Прыгающий мяч

Физика прыгающих мячей

Прыгающий мяч. Движение не совсем параболическое из-за сопротивления воздуха .

Физика прыгающего мяча касается физического поведения прыгающих мячей , в частности, его движения до, во время и после удара о поверхность другого тела . Несколько аспектов поведения прыгающего мяча служат введением в механику в курсах физики средней школы или бакалавриата . Однако точное моделирование поведения является сложным и представляет интерес для спортивной инженерии .

Движение мяча обычно описывается как движение снаряда (на которое могут влиять гравитация , сопротивление , эффект Магнуса и плавучесть ), в то время как его удар обычно характеризуется коэффициентом восстановления (на который может влиять природа мяча, природа ударной поверхности, скорость удара, вращение и местные условия, такие как температура и давление ). Чтобы обеспечить честную игру , многие спортивные руководящие органы устанавливают ограничения на прыгучесть своего мяча и запрещают вмешиваться в аэродинамические свойства мяча. Прыгучесть мячей была особенностью таких древних видов спорта, как мезоамериканская игра в мяч . ^[1]

Силы во время полета и их влияние на движение

Силы, действующие на вращающийся мяч во время его полета, — это _{сила тяжести (} FG ) , сила _{сопротивления} ( FD ) , сила Магнуса ( FM ) и выталкивающая сила ( FB ).

Движение прыгающего мяча подчиняется движению снаряда . ^{[2] [3]} На реальный мяч действует множество сил, а именно сила тяготения ( F _G ), сила сопротивления воздуха ( F _D ), сила Магнуса, вызванная вращением мяча ( F _M ), и выталкивающая сила ( F _B ). В общем, для анализа движения мяча нужно использовать второй закон Ньютона, принимая во внимание все силы:

${\displaystyle {\begin{aligned}\sum \mathbf {F} &=m\mathbf {a} ,\\\mathbf {F} _{\text{G}}+\mathbf {F} _{\text{D}}+\mathbf {F} _{\text{M}}+\mathbf {F} _{\text{B}}&=m\mathbf {a} =m{\frac {d\mathbf {v} }{dt}}=m{\frac {d^{2}\mathbf {r} }{dt^{2}}},\end{aligned}}}$

где m — масса мяча. Здесь a , v , r представляют собой ускорение , скорость и положение мяча в течение времени t .

Гравитация

Траектория мяча, отскакивающего под углом 70° после удара без сопротивления  , с сопротивлением Стокса  , и с ньютоновским сопротивлением  .

Сила тяжести направлена ​​вниз и равна ^[4]

${\displaystyle F_{\text{G}}=mg,}$

где m — масса мяча, а g — ускорение свободного падения , которое на Земле изменяется в пределах9,764  м/с ² и9,834 м/с ² . ^[5] Поскольку другие силы обычно малы, движение часто идеализируется как находящееся только под влиянием гравитации. Если на мяч действует только сила гравитации, механическая энергия будет сохраняться во время его полета. В этом идеализированном случае уравнения движения задаются как

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {a} &=-g\mathbf {\hat {j}} ,\\\mathbf {v} &=\mathbf {v} _{\text{0}}+\mathbf {a} t,\\\mathbf {r} &=\mathbf {r} _{0}+\mathbf {v} _{0}t+{\frac {1}{2}}\mathbf {a} t^{2},\end{aligned}}}$

где a , v и r обозначают ускорение, скорость и положение мяча, а v ₀ и r ₀ — начальные скорость и положение мяча соответственно.

Более конкретно, если мяч отскакивает под углом θ к земле, движение по осям x и y (представляющим горизонтальное и вертикальное движение соответственно) описывается следующим образом ^[6]

Уравнения подразумевают, что максимальная высота ( H ), дальность ( R ) и время полета ( T ) мяча, отскакивающего от плоской поверхности, определяются следующим образом ^{[2] [6]}

${\displaystyle {\begin{aligned}H&={\frac {v_{0}^{2}}{2g}}\sin ^{2}\left(\theta \right),\\R&={\frac {v_{0}^{2}}{g}}\sin \left(2\theta \right),~{\text{and}}\\T&={\frac {2v_{0}}{g}}\sin \left(\theta \right).\end{aligned}}}$

Дальнейшие уточнения движения мяча могут быть сделаны путем учета сопротивления воздуха (и связанных с ним эффектов, таких как сопротивление и ветер ), эффекта Магнуса и плавучести . Поскольку более легкие мячи ускоряются легче, их движение, как правило, больше подвержено влиянию таких сил.

Тащить

Поток воздуха вокруг мяча может быть как ламинарным , так и турбулентным в зависимости от числа Рейнольдса (Re), определяемого как:

${\displaystyle {\text{Re}}={\frac {\rho Dv}{\mu }},}$

где ρ — плотность воздуха , μ — динамическая вязкость воздуха, D — диаметр шара, v — скорость шара в воздухе. При температуре20 °С , ρ =1,2 кг/м ³ и μ =1,8 × 10−5  Па·с . ^{[ 7]}

Если число Рейнольдса очень мало (Re < 1), сила сопротивления, действующая на мяч, описывается законом Стокса : ^[8]

${\displaystyle F_{\text{D}}=6\pi \mu rv,}$

где r — радиус мяча. Эта сила действует в направлении, противоположном направлению мяча (в направлении ). Однако для большинства спортивных мячей число Рейнольдса будет между 10 ⁴ и 10 ⁵ и закон Стокса не применим. ^[9] При этих более высоких значениях числа Рейнольдса сила сопротивления, действующая на мяч, вместо этого описывается уравнением сопротивления : ^[10] ${\displaystyle \textstyle -{\hat {\mathbf {v} }}}$

${\displaystyle F_{\text{D}}={\frac {1}{2}}\rho C_{\text{d}}Av^{2},}$

где C _d — коэффициент сопротивления , а A — площадь поперечного сечения шара.

Сопротивление приведет к потере мячом механической энергии во время полета и уменьшит его дальность и высоту, а боковой ветер отклонит его от первоначального пути. Оба эффекта должны учитываться игроками в таких видах спорта, как гольф.

эффект Магнуса

Сила Магнуса, действующая на мяч с обратным вращением . Извилистые линии потока представляют собой турбулентный след . Воздушный поток был отклонен в направлении вращения.

В настольном теннисе опытный игрок может использовать вращение мяча, чтобы повлиять на траекторию полета мяча и его реакцию при ударе о поверхность. При топспине мяч достигает максимальной высоты в полете (1), а затем резко изгибается вниз (2). Удар толкает мяч вперед (3) и будет стремиться отскочить вверх при ударе о ракетку соперника . В случае обратного вращения ситуация обратная .

Вращение мяча будет влиять на его траекторию через эффект Магнуса . Согласно теореме Кутта–Жуковского , для вращающейся сферы с невязким потоком воздуха сила Магнуса равна ^[11]

${\displaystyle F_{\text{M}}={\frac {8}{3}}\pi r^{3}\rho \omega v,}$

где r — радиус мяча, ω — угловая скорость ( или скорость вращения) мяча, ρ — плотность воздуха, а v — скорость мяча относительно воздуха. Эта сила направлена ​​перпендикулярно движению и перпендикулярно оси вращения (в направлении ). Сила направлена ​​вверх для обратного вращения и вниз для верхнего вращения. В действительности поток никогда не бывает невязким, и подъемная сила Магнуса лучше описывается ^[12] ${\displaystyle \textstyle {\hat {\mathbf {\omega } }}\times {\hat {\mathbf {v} }}}$

${\displaystyle F_{\text{M}}={\frac {1}{2}}\rho C_{\text{L}}Av^{2},}$

где ρ — плотность воздуха, C _L — коэффициент подъемной силы , A — площадь поперечного сечения мяча, а v — скорость мяча относительно воздуха. Коэффициент подъемной силы — это сложный фактор, который зависит, помимо прочего, от отношения rω / v , числа Рейнольдса и шероховатости поверхности . ^[12] В определенных условиях коэффициент подъемной силы может быть даже отрицательным, изменяя направление силы Магнуса (обратный эффект Магнуса). ^{[4] [13] [14]}

В таких видах спорта, как теннис или волейбол , игрок может использовать эффект Магнуса для управления траекторией мяча (например, с помощью верхнего или обратного вращения ) во время полета. В гольфе эффект отвечает за разрезание и зацепление , которые обычно вредят гольфисту, но также помогают увеличить дальность удара и других ударов. ^{[15] [16]} В бейсболе питчеры используют эффект для создания крученых мячей и других специальных подач . ^[17]

Подделка мяча часто является незаконной и часто оказывается в центре скандалов в крикете, таких как конфликт между Англией и Пакистаном в августе 2006 года . ^[18] В бейсболе термин « спитбол » относится к незаконному покрытию мяча слюной или другими веществами для изменения аэродинамики мяча. ^[19]

Плавучесть

Любой объект, погруженный в жидкость, такую ​​как вода или воздух, будет испытывать подъемную силу . ^[20] Согласно принципу Архимеда , эта подъемная сила равна весу жидкости, вытесненной объектом. В случае сферы эта сила равна

${\displaystyle F_{\text{B}}={\frac {4}{3}}\pi r^{3}\rho g.}$

Выталкивающая сила обычно мала по сравнению с сопротивлением и силой Магнуса и часто может быть проигнорирована. Однако в случае баскетбольного мяча выталкивающая сила может составлять около 1,5% от веса мяча. ^[20] Поскольку выталкивающая сила направлена ​​вверх, она будет действовать, чтобы увеличить дальность и высоту полета мяча.

Влияние

Сжатие (A→B) и декомпрессия (B→C) мяча, ударяющегося о поверхность. Сила удара обычно пропорциональна расстоянию сжатия, по крайней мере, для небольших сжатий, и может быть смоделирована как сила пружины . ^{[21] [22]}

Когда мяч ударяется о поверхность, поверхность отскакивает и вибрирует , как и мяч, создавая как звук, так и тепло , и мяч теряет кинетическую энергию . Кроме того, удар может придать мячу некоторое вращение, переводя часть его поступательной кинетической энергии во вращательную кинетическую энергию . Эта потеря энергии обычно характеризуется (косвенно) через коэффициент восстановления (или COR, обозначается e ): ^{[23] [примечание 1]}

${\displaystyle e=-{\frac {v_{\text{f}}-u_{\text{f}}}{v_{\text{i}}-u_{\text{i}}}},}$

где v _f и v _i — конечная и начальная скорости мяча, а u _f и u _i — конечная и начальная скорости удара по поверхности соответственно. В конкретном случае, когда мяч ударяется о неподвижную поверхность, COR упрощается до

${\displaystyle e=-{\frac {v_{\text{f}}}{v_{\text{i}}}}.}$

Для мяча, брошенного на пол, COR будет, таким образом, варьироваться от 0 (отскок отсутствует, полная потеря энергии) до 1 (идеально отскакивает, потеря энергии отсутствует). Значение COR ниже 0 или выше 1 теоретически возможно, но будет означать, что мяч прошел сквозь поверхность ( e < 0 ) или что поверхность не была «расслаблена», когда мяч ударился о нее ( e > 1 ), как в случае приземления мяча на подпружиненную платформу.

Для анализа вертикальной и горизонтальной составляющих движения COR иногда разделяют на нормальный COR ( ey ₎ и тангенциальный COR ( e _x ), определяемый как ^[24]

${\displaystyle e_{\text{y}}=-{\frac {v_{\text{yf}}-u_{\text{yf}}}{v_{\text{yi}}-u_{\text{yi}}}},}$

${\displaystyle e_{\text{x}}=-{\frac {(v_{\text{xf}}-r\omega _{\text{f}})-(u_{\text{xf}}-R\Omega _{\text{f}})}{(v_{\text{xi}}-r\omega _{\text{i}})-(u_{\text{xi}}-R\Omega _{\text{i}})}},}$

где r и ω обозначают радиус и угловую скорость мяча, а R и Ω обозначают радиус и угловую скорость ударной поверхности (например, бейсбольной биты). В частности, rω — это тангенциальная скорость поверхности мяча, а RΩ — это тангенциальная скорость ударной поверхности. Они особенно интересны, когда мяч ударяется о поверхность под косым углом или когда задействовано вращение .

При прямолинейном падении на землю без вращения, когда на мяч действует только сила тяжести, COR можно связать с несколькими другими величинами следующим образом: ^{[22] [25]}

${\displaystyle e=\left|{\frac {v_{\text{f}}}{v_{\text{i}}}}\right|={\sqrt {\frac {K_{\text{f}}}{K_{\text{i}}}}}={\sqrt {\frac {U_{\text{f}}}{U_{\text{i}}}}}={\sqrt {\frac {H_{\text{f}}}{H_{\text{i}}}}}={\frac {T_{\text{f}}}{T_{\text{i}}}}={\sqrt {\frac {gT_{\text{f}}^{2}}{8H_{\text{i}}}}}.}$

Здесь K и U обозначают кинетическую и потенциальную энергию мяча, H — максимальную высоту мяча, а T — время полета мяча. Индексы «i» и «f» относятся к начальному (до удара) и конечному (после удара) состояниям мяча. Аналогично, потеря энергии при ударе может быть связана с COR следующим образом:

${\displaystyle {\text{Energy Loss}}={\frac {{K_{\text{i}}}-{K_{\text{f}}}}{K_{\text{i}}}}\times 100\%=\left(1-e^{2}\right)\times 100\%.}$

На COR мяча могут влиять несколько факторов, в основном

• характер ударной поверхности (например, трава, бетон, проволочная сетка) ^{[25] [26]}
• материал мяча (например, кожа, резина, пластик) ^[22]
• давление внутри шара (если он полый) ^[22]
• величина вращения, вызванного в мяче при ударе ^[27]
• скорость удара ^{[21] [22] [26] [28]}

Внешние условия, такие как температура, могут изменить свойства ударной поверхности или мяча, делая их либо более гибкими, либо более жесткими. Это, в свою очередь, повлияет на COR. ^[22] В общем, мяч будет деформироваться больше при более высоких скоростях удара и, соответственно, будет терять больше своей энергии, уменьшая свой COR. ^{[22] [28]}

Вращение и угол удара

Силы, действующие на вращающийся мяч во время удара, — это сила тяжести , нормальная сила и сила трения (которая в общем случае имеет как «поступательную», так и «вращательную» составляющую). Если поверхность наклонена, сила тяжести будет направлена ​​под углом к ​​поверхности, в то время как другие силы останутся перпендикулярными или параллельными поверхности.

При ударе о землю некоторая поступательная кинетическая энергия может быть преобразована во вращательную кинетическую энергию и наоборот в зависимости от угла удара мяча и угловой скорости. Если мяч движется горизонтально при ударе, трение будет иметь «поступательную» составляющую в направлении, противоположном движению мяча. На рисунке мяч движется вправо , и, таким образом, он будет иметь поступательную составляющую трения, толкающую мяч влево . Кроме того, если мяч вращается при ударе, трение будет иметь «вращательную» составляющую в направлении, противоположном вращению мяча. На рисунке мяч вращается по часовой стрелке, а точка, ударяющаяся о землю, движется влево относительно центра масс мяча . Таким образом, вращательная составляющая трения толкает мяч вправо . В отличие от нормальной силы и силы тяжести, эти силы трения будут оказывать крутящий момент на мяч и изменять его угловую скорость ( ω ). ^{[29] [30] [31] [32]}

Могут возникнуть три ситуации: ^{[32] [33] [34]}

• Если мяч движется вперед с обратным вращением , поступательное и вращательное трение будут действовать в тех же направлениях. Угловая скорость мяча уменьшится после удара, как и его горизонтальная скорость, и мяч поднимется вверх , возможно, даже превысив свою первоначальную высоту. Также возможно, что мяч начнет вращаться в противоположном направлении и даже отскочит назад.
• Если мяч движется вперед с верхним вращением , поступательное и вращательное трение будут действовать в противоположных направлениях. Что именно происходит, зависит от того, какой из двух компонентов доминирует.
  • Если мяч вращается намного быстрее, чем двигался, то будет доминировать вращательное трение. Угловая скорость мяча уменьшится после удара, но его горизонтальная скорость увеличится. Мяч будет выброшен вперед , но не превысит своей первоначальной высоты и продолжит вращаться в том же направлении.
  • Если мяч движется намного быстрее, чем вращался, поступательное трение будет доминировать. Угловая скорость мяча увеличится после удара, но его горизонтальная скорость уменьшится. Мяч не превысит своей первоначальной высоты и продолжит вращаться в том же направлении.

Если поверхность наклонена на некоторую величину θ , вся диаграмма будет повернута на θ , но сила тяжести останется направленной вниз (образуя угол θ с поверхностью). Тогда гравитация будет иметь компонент, параллельный поверхности, что будет способствовать трению, и, таким образом, способствовать вращению. ^[32]

В ракеточных видах спорта, таких как настольный теннис или бадминтон , опытные игроки используют вращение (включая боковое вращение ), чтобы внезапно изменить направление мяча, когда он ударяется о поверхность, например, землю или ракетку противника . Аналогично, в крикете существуют различные методы спин-боулинга , которые могут заставить мяч значительно отклониться от поля .

Несферические шары

Силы, действующие на футбольный мяч или мяч для регби при ударе, — это сила тяжести , нормальная сила и сила трения . Трение обычно имеет «продольную» составляющую из-за скорости мяча и «кувыркающегося» вращения и «боковую» составляющую из-за «осевого» вращения мяча, вызванного броском.

Отскок овального мяча (например, тех, которые используются в футболе с сеткой или регби ) в целом гораздо менее предсказуем, чем отскок сферического мяча. В зависимости от выравнивания мяча при ударе нормальная сила может действовать впереди или позади центра масс мяча, а трение о землю будет зависеть от выравнивания мяча, а также от его вращения, вращения и скорости удара. Когда силы действуют относительно центра масс мяча, они меняются по мере того, как мяч катится по земле, и все силы могут оказывать на мяч крутящий момент , включая нормальную силу и силу тяжести. Это может привести к тому, что мяч отскочит вперед, назад или вбок. Поскольку возможно преобразовать некоторую вращательную кинетическую энергию в поступательную кинетическую энергию, возможно даже, что COR будет больше 1 или что поступательная скорость мяча увеличится при ударе. ^[35]

Несколько сложенных друг на друга шаров

Популярная демонстрация включает в себя отскок нескольких сложенных друг на друга мячей. Если теннисный мяч положить на баскетбольный мяч и уронить их одновременно, теннисный мяч подпрыгнет гораздо выше, чем если бы он был брошен сам по себе, даже превысив свою первоначальную высоту броска. ^{[36] [37]} Результат удивителен, поскольку он, по-видимому, нарушает закон сохранения энергии. ^[38] Однако при более внимательном рассмотрении баскетбольный мяч не подпрыгивает так высоко, как если бы теннисный мяч не лежал на нем, и передает часть своей энергии теннисному мячу, подбрасывая его на большую высоту. ^[36]

Обычное объяснение предполагает рассмотрение двух отдельных ударов: удар баскетбольного мяча об пол, а затем удар баскетбольного мяча об теннисный мяч. ^{[36] [37] Если предположить, что} столкновения абсолютно упругие , баскетбольный мяч, ударяющийся об пол со скоростью 1 м/с, отскочит со скоростью 1 м/с. Теннисный мяч, летящий со скоростью 1 м/с, тогда будет иметь относительную скорость удара 2 м/с, что означает, что он отскочит со скоростью 2 м/с относительно баскетбольного мяча или 3 м/с относительно пола, и утроит свою скорость отскока по сравнению с ударом об пол самостоятельно. Это означает, что мяч отскочит на высоту, в 9 раз превышающую его первоначальную высоту. ^{[примечание 2]} В действительности, из-за неупругих столкновений , теннисный мяч увеличит свою скорость и высоту отскока в меньшую сторону, но все равно будет отскакивать быстрее и выше, чем он отскакивал бы сам по себе. ^[37]

Хотя предположения об отдельных столкновениях на самом деле неверны (шары остаются в тесном контакте друг с другом в течение большей части столкновения), эта модель, тем не менее, воспроизводит экспериментальные результаты с хорошим соответствием [ ^37] и часто используется для понимания более сложных явлений, таких как коллапс ядра сверхновых [ 36 ^] или гравитационные маневры пращи ^[39] .

Спортивные правила

Некоторые спортивные руководящие органы регулируют прыгучесть мяча разными способами: некоторые напрямую, некоторые косвенно.

• AFL : Регулирует манометрическое давление футбольного мяча в пределах62 кПа и76 кПа . ^[40]
• ФИБА : Регулирует манометрическое давление таким образом, чтобы баскетбольный мяч подпрыгивал на расстояние от 1035 мм до 1085 мм (нижняя часть мяча) при падении с высоты 1800 мм (нижняя часть мяча). ^[41] Это соответствует COR между 0,758 и 0,776. ^{[примечание 3]}
• ФИФА : Регулирует манометрическое давление футбольного мяча в пределах от0,6  атм и1,1 атм на уровне моря (от 61 до 111  кПа ). ^[42]
• FIVB : Регулирует манометрическое давление волейбольного мяча в пределах0,30  кг F /см ² до0,325 кг _F /см ² (29,4–31,9 кПа) для волейбола в помещении , и0,175  кг F /см ² до0,225 кг _F /см ² (от 17,2 до 22,1 кПа) для пляжного волейбола . ^{[43] [44]}
• ITF : Регулирует высоту отскока теннисного мяча при падении на «гладкий, жесткий и горизонтальный блок большой массы». Разрешены различные типы мячей для различных типов поверхностей. При падении с высоты 100 дюймов (254 см) отскок должен составлять 54–60 дюймов (137–152 см) для мячей типа 1, 53–58 дюймов (135–147 см) для мячей типа 2 и типа 3 и 48–53 дюйма (122–135 см) для мячей High Altitude. ^[45] Это примерно соответствует COR 0,735–0,775 (мяч типа 1), 0,728–0,762 (мячи типов 2 и 3) и 0,693–0,728 (мячи High Altitude) при падении на испытательную поверхность. ^{[примечание 3]}
• ITTF : Регулирует игровую поверхность таким образом, чтобы мяч для настольного тенниса отскакивал примерно на 23 см при падении с высоты 30 см. ^[46] Это примерно соответствует COR около 0,876 относительно игровой поверхности. ^{[примечание 3]}
• НБА : Регулирует манометрическое давление баскетбольного мяча в пределах от 7,5 до 8,5  фунтов на квадратный дюйм (от 51,7 до 58,6 кПа). ^[47]
• НФЛ : Регулирует манометрическое давление в американском футболе в пределах от 12,5 до 13,5 фунтов на квадратный дюйм (от 86 до 93 кПа). ^[48]
• R&A / USGA : Ограничивает COR мяча для гольфа напрямую, который не должен превышать 0,83 против клюшки для гольфа . ^[49]

Давление американского футбольного мяча было в центре спора о дефлетегейте . ^{[50] [51]} Некоторые виды спорта не регулируют свойства отскока мячей напрямую, а вместо этого указывают метод конструкции. В бейсболе введение мяча на основе пробки помогло положить конец эпохе мертвых мячей и начать эпоху живых мячей . ^{[52] [53]}

Смотрите также

• Прыгающий мяч
• Список игр с мячом
• Квантовый прыгающий мяч

Примечания

1. Здесь v и u — это не только величина скорости, но и ее направление ( знак ).
2. Поскольку сохранение механической энергии подразумевает , то пропорционально . ${\displaystyle \textstyle {\frac {1}{2}}mv_{\text{f}}^{2}=mgH_{\text{f}}}$ ${\displaystyle \textstyle H_{\text{f}}}$ ${\displaystyle v_{\text{f}}^{2}}$
3. Рассчитано с использованием предположения, что сопротивление воздуха пренебрежимо мало. ${\displaystyle \textstyle e={\sqrt {\frac {H_{\text{f}}}{H_{\text{i}}}}}}$

Ссылки

1. Уиттингтон, Э. М., ред. (2001). Спорт жизни и смерти: мезоамериканская игра в мяч . Темза и Гудзон . ISBN 0-500-05108-9.
2. Brancazio, PJ (1985). «Траектория летящего мяча». The Physics Teacher . 23 (1): 20–23. Bibcode : 1985PhTea..23...20B. doi : 10.1119/1.2341702.
3. Уокер, Дж. (2014). Основы физики (10-е расширенное изд.). John Wiley & Sons . Рисунок 4-8, стр. 70. ISBN 978-1-118-23072-5.
4. Буш, JWM (2013). «Аэродинамика красивой игры» (PDF) . В Кланете, К. (ред.). Спортивная физика . Les Éditions de l'École Polytechnique . п. 171. hdl : 1721.1/87576 . ISBN 978-2-7302-1615-9.
5. Hirt, C.; Claessens, S.; Fecher, T.; Kuhn, M.; Pail, R.; Rexer, M. (2013). «Новая сверхвысокоразрешающая картина гравитационного поля Земли». Geophysical Research Letters . 40 (16): 4279–4283. Bibcode : 2013GeoRL..40.4279H. doi : 10.1002/grl.50838 . hdl : 20.500.11937/46786 .
6. Nave, R. "Траектории". HyperPhysics . Получено 27.01.2017 .
7. "Свойства сухого воздуха". The Engineering Toolbox . Получено 2017-02-11 .
8. Southard, J. (осень 2006 г.). "Глава 3: Поток мимо сферы II: закон Стокса, уравнение Бернулли, турбулентность, пограничные слои, разделение потока" (PDF) . Специальные темы: Введение в движение жидкости, транспорт осадка и осадочные структуры, генерируемые течением . MIT . стр. 35–82. Архивировано из оригинала (PDF) 2017-02-05.
9. Мета, RD (2008). "Аэродинамика спортивного мяча". В Nørstrud, H. (ред.). Спортивная аэродинамика . CISM Международный центр механических наук. Т. 506. Springer . С. 229–331. doi :10.1007/978-3-211-89297-8_12. ISBN 978-3-211-89296-1.
10. "Сопротивление сферы". NASA .
11. "Идеальный подъем вращающегося шара". NASA . Получено 2017-02-02 .
12. Nathan, AM (2008). "Влияние вращения на полет бейсбольного мяча" (PDF) . American Journal of Physics . 76 (2): 119–124. arXiv : physics/0605041 . Bibcode :2008AmJPh..76..119N. doi :10.1119/1.2805242. S2CID  15494386.
13. Ким, Дж.; Парк, Х.; Чой, Х.; Ю, Дж.Й. (2011). «Обратный эффект Магнуса на вращающейся сфере» (PDF) . 64-е ежегодное заседание Отдела гидродинамики Американского физического общества . Американское физическое общество . Bibcode : 2011APS..DFD.A7008K.
14. Ким, Дж.; Чой, Х.; Парк, Х.; Ю, Дж.Й. (2014). «Обратный эффект Магнуса на вращающейся сфере: когда и почему». Журнал механики жидкости . 754 : R2. Bibcode : 2014JFM...754R...2K. doi : 10.1017/jfm.2014.428. S2CID  122453684.
15. "Эффект Магнуса". HumanKinetics.com . 2008-11-11. Архивировано из оригинала 2018-12-28 . Получено 2017-01-27 .
16. ДеФорест, К. (1997). «Почему мячи для гольфа покрыты ямочками?». Оригинальный раздел часто задаваемых вопросов по физике Usenet . Архивировано из оригинала 2019-07-23 . Получено 2017-01-27 .
17. Clanet, C. (2015). "Спортивная баллистика" (PDF) . Annual Review of Fluid Mechanics . 47 : 455–478. Bibcode : 2015AnRFM..47..455C. doi : 10.1146/annurev-fluid-010313-141255 .
18. "Инзамам предъявлены обвинения Международным уголовным судом". The Guardian . 21 августа 2006 г. Получено 28 января 2017 г.
19. Окрент, Д.; Вульф, С. (1989). Бейсбольные анекдоты. Oxford University Press . стр. 89. ISBN 978-0-19-504396-9.
20. Post, S. (2010). Прикладная и вычислительная механика жидкости. Jones and Bartlett Publishers . С. 280–282. ISBN 978-1-934015-47-6.
21. Cross, R. (1999). "Отскок мяча" (PDF) . American Journal of Physics . 67 (3): 222–227. Bibcode : 1999AmJPh..67..222C. doi : 10.1119/1.19229.
22. Георгаллас, А.; Ландри, Г. (2016). «Коэффициент восстановления сжатых шаров: механистическая модель». Канадский журнал физики . 94 (1): 42. Bibcode :2016CaJPh..94...42G. doi :10.1139/cjp-2015-0378. hdl : 1807/69855 .
23. "Коэффициент восстановления". RacquetResearch.com . Архивировано из оригинала 2016-11-23 . Получено 2017-01-27 .
24. Кросс, Р.; Натан, А. М. (2006). «Рассеивание бейсбольного мяча битой». American Journal of Physics . 74 (10): 896–904. arXiv : physics/0605040 . Bibcode : 2006AmJPh..74..896C. doi : 10.1119/1.2209246. S2CID  15488042.
25. Haron, A.; Ismail, KA (2012). "Коэффициент восстановления спортивных мячей: обычный тест на падение". Серия конференций IOP: Материаловедение и инженерия . 36 (1): 012038. Bibcode : 2012MS&E...36a2038H. doi : 10.1088/1757-899X/36/1/012038 .
26. Cross, R. (2000). «Коэффициент восстановления при столкновениях счастливых мячей, несчастных мячей и теннисных мячей» (PDF) . American Journal of Physics . 68 (11): 1025–1031. Bibcode :2000AmJPh..68.1025C. doi :10.1119/1.1285945.
27. Кросс, Р. (2002). "Поведение схватывания-скольжения прыгающего мяча" (PDF) . American Journal of Physics . 70 (11): 1093–1102. Bibcode :2002AmJPh..70.1093C. doi :10.1119/1.1507792.
28. Zhang, X.; Vu-Quoc, L. (2002). «Моделирование зависимости коэффициента восстановления от скорости удара при упругопластических столкновениях». International Journal of Impact Engineering . 27 (3): 317–341. Bibcode :2002IJIE...27..317Z. doi :10.1016/S0734-743X(01)00052-5.
29. Хессер-Нолл, М. (2014). «Вращение мяча во время отскока». Физика тенниса . Университет Аляски в Фэрбанксе . Получено 01.02.2017 .
30. Линдси, К. (апрель 2004 г.). «Следуйте за прыгающим мячом». Теннисная индустрия . Архивировано из оригинала 20.11.2018 . Получено 01.02.2017 .
31. Аллен, Т.; Хааке, С.; Гудвилл, С. (2010). «Влияние трения на удары теннисного мяча». Труды Института инженеров-механиков, часть P. 224 ( 3): 229–236. doi :10.1243/17543371JSET66.
32. Cross, R. (2005). "Отскок вращающегося мяча вблизи нормального падения" (PDF) . American Journal of Physics . 73 (10): 914–920. Bibcode :2005AmJPh..73..914C. doi :10.1119/1.2008299.
33. Аллен, Т. (2012). "Мяч на вашей площадке" (PDF) . ANSYS Advantage (эксклюзивно для Интернета). Архивировано из оригинала (PDF) 2017-02-05.
34. Джафри, СММ (2004). Моделирование динамики удара теннисного мяча о плоскую поверхность (PDF) (Диссертация). Техасский университет A&M . hdl : 1969.1/2441 .
35. Кросс, Р. (2011). «Отскок овального футбольного мяча» (PDF) . Спортивные технологии . 3 (3): 168–180. doi :10.1080/19346182.2011.564283. S2CID  108409393.
36. Huebner, JS; Smith, TL (1992). "Столкновения нескольких шаров". The Physics Teacher . 30 (1): 46. Bibcode : 1992PhTea..30...46H. doi : 10.1119/1.2343467.
37. Cross, R. (2007). "Вертикальный отскок двух вертикально выровненных шаров" (PDF) . American Journal of Physics . 75 (11): 1009–1016. Bibcode :2007AmJPh..75.1009C. doi :10.1119/1.2772286.
38. Хартер, WG (1971). "Усиление скорости в экспериментах по столкновению с участием супершаров" (PDF) . American Journal of Physics . 39 (6): 656–663. Bibcode :1971AmJPh..39..656H. doi :10.1119/1.1986253.
39. Nave, R. "Двойное падение мяча". HyperPhysics . Получено 28.01.2017 .
40. Законы австралийского футбола 2017 (PDF) . AFL . 2017. стр. 15 . Получено 19.01.2018 .
41. "Баскетбольные мячи" (PDF) . Официальные правила баскетбола 2024 г.: баскетбольное оборудование . ФИБА . 2024. стр. 12 . Получено 17 октября 2024 г. .
42. Правила игры: 2014–15 (PDF) . ФИФА . 2014. стр. 15. Архивировано из оригинала (PDF) 2017-02-15 . Получено 2017-01-27 .
43. Официальные правила волейбола: 2017–2020 (PDF) . FIVB . 2016. стр. 16.
44. Официальные правила пляжного волейбола: 2017–2020 (PDF) . FIVB . 2017. стр. 15.
45. Одобренные ITF теннисные мячи, классифицированные поверхности и признанные корты (PDF) . ITF . 2016. С. 4–5.
46. Справочник Международной федерации настольного тенниса (PDF) . ITTF . 2017. стр. 24. Архивировано из оригинала (PDF) 24-04-2018 . Получено 20-10-2017 .
47. Официальные правила Национальной баскетбольной ассоциации: 2013–2014 (PDF) . НБА . 2013. стр. 10.
48. Официальные правила игры Национальной футбольной лиги (PDF) . НФЛ . 2016. стр. 3.
49. Рубенштейн, Л. (11 мая 2002 г.). «Наконец-то добрались до COR игры». The Globe and Mail . Получено 27.01.2017 .
50. Ботельо, Г.; Кастильо, М. (11 мая 2015 г.). «'Deflategate': 4-матчевая дисквалификация Тома Брэди». CNN . Получено 27.01.2017 .
51. Уэлл, младший, ТВ; Карп, Б.С.; Рейснер, Л.Л. (2015). Отчет о расследовании, касающийся футбольных мячей, использованных во время игры чемпионата АФК 18 января 2015 года (PDF) . Paul, Weiss, Rifkind, Wharton & Garrison LLP .
52. "Эволюция мяча"  . Baseball Digest : 67. Июль 1963.
53. Соуэлл, Т. (2011). «Мертвый мяч против живого мяча». Читатель Томаса Соуэлла . Базовые книги . ISBN 9780465022502.

Дальнейшее чтение

• Бриггс, Л. Дж. (1945). «Методы измерения коэффициента восстановления и спина мяча». Журнал исследований Национального бюро стандартов . 34 (1): 1–23. doi : 10.6028/jres.034.001 .
• Кросс, Р. (2011). Физика бейсбола и софтбола . Springer . ISBN 978-1-4419-8112-7.
• Кросс, Р. (июнь 2014 г.). «Физика отскока». Сиднейский университет .
• Кросс, Р. (2015). «Поведение прыгающего мяча». Физическое образование . 50 (3): 335–341. Bibcode : 2015PhyEd..50..335C. doi : 10.1088/0031-9120/50/3/335 . S2CID  122366736.
• Stronge, WJ (2004). Механика удара . Cambridge University Press . ISBN 978-0-521-60289-1.
• Эрлихсон, Герман (1983). «Максимальная дальность полета снаряда с учетом сопротивления и подъемной силы, в частности, в применении к гольфу». American Journal of Physics . 51 (4): 357–362. Bibcode : 1983AmJPh..51..357E. doi : 10.1119/1.13248.