Процесс Орнштейна – Уленбека

Случайный процесс, моделирующий случайное блуждание с трением

Пять симуляций с θ = 1, σ = 1 и µ = 0.

3D-моделирование с θ = 1, σ = 3, µ = (0, 0, 0) и начальной позицией (10, 10, 10).

В математике процесс Орнштейна-Уленбека представляет собой стохастический процесс , имеющий приложения в финансовой математике и физических науках. Его первоначальное применение в физике заключалось в моделировании скорости массивной броуновской частицы под действием трения. Он назван в честь Леонарда Орнштейна и Джорджа Юджина Уленбека .

Процесс Орнштейна-Уленбека является стационарным процессом Гаусса-Маркова , что означает, что это гауссовский процесс , марковский процесс и он однороден во времени. Фактически, это единственный нетривиальный процесс, который удовлетворяет этим трем условиям, вплоть до возможности линейных преобразований пространственных и временных переменных. ^[1] Со временем процесс имеет тенденцию смещаться к своей средней функции: такой процесс называется возвратом к среднему значению .

Этот процесс можно рассматривать как модификацию случайного блуждания в непрерывном времени или процесса Винера , в котором свойства процесса были изменены так, что существует тенденция блуждания вернуться к центральному местоположению с большее притяжение, когда процесс находится дальше от центра. Процесс Орнштейна – Уленбека также можно рассматривать как аналог процесса AR(1) с непрерывным временем .

Определение

Упрощенная формула процесса Орнштейна-Уленбека из фрески, показанной ниже.

Коллектив голландских художников De Strakke Hand: фреска Леонарда Орнштейна, изображающая Орнштейна как соучредителя Голландского физического общества ( Нидерландское физическое общество ) за своим столом в 1921 году и иллюстрирующая двойное случайное блуждание пьяницы с помощью упрощенной формулы Орнштейна-Уленбека. процесс. Остеркаде, Утрехт, Нидерланды, недалеко от лаборатории Орнштейна. Переведенный текст: Профессор Орнштейн исследует случайное движение, 1930 год.

Процесс Орнштейна – Уленбека определяется следующим стохастическим дифференциальным уравнением : ${\displaystyle x_{t}}$

${\displaystyle dx_{t}=-\theta \,x_{t}\,dt+\sigma \,dW_{t}}$

где и – параметры и обозначает винеровский процесс . ^{[2] [3] [4]} ${\displaystyle \theta >0}$ ${\displaystyle \sigma >0}$ ${\displaystyle W_{t}}$

Иногда добавляется дополнительный термин дрейфа:

${\displaystyle dx_{t}=\theta (\mu -x_{t})\,dt+\sigma \,dW_{t}}$

где константа. Процесс Орнштейна – Уленбека иногда также записывают как уравнение Ланжевена вида ${\displaystyle \mu }$

${\displaystyle {\frac {dx_{t}}{dt}}=-\theta \,x_{t}+\sigma \,\eta (t)}$

где , также известный как белый шум , представляет собой предполагаемую производную винеровского процесса. ^[5] Однако его не существует, поскольку винеровский процесс нигде не дифференцируем, и поэтому уравнение Ланжевена, строго говоря, является лишь эвристическим. ^[6] В физике и инженерных дисциплинах это обычное представление процесса Орнштейна-Уленбека и подобных стохастических дифференциальных уравнений, молчаливо предполагающее, что шумовой член является производной дифференцируемой (например, Фурье) интерполяции винеровского процесса. ${\displaystyle \eta (t)}$ ${\displaystyle dW_{t}/dt}$ ${\displaystyle dW_{t}/dt}$

Представление уравнения Фоккера – Планка

Процесс Орнштейна-Уленбека также можно описать с помощью функции плотности вероятности , которая определяет вероятность нахождения процесса в состоянии в момент времени . ^[5] Эта функция удовлетворяет уравнению Фоккера–Планка ${\displaystyle P(x,t)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle t}$

${\displaystyle {\frac {\partial P}{\partial t}}=\theta {\frac {\partial }{\partial x}}(xP)+D{\frac {\partial ^{2}P}{\partial x^{2}}}}$

где . Это линейное параболическое уравнение в частных производных , которое можно решить различными методами. Вероятность перехода, также известная как функция Грина , представляет собой гауссовую величину со средним значением и дисперсией : ${\displaystyle D=\sigma ^{2}/2}$ ${\displaystyle P(x,t\mid x',t')}$ ${\displaystyle x'e^{-\theta (t-t')}}$ ${\displaystyle {\frac {D}{\theta }}\left(1-e^{-2\theta (t-t')}\right)}$

${\displaystyle P(x,t\mid x',t')={\sqrt {\frac {\theta }{2\pi D(1-e^{-2\theta (t-t')})}}}\exp \left[-{\frac {\theta }{2D}}{\frac {(x-x'e^{-\theta (t-t')})^{2}}{1-e^{-2\theta (t-t')}}}\right]}$

Это дает вероятность возникновения состояния в момент времени при заданном начальном состоянии в момент времени . Эквивалентно, это решение уравнения Фоккера – Планка с начальным условием . ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle x'}$ ${\displaystyle t'<t}$ ${\displaystyle P(x,t\mid x',t')}$ ${\displaystyle P(x,t')=\delta (x-x')}$

Математические свойства

В зависимости от конкретного значения среднее значение равно ${\displaystyle x_{0}}$

${\displaystyle \operatorname {\mathbb {E} } (x_{t}\mid x_{0})=x_{0}e^{-\theta t}+\mu (1-e^{-\theta t})}$

и ковариация _

${\displaystyle \operatorname {cov} (x_{s},x_{t})={\frac {\sigma ^{2}}{2\theta }}\left(e^{-\theta |t-s|}-e^{-\theta (t+s)}\right).}$

Для стационарного (безусловного) процесса среднее значение равно , а ковариация и равно . ${\displaystyle x_{t}}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle x_{s}}$ ${\displaystyle x_{t}}$ ${\displaystyle {\frac {\sigma ^{2}}{2\theta }}e^{-\theta |t-s|}}$

Процесс Орнштейна-Уленбека является примером гауссова процесса , который имеет ограниченную дисперсию и допускает стационарное распределение вероятностей , в отличие от процесса Винера ; разница между ними заключается в их термине «дрейф». Для процесса Винера член дрейфа является постоянным, тогда как для процесса Орнштейна-Уленбека он зависит от текущего значения процесса: если текущее значение процесса меньше (долгосрочного) среднего значения, дрейф будет позитивный; если текущее значение процесса превышает (долгосрочное) среднее значение, дрейф будет отрицательным. Другими словами, среднее значение действует как уровень равновесия для процесса. Это дало процессу информативное название «возврат к среднему».

Свойства образцов путей

Однородный во времени процесс Орнштейна – Уленбека можно представить как масштабированный, преобразованный во времени процесс Винера :

${\displaystyle x_{t}={\frac {\sigma }{\sqrt {2\theta }}}e^{-\theta t}W_{e^{2\theta t}}}$

где – стандартный винеровский процесс. Это примерно соответствует теореме 1.2 из Doob 1942. Эквивалентно, с заменой переменной это становится ${\displaystyle W_{t}}$ ${\displaystyle s=e^{2\theta t}}$

${\displaystyle W_{s}={\frac {\sqrt {2\theta }}{\sigma }}s^{1/2}x_{(\ln s)/(2\theta )},\qquad s>0}$

Используя это отображение, можно перевести известные свойства в соответствующие утверждения для . Например, закон повторного логарифма для принимает вид ^[1] ${\displaystyle W_{t}}$ ${\displaystyle x_{t}}$ ${\displaystyle W_{t}}$

${\displaystyle \limsup _{t\to \infty }{\frac {x_{t}}{\sqrt {(\sigma ^{2}/\theta )\ln t}}}=1,\quad {\text{with probability 1.}}}$

Формальное решение

Стохастическое дифференциальное уравнение для можно формально решить вариацией параметров . ^[7] Написание ${\displaystyle x_{t}}$

${\displaystyle f(x_{t},t)=x_{t}e^{\theta t}\,}$

мы получаем

${\displaystyle {\begin{aligned}df(x_{t},t)&=\theta \,x_{t}\,e^{\theta t}\,dt+e^{\theta t}\,dx_{t}\\[6pt]&=e^{\theta t}\theta \,\mu \,dt+\sigma \,e^{\theta t}\,dW_{t}.\end{aligned}}}$

Интегрируя от до, получаем ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle t}$

${\displaystyle x_{t}e^{\theta t}=x_{0}+\int _{0}^{t}e^{\theta s}\theta \,\mu \,ds+\int _{0}^{t}\sigma \,e^{\theta s}\,dW_{s}\,}$

после чего мы видим

${\displaystyle x_{t}=x_{0}\,e^{-\theta t}+\mu \,(1-e^{-\theta t})+\sigma \int _{0}^{t}e^{-\theta (t-s)}\,dW_{s}.\,}$

Из этого представления видно , что первый момент (т. е. среднее значение) равен

${\displaystyle \operatorname {E} (x_{t})=x_{0}e^{-\theta t}+\mu (1-e^{-\theta t})\!\ }$

предполагается, что оно постоянно. Более того, изометрию Ито можно использовать для расчета ковариационной функции по формуле ${\displaystyle x_{0}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {cov} (x_{s},x_{t})&=\operatorname {E} [(x_{s}-\operatorname {E} [x_{s}])(x_{t}-\operatorname {E} [x_{t}])]\\[5pt]&=\operatorname {E} \left[\int _{0}^{s}\sigma e^{\theta (u-s)}\,dW_{u}\int _{0}^{t}\sigma e^{\theta (v-t)}\,dW_{v}\right]\\[5pt]&=\sigma ^{2}e^{-\theta (s+t)}\operatorname {E} \left[\int _{0}^{s}e^{\theta u}\,dW_{u}\int _{0}^{t}e^{\theta v}\,dW_{v}\right]\\[5pt]&={\frac {\sigma ^{2}}{2\theta }}\,e^{-\theta (s+t)}(e^{2\theta \min(s,t)}-1)\\[5pt]&={\frac {\sigma ^{2}}{2\theta }}\left(e^{-\theta |t-s|}-e^{-\theta (t+s)}\right).\end{aligned}}}$

Поскольку интеграл Ито детерминированного подынтегрального выражения нормально распределен, отсюда ^{следует , что}

${\displaystyle x_{t}=x_{0}e^{-\theta t}+\mu (1-e^{-\theta t})+{\tfrac {\sigma }{\sqrt {2\theta }}}W_{1-e^{-2\theta t}}}$

Уравнения Колмогорова

Инфинитезимальный генератор процесса ^[8]

$${\displaystyle Lf=-\theta (x-\mu )f'+{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}f''}$$

${\displaystyle y=x{\sqrt {\frac {2\mu }{\sigma ^{2}}}}}$

$${\displaystyle {\frac {d^{2}}{dy^{2}}}\phi -y{\frac {d}{dy}}\phi +{\frac {\lambda }{\mu }}\phi =0}$$

полиномов Эрмита ${\displaystyle \phi (y)=He_{n}(y)}$ ${\displaystyle \lambda =n\mu }$ ${\displaystyle \mu ^{-1}}$

Численное моделирование

Используя дискретно выбранные данные через временные интервалы шириной , оценки максимального правдоподобия для параметров процесса Орнштейна-Уленбека асимптотически нормальны к их истинным значениям. ^[9] Точнее, ^{[ не удалось проверить ]} ${\displaystyle t}$

$${\displaystyle {\sqrt {n}}\left({\begin{pmatrix}{\widehat {\theta }}_{n}\\{\widehat {\mu }}_{n}\\{\widehat {\sigma }}_{n}^{2}\end{pmatrix}}-{\begin{pmatrix}\theta \\\mu \\\sigma ^{2}\end{pmatrix}}\right)\xrightarrow {d} \ {\mathcal {N}}\left({\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}{\frac {e^{2t\theta }-1}{t^{2}}}&0&{\frac {\sigma ^{2}(e^{2t\theta }-1-2t\theta )}{t^{2}\theta }}\\0&{\frac {\sigma ^{2}\left(e^{t\theta }+1\right)}{2\left(e^{t\theta }-1\right)\theta }}&0\\{\frac {\sigma ^{2}(e^{2t\theta }-1-2t\theta )}{t^{2}\theta }}&0&{\frac {\sigma ^{4}\left[\left(e^{2t\theta }-1\right)^{2}+2t^{2}\theta ^{2}\left(e^{2t\theta }+1\right)+4t\theta \left(e^{2t\theta }-1\right)\right]}{t^{2}\left(e^{2t\theta }-1\right)\theta ^{2}}}\end{pmatrix}}\right)}$$

Четыре выборочных пути различных OU-процессов с θ  = 1, σ  =  : синий : начальное значение a  = 10, μ  = 0 оранжевый : начальное значение a  = 0, μ  = 0 зеленый : начальное значение a  = −10, μ  = 0 красный : начальное значение a  = 0, μ  = −10 ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$

Чтобы численно смоделировать процесс OU со стандартным отклонением и временем корреляции , одним из методов является применение формулы конечных разностей. ${\displaystyle \Sigma }$ ${\displaystyle \Theta }$

$${\displaystyle x(t+dt)=x(t)-\Theta \,dt\,x(t)+\Sigma {\sqrt {2\,dt\,\Theta }}\nu _{i}}$$

^[10] ${\displaystyle \nu _{i}}$ ${\displaystyle dt}$

Интерпретация предела масштабирования

Процесс Орнштейна-Уленбека можно интерпретировать как предел масштабирования дискретного процесса, точно так же, как броуновское движение является пределом масштабирования случайных блужданий . Рассмотрим урну, содержащую синие и желтые шары. На каждом этапе случайным образом выбирается шар и заменяется шаром противоположного цвета. Пусть – количество синих шаров в урне после шагов. Затем по закону сходится к процессу Орнштейна – Уленбека, стремясь к бесконечности. Это было получено Марком Кацем . ^[11] ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle X_{k}}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle {\frac {X_{[nt]}-n/2}{\sqrt {n}}}}$ ${\displaystyle n}$

Эвристически это можно получить следующим образом.

Пусть , и мы получим стохастическое дифференциальное уравнение в пределе . Первый вывод ${\displaystyle X_{t}^{(n)}:={\frac {X_{[nt]}-n/2}{\sqrt {n}}}}$ ${\displaystyle n\to \infty }$

$${\displaystyle \Delta t=1/n,\quad \Delta X_{t}^{(n)}=X_{t+\Delta t}^{(n)}-X_{t}^{(n)}.}$$

${\displaystyle \Delta X_{t}^{(n)}}$ ${\displaystyle -2X_{t}^{(n)}\Delta t}$ ${\displaystyle \Delta t}$ ${\displaystyle n\to \infty }$ ${\displaystyle dX_{t}=-2X_{t}\,dt+dW_{t}}$ ${\displaystyle X_{0}}$ ${\displaystyle X_{t}=e^{-2t}W_{e^{4t}}}$

Приложения

Шумный релакс

Процесс Орнштейна-Уленбека является прототипом шумного процесса релаксации . Каноническим примером является пружина Гука ( гармонический осциллятор ) с жесткостью пружины , динамика которой перезатухает коэффициентом трения . При наличии тепловых колебаний с температурой длина пружины колеблется вокруг длины покоя пружины ; его стохастическая динамика описывается процессом Орнштейна–Уленбека с ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle x(t)}$ ${\displaystyle x_{0}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\theta &=k/\gamma ,\\\mu &=x_{0},\\\sigma &={\sqrt {2k_{B}T/\gamma }},\end{aligned}}}$

где получено из уравнения Стокса–Эйнштейна для эффективной константы диффузии. ^{[12] [13]} Эта модель использовалась для характеристики движения броуновской частицы в оптической ловушке . ^{[13] [14]} ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle D=\sigma ^{2}/2=k_{B}T/\gamma }$

В состоянии равновесия пружина сохраняет среднюю энергию в соответствии с теоремой о равнораспределении . ^[15] ${\displaystyle \langle E\rangle =k\langle (x-x_{0})^{2}\rangle /2=k_{B}T/2}$

По финансовой математике

Процесс Орнштейна-Уленбека используется в модели процентной ставки Васичека . ^[16] Процесс Орнштейна-Уленбека является одним из нескольких подходов, используемых для стохастического моделирования (с модификациями) процентных ставок, курсов обмена валют и цен на сырьевые товары. Параметр представляет собой равновесное или среднее значение, поддерживаемое фундаментальными показателями ; степень волатильности вокруг него, вызванная шоками , и скорость, с которой эти шоки рассеиваются и переменная возвращается к среднему значению. Одним из применений этого процесса является торговая стратегия, известная как парная торговля . ^{[17] [18] [19]} ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle \theta }$

Дальнейшая реализация процесса Орнштейна-Уленбека была предложена Марчелло Миненной для моделирования доходности акций в условиях динамики логнормального распределения . Это моделирование направлено на определение доверительного интервала для прогнозирования явлений рыночного злоупотребления . ^{[20] [21]}

В эволюционной биологии

Процесс Орнштейна-Уленбека был предложен как улучшение модели броуновского движения для моделирования изменения фенотипов организма с течением времени. ^[22] Модель броуновского движения предполагает, что фенотип может двигаться без ограничений, тогда как для большинства фенотипов естественный отбор требует затрат за слишком далекое движение в любом направлении. Метаанализ 250 временных рядов ископаемых фенотипов показал, что модель Орнштейна-Уленбека лучше всего подходит для 115 (46%) исследованных временных рядов, подтверждая застой как общую эволюционную закономерность. ^[23] Тем не менее, существуют определенные проблемы с его использованием: механизмы выбора модели часто склонны отдавать предпочтение процессу OU без достаточной поддержки, а ничего не подозревающий специалист по данным легко может неверно истолковать его. ^[24]

Обобщения

Можно определить управляемый Леви процесс Орнштейна – Уленбека , в котором фоновым движущим процессом является процесс Леви, а не процесс Винера: ^{[25] [26]}

${\displaystyle dx_{t}=-\theta \,x_{t}\,dt+\sigma \,dL_{t}}$

Здесь дифференциал процесса Винера заменен дифференциалом процесса Леви . ${\displaystyle W_{t}}$ ${\displaystyle L_{t}}$

Кроме того, в финансах используются стохастические процессы, при которых волатильность увеличивается при больших значениях . В частности, процесс CKLS (Чан-Каройи-Лонгстафф-Сандерс) ^[27] с заменой члена волатильности на может быть решен в замкнутой форме для , а также для , что соответствует традиционному процессу OU. Другим частным случаем является , который соответствует модели Кокса–Ингерсолла–Росса (CIR-модель). ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \sigma \,x^{\gamma }\,dW_{t}}$ ${\displaystyle \gamma =1}$ ${\displaystyle \gamma =0}$ ${\displaystyle \gamma =1/2}$

Высшие измерения

Многомерная версия процесса Орнштейна – Уленбека, обозначаемая N -мерным вектором , может быть определена как ${\displaystyle \mathbf {x} _{t}}$

${\displaystyle d\mathbf {x} _{t}=-{\boldsymbol {\beta }}\,\mathbf {x} _{t}\,dt+{\boldsymbol {\sigma }}\,d\mathbf {W} _{t}.}$

где – N -мерный винеровский процесс, и – постоянные матрицы размера N × N. ^[28] Решение ${\displaystyle \mathbf {W} _{t}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\beta }}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}}$

${\displaystyle \mathbf {x} _{t}=e^{-{\boldsymbol {\beta }}t}\mathbf {x} _{0}+\int _{0}^{t}e^{-{\boldsymbol {\beta }}(t-t')}{\boldsymbol {\sigma }}\,d\mathbf {W} _{t'}}$

и среднее значение

${\displaystyle \operatorname {E} (\mathbf {x} _{t})=e^{-{\boldsymbol {\beta }}t}\operatorname {E} (\mathbf {x} _{0}).}$

В этих выражениях используется матричная экспонента .

Процесс также можно описать с помощью функции плотности вероятности , которая удовлетворяет уравнению Фоккера–Планка ^[29] ${\displaystyle P(\mathbf {x} ,t)}$

${\displaystyle {\frac {\partial P}{\partial t}}=\sum _{i,j}\beta _{ij}{\frac {\partial }{\partial x_{i}}}(x_{j}P)+\sum _{i,j}D_{ij}{\frac {\partial ^{2}P}{\partial x_{i}\,\partial x_{j}}}.}$

где матрица с компонентами определяется как . Что касается 1d случая, то процесс представляет собой линейное преобразование гауссовских случайных величин и, следовательно, сам должен быть гауссовским. По этой причине вероятность перехода представляет собой гауссову величину, которую можно записать явно. Если действительные части собственных значений больше нуля, кроме того, существует стационарное решение, определяемое формулой ${\displaystyle {\boldsymbol {D}}}$ ${\displaystyle D_{ij}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {D}}={\boldsymbol {\sigma }}{\boldsymbol {\sigma }}^{T}/2}$ ${\displaystyle P(\mathbf {x} ,t\mid \mathbf {x} ',t')}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\beta }}}$ ${\displaystyle P_{\text{st}}(\mathbf {x} )}$

${\displaystyle P_{\text{st}}(\mathbf {x} )=(2\pi )^{-N/2}(\det {\boldsymbol {\omega }})^{-1/2}\exp \left(-{\frac {1}{2}}\mathbf {x} ^{T}{\boldsymbol {\omega }}^{-1}\mathbf {x} \right)}$

где матрица определяется из уравнения Ляпунова . ^[5] ${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\beta }}{\boldsymbol {\omega }}+{\boldsymbol {\omega }}{\boldsymbol {\beta }}^{T}=2{\boldsymbol {D}}}$

Смотрите также

• Стохастическое исчисление
• Винеровский процесс
• Гауссов процесс
• Математические финансы
• Модель процентных ставок Васичека
• Краткосрочная модель
• Диффузия
• Теорема о флуктуации-диссипации
• Уравнение Клейна – Крамерса

Примечания

1. Дуб 1942.
2. Карацас и Шрив 1991, с. 358.
3. Гард 1988, с. 115.
4. Гардинер 1985.
5. Рискен 1989.
6. Лоулер 2006.
7. Гардинер 1985, с. 106.
8. Холмс-Серфон, Миранда (2022). «Лекция 12: Подробные методы баланса и собственных функций» (PDF) .
9. Айт-Сахалия 2002, стр. 223–262.
10. Клоден, Платен и Шурц 1994.
11. Иглхарт 1968.
12. Нёрреликке и Фливбьерг 2011.
13. Герлих и др. 2021.
14. Ли и др. 2019.
15. Нельсон 1967.
16. Бьорк 2009, стр. 375, 381.
17. Люнг и Ли 2016.
18. Преимущества парной торговли: рыночный нейтралитет
19. Схема Орнштейна-Уленбека для парной торговли
20. «Обнаружение злоупотреблений на рынке». Журнал «Риск». 2 ноября 2004 г.
21. «Обнаружение рыночных злоупотреблений на финансовых рынках: количественный подход». Consob – Итальянская комиссия по ценным бумагам и биржам.
22. Мартинс 1994, стр. 193–209.
23. Хант 2007.
24. Корнюо 2022.
25. Йесперсен, Мецлер и Фогедби 1999.
26. Финк и Клуппельберг 2011.
27. Чан и др. 1992.
28. Гардинер 1985, с. 109.
29. Гардинер 1985, с. 97.

Рекомендации

• Айт-Сахалия, Ю. (апрель 2002 г.). «Оценка максимального правдоподобия дискретно выбранной диффузии: подход аппроксимации в закрытой форме». Эконометрика . 70 (1): 223–262. дои : 10.1111/1468-0262.00274.
• Биббона, Э.; Панфило, Г.; Тавелла, П. (2008). «Процесс Орнштейна-Уленбека как модель белого шума с фильтрацией нижних частот». Метрология . 45 (6): С117–С126. Бибкод : 2008Metro..45S.117B. дои : 10.1088/0026-1394/45/6/S17. hdl : 2318/58227 . S2CID  56160285.
• Бьорк, Томас (2009). Теория арбитража в непрерывном времени (3-е изд.). Издательство Оксфордского университета. ISBN 978-0-19-957474-2.
• Чан, КЦ; Каройи, Джорджия; Лонгстафф, ФА; Сандерс, AB (1992). «Эмпирическое сравнение альтернативных моделей краткосрочной процентной ставки». Журнал финансов . 47 (3): 1209–1227. дои : 10.1111/j.1540-6261.1992.tb04011.x .
• Корнюо, Жослен (2022). «Байесовский анализ сравнительных данных с помощью модели Орнштейна – Уленбека: потенциальные ловушки». Систематическая биология . 71 (6): 1524–1540. doi : 10.1093/sysbio/syac036. ПМЦ  9558839 . ПМИД  35583306.
• Дуб, Дж. Л. (апрель 1942 г.). «Броуновское движение и стохастические уравнения». Анналы математики . 43 (2): 351–369. дои : 10.2307/1968873. ISSN  0003-486X. JSTOR  1968873.
• Финк, Хольгер; Клуппельберг, Клаудия (01 февраля 2011 г.). «Дробные процессы Орнштейна – Уленбека, управляемые Леви, и стохастические дифференциальные уравнения». Бернулли . 17 (1). arXiv : 1102.1830 . дои : 10.3150/10-bej281. ISSN  1350-7265. S2CID  9269536.
• Хант, Г. (14 ноября 2007 г.). «Относительная важность изменения направления, случайных блужданий и стаза в эволюции ископаемых линий». Труды Национальной академии наук . 104 (47): 18404–18408. дои : 10.1073/pnas.0704088104 . ISSN  0027-8424. ПМК  2141789 . ПМИД  18003931.
• Гард, Томас К. (1988), Введение в стохастические дифференциальные уравнения , Марсель Деккер, ISBN 978-0-8247-7776-0
• Гардинер, Криспин В. (1985), Справочник по стохастическим методам (2-е изд.), Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-15607-1
• Гиллеспи, DT (1996). «Точное численное моделирование процесса Орнштейна – Уленбека и его интеграла». Физ. Преподобный Е. 54 (2): 2084–2091. Бибкод : 1996PhRvE..54.2084G. doi :10.1103/PhysRevE.54.2084. ПМИД  9965289.
• Иглхарт, Дональд Л. (июнь 1968 г.). «Предельные теоремы для модели Эренфеста с несколькими урнами». Анналы математической статистики . 39 (3): 864–876. дои : 10.1214/aoms/1177698318 . ISSN  0003-4851.
• Карацас, Иоаннис; Шрив, Стивен Э. (1991), Броуновское движение и стохастическое исчисление (2-е изд.), Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-97655-6
• Гёрлих, Реми; Ли, Минхао; Альберт, Сэмюэл; Манфреди, Джованни; Эрвье, Поль-Антуан; Жене, Сириак (19 марта 2021 г.). «Шум и эргодические свойства броуновского движения в оптическом пинцете: рассмотрение пересечений режимов в процессе Орнштейна-Уленбека». Физический обзор E . 103 (3): 032132. arXiv : 2007.12246 . Бибкод : 2021PhRvE.103c2132G. doi : 10.1103/physreve.103.032132. ISSN  2470-0045. PMID  33862817. S2CID  220768666.
• Йесперсен, Суне; Мецлер, Ральф; Фогедби, Ганс К. (1 марта 1999 г.). «Полёты Леви во внешних силовых полях: уравнения Ланжевена и дробные уравнения Фоккера-Планка и их решения». Физический обзор E . 59 (3): 2736–2745. arXiv : cond-mat/9810176 . Бибкод : 1999PhRvE..59.2736J. doi : 10.1103/physreve.59.2736. ISSN  1063-651X. S2CID  51944991.
• Клоден, Питер Э.; Платен, Экхард; Шурц, Анри (1994). Численное решение СДУ посредством компьютерных экспериментов . Берлин: Springer-Verlag. ISBN 3-540-57074-8. OCLC  29788831.
• Лоулер, Грегори Ф. (2006). Введение в случайные процессы (2-е изд.). Чепмен и Холл/CRC. ISBN 978-1584886518.
• Люнг, Тим; Ли, Синь (2016). Оптимальная торговля с возвратом к среднему: математический анализ и практические приложения . ISBN Всемирной научной издательской компании  978-9814725910.
• Люнг, Тим; Ли, Синь (2015). «Оптимальная торговля с возвратом к среднему с транзакционными издержками и выходом со стоп-лоссом». Международный журнал теоретических и прикладных финансов . 18 (3): 1550020. arXiv : 1411.5062 . дои : 10.1142/S021902491550020X.
• Ли, Минхао; Сентисси, Усама; Аццини, Стефано; Шнеринг, Габриэль; Канагье-Дюран, Антуан; Жене, Сириак (10 декабря 2019 г.). «Субфемтоньютоновые силовые поля, измеренные с помощью эргодических броуновских ансамблей». Физический обзор А. 100 (6): 063816. arXiv : 1908.00610 . Бибкод : 2019PhRvA.100f3816L. doi :10.1103/physreva.100.063816. ISSN  2469-9926. S2CID  199405409.
• Мартинс, Эмилия П. (1994). «Оценка скорости фенотипической эволюции на основе сравнительных данных». Американский натуралист . 144 (2): 193–209. дои : 10.1086/285670. ISSN  0003-0147. S2CID  85300707.
• Нёрреликке, Саймон Ф.; Фливбьерг, Хенрик (4 апреля 2011 г.). «Гармонический осциллятор в тепловой ванне: точное моделирование данных, записанных в замедленном режиме, и точная аналитическая статистика». Физический обзор E . 83 (4): 041103. arXiv : 1102.0524 . Бибкод : 2011PhRvE..83d1103N. doi : 10.1103/physreve.83.041103. ISSN  1539-3755. PMID  21599111. S2CID  18518657.
• Рискен, Х. (1989). Уравнение Фоккера–Планка: методы решения и приложения . Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN 978-0387504988.
• Нельсон, Эдвард (1967). Динамические теории броуновского движения (PDF) . Принстон, Нью-Джерси: Издательство Принстонского университета. ISBN 0-691-07950-1. ОСЛК  769464.
• Уленбек, GE; Орнштейн, Л.С. (1930). «К теории броуновского движения». Физ. Преподобный . 36 (5): 823–841. Бибкод : 1930PhRv...36..823U. doi : 10.1103/PhysRev.36.823.

Внешние ссылки

• Инструментарий стохастических процессов для управления рисками, Дамиано Бриго, Антонио Далессандро, Маттиас Нойгебауэр и Фарес Трики
• Моделирование и калибровка процесса Орнштейна-Уленбека, М.А. ван ден Берг
• Оценка максимального правдоподобия процессов возврата к среднему, Хосе Карлос Гарсиа Франко
• «Интерактивное веб-приложение: случайные процессы, используемые в количественных финансах». Архивировано из оригинала 20 сентября 2015 г. Проверено 3 июля 2015 г.