда; система Geller-STV не пересчитывает баллы Борда после частичной передачи голосов, то есть частичная передача голосов влияет на силу голоса для выборов, но не для исключения. [ необходима ссылка ]

Связанные системы

Методы Нансона и Болдуина являются методами голосования, соответствующими Кондорсе, основанными на счете Борда. Оба они проводятся как серии раундов выбывания, аналогичные голосованию с мгновенным выбыванием . В первом случае в каждом раунде каждый кандидат с баллом Борда ниже среднего выбывает; во втором случае выбывает кандидат с самым низким баллом. В отличие от подсчета Борда, Нансон и Болдуин являются методами мажоритарной системы и Кондорсе, поскольку они используют тот факт, что победитель по Кондорсе всегда имеет балл Борда выше среднего относительно других кандидатов, а проигравший по Кондорсе — балл Борда ниже среднего. [19] Однако они не являются монотонными.

Возможность тактической манипуляции

Подсчеты Борды уязвимы для манипуляций как тактическим голосованием, так и стратегическим выдвижением. Система Даудолла может быть более устойчивой, основываясь на наблюдениях в Кирибати, использующих модифицированный подсчет Борды, по сравнению с Науру, использующими систему Даудолла, [8] но до сих пор было проведено мало исследований по системе Науру.

Тактическое голосование

Подсчеты Борды необычайно уязвимы для тактического голосования , даже по сравнению с большинством других систем голосования. [20] Избиратели, которые голосуют тактически, а не через свои истинные предпочтения, будут более влиятельными; что еще более тревожно, если все начнут голосовать тактически, результат, как правило, приближается к большой ничьей, которая будет решена полуслучайно. Когда избиратель использует компромисс , он неискренне повышает позицию второго или третьего кандидата по сравнению с кандидатом первого выбора, чтобы помочь кандидату второго выбора победить кандидата, который ему нравится еще меньше. Когда избиратель использует похороны , избиратели могут помочь более предпочтительному кандидату, неискренне понизив позицию менее предпочтительного кандидата в своем бюллетене. Объединение обеих этих стратегий может быть эффективным, особенно по мере увеличения числа кандидатов на выборах. Например, если есть два кандидата, которых избиратель считает наиболее вероятными победителями, избиратель может максимизировать свое влияние на борьбу между этими фаворитами, поставив кандидата, который ему нравится больше, на первое место, а кандидата, который ему нравится меньше, на последнее место. Если ни один из фаворитов не является его искренним первым или последним выбором, избиратель использует и тактику компромисса, и тактику захоронения одновременно; если достаточное количество избирателей использует такие стратегии, то результат больше не будет отражать искренние предпочтения электората.

В качестве примера того, насколько эффективным может быть тактическое голосование, предположим, что группа из 100 человек планирует поездку на восточное побережье Северной Америки. Они решают использовать подсчет Борда, чтобы проголосовать за город, который они посетят. Три кандидата — Нью-Йорк , Орландо и Икалуит . 48 человек предпочитают Орландо/Нью-Йорк/Икалуит; 44 человека предпочитают Нью-Йорк/Орландо/Икалуит; 4 человека предпочитают Икалуит/Нью-Йорк/Орландо; и 4 человека предпочитают Икалуит/Орландо/Нью-Йорк. Если каждый проголосует за свое истинное предпочтение, результат будет следующим:

  1. Орландо:
  2. Нью-Йорк:
  3. Икалуит:

Если избиратели Нью-Йорка поймут, что они, скорее всего, проиграют, и все согласятся тактически изменить свои заявленные предпочтения в пользу Нью-Йорка/Икалуита/Орландо, похоронив Орландо, то этого будет достаточно, чтобы изменить результат в их пользу:

  1. Нью-Йорк:
  2. Орландо:
  3. Икалуит:

В этом примере только нескольким избирателям Нью-Йорка нужно было изменить свои предпочтения, чтобы повлиять на этот результат, потому что он был настолько близок – достаточно было бы всего пяти избирателей, если бы все остальные по-прежнему голосовали за свои истинные предпочтения. Однако, если избиратели Орландо поймут, что избиратели Нью-Йорка планируют тактическое голосование, они тоже могут тактически проголосовать за Орландо/Икалуит/Нью-Йорк. Однако, когда все избиратели Нью-Йорка и все избиратели Орландо сделают это, будет получен удивительный новый результат:

  1. Икалуит:
  2. Орландо:
  3. Нью-Йорк:

Тактическое голосование перекорректировалось, и теперь явный вариант последнего места представляет угрозу для победы, при этом все три варианта очень близки. Тактическое голосование полностью скрыло истинные предпочтения группы, превратив их в большую почти ничью.

Стратегическое выдвижение

Подсчет Борда крайне уязвим для формы стратегического выдвижения, называемой объединением или клонированием . Это означает, что когда больше кандидатов баллотируются со схожими идеологиями, вероятность победы одного из этих кандидатов увеличивается. Это проиллюстрировано на примере «Эффект нерелевантных альтернатив» выше. Поэтому, согласно подсчету Борда, фракции выгодно выдвинуть как можно больше кандидатов. Например, даже на выборах по одномандатному округу политической партии было бы выгодно выставить на выборах как можно больше кандидатов. В этом отношении подсчет Борда отличается от многих других систем с одним победителем, таких как система большинства « первый победитель », в которой политическая фракция оказывается в невыгодном положении, выдвигая слишком много кандидатов. В таких системах, как плюрализм, « разделение » голосов партии таким образом может привести к эффекту спойлера , что снижает шансы любого из кандидатов фракции быть избранным.

По словам депутата Роланда Куна , в Науру используется стратегическое выдвижение, при котором фракции выдвигают несколько «буферных кандидатов», которые, как ожидается, не победят, чтобы снизить результаты своих основных конкурентов. [9] Однако эффект этого стратегического выдвижения значительно снижается за счет использования гармонической прогрессии вместо простой арифметической прогрессии . Поскольку гармонический ряд не ограничен, теоретически возможно избрать любого кандидата (независимо от того, насколько он непопулярен), выдвинув достаточное количество клонов. На практике количество клонов, необходимых для этого, вероятно, превысит общую численность населения Науру.

Пример

  • в
  • т
  • е

Теннесси и его четыре крупных города: Мемфис на крайнем западе; Нэшвилл в центре; Чаттануга на востоке; и Ноксвилл на крайнем северо-востоке

Предположим, что Теннесси проводит выборы по месту расположения своей столицы . Население сосредоточено вокруг четырех крупных городов. Все избиратели хотят, чтобы столица была как можно ближе к ним. Возможны следующие варианты:

Предпочтения избирателей каждого региона таковы:


Таким образом, предполагается, что избиратели отдают предпочтение кандидатам в порядке близости к их родному городу. Мы получаем следующие баллы на 100 избирателей:

Соответственно, избирается Нэшвилл.

Даудолл

Согласно правилам Дауделла таблица будет выглядеть следующим образом:

Согласно обычным правилам Борды, «Нэшвилл» победит.

Текущее использование

Политическое использование

Подсчет Борда используется для некоторых политических выборов в Словении и микронезийском государстве Кирибати . Аналогичное правило используется в Науру .

В Словении система подсчета голосов Борда используется для избрания двух из девяноста членов Национальной ассамблеи: один член представляет избирательный округ этнических итальянцев, другой — избирательный округ венгерского меньшинства.

Члены парламента Науру избираются на основе варианта подсчета голосов Борда, который предполагает два отклонения от обычной практики:

  1. многомандатные избирательные округа, состоящие из двух или четырех мест
  2. формула распределения баллов, которая включает в себя все меньшие доли баллов для каждого рейтинга, а не целые баллы.

В Кирибати президент (или Беретитенти ) избирается по системе относительного большинства, но для выбора трех или четырех кандидатов для участия в выборах используется вариант подсчета Борда. Избирательный округ состоит из членов законодательного органа ( Манеаба ). Избиратели в законодательном органе оценивают только четырех кандидатов, а все остальные кандидаты получают ноль очков. Начиная с 1991 года, тактическое голосование стало важной особенностью процесса выдвижения кандидатов.

Республика Науру стала независимой от Австралии в 1968 году. До обретения независимости и в течение трех лет после этого в Науру использовалась система мгновенного голосования, импортированная из Австралии, но с 1971 года используется вариант подсчета голосов Борда.

Измененный подсчет Борды использовался Зелёной партией Ирландии для избрания своего председателя. [21] [22]

Подсчет Борда использовался в неправительственных целях на некоторых мирных конференциях в Северной Ирландии, где он использовался для содействия достижению консенсуса между участниками, включая членов Шинн Фейн , ольстерских юнионистов и политического крыла UDA . [ необходима ссылка ]

Другие применения

Подсчет голосов Борда используется на выборах некоторыми образовательными учреждениями в Соединенных Штатах:

Подсчет голосов Борда используется на выборах некоторыми профессиональными и техническими обществами:

Совет по рассмотрению архитектуры OpenGL использует подсчет Борда как один из методов отбора функций.

Счет Борда используется для определения победителей конкурса World Champion of Public Speaking , организованного Toastmasters International . Судьи предлагают рейтинг трех лучших ораторов, присуждая им три очка, два очка и один очко соответственно. Все кандидаты без рейтинга получают ноль очков.

Модифицированный подсчет Борда используется для выборов президента комитета-члена AIESEC от Соединенных Штатов .

На конкурсе песни «Евровидение» используется сильно измененная форма подсчета Борда с другим распределением баллов: в каждом голосовании учитываются только десять лучших заявок, фаворит получает 12 баллов, занявший второе место — 10 баллов, а остальные восемь заявок получают баллы от 8 до 1. Хотя система была разработана в пользу явного победителя, она привела к очень напряженным гонкам и даже ничьей.

Счетчик Борда используется для оценки винных кубков Австралийским обществом виноградарства и энологии , а также на соревнованиях по автономному робототехническому футболу RoboCup в Центре вычислительных технологий Бременского университета в Германии .

В Законе об ассоциациях Финляндии перечислены три различные модификации подсчета Борда для проведения пропорциональных выборов. Все модификации используют дроби, как в Науру. Финская ассоциация может также выбрать другие методы выборов. [24]

Спортивные награды

Счет Борда — популярный метод присуждения спортивных наград. В Америке используется:

В поиске информации

Подсчет Борда был предложен как метод ранговой агрегации в информационном поиске , в котором документы ранжируются в соответствии с несколькими критериями, а затем полученные рейтинги объединяются в составной рейтинг. В этом методе критерии ранжирования рассматриваются как избиратели, а совокупный рейтинг является результатом применения подсчета Борда к их «бюллетеням». [26]

Аналогия со спортивными турнирами

Спортивные турниры часто стремятся составить рейтинг участников попарных матчей, в каждом из которых за победу присуждается одно очко, за ничью — пол-очка, а за поражение — никаких очков. (Иногда баллы удваиваются как 2/1/0.) Это аналогично подсчету Борда, в котором каждое предпочтение, выраженное одним избирателем между двумя кандидатами, эквивалентно спортивному событию; это также аналогично методу Коупленда, предполагающему, что общее предпочтение избирателей между двумя кандидатами заменяет спортивное событие. Эта система подсчета очков была принята для международных шахмат примерно в середине девятнадцатого века и Английской футбольной лигой в 1888–1889 годах.

История

Считается, что система подсчета Борда разрабатывалась независимо по крайней мере четыре раза:

Смотрите также

Примечания

  1. ^ На самом деле система Николаса использовала более высокие числа для более предпочтительных кандидатов.
  2. ↑ Статья появилась в издании Histoire 1781 года , и сам Борда утверждал, что он опубликовал эти идеи еще в 1770 году, но 1784 год, по-видимому, является правильной датой атрибуции. Брайан, Э., «Кондорсе и Борда в 1784 году. Несоответствия и документы», Электронный журнал по истории вероятности и статистики, том 4, № 1 (июнь 2008 г.).

Ссылки

  1. ^ Эмерсон, Питер (16 января 2016 г.). От правила большинства к инклюзивной политике. Springer. ISBN 978-3-319-23500-4.
  2. ^ Эмерсон, Питер (1 февраля 2013 г.). «Оригинальный подсчет Борда и частичное голосование». Social Choice and Welfare . 40 (2): 353–358. doi :10.1007/s00355-011-0603-9. ISSN  0176-1714. S2CID  29826994.
  3. ^ Маклин, Уркен и Хьюитт 1995, стр. 81.
  4. ^ Липпман, Дэвид. «Теория голосования» (PDF) . Математика в обществе. Подсчет Борда иногда описывается как система голосования на основе консенсуса, поскольку иногда он может выбрать более приемлемый вариант, а не тот, который пользуется поддержкой большинства.
  5. ^ abc Young, HP (декабрь 1988 г.). «Теория голосования Кондорсе». American Political Science Review . 82 (4): 1231–1244. doi :10.2307/1961757. JSTOR  1961757. S2CID  14908863.
  6. ^ ab Monroe, Burt (сентябрь 2001 г.). Выращивание индеек: расширение и разрушительное применение равновесия голосования Майерсона-Вебера (PDF) . Американская ассоциация политической науки.
  7. ^ ab "Избирательный закон Словении". www.minelres.lv . Архивировано из оригинала 4 марта 2016 года . Получено 15 июня 2009 года .
  8. ^ ab Reilly, Benjamin (2002). «Социальный выбор в южных морях: электоральные инновации и подсчет Борда в странах тихоокеанских островов». International Political Science Review . 23 (4): 364–366. CiteSeerX 10.1.1.924.3992 . doi :10.1177/0192512102023004002. S2CID  3213336. 
  9. ^ abcd Френкель, Джон; Грофман, Бернард (3 апреля 2014 г.). «Счет Борда и его реальные альтернативы: сравнение правил подсчета очков в Науру и Словении». Australian Journal of Political Science . 49 (2): 186–205. doi :10.1080/10361146.2014.900530. S2CID  153325225.
  10. ^ Блэк, Дункан (1987) [1958]. Теория комитетов и выборов. Springer Science & Business Media. ISBN 978-0-89838-189-4.
  11. ^ Пакуит, Эрик (3 августа 2011 г.). Залта, Эдвард Н. (ред.). «Методы голосования». Стэнфордская энциклопедия философии (осеннее издание 2019 г.).
  12. ^ Народицкая, Нина; Уолш, Тоби (2014), Вычислительное воздействие частичных голосов на стратегическое голосование , Frontiers in Artificial Intelligence and Applications, т. 263, стр. 657–662, arXiv : 1405.7714 , doi : 10.3233/978-1-61499-419-0-657 , S2CID  15652786
  13. ^ ab McLean, Urken & Hewitt 1995, стр. 40.
  14. ^ Блэк, Дункан (1987) [1958]. Теория комитетов и выборов. Springer Science & Business Media. ISBN 978-0-89838-189-4.
  15. ^ Маскарт, Жан (1919). Жизнь и труды кавалера Жан-Шарля де Борда (1733–1799). Эпизоды научной жизни XVIII века. Лион: А. Рей. п. 130.
  16. ^ Френкель, Джон; Грофман, Бернард (3 апреля 2014 г.). «Счет Борда и его реальные альтернативы: сравнение правил подсчета очков в Науру и Словении». Australian Journal of Political Science . 49 (2): 186–205. doi :10.1080/10361146.2014.900530. S2CID  153325225.
  17. ^ Рейли, Бенджамин (2002). «Социальный выбор в южных морях: электоральные инновации и подсчет Борда в тихоокеанских островных странах» (PDF) . International Political Science Review . 23 (4): 355–372. doi :10.1177/0192512102023004002. Архивировано из оригинала (PDF) 19 августа 2006 г.
  18. ^ "Правила конкурса речей с 1 июля 2017 г. по 30 июня 2018 г.". Toastmasters International . 2017. Архивировано из оригинала 23 февраля 2020 г.
  19. ^ Кондратьев, Алексей Ю.; Нестеров, Александр С. (2018). «Слабый критерий взаимного большинства для правил голосования» (PDF) . S2CID  49317238 – через www.cs.rpi.edu.
  20. ^ Грин-Армитедж, Джеймс; Тайдман, Т. Николаус; Косман, Рафаэль (август 2015 г.). «Статистическая оценка правил голосования». Социальный выбор и благосостояние . 46 : 183–212. doi :10.1007/s00355-015-0909-0.
  21. ^ "Системы голосования". www.deborda.org . Архивировано из оригинала 16 мая 2008 года.
  22. ^ Эмерсон, Питер (2007). «Коллективное принятие решений: Модифицированный подсчет Борда, MBC». Разработка всеобъемлющей демократии: процедуры голосования по согласию для использования в парламентах, советах и ​​комитетах . Springer Science & Business Media. стр. 15–38. ISBN 978-3-540-33164-3.
  23. ^ Бергер, Джона С. (10 сентября 2018 г.). «Совет бакалавриата принимает новый метод голосования на выборах». The Harvard Crimson . Получено 13 апреля 2024 г.
  24. ^ "Закон об ассоциациях Финляндии". Национальный совет по патентам и регистрации Финляндии. Архивировано из оригинала 1 марта 2013 года . Получено 26 июня 2011 года .
  25. ^ "Heisman Trophy Balloting". Heisman Trophy. Архивировано из оригинала 20 сентября 2009 года.
  26. ^ Дворк, Синтия ; Кумар, Рави; Наор, Мони ; Сивакумар, Д. (май 2001 г.). «Методы ранговой агрегации для Интернета». Труды 10-й международной конференции по Всемирной паутине . стр. 613–622. doi :10.1145/371920.372165. ISBN 1-58113-348-0. S2CID  8393813.
  27. ^ Маклин 1990, стр. 102.
  28. ^ Маклин 1990, стр. 105–106.
  29. ^ Маклин 2019.
  30. ^ Маклин 2019, стр. 123–124.

Цитируемые работы

Дальнейшее чтение

Внешние ссылки