Расширенный фильтр Калмана

Фильтр для нелинейной оценки состояния

В теории оценки расширенный фильтр Калмана ( EKF ) является нелинейной версией фильтра Калмана , который линеаризует оценку текущего среднего значения и ковариации . В случае хорошо определенных моделей перехода EKF считается ^[1] фактическим стандартом в теории нелинейной оценки состояния, навигационных системах и GPS . ^[2 ]

История

Статьи, устанавливающие математические основы фильтров типа Калмана, были опубликованы между 1959 и 1961 годами. ^{[3] [4] [5]} Фильтр Калмана является оптимальным линейным оценщиком для линейных моделей систем с аддитивным независимым белым шумом как в переходной, так и в измерительной системах. К сожалению, в инженерии большинство систем являются нелинейными , поэтому были предприняты попытки применить этот метод фильтрации к нелинейным системам; большая часть этой работы была проделана в NASA Ames . ^{[6] [7]} EKF адаптировал методы из исчисления , а именно многомерные разложения в ряд Тейлора , для линеаризации модели относительно рабочей точки. Если модель системы (как описано ниже) недостаточно известна или неточна, то для оценки используются методы Монте-Карло , особенно фильтры частиц . Методы Монте-Карло появились еще до появления EKF, но они более затратны в вычислительном отношении для любого умеренно размерного пространства состояний .

Формулировка

В расширенном фильтре Калмана модели перехода состояний и наблюдения не обязательно должны быть линейными функциями состояния, а могут быть дифференцируемыми функциями.

${\displaystyle {\boldsymbol {x}}_{k}=f({\boldsymbol {x}}_{k-1},{\boldsymbol {u}}_{k-1})+{\boldsymbol {w}}_{k-1}}$

${\displaystyle {\boldsymbol {z}}_{k}=h({\boldsymbol {x}}_{k})+{\boldsymbol {v}}_{k}}$

Здесь w _k и v _k — шумы процесса и наблюдения, которые предполагаются многомерными гауссовыми шумами с нулевым средним значением и ковариацией Q _k и R _k соответственно. u _k — управляющий вектор.

Функция f может быть использована для вычисления предсказанного состояния из предыдущей оценки, и аналогично функция h может быть использована для вычисления предсказанного измерения из предсказанного состояния. Однако f и h не могут быть применены к ковариации напрямую. Вместо этого вычисляется матрица частных производных ( якобиан ).

На каждом временном шаге якобиан оценивается с текущими предсказанными состояниями. Эти матрицы могут использоваться в уравнениях фильтра Калмана. Этот процесс по сути линеаризует нелинейную функцию вокруг текущей оценки.

Замечания по обозначениям см. в статье Фильтр Калмана .

Дискретное время прогнозирования и обновления уравнений

Обозначение представляет собой оценку в момент времени n при данных наблюдениях вплоть до момента времени m ≤ n включительно . ${\displaystyle {\hat {\mathbf {x} }}_{n\mid m}}$ ${\displaystyle \mathbf {x} }$

Предсказывать

Обновлять

где матрицы перехода состояний и наблюдения определяются как следующие якобианы

${\displaystyle {{\boldsymbol {F}}_{k}}=\left.{\frac {\partial f}{\partial {\boldsymbol {x}}}}\right\vert _{{\hat {\boldsymbol {x}}}_{k-1|k-1},{\boldsymbol {u}}_{k}}}$

${\displaystyle {{\boldsymbol {H}}_{k}}=\left.{\frac {\partial h}{\partial {\boldsymbol {x}}}}\right\vert _{{\hat {\boldsymbol {x}}}_{k|k-1}}}$

Недостатки и альтернативы

В отличие от своего линейного аналога, расширенный фильтр Калмана в целом не является оптимальным оценщиком (он оптимален, если и измерение, и модель перехода состояний линейны, так как в этом случае расширенный фильтр Калмана идентичен обычному). Кроме того, если начальная оценка состояния неверна или если процесс смоделирован неправильно, фильтр может быстро расходиться из-за своей линеаризации. Другая проблема с расширенным фильтром Калмана заключается в том, что оценочная ковариационная матрица имеет тенденцию недооценивать истинную ковариационную матрицу и, следовательно, рискует стать непоследовательной в статистическом смысле без добавления «стабилизирующего шума» ^[8] .

В более общем плане следует учитывать бесконечномерную природу проблемы нелинейной фильтрации и неадекватность простого оценщика среднего и дисперсии-ковариации для полного представления оптимального фильтра. Следует также отметить, что расширенный фильтр Калмана может давать плохие результаты даже для очень простых одномерных систем, таких как кубический датчик, ^[9] где оптимальный фильтр может быть бимодальным ^[10] и, как таковой, не может быть эффективно представлен одним оценщиком среднего и дисперсии, имеющим богатую структуру, или аналогично для квадратичного датчика. ^[11] В таких случаях проекционные фильтры изучались в качестве альтернативы, также применяясь к навигации. ^[12] В этом случае могут рассматриваться другие общие методы нелинейной фильтрации, такие как фильтры полных частиц .

При этом расширенный фильтр Калмана может обеспечить приемлемую производительность и, возможно, является фактическим стандартом в навигационных системах и GPS.

Обобщения

Непрерывный расширенный фильтр Калмана

Модель

${\displaystyle {\begin{aligned}{\dot {\mathbf {x} }}(t)&=f{\bigl (}\mathbf {x} (t),\mathbf {u} (t){\bigr )}+\mathbf {w} (t)&\mathbf {w} (t)&\sim {\mathcal {N}}{\bigl (}\mathbf {0} ,\mathbf {Q} (t){\bigr )}\\\mathbf {z} (t)&=h{\bigl (}\mathbf {x} (t){\bigr )}+\mathbf {v} (t)&\mathbf {v} (t)&\sim {\mathcal {N}}{\bigl (}\mathbf {0} ,\mathbf {R} (t){\bigr )}\end{aligned}}}$

Инициализировать

${\displaystyle {\hat {\mathbf {x} }}(t_{0})=E{\bigl [}\mathbf {x} (t_{0}){\bigr ]}{\text{, }}\mathbf {P} (t_{0})=Var{\bigl [}\mathbf {x} (t_{0}){\bigr ]}}$

Прогноз-Обновление

${\displaystyle {\begin{aligned}{\dot {\hat {\mathbf {x} }}}(t)&=f{\bigl (}{\hat {\mathbf {x} }}(t),\mathbf {u} (t){\bigr )}+\mathbf {K} (t){\Bigl (}\mathbf {z} (t)-h{\bigl (}{\hat {\mathbf {x} }}(t){\bigr )}{\Bigr )}\\{\dot {\mathbf {P} }}(t)&=\mathbf {F} (t)\mathbf {P} (t)+\mathbf {P} (t)\mathbf {F} (t)^{T}-\mathbf {K} (t)\mathbf {H} (t)\mathbf {P} (t)+\mathbf {Q} (t)\\\mathbf {K} (t)&=\mathbf {P} (t)\mathbf {H} (t)^{T}\mathbf {R} (t)^{-1}\\\mathbf {F} (t)&=\left.{\frac {\partial f}{\partial \mathbf {x} }}\right\vert _{{\hat {\mathbf {x} }}(t),\mathbf {u} (t)}\\\mathbf {H} (t)&=\left.{\frac {\partial h}{\partial \mathbf {x} }}\right\vert _{{\hat {\mathbf {x} }}(t)}\end{aligned}}}$

В отличие от дискретного по времени расширенного фильтра Калмана, в непрерывном по времени расширенном фильтре Калмана этапы прогнозирования и обновления объединены. ^[13]

Дискретные измерения времени

Большинство физических систем представлены в виде непрерывных временных моделей, в то время как дискретные временные измерения часто используются для оценки состояния с помощью цифрового процессора. Таким образом, модель системы и модель измерения задаются как

${\displaystyle {\begin{aligned}{\dot {\mathbf {x} }}(t)&=f{\bigl (}\mathbf {x} (t),\mathbf {u} (t){\bigr )}+\mathbf {w} (t)&\mathbf {w} (t)&\sim {\mathcal {N}}{\bigl (}\mathbf {0} ,\mathbf {Q} (t){\bigr )}\\\mathbf {z} _{k}&=h(\mathbf {x} _{k})+\mathbf {v} _{k}&\mathbf {v} _{k}&\sim {\mathcal {N}}(\mathbf {0} ,\mathbf {R} _{k})\end{aligned}}}$

где . ${\displaystyle \mathbf {x} _{k}=\mathbf {x} (t_{k})}$

Инициализировать

${\displaystyle {\hat {\mathbf {x} }}_{0|0}=E{\bigl [}\mathbf {x} (t_{0}){\bigr ]},\mathbf {P} _{0|0}=E{\bigl [}\left(\mathbf {x} (t_{0})-{\hat {\mathbf {x} }}(t_{0})\right)\left(\mathbf {x} (t_{0})-{\hat {\mathbf {x} }}(t_{0})\right)^{T}{\bigr ]}}$

Предсказывать

${\displaystyle {\begin{aligned}{\text{solve }}&{\begin{cases}{\dot {\hat {\mathbf {x} }}}(t)=f{\bigl (}{\hat {\mathbf {x} }}(t),\mathbf {u} (t){\bigr )}\\{\dot {\mathbf {P} }}(t)=\mathbf {F} (t)\mathbf {P} (t)+\mathbf {P} (t)\mathbf {F} (t)^{T}+\mathbf {Q} (t)\end{cases}}\qquad {\text{with }}{\begin{cases}{\hat {\mathbf {x} }}(t_{k-1})={\hat {\mathbf {x} }}_{k-1|k-1}\\\mathbf {P} (t_{k-1})=\mathbf {P} _{k-1|k-1}\end{cases}}\\\Rightarrow &{\begin{cases}{\hat {\mathbf {x} }}_{k|k-1}={\hat {\mathbf {x} }}(t_{k})\\\mathbf {P} _{k|k-1}=\mathbf {P} (t_{k})\end{cases}}\end{aligned}}}$

где

${\displaystyle \mathbf {F} (t)=\left.{\frac {\partial f}{\partial \mathbf {x} }}\right\vert _{{\hat {\mathbf {x} }}(t),\mathbf {u} (t)}}$

Обновлять

${\displaystyle \mathbf {K} _{k}=\mathbf {P} _{k|k-1}\mathbf {H} _{k}^{T}{\bigl (}\mathbf {H} _{k}\mathbf {P} _{k|k-1}\mathbf {H} _{k}^{T}+\mathbf {R} _{k}{\bigr )}^{-1}}$

${\displaystyle {\hat {\mathbf {x} }}_{k|k}={\hat {\mathbf {x} }}_{k|k-1}+\mathbf {K} _{k}{\bigl (}\mathbf {z} _{k}-h({\hat {\mathbf {x} }}_{k|k-1}){\bigr )}}$

${\displaystyle \mathbf {P} _{k|k}=(\mathbf {I} -\mathbf {K} _{k}\mathbf {H} _{k})\mathbf {P} _{k|k-1}}$

где

${\displaystyle {\textbf {H}}_{k}=\left.{\frac {\partial h}{\partial {\textbf {x}}}}\right\vert _{{\hat {\textbf {x}}}_{k|k-1}}}$

Уравнения обновления идентичны уравнениям дискретного по времени расширенного фильтра Калмана.

Расширенные фильтры Калмана более высокого порядка

Вышеуказанная рекурсия представляет собой расширенный фильтр Калмана (EKF) первого порядка. EKF более высокого порядка могут быть получены путем сохранения большего количества членов разложений ряда Тейлора. Например, были описаны EKF второго и третьего порядка. ^[14] Однако EKF более высокого порядка, как правило, обеспечивают преимущества производительности только тогда, когда шум измерения мал.

Формулировка и уравнения неаддитивного шума

Типичная формулировка EKF включает предположение об аддитивном процессе и шуме измерения. Однако это предположение не является необходимым для реализации EKF . ^[15] Вместо этого рассмотрим более общую систему вида:

${\displaystyle {\boldsymbol {x}}_{k}=f({\boldsymbol {x}}_{k-1},{\boldsymbol {u}}_{k-1},{\boldsymbol {w}}_{k-1})}$

${\displaystyle {\boldsymbol {z}}_{k}=h({\boldsymbol {x}}_{k},{\boldsymbol {v}}_{k})}$

Здесь w _k и v _k — это шумы процесса и наблюдения, которые оба предполагаются как нулевые средние многомерные гауссовские шумы с ковариацией Q _k и R _k соответственно. Тогда уравнения ковариационного прогнозирования и инноваций становятся

${\displaystyle {\boldsymbol {P}}_{k|k-1}={{\boldsymbol {F}}_{k-1}}{{\boldsymbol {P}}_{k-1|k-1}}{{\boldsymbol {F}}_{k-1}^{T}}{+}{{\boldsymbol {L}}_{k-1}}{{\boldsymbol {Q}}_{k-1}}{{\boldsymbol {L}}_{k-1}^{T}}}$

${\displaystyle {\boldsymbol {S}}_{k}={{\boldsymbol {H}}_{k}}{{\boldsymbol {P}}_{k|k-1}}{{\boldsymbol {H}}_{k}^{T}}{+}{{\boldsymbol {M}}_{k}}{{\boldsymbol {R}}_{k}}{{\boldsymbol {M}}_{k}^{T}}}$

где матрицы и являются матрицами Якоби: ${\displaystyle {\boldsymbol {L}}_{k-1}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {M}}_{k}}$

${\displaystyle {{\boldsymbol {L}}_{k-1}}=\left.{\frac {\partial f}{\partial {\boldsymbol {w}}}}\right\vert _{{\hat {\boldsymbol {x}}}_{k-1|k-1},{\boldsymbol {u}}_{k-1}}}$

${\displaystyle {{\boldsymbol {M}}_{k}}=\left.{\frac {\partial h}{\partial {\boldsymbol {v}}}}\right\vert _{{\hat {\boldsymbol {x}}}_{k|k-1}}}$

Прогнозируемая оценка состояния и остаток измерения оцениваются по среднему значению терминов шума процесса и измерения, которое предполагается равным нулю. В противном случае формулировка неаддитивного шума реализуется таким же образом, как и аддитивный шум EKF .

Неявный расширенный фильтр Калмана

В некоторых случаях модель наблюдения нелинейной системы не может быть решена относительно , ​​но может быть выражена неявной функцией : ${\displaystyle {\boldsymbol {z}}_{k}}$

${\displaystyle h({\boldsymbol {x}}_{k},{\boldsymbol {z'}}_{k})={\boldsymbol {0}}}$

где шумные наблюдения. ${\displaystyle {\boldsymbol {z}}_{k}={\boldsymbol {z'}}_{k}+{\boldsymbol {v}}_{k}}$

Обычный расширенный фильтр Калмана можно применять со следующими заменами: ^{[16] [17]}

${\displaystyle {{\boldsymbol {R}}_{k}}\leftarrow {{\boldsymbol {J}}_{k}}{{\boldsymbol {R}}_{k}}{{\boldsymbol {J}}_{k}^{T}}}$

${\displaystyle {\tilde {\boldsymbol {y}}}_{k}\leftarrow -h({\hat {\boldsymbol {x}}}_{k|k-1},{\boldsymbol {z}}_{k})}$

где:

${\displaystyle {{\boldsymbol {J}}_{k}}=\left.{\frac {\partial h}{\partial {\boldsymbol {z}}}}\right\vert _{{\hat {\boldsymbol {x}}}_{k|k-1},{\boldsymbol {z}}_{k}}}$

Здесь исходная матрица ковариации наблюдения преобразуется, и инновация определяется по-другому. Матрица Якоби определяется как и прежде, но определяется из неявной модели наблюдения . ${\displaystyle {{\boldsymbol {R}}_{k}}}$ ${\displaystyle {\tilde {\boldsymbol {y}}}_{k}}$ ${\displaystyle {{\boldsymbol {H}}_{k}}}$ ${\displaystyle h({\boldsymbol {x}}_{k},{\boldsymbol {z}}_{k})}$

Модификации

Итерированный расширенный фильтр Калмана

Итерированный расширенный фильтр Калмана улучшает линеаризацию расширенного фильтра Калмана путем рекурсивной модификации центральной точки разложения Тейлора. Это уменьшает ошибку линеаризации за счет увеличения вычислительных требований. ^[17]

Надежный расширенный фильтр Калмана

Надежный расширенный фильтр Калмана возникает путем линеаризации модели сигнала относительно текущей оценки состояния и использования линейного фильтра Калмана для прогнозирования следующей оценки. Это пытается создать локально оптимальный фильтр, однако он не обязательно стабилен, поскольку решения базового уравнения Риккати не гарантированно будут положительно определенными. Одним из способов улучшения производительности является метод ложного алгебраического Риккати ^[18], который жертвует оптимальностью ради устойчивости. Знакомая структура расширенного фильтра Калмана сохраняется, но устойчивость достигается путем выбора положительно определенного решения ложного алгебраического уравнения Риккати для расчета усиления.

Другой способ улучшения производительности расширенного фильтра Калмана — использовать результаты H-infinity из надежного управления. Надежные фильтры получаются путем добавления положительно определенного члена к уравнению Риккати. ^[19] Дополнительный член параметризуется скаляром, который проектировщик может настроить для достижения компромисса между критериями производительности среднеквадратической ошибки и пиковой ошибки.

Инвариантный расширенный фильтр Калмана

Инвариантный расширенный фильтр Калмана (IEKF) представляет собой модифицированную версию EKF для нелинейных систем, обладающих симметриями (или инвариантностями ). Он сочетает в себе преимущества как EKF, так и недавно введенных фильтров, сохраняющих симметрию . Вместо использования линейного поправочного члена, основанного на линейной выходной ошибке, IEKF использует геометрически адаптированный поправочный член, основанный на инвариантной выходной ошибке; таким же образом матрица усиления обновляется не из линейной ошибки состояния, а из инвариантной ошибки состояния. Главное преимущество заключается в том, что уравнения усиления и ковариации сходятся к постоянным значениям на гораздо большем наборе траекторий, чем точки равновесия, как это имеет место для EKF, что приводит к лучшей сходимости оценки.

Фильтры Калмана без запаха

Нелинейный фильтр Калмана, который обещает быть улучшением по сравнению с EKF, — это неотфильтрованный фильтр Калмана (UKF). В UKF плотность вероятности аппроксимируется детерминированной выборкой точек, которые представляют базовое распределение как гауссово . Нелинейное преобразование этих точек предназначено для оценки апостериорного распределения , моменты которого затем могут быть получены из преобразованных выборок. Преобразование известно как неотфильтрованное преобразование . UKF имеет тенденцию быть более надежным и более точным, чем EKF, в оценке ошибки во всех направлениях.

«Расширенный фильтр Калмана (EKF) — это, вероятно, наиболее широко используемый алгоритм оценки для нелинейных систем. Однако более чем 35-летний опыт в сообществе оценки показал, что его трудно реализовать, трудно настроить, и он надежен только для систем, которые почти линейны по временной шкале обновлений. Многие из этих трудностей возникают из-за использования им линеаризации». ^[1]

В статье 2012 года приводятся результаты моделирования, которые показывают, что некоторые опубликованные варианты UKF не столь точны, как расширенный фильтр Калмана второго порядка (SOEKF), также известный как расширенный фильтр Калмана. ^[20] SOEKF появился примерно на 35 лет раньше UKF, а динамика моментов была впервые описана Бассом и др. ^[21] Трудность реализации любых фильтров типа Калмана для нелинейных переходов состояний проистекает из проблем численной устойчивости, необходимых для точности, ^[22] однако UKF не избегает этой трудности, поскольку он также использует линеаризацию, а именно линейную регрессию . Проблемы устойчивости для UKF обычно вытекают из численного приближения к квадратному корню из ковариационной матрицы, тогда как проблемы устойчивости как для EKF, так и для SOEKF вытекают из возможных проблем в приближении ряда Тейлора вдоль траектории.

Фильтр Кальмана ансамбля

Фактически, UKF появился раньше ансамблевого фильтра Калмана , изобретенного Эвенсеном в 1994 году. Его преимущество перед UKF заключается в том, что число используемых членов ансамбля может быть намного меньше размерности состояния, что позволяет применять его в системах с очень высокой размерностью, например, для прогнозирования погоды, с размерами пространства состояний в миллиард и более.

Нечеткий фильтр Калмана

Недавно был предложен нечеткий фильтр Калмана с новым методом представления распределений возможностей для замены распределений вероятностей распределениями возможностей с целью получения настоящего возможностного фильтра, позволяющего использовать несимметричные шумы процесса и наблюдения, а также более высокие неточности в моделях процесса и наблюдения. ^[23]

Смотрите также

• фильтр Калмана
• Фильтр ансамбля Кальмана
• Быстрый фильтр Калмана
• Инвариантный расширенный фильтр Калмана
• Оценка движущегося горизонта
• Фильтр частиц
• Фильтр Кальмана без запаха
• Задача нелинейной фильтрации
• Проекционные фильтры

Ссылки

1. Julier, SJ; Uhlmann, JK (2004). "Неотфильтрованная фильтрация и нелинейная оценка" (PDF) . Труды IEEE . 92 (3): 401–422. doi :10.1109/jproc.2003.823141. S2CID  9614092.
2. Courses, E.; Surveys, T. (2006). «Сигма-точечные фильтры: обзор с приложениями к интегрированной навигации и визуальному управлению». IEEE Nonlinear Statistical Signal Processing Workshop 2006. стр. 201–202. doi :10.1109/NSSPW.2006.4378854. ISBN 978-1-4244-0579-4. S2CID  18535558.
3. RE Kalman (1960). «Вклад в теорию оптимального управления». Bol. Soc. Mat. Mexicana : 102–119. CiteSeerX 10.1.1.26.4070 . 
4. RE Kalman (1960). "Новый подход к проблемам линейной фильтрации и прогнозирования" (PDF) . Journal of Basic Engineering . 82 : 35–45. doi :10.1115/1.3662552. S2CID  1242324.
5. RE Kalman; RS Bucy (1961). "Новые результаты в линейной фильтрации и теории предсказания" (PDF) . Журнал базовой инженерии . 83 : 95–108. doi :10.1115/1.3658902. S2CID  8141345.
6. Брюс А. МакЭлхо (1966). «Оценка навигации и коррекции курса для пилотируемого пролета Марса или Венеры». Труды IEEE по аэрокосмическим и электронным системам . 2 (4): 613–623. Bibcode : 1966ITAES...2..613M. doi : 10.1109/TAES.1966.4501892. S2CID  51649221.
7. GL Smith; SF Schmidt и LA McGee (1962). «Применение теории статистических фильтров к оптимальной оценке положения и скорости на борту окололунного аппарата». Национальное управление по аэронавтике и исследованию космического пространства.
8. Хуан, Гоцюань П.; Мурикис, Анастасиос И.; Румелиотис, Стергиос И. (2008). «Анализ и улучшение согласованности SLAM на основе расширенного фильтра Калмана». Робототехника и автоматизация, 2008. ICRA 2008. Международная конференция IEEE по . стр. 473–479. doi :10.1109/ROBOT.2008.4543252.
9. М. Хазевинкель, СИ Маркус, Х. Дж. Сассманн (1983). Несуществование конечномерных фильтров для условных статистик кубической проблемы датчика. Systems & Control Letters 3(6), страницы 331-340, https://doi.org/10.1016/0167-6911(83)90074-9.
10. Бриго, Дамиано ; Ханзон, Бернар; ЛеГланд, Франсуа (1998). «Дифференциально-геометрический подход к нелинейной фильтрации: проекционный фильтр» (PDF) . IEEE Transactions on Automatic Control . 43 (2): 247–252. doi :10.1109/9.661075.
11. Армстронг, Джон; Бриго, Дамиано (2016). «Нелинейная фильтрация с помощью стохастической проекции PDE на смешанных многообразиях в прямой метрике L2». Математика управления, сигналов и систем . 28 (1): 1–33. doi :10.1007/s00498-015-0154-1. hdl : 10044/1/30130 . S2CID  42796459.
12. Азими-Саджади, Бабак; Кришнапрасад, ПС (2005). «Приближенная нелинейная фильтрация и ее применение в навигации». Automatica . 41 (6): 945–956. doi :10.1016/j.automatica.2004.12.013.
13. Браун, Роберт Гровер; Хванг, Патрик YC (1997). Введение в случайные сигналы и прикладную фильтрацию Калмана (3-е изд.). Нью-Йорк: John Wiley & Sons. стр. 289–293. ISBN 978-0-471-12839-7.
14. Эйнике, GA (2019). Сглаживание, фильтрация и прогнозирование: оценка прошлого, настоящего и будущего (2-е изд.) . Amazon Prime Publishing. ISBN 978-0-6485115-0-2.
15. Саймон, Дэн (2006). Оптимальная оценка состояния . Хобокен, Нью-Джерси: John Wiley & Sons. ISBN 978-0-471-70858-2.
16. Quan, Quan (2017). Введение в проектирование и управление мультикоптерами . Сингапур: Springer. ISBN 978-981-10-3382-7.
17. Zhang, Zhengyou (1997). "Методы оценки параметров: учебное пособие с применением к конической подгонке" (PDF) . Image and Vision Computing . 15 (1): 59–76. doi :10.1016/s0262-8856(96)01112-2. ISSN  0262-8856.
18. Эйнике, GA; Уайт, LB; Битмид, RR (сентябрь 2003 г.). «Использование ложных алгебраических уравнений Риккати для демодуляции в совмещенном канале». IEEE Trans. Signal Process . 51 (9): 2288–2293. Bibcode : 2003ITSP...51.2288E. doi : 10.1109/tsp.2003.815376. hdl : 2440/2403 .
19. Эйнике, GA; Уайт, LB (сентябрь 1999). «Надежная расширенная фильтрация Калмана». IEEE Trans. Signal Process . 47 (9): 2596–2599. Bibcode : 1999ITSP...47.2596E. doi : 10.1109/78.782219.
20. Густафссон, Ф.; Хендебю, Г.; «Некоторые связи между расширенными и неароматизированными фильтрами Калмана», Обработка сигналов, Труды IEEE, т. 60, № 2, стр. 545-555, февраль 2012 г.
21. Р. Басс, В. Норум и Л. Шварц, «Оптимальная многоканальная нелинейная фильтрация (задача оптимальной многоканальной нелинейной фильтрации минимальной дисперсионной оценки состояния n-мерной нелинейной системы, подверженной стохастическому возмущению)», J. Mathematical Analysis and Applications, т. 16, стр. 152–164, 1966
22. Mohinder S. Grewal; Angus P. Andrews (2 февраля 2015 г.). Фильтрация Калмана: теория и практика с MATLAB. John Wiley & Sons. ISBN 978-1-118-98496-3.
23. Matía, F.; Jiménez, V.; Alvarado, BP; Haber, R. (январь 2021 г.). « Нечеткий фильтр Калмана: улучшение его реализации путем переформулирования представления неопределенности ». Fuzzy Sets Syst . 402 : 78–104. doi : 10.1016/j.fss.2019.10.015. S2CID  209913435.

Дальнейшее чтение

• Андерсон, БДО; Мур, Дж. Б. (1979). Оптимальная фильтрация . Энглвуд Клиффс, Нью-Джерси: Prentice–Hall.

• Гелб, А. (1974). Прикладная оптимальная оценка . MIT Press.

• Jazwinski, Andrew H. (1970). Стохастические процессы и фильтрация . Математика в науке и технике. Нью-Йорк: Academic Press . С. 376. ISBN 978-0-12-381550-7.

• Мейбек, Питер С. (1979). Стохастические модели, оценка и управление . Математика в науке и технике. Т. 141–1. Нью-Йорк: Academic Press . С. 423. ISBN 978-0-12-480701-3.

Внешние ссылки

• Оценка положения робота с дифференциальным приводом на основе одометрии и ориентиров