Сила трех

Тройка в целой степени

81 (3 ⁴ ) комбинации гирь 1 (3 ⁰ ), 3 (3 ¹ ), 9 (3 ² ) и 27 (3 ³ ) кг – каждая гиря на левой чашке, правой чашке или неиспользованной – позволяют использовать целые веса от от −40 до +40 кг на балансе; на рисунке показаны положительные значения

В математике степенью тройки называется число вида 3 ^n, где n — целое число , то есть результат возведения в степень с числом три в качестве основания и целым числом  n в качестве показателя степени .

Приложения

Степени трех дают значения мест в троичной системе счисления . ^[1]

Теория графов

В теории графов степени тройки появляются в оценке Муна–Мозера 3 ^{n /3} числа максимальных независимых множеств n- вершинного графа [ ^2] и во временном анализе алгоритма Брона–Кербоша для нахождения этих множеств . . ^[3] Некоторые важные сильно регулярные графы также имеют число вершин, равное степени трёх, включая граф Брауэра–Хемерса (81 вершина), граф Берлекампа–ван Линта–Зейделя (243 вершины) и граф Игр (729 вершин). ). ^[4]

Перечислительная комбинаторика

В перечислительной комбинаторике в наборе из n элементов имеется 3 ⁿ знаковых подмножества . В полиэдральной комбинаторике гиперкуб и все другие многогранники Ханнера имеют количество граней (не считая пустого множества как грани) , равное степени трёх. Например, 2-куб , или квадрат , имеет 4 вершины, 4 ребра и 1 грань, а также 4 + 4 + 1 = 3 ² . Трехмерная ^{гипотеза} Калаи утверждает , что это минимально возможное количество граней центрально-симметричного многогранника. ^[5]

Обратная степень трех длин

В занимательной математике и фрактальной геометрии длины, обратные степени трёх, встречаются в конструкциях, приводящих к снежинке Коха , ^[6] множестве Кантора , ^[7] ковре Серпинского и губке Менгера , в числе элементов на этапах построения для Треугольник Серпинского и во многих формулах, относящихся к этим множествам. Существует 3 ⁿ возможных состояний в n -дисковой головоломке Ханойской башни или вершин в связанном с ней ханойском графе . ^[8] В головоломке с весами , состоящей из w шагов взвешивания, есть 3 ^w возможных исхода (последовательности, в которых весы наклоняются влево или вправо или остаются в равновесии); Степени трех часто возникают при решении этих головоломок, и было высказано предположение, что (по тем же причинам) степени трех могли бы составить идеальную систему монет . ^[9]

Идеальные числа

В теории чисел все степени трёх являются совершенными числами . ^[10] Суммы различных степеней трех образуют последовательность Стэнли , лексикографически наименьшую последовательность, которая не содержит арифметической прогрессии трех элементов. ^[11] Гипотеза Пола Эрдеша утверждает, что эта последовательность не содержит никаких степеней двойки, кроме 1, 4 и 256. ^[12]

номер Грэма

Число Грэма , огромное число, возникающее в результате доказательства теории Рэмсея , является (в версии, популяризированной Мартином Гарднером ) степенью трёх. Однако в фактической публикации доказательства Рональда Грэма использовалось другое число, которое представляет собой степень двойки и намного меньше. ^[13]

Смотрите также

• Сила 10
• Сила двух
• Квадратный корень из 3

Рекомендации

1. Рануччи, Эрнест Р. (декабрь 1968 г.), «Дразнящая тройная система», Учитель арифметики , 15 (8): 718–722, doi : 10.5951/AT.15.8.0718, JSTOR  41185884
2. Мун, JW; Мозер, Л. (1965), «О кликах в графах», Израильский математический журнал , 3 : 23–28, doi : 10.1007/BF02760024, MR  0182577, S2CID  9855414
3. Томита, Эцудзи; Танака, Акира; Такахаши, Харухиса (2006), «Временная сложность в наихудшем случае для генерации всех максимальных клик и вычислительных экспериментов», Theoretical Computer Science , 363 (1): 28–42, doi :10.1016/j.tcs.2006.06.015
4. Графики Брауэра-Хемерса и игр см. Бондаренко, Андрей В.; Радченко, Даниил В. (2013), «О семействе сильно регулярных графов с », Журнал комбинаторной теории , серия B, 103 (4): 521–531, arXiv : 1201.0383 , doi : 10.1016/j.jctb.2013.05 .005 , МР  3071380 ${\displaystyle \lambda =1}$. Графики Берлекампа-ван Линта-Зейделя и игр см. van Lint, JH ; Брауэр, А.Е. (1984), «Строго регулярные графы и частичная геометрия» (PDF) , в Джексоне, Дэвид М .; Ванстон, Скотт А. (ред.), Перечисление и проектирование: материалы конференции по комбинаторике, состоявшейся в Университете Ватерлоо, Ватерлоо, Онтарио, 14 июня – 2 июля 1982 г. , Лондон: Academic Press, стр. 85–122. , МР  0782310
5. Калаи, Гил (1989), «Число граней центрально-симметричных многогранников», Graphs and Combinatorics , 5 (1): 389–391, doi : 10.1007/BF01788696, MR  1554357, S2CID  8917264
6. фон Кох, Хельге (1904), «Sur une courbe continue sans tangente, obtenue par une geométrique élémentaire», Arkiv for Matematik (на французском языке), 1 : 681–704, JFM  35.0387.02
7. См., например, Михайла, Иоана (2004), «Обоснование множества Кантора», The College Mathematics Journal , 35 (4): 251–255, doi : 10.2307/4146907, JSTOR  4146907, MR  2076132.
8. Хинц, Андреас М.; Клавжар, Санди ; Милутинович, Урош; Петр, Сирил (2013), «2.3 Ханойские графики», Ханойская башня - мифы и математика , Базель: Birkhäuser, стр. 120–134, doi : 10.1007/978-3-0348-0237-6, ISBN 978-3-0348-0236-9, МР  3026271
9. Тельсер, Л.Г. (октябрь 1995 г.), «Оптимальные номиналы монет и валюты», Economics Letters , 49 (4): 425–427, doi : 10.1016/0165-1765(95)00691-8
10. Яннуччи, Дуглас Э.; Дэн, Муджи; Коэн, Грэм Л. (2003), «О совершенных числах», Журнал целочисленных последовательностей , 6 (4), статья 03.4.5, Бибкод : 2003JIntS...6...45I, MR  2051959
11. Слоан, Нью-Джерси (редактор), «Последовательность A005836», Интернет -энциклопедия целочисленных последовательностей , Фонд OEIS
12. Гупта, Хансрай (1978), «Степени 2 и суммы различных степеней 3», Univerzitet u Beogradu Publikacije Elektrotehničkog Fakulteta, Serija Matematika i Fizika (602–633): 151–158 (1979), MR  0580438
13. Гарднер, Мартин (ноябрь 1977 г.), «В котором соединение наборов точек ведет к различным (и отклоняющимся) путям», Scientific American , 237 (5): 18–28, Бибкод : 1977SciAm.237e..18G, doi : 10.1038 /scientificamerican1177-18