Стохастическая квантовая механика

Интерпретация квантовой механики

Стохастическая механика — это структура для описания динамики частиц, которые подвергаются внутренним случайным процессам, а также различным внешним силам. Структура обеспечивает вывод уравнений диффузии, связанных с этими стохастическими частицами. Она наиболее известна своим выводом уравнения Шредингера как уравнения Колмогорова для определенного типа консервативной (или унитарной) диффузии, ^{[1] [2]} и для этой цели ее также называют стохастической квантовой механикой .

Вывод может быть основан на экстремизации действия в сочетании с предписанием квантования . ^[2] Это предписание квантования можно сравнить с каноническим квантованием и формулировкой интеграла по траектории , и его часто называют стохастическим квантованием Нельсона или стохастизацией. ^[3] Поскольку теория допускает вывод уравнения Шредингера, она дала начало стохастической интерпретации квантовой механики. Эта интерпретация послужила основной мотивацией для разработки теории стохастической механики. ^[1]

Первая относительно последовательная стохастическая теория квантовой механики была выдвинута венгерским физиком Имре Феньешем . ^{[4] [5] [6] [7]} Луи де Бройль ^[8] счел необходимым включить стохастический процесс, лежащий в основе квантовой механики, чтобы заставить частицы переключаться с одной пилотной волны на другую. ^[7] Теория стохастической механики приписывается Эдварду Нельсону , который независимо открыл вывод уравнения Шредингера в рамках этой структуры. ^{[1] [2]} Эту теорию также развивали Дэвидсон, Герра , Руджеро, Павон и другие. ^[7]

Стохастическая интерпретация квантовой механики

Стохастическая интерпретация интерпретирует пути в формулировке интеграла по траектории квантовой механики как выборочные пути стохастического процесса . ^[9] Она постулирует, что квантовые частицы локализованы на одном из этих путей, но наблюдатели не могут с уверенностью предсказать, где локализована частица. Единственный способ определить местоположение частицы — выполнить измерение. Наблюдатель может только предсказать вероятности результатов такого измерения на основе своих более ранних измерений и своих знаний о силах, которые действуют на частицу.

Эта интерпретация хорошо известна из контекста статистической механики ^[9] и броуновского движения в частности. Следовательно, согласно стохастической интерпретации, квантовая механика должна интерпретироваться аналогично броуновскому движению. ^[1] Однако в случае броуновского движения существование вероятностной меры (называемой мерой Винера ^[10] ) , которая определяет статистический интеграл по траектории, хорошо установлено, и эта мера может быть сгенерирована стохастическим процессом, называемым винеровским процессом ^[11] С другой стороны, доказательство существования вероятностной меры, которая определяет квантово-механический интеграл по траектории, сталкивается с трудностями ^{[12] [13],} и не гарантируется, что такая вероятностная мера может быть сгенерирована стохастическим процессом. Стохастическая механика является структурой, связанной с построением таких стохастических процессов, которые генерируют вероятностную меру для квантовой механики.

Для броуновского движения известно, что статистические флуктуации броуновской частицы часто вызываются взаимодействием частицы с большим количеством микроскопических частиц. ^{[14] [15] [16] [17]} В этом случае описание броуновского движения в терминах винеровского процесса используется только как приближение, которое пренебрегает динамикой отдельных частиц на заднем плане. Вместо этого оно описывает влияние этих фоновых частиц их статистическим поведением.

Стохастическая интерпретация квантовой механики является агностической относительно происхождения квантовых флуктуаций квантовой частицы. Она вводит квантовые флуктуации как результат нового стохастического закона природы, называемого фоновой гипотезой. ^[2] Эту гипотезу можно интерпретировать как строгую реализацию утверждения, что «Бог играет в кости», но она оставляет открытой возможность того, что эта игра в кости заменяется теорией скрытых переменных, как в теории броуновского движения. ^[18]

Оставшаяся часть статьи посвящена определению такого процесса и выводу уравнений диффузии, связанных с этим процессом. Это делается в общей постановке с броуновским движением и квантовой механикой в ​​качестве специальных пределов, где получаются соответственно уравнение теплопроводности и уравнение Шредингера . Вывод в значительной степени опирается на инструменты из механики Лагранжа и стохастического исчисления .

Стохастическое квантование

Постулаты стохастической механики можно суммировать в условии стохастического квантования, сформулированном Нельсоном. ^[2] Для нерелятивистской теории при этом условии утверждается: ^[19] ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

• траектория квантовой частицы описывается действительной проекцией комплексного полумартингала : с , где — непрерывный конечный вариационный процесс, а — комплексный мартингал , ${\displaystyle X(t)={\rm {Re}}[Z(t)]}$ ${\displaystyle Z(t)=C(t)+M(t)}$ ${\displaystyle C(t)}$ ${\displaystyle M(t)}$
• траектория стохастически экстремизирует действие , ${\displaystyle S=\mathbb {E} \left[\int L\,dt\right]}$
• мартингал — это непрерывный процесс с независимыми приращениями и конечными моментами . Более того, его квадратичное изменение фиксируется структурным соотношением, где — масса частицы, приведенная постоянная Планка , — безразмерная константа, а — дельта Кронекера , ^[20] ${\displaystyle M(t)}$ ${\displaystyle d[M^{i},M^{j}]={\frac {\alpha \,\hbar }{m}}\,\delta ^{ij}\,dt}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle \hbar }$ ${\displaystyle \alpha =|\alpha |e^{{\rm {i}}\phi }\in \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \delta ^{ij}}$
• процесс, обращенный во времени, существует и подчиняется тем же динамическим законам.

Используя разложение и тот факт, что имеет конечную вариацию, можно обнаружить, что квадратичная вариация и определяется выражением ${\displaystyle Z=X+{\rm {i}}\,Y}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$

${\displaystyle {\begin{pmatrix}d[X^{i},X^{j}]&d[X^{i},Y^{j}]\\d[Y^{i},X^{j}]&d[Y^{i},Y^{j}]\end{pmatrix}}={\frac {|\alpha |\,\hbar }{2\,m}}\,\delta ^{ij}\,{\begin{pmatrix}1+\cos \phi &\sin \phi \\\sin \phi &1-\cos \phi \end{pmatrix}}\,dt}$

Следовательно, по характеристике Леви броуновского движения, и описать два коррелированных винеровских процесса с дрейфом, описываемым конечным вариационным процессом , постоянной диффузии, масштабирующейся с , и корреляцией, зависящей от угла . Процессы максимально коррелированы в квантовом пределе, связанном с и соответствующем , тогда как они некоррелированы в броуновском пределе, связанном с и соответствующем , ${\displaystyle X(t)}$ ${\displaystyle Y(t)}$ ${\displaystyle C(t)}$ ${\displaystyle |\alpha |\in [0,\infty )}$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle \phi \in \left\{-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}\right\}}$ ${\displaystyle \alpha \in {\rm {i}}\times \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \phi \in \{0,\pi \}}$ ${\displaystyle \alpha \in \mathbb {R} }$

Термин «стохастическое квантование» для описания этой процедуры квантования был введен в 1970-х годах. ^[21] В настоящее время под стохастическим квантованием чаще всего понимают структуру, разработанную Паризи и Ву в 1981 году. Следовательно, процедура квантования, разработанная в стохастической механике, иногда также называется стохастическим квантованием Нельсона или стохастизацией. ^[3]

Скорость процесса

Стохастический процесс почти наверняка нигде не дифференцируем, так что скорость вдоль процесса не является хорошо определенной. Однако существуют поля скорости, определяемые с использованием условных ожиданий. Они задаются как ${\displaystyle Z(t)}$ ${\displaystyle {\dot {Z}}(t)={\frac {dZ(t)}{dt}}}$

${\displaystyle w_{+}(x,t)=\lim _{dt\rightarrow 0}\mathbb {E} \left[{\frac {Z(t+dt)-Z(t)}{dt}}\,{\Big |}\,X(t)=x\right],}$

${\displaystyle w_{-}(x,t)=\lim _{dt\rightarrow 0}\mathbb {E} \left[{\frac {Z(t)-Z(t-dt)}{dt}}\,{\Big |}\,X(t)=x\right],}$

и может быть связана с интегралом Ито вдоль процесса . Поскольку процесс не дифференцируем, эти скорости, в общем случае, не равны друг другу. Физическая интерпретация этого факта такова: в любой момент времени частица подвергается воздействию случайной силы, которая мгновенно изменяет ее скорость с на . Поскольку два поля скорости не равны, нет единого понятия скорости для процесса . Фактически, любая скорость, заданная как ${\displaystyle Z(t)}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle w_{-}}$ ${\displaystyle w_{+}}$ ${\displaystyle Z(t)}$

${\displaystyle w_{a}=a\ w_{+}+(1-a)\ w_{-}}$с представляет собой допустимый выбор скорости процесса . Это особенно верно для специального случая, обозначенного , который может быть связан с интегралом Стратоновича по . ${\displaystyle a\in [0,1]}$ ${\displaystyle Z(t)}$ ${\displaystyle a={\frac {1}{2}}}$ ${\displaystyle w_{\circ }={\frac {w_{+}+w_{-}}{2}}}$ ${\displaystyle Z(t)}$

Так как имеет неисчезающую квадратичную вариацию , можно дополнительно определить поля скорости второго порядка, заданные как ${\displaystyle Z(t)}$

${\displaystyle w_{2,+}(x,t)=\lim _{dt\rightarrow 0}\mathbb {E} \left[{\frac {[Z(t+dt)-Z(t)]\otimes [Z(t+dt)-Z(t)]}{dt}}\ {\Big |}\ X(t)=x\right],}$

${\displaystyle w_{2,-}(x,t)=\lim _{dt\rightarrow 0}\mathbb {E} \left[{\frac {[Z(t)-Z(t-dt)]\otimes [Z(t)-Z(t-dt)]}{dt}}\ {\Big |}\ X(t)=x\right].}$

Постулат обратимости времени накладывает на эти два поля такое соотношение, что . Более того, используя структурное соотношение, с помощью которого фиксируется квадратичная вариация, находим, что . Отсюда следует, что в формулировке Стратоновича вторая часть скорости обращается в нуль, т.е. . ${\displaystyle w_{2,\pm }=\pm \,w_{2}}$ ${\displaystyle w_{2}^{ij}(x,t)={\frac {\alpha \,\hbar }{m}}\,\delta ^{ij}}$ ${\displaystyle w_{2,\circ }=0}$

Действительная и мнимая часть скоростей определяются как

${\displaystyle v={\rm {Re}}(w)\qquad {\rm {and}}\qquad u={\rm {Im}}(w)\,.}$

Используя существование этих полей скорости, можно формально определить процессы скорости с помощью интеграла Ито . Аналогично, можно формально определить процесс с помощью интеграла Стратоновича и процесс скорости второго порядка с помощью интеграла Стилтьеса . Используя структурное соотношение, можно затем обнаружить, что процесс скорости второго порядка задается выражением . Однако процессы и не определены хорошо: первые моменты существуют и задаются выражением , но квадратичные моменты расходятся, т. е . . Физическая интерпретация этого расхождения заключается в том, что в представлении положения положение известно точно, но скорость имеет бесконечную неопределенность. ${\displaystyle W_{\pm }(t)}$ ${\displaystyle \int W_{\pm }(t)\ dt=\int d_{\pm }Z(t)}$ ${\displaystyle W_{\circ }(t)}$ ${\displaystyle \int W_{\circ }(t)\ dt=\int d_{\circ }Z(t)}$ ${\displaystyle W_{2}(t)}$ ${\displaystyle \int W_{2}(t)\ dt=\int d[Z,Z](t)}$ ${\displaystyle W_{2}^{ij}(t)={\frac {\alpha \ \hbar }{m}}\ \delta ^{ij}}$ ${\displaystyle W_{\pm }(t)}$ ${\displaystyle W_{\circ }(t)}$ ${\displaystyle \mathbb {E} [W_{\pm }(t)\ |\ X(t)]=w_{\pm }(X(t),t)}$ ${\displaystyle \mathbb {E} [||W_{\pm }(t)||^{2}\ |\ X(t)]=\infty }$

Стохастическое действие

Условие стохастического квантования утверждает, что стохастическая траектория должна экстремизировать стохастическое действие , но не определяет стохастический лагранжиан . Этот лагранжиан может быть получен из классического лагранжиана с помощью стандартной процедуры. Здесь мы рассматриваем классический лагранжиан вида ${\displaystyle S=\mathbb {E} \left[\int L\,dt\right]}$ ${\displaystyle L}$

${\displaystyle L(x,v,t)={\frac {m}{2}}\delta _{ij}v^{i}v^{j}+q\,A_{i}(x,t)\,v^{i}-{\mathfrak {U}}(x,t).}$

Здесь — координаты в фазовом пространстве ( касательное расслоение ), — дельта Кронекера , описывающая метрику на , обозначает массу частицы, заряд под векторным потенциалом , а — скалярный потенциал. Более того, предполагается соглашение Эйнштейна о суммировании . ${\displaystyle (x,v)}$ ${\displaystyle \delta _{ij}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle {\mathfrak {U}}}$

Важным свойством этого лагранжиана является принцип калибровочной инвариантности . Это можно сделать явным, определив новое действие посредством добавления к исходному действию члена полной производной, так что ${\displaystyle {\tilde {S}}}$

${\displaystyle {\tilde {S}}[x(t)]=S[x(t)]+\int dF(x,t)=\int \left[{\frac {m}{2}}\delta _{ij}v^{i}v^{j}+qA_{i}v^{i}-{\mathfrak {U}}+\partial _{t}F+v^{i}\partial _{i}F\right]dt=\int \left[{\frac {m}{2}}\delta _{ij}v^{i}v^{j}+q{\tilde {A}}_{i}v^{i}-{\tilde {\mathfrak {U}}}\right]dt,}$

где и . Таким образом, поскольку динамика не должна зависеть от добавления полной производной к действию, действие калибровочно инвариантно относительно приведенного выше переопределения потенциалов для произвольной дифференцируемой функции . ${\displaystyle {\tilde {A}}_{i}=A_{i}+q^{-1}\partial _{i}F}$ ${\displaystyle {\tilde {\mathfrak {U}}}={\mathfrak {U}}-\partial _{t}F}$ ${\displaystyle F}$

Чтобы построить стохастический лагранжиан, соответствующий этому классическому лагранжиану, нужно найти минимальное расширение указанного выше лагранжиана, которое соблюдает эту калибровочную инвариантность. ^[22] В формулировке теории Стратоновича это можно сделать напрямую, поскольку дифференциальный оператор в формулировке Стратоновича задается выражением

${\displaystyle \int d_{\circ }F(x,t)=\int \left(\partial _{t}F+v_{\circ }^{i}\partial _{i}F\right)dt\,.}$

Следовательно, лагранжиан Стратоновича можно получить, заменив классическую скорость комплексной скоростью , так что ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle w_{\circ }}$

${\displaystyle L_{\circ }(x,w_{\circ },t)={\frac {m}{2}}\delta _{ij}w_{\circ }^{i}w_{\circ }^{j}+qA_{i}w_{\circ }^{i}-{\mathfrak {U}}\,.}$

В формулировке Ито все сложнее, поскольку полная производная задается леммой Ито : ${\displaystyle \int d_{\pm }F(x,t)=\int \left(\partial _{t}F+v_{\pm }^{i}\partial _{i}F\pm {\frac {1}{2}}v_{2}^{ij}\partial _{j}\partial _{i}F\right)dt\,.}$

Из-за присутствия производного второго порядка калибровочная инвариантность нарушается. Однако ее можно восстановить, добавив производную векторного потенциала к лагранжиану. Таким образом, стохастический лагранжиан задается лагранжианом вида

${\displaystyle L_{\pm }(x,w_{\pm },w_{2},t)={\frac {m}{2}}\delta _{ij}w_{\pm }^{i}w_{\pm }^{j}+q\,A_{i}w_{\pm }^{i}\pm {\frac {q}{2}}\partial _{j}A_{i}w_{2}^{ij}-{\mathfrak {U}}\,.}$

Стохастическое действие можно определить с помощью лагранжиана Стратоновича, который равен действию, определяемому лагранжианом Ито с точностью до расходящегося члена: ^[2]

${\displaystyle S=\mathbb {E} \left[\int L_{\circ }\,dt\right]=\mathbb {E} \left[\int L_{\pm }dt\right]\pm \mathbb {E} \left[\int L_{\infty }dt\right]\,.}$

Расходящийся член может быть вычислен и дается выражением

${\displaystyle \mathbb {E} \left[\int L_{\infty }dt\right]={\frac {m}{2}}\oint _{\gamma }{\frac {\delta _{ij}w_{2}^{ij}}{t}}dt=\alpha \,\hbar \,\pi \,{\rm {i}}\,\sum _{i=1}^{n}k_{i},}$

где - числа намотки, которые учитывают намотку пути вокруг полюса в . ^[23] ${\displaystyle k_{i}\in \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \gamma (t)}$ ${\displaystyle t=0}$

Поскольку расходящийся член постоянен, он не вносит вклад в уравнения движения. По этой причине этот член был отброшен в ранних работах по стохастической механике. ^[2] Однако, когда этот член отбрасывается, стохастическая механика не может объяснить появление дискретных спектров в квантовой механике. Эта проблема известна как критика Вальстрома, ^{[24] [25]} и может быть решена путем надлежащего учета расходящегося члена.

Существует также гамильтонова формулировка стохастической механики. ^{[22] [26]} Она начинается с определения канонических импульсов:

${\displaystyle p_{\circ ,i}={\frac {\partial L_{\circ }}{\partial w_{\circ }^{i}}}=m\,\delta _{ij}w_{\circ }^{j}+q\,A_{i}\,,}$

${\displaystyle p_{\pm ,i}={\frac {\partial L_{\pm }}{\partial w_{\pm }^{i}}}=m\,\delta _{ij}w_{\pm }^{j}+q\,A_{i}\,.}$

Гамильтониан в формулировке Стратоновича затем может быть получен с помощью преобразования Лежандра первого порядка :

${\displaystyle H_{\circ }(x,p_{\circ },t)=p_{\circ ,i}v_{\circ }^{i}-L(x,v_{\circ },t)\,.}$

С другой стороны, в формулировке Ито гамильтониан получается посредством преобразования Лежандра второго порядка: ^[27]

${\displaystyle H_{\pm }(x,p^{\pm },\partial p^{\pm },t)=p_{i}^{\pm }w_{\pm }^{i}\pm {\frac {1}{2}}w_{2}^{ij}\partial p_{ij}^{\pm }-L(x,w_{\pm },w_{2},t)\,.}$

Уравнения Эйлера-Лагранжа

Стохастическое действие может быть экстремизировано, что приводит к стохастической версии уравнений Эйлера-Лагранжа . В формулировке Стратоновича они задаются как

${\displaystyle \int d_{\circ }\left({\frac {\partial L_{\circ }}{\partial w_{\circ }^{i}}}\right)=\int \left({\frac {\partial L_{\circ }}{\partial x^{i}}}\right)dt\,.}$

Для лагранжиана, обсуждавшегося в предыдущем разделе, это приводит к следующему стохастическому дифференциальному уравнению второго порядка в смысле Стратоновича :

${\displaystyle m\,\delta _{ij}\,d_{\circ }^{2}Z^{j}(t)=q\,F_{ij}(X(t),t)\,d_{\circ }Z^{j}(t)\,dt-q\,\partial _{t}A_{i}(X(t),t)\,dt^{2}-\partial _{i}{\mathfrak {U}}(X(t),t)\,dt^{2}\,,}$

где, напряженность поля определяется как . Это уравнение служит стохастической версией второго закона Ньютона . ${\displaystyle F_{ij}:=\partial _{i}A_{j}-\partial _{j}A_{i}}$

В формулировке Ито стохастические уравнения Эйлера-Лагранжа задаются как

${\displaystyle \int d_{\pm }\left({\frac {\partial L_{\pm }}{\partial w_{\pm }^{i}}}\right)=\int \left({\frac {\partial L_{\pm }}{\partial x^{i}}}\right)dt\,.}$

Это приводит к стохастическому дифференциальному уравнению второго порядка в смысле Ито , заданному стохастической версией второго закона Ньютона в форме

${\displaystyle m\,\delta _{ij}\,d_{\pm }^{2}Z^{j}(t)=q\,F_{ij}(X(t),t)\,d_{\pm }Z^{j}(t)\,dt\pm {\frac {\alpha \,\hbar \,q}{2\,m}}\,\delta ^{jk}\,\partial _{k}F_{ij}(X(t),t)\,dt^{2}-q\,\partial _{t}A_{i}(X(t),t)\,dt^{2}-\partial _{i}{\mathfrak {U}}(X(t),t)\,dt^{2}\,.}$

Уравнения Гамильтона-Якоби

Уравнения движения можно также получить в стохастическом обобщении формулировки Гамильтона-Якоби классической механики. В этом случае начинают с определения главной функции Гамильтона. Для лагранжиана эта функция определяется как ${\displaystyle L_{+}}$

${\displaystyle S_{+}(x,t;x_{f},t_{f}):=-\mathbb {E} \left[\int _{t}^{t_{f}}L_{+}(X(s),W_{+}(s),W_{2}(s),s)\,ds\,{\Big |}\,X(t)=x,X(t_{f})=x_{f}\right],}$

где предполагается, что процесс подчиняется стохастическим уравнениям Эйлера-Лагранжа. Аналогично, для лагранжиана главная функция Гамильтона определяется как ${\displaystyle \{X(s):s\in [t,t_{f}]\}}$ ${\displaystyle L_{-}}$

${\displaystyle S_{-}(x,t;x_{0},t_{0}):=\mathbb {E} \left[\int _{t_{0}}^{t}L_{-}(X(s),W_{-}(s),W_{2}(s),s)\,ds\,{\Big |}\,X(t)=x,X(t_{0})=x_{0}\right],}$

где предполагается, что процесс подчиняется стохастическим уравнениям Эйлера-Лагранжа. Ввиду расходящейся части действия эти главные функции подчиняются соотношению эквивалентности ${\displaystyle \{X(s):s\in [t_{0},t]\}}$

${\displaystyle {\tilde {S}}_{\pm }\equiv S_{\pm }\;{\rm {if}}\;\exists k\in \mathbb {Z} ^{n},\;{\rm {such\,that}}\;{\tilde {S}}_{\pm }=S_{\pm }\pm \alpha \,\pi \,{\rm {i}}\,\hbar \,\sum _{i=1}^{n}k_{i}\,.}$

Изменяя главные функции относительно точки, можно найти уравнения Гамильтона-Якоби. Они задаются как ${\displaystyle (x,t)}$

${\displaystyle {\begin{cases}{\frac {\partial }{\partial x^{i}}}S_{\pm }(x,t)&=p_{i}^{\pm }(x,t)\,,\\{\frac {\partial }{\partial t}}S_{\pm }(x,t)&=-H_{\pm }(x,p_{\pm }(x,t),\partial p_{\pm }(x,t),t)\,.\end{cases}}}$

Обратите внимание, что они выглядят так же, как и в классическом случае. Однако гамильтониан во втором уравнении Гамильтона-Якоби теперь получается с использованием преобразования Лежандра второго порядка. Более того, из-за расходящейся части действия существует третье уравнение Гамильтона-Якоби, которое принимает форму нетривиального интегрального ограничения

${\displaystyle \oint \left(p_{i}^{\pm }\,v_{\pm }^{i}\pm {\frac {1}{2}}v_{2}^{ij}\,\partial _{i}p_{j}\right)dt=\pm \alpha \,\hbar \,\pi \,{\rm {i}}\,\sum _{i=1}^{n}k_{i}\,.}$

Для данного лагранжиана первые два уравнения Гамильтона-Якоби дают

${\displaystyle {\begin{cases}\partial _{i}S&=m\,\delta _{ij}w_{\pm }^{j}+q\,A_{i}\,,\\\partial _{t}S&=-{\frac {m}{2}}\,\delta _{ij}w_{\pm }^{i}w_{\pm }^{j}\mp {\frac {m}{2}}\,\delta _{ij}w_{2}^{ik}\partial _{k}w_{\pm }^{j}-{\mathfrak {U}}\,.\end{cases}}}$

Эти два уравнения можно объединить, получив

${\displaystyle \left[m\,\delta _{ij}\left(\partial _{t}+w_{\pm }^{k}\partial _{k}\pm {\frac {1}{2}}\,w_{2}^{kl}\partial _{l}\partial _{k}\right)-q\,F_{ij}\right]w_{\pm }^{j}=\pm {\frac {q}{2}}\,w_{2}^{jk}\partial _{k}F_{ij}-q\,\partial _{t}A_{i}-\partial _{i}{\mathfrak {U}}\,.}$

Используя это , это уравнение, подчиненное интегральному условию и начальному условию или конечному условию , может быть решено для . Затем решение может быть включено в уравнение Ито ${\displaystyle w_{2}^{ij}={\frac {\alpha \,\hbar }{m}}\,\delta ^{ij}}$ ${\displaystyle w_{+}(x,t_{0})=w_{0}(x)}$ ${\displaystyle w_{-}(x,t_{f})=w_{f}(x)}$ ${\displaystyle w_{\pm }(x,t)}$

${\displaystyle {\begin{cases}d_{\pm }Z^{i}(t)&=w_{\pm }^{i}(x,t)\,dt+dM^{i}(t)\,,\\d[M^{i},M^{j}](t)&={\frac {\alpha \,\hbar }{m}}\delta ^{ij}\,dt\,,\end{cases}}}$

которое может быть решено для процесса . Таким образом, когда задано начальное условие (для уравнения, направленного в будущее, обозначенного ) или конечное условие (для уравнения, направленного в прошлое, обозначенного ), можно найти уникальный стохастический процесс , который описывает траекторию частицы. ${\displaystyle \{Z(t):t\in [t_{0},t_{f}]\}}$ ${\displaystyle X(t_{0})=x_{0}}$ ${\displaystyle +}$ ${\displaystyle X(t_{f})=x_{f}}$ ${\displaystyle -}$ ${\displaystyle \{X(t):t\in [t_{0},t_{f}]\}}$

Уравнение диффузии

Ключевым результатом стохастической механики является то, что она выводит уравнение Шредингера из постулированного стохастического процесса. В этом выводе уравнения Гамильтона-Якоби

${\displaystyle {\begin{cases}{\frac {\partial }{\partial x^{i}}}S_{\pm }(x,t)&=p_{i}^{\pm }(x,t)\\{\frac {\partial }{\partial t}}S_{\pm }(x,t)&=-H_{\pm }(x,p_{\pm }(x,t),\partial p_{\pm }(x,t),t)\end{cases}}}$

объединяются таким образом, что получается уравнение

${\displaystyle 2\,m\left(\partial _{t}S_{\pm }+{\mathfrak {U}}\right)+\delta ^{ij}\left(\partial _{i}S_{\pm }\partial _{j}S_{\pm }\pm \alpha \,\hbar \,\partial _{j}\partial _{i}S_{\pm }-2\,q\,A_{i}\partial _{j}S_{\pm }\mp \alpha \,\hbar \,q\,\partial _{j}A_{i}+q^{2}\,A_{i}A_{j}\right)=0\,.}$

Затем определяется волновая функция

${\displaystyle \Psi _{\pm }(x,t)=\exp \left(\pm {\frac {S_{\pm }(x,t)}{\alpha \,\hbar }}\right).}$

Поскольку главные функции Гамильтона многозначны, то можно обнаружить, что волновые функции подчиняются соотношениям эквивалентности

${\displaystyle {\tilde {\Psi }}_{+}\equiv \Psi _{+}\quad {\rm {if}}\quad {\tilde {\Psi }}_{+}=\pm \Psi _{+}\qquad {\rm {and}}\qquad {\tilde {\Psi }}_{-}\equiv \Psi _{-}\quad {\rm {if}}\quad {\tilde {\Psi }}_{-}=\pm \Psi _{-}\,.}$

Кроме того, волновые функции подчиняются сложным уравнениям диффузии

${\displaystyle -\alpha \,\hbar \,{\frac {\partial }{\partial t}}\Psi _{+}=\left[{\frac {\delta ^{ij}}{2\,m}}\left(\alpha \,\hbar \,{\frac {\partial }{\partial x^{i}}}+q\,A_{i}\right)\left(\alpha \,\hbar \,{\frac {\partial }{\partial x^{j}}}+q\,A_{j}\right)+{\mathfrak {U}}\right]\Psi _{+}\,,}$

${\displaystyle \alpha \,\hbar \,{\frac {\partial }{\partial t}}\Psi _{-}=\left[{\frac {\delta ^{ij}}{2\,m}}\left(\alpha \,\hbar \,{\frac {\partial }{\partial x^{i}}}+q\,A_{i}\right)\left(\alpha \,\hbar \,{\frac {\partial }{\partial x^{j}}}+q\,A_{j}\right)+{\mathfrak {U}}\right]\Psi _{-}\,.}$

Таким образом, для любого для любого процесса, решающего постулаты стохастической механики, можно построить волновую функцию, которая подчиняется этим уравнениям диффузии. В силу отношений эквивалентности на главной функции Гамильтона, обратное утверждение также верно: для любого решения этих сложных уравнений диффузии можно построить стохастический процесс , являющийся решением постулатов стохастической механики. Аналогичный результат установлен теоремой Фейнмана-Каца . ${\displaystyle \{X(t):t\in [t_{0},t_{f}]\}}$

Наконец, можно построить плотность вероятности

${\displaystyle \rho _{\pm }(x,t):={\frac {|\Psi _{\pm }(x,t)|^{2}}{\int |\Psi _{\pm }(y,t)|^{2}d^{n}y}}\,,}$

которое описывает вероятности перехода для процесса . Точнее, описывает вероятность нахождения в состоянии при условии, что система заканчивается в состоянии . Поэтому уравнение диффузии для можно интерпретировать как обратное уравнение Колмогорова для процесса . Аналогично, описывает вероятность нахождения в состоянии при условии, что система заканчивается в состоянии , когда она эволюционирует назад во времени. Поэтому уравнение диффузии для можно интерпретировать как обратное уравнение Колмогорова для процесса, когда он эволюционирует к прошлому. Инвертируя направление времени, можно обнаружить, что описывает вероятность нахождения в состоянии при условии, что система начинается в состоянии , когда она эволюционирует вперед во времени. Таким образом, уравнение диффузии для можно также интерпретировать как прямое уравнение Колмогорова для процесса , когда он эволюционирует к будущему. ${\displaystyle \{X(t):t\in [t_{0},t_{f}]\}}$ ${\displaystyle \rho _{+}}$ ${\displaystyle (x,t)}$ ${\displaystyle (x_{f},t_{f})}$ ${\displaystyle \Psi _{+}}$ ${\displaystyle \{X(t):t\in [t_{0},t_{f}]\}}$ ${\displaystyle \rho _{-}}$ ${\displaystyle (x,t)}$ ${\displaystyle (x_{0},t_{0})}$ ${\displaystyle \Psi _{-}}$ ${\displaystyle \{X(t):t\in [t_{0},t_{f}]\}}$ ${\displaystyle \rho _{-}}$ ${\displaystyle (x,t)}$ ${\displaystyle (x_{0},t_{0})}$ ${\displaystyle \Psi _{-}}$ ${\displaystyle \{X(t):t\in [t_{0},t_{f}]\}}$

Математические аспекты

Предельные случаи

Теория содержит различные специальные ограничения:

• Классический предел с . В этом случае процесс и вспомогательный процесс описывают две несвязанные детерминированные траектории. ${\displaystyle \alpha =0}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$
• Броуновский предел с . В этом случае процесс описывает винеровский процесс (он же броуновское движение ), для которого указанный выше результат устанавливается теоремой Фейнмана-Каца , тогда как вспомогательный процесс описывает детерминированный процесс. ${\displaystyle \alpha \in (0,\infty )}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$
• Квантовый предел с . В этом случае процесс и вспомогательный процесс описывают два положительно коррелированных винеровских процесса. ${\displaystyle \alpha \in {\rm {i}}\times (0,\infty )}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$
• Обращенный во времени броуновский предел с . В этом случае процесс описывает детерминированный процесс, тогда как вспомогательный процесс описывает винеровский процесс . ${\displaystyle \alpha \in (-\infty ,0)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$
• Обращенный во времени квантовый предел с . В этом случае процесс и вспомогательный процесс описывают два отрицательно коррелированных винеровских процесса. ${\displaystyle \alpha \in {\rm {i}}\times (-\infty ,0)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$

В броуновском пределе с начальным условием или конечным условием (что подразумевает ), процессы и разъединены, так что динамика вспомогательного процесса может быть отброшена, и описывается реальным винеровским процессом . Во всех других случаях с , процессы связаны друг с другом, так что вспомогательный процесс должен быть учтен при выводе динамики . ${\displaystyle u(x,t_{0})=0}$ ${\displaystyle u(x,t_{f})=0}$ ${\displaystyle u(x,t)=0\quad \forall t}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \alpha \neq 0}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X}$

Симметрия обращения времени

Теория симметрична относительно операции обращения времени . ${\displaystyle (t,\alpha ,q)\leftrightarrow (-t,-\alpha ,-q)}$

В броуновских пределах теория максимально диссипативна , тогда как квантовые пределы унитарны , так что

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\int |\Psi _{\pm }(y,t)|^{2}d^{n}y{\Big |}_{\alpha \in {\rm {i}}\times \mathbb {R} }=0\,.}$

Канонические коммутационные соотношения

Уравнение диффузии можно переписать как

${\displaystyle \mp \alpha \,\hbar \,{\frac {\partial }{\partial t}}\Psi _{\pm }={\hat {H}}({\hat {x}},{\hat {p}}^{\pm },t)\,\Psi _{\pm }\,,}$

где — оператор Гамильтона . Это позволяет ввести операторы положения и импульса как ${\displaystyle {\hat {H}}}$

${\displaystyle {\hat {x}}^{i}=x^{i}\qquad {\rm {and}}\qquad {\hat {p}}_{i}^{\pm }=\pm \alpha \,\hbar \,{\frac {\partial }{\partial x^{i}}}\,,}$

так что гамильтониан имеет привычную форму

${\displaystyle H({\hat {x}},{\hat {p}},t)={\frac {\delta ^{ij}}{2\,m}}\,{\Big [}{\hat {p}}_{i}-q\,A_{i}({\hat {x}},t){\Big ]}{\Big [}{\hat {p}}_{j}-q\,A_{j}({\hat {x}},t){\Big ]}+{\mathfrak {U}}({\hat {x}},t)\,.}$

Эти операторы подчиняются каноническому коммутационному соотношению

${\displaystyle [{\hat {x}}^{i},{\hat {p}}_{j}^{\pm }]=\mp \alpha \,\hbar \,\delta _{j}^{i}\,.}$

Смотрите также

• Физический портал
• портал математики

• Теорема Белла
• Теория де Бройля–Бома
• ЭПР-парадокс
• Теория скрытых переменных
• Интерпретации квантовой механики
• Стохастическое квантование
• Стохастическая модель вакуума
• Стохастическая электродинамика

Примечания

1. Э. Нельсон 1966. sfn error: no target: CITEREFE._Nelson1966 (help)
2. Э. Нельсон 1985. sfn error: no target: CITEREFE._Nelson1985 (help)
3. E. Nelson 2014. sfn error: no target: CITEREFE._Nelson2014 (help)
4. И. Феньес 1946. sfn error: no target: CITEREFI._Fenyes1946 (help)
5. И. Феньес 1948, стр. 336–346. sfn error: no target: CITEREFI._Fenyes1948 (help)
6. MP Davidson 1979, стр. 1. sfn error: no target: CITEREFM.P._Davidson1979 (help)
7. Л. де ла Пенья и AM Cetto 1996, стр. 36. sfn error: no target: CITEREFL._de_la_PeñaA.M._Cetto1996 (help)
8. Л. де Бройль 1967. sfn error: no target: CITEREFL._de_Broglie1967 (help)
9. Ф. Герра 1981. sfn error: no target: CITEREFF._Guerra1981 (help)
10. 1923.
11. М. Кац 1949. sfn error: no target: CITEREFM._Kac1949 (help)
12. Р. Х. Кэмерон 1960, стр. 126–140. sfn error: no target: CITEREFR.H._Cameron1960 (help)
13. Ю. Л. Далецкий 1962, с. 1–107. sfn error: no target: CITEREFYu.L._Daletskii1962 (help)
14. А. Эйнштейн 1905. sfn error: no target: CITEREFA._Einstein1905 (help)
15. Ж. Перрен 1911. sfn error: no target: CITEREFJ._Perrin1911 (help)
16. Дж. Л. Дуб 1942. sfn error: no target: CITEREFJ.L._Doob1942 (help)
17. Э. Нельсон 1967. sfn error: no target: CITEREFE._Nelson1967 (help)
18. Ф. Кёйперс, 2023 и стр. 61. sfn error: no target: CITEREFF._Kuipers2023p._61 (help)
19. Ф. Кёйперс 2023, стр. 9. sfn error: no target: CITEREFF._Kuipers2023 (help)
20. Ф. Кёйперс 2023, стр. 23. sfn error: no target: CITEREFF._Kuipers2023 (help)
21. К. Ясуэ 1979. sfn error: no target: CITEREFK._Yasue1979 (help)
22. JC Zambrini 1985. sfn error: no target: CITEREFJ.C._Zambrini1985 (help)
23. Ф. Кёйперс 2023, стр. 34. sfn error: no target: CITEREFF._Kuipers2023 (help)
24. TC Wallstrom 1989. sfn error: no target: CITEREFT.C._Wallstrom1989 (help)
25. TC Wallstrom 1994. sfn error: no target: CITEREFT.C._Wallstrom1994 (help)
26. М. Павон 1995. sfn error: no target: CITEREFM._Pavon1995 (help)
27. В. Хуан и Дж. К. Замбрини, 2023. sfn error: no target: CITEREFQ._HuangJ.C._Zambrini2023 (help)

Ссылки

Статьи

• де Бройль, Л. (1967). «Движение Брауниен Частиц в Сыне Онде». ЧР акад. Наука . Б264 : 1041.
• Кэмерон, Р. Х. (1960). «Семейство интегралов, служащих для связи интегралов Винера и Фейнмана». Журнал математики и физики . 39 (1–4): 126–140. doi :10.1002/sapm1960391126. ISSN  0097-1421.
• Далецкий, Ю. Л. (1962-10-31). "Функциональные интегралы, связанные с уравнениями эволюции операторов". Математические обзоры . 17 (5): 1–107. Bibcode :1962RuMaS..17....1D. doi :10.1070/RM1962v017n05ABEH004121. ISSN  0036-0279.
• Дэвидсон, МП (1979). «Происхождение алгебры квантовых операторов в стохастической формулировке квантовой механики». Письма в математическую физику . 3 (5): 367–376. arXiv : quant-ph/0112099 . Bibcode :1979LMaPh...3..367D. doi :10.1007/BF00397209. ISSN  0377-9017. S2CID  6416365.
• Дуб, Дж. Л. (1942). «Броуновское движение и стохастические уравнения». Анналы математики . 43 (2): 351–369. doi :10.2307/1968873. JSTOR  1968873.
• Эйнштейн, А. (1905). «Über die von der molekularkinetischen Theorie der Wärme geforderte Bewegung von in ruhenden Flussigkeiten suspendierten Teilchen». Аннален дер Физик . 322 (8): 549–560. Бибкод : 1905АнП...322..549Е. дои : 10.1002/andp.19053220806 . ISSN  0003-3804.
• Феньес, И. (1946). «Вывод уравнения Шрёдингера». Акта Боляяна . 1 (5): гл. 2.
• Феньес, И. (1952). «Eine wahrscheinlichkeitstheoretische Begründung und Interpretation der Quantenmechanik». Zeitschrift für Physik . 132 (1): 81–106. Бибкод : 1952ZPhy..132...81F. дои : 10.1007/BF01338578. ISSN  1434-6001. S2CID  119581427.
• Guerra, F. (1981). «Структурные аспекты стохастической механики и стохастической теории поля». Physics Reports . 77 (3): 263–312. Bibcode : 1981PhR....77..263G. doi : 10.1016/0370-1573(81)90078-8.
• Кац, М. (1949). «О распределениях некоторых функционалов Винера». Труды Американского математического общества . 65 (1): 1–13. doi : 10.2307/1990512 . JSTOR  1990512.
• Линдгрен, Дж.; Лиукконен, Дж. (2019). «Квантовую механику можно понять с помощью стохастической оптимизации пространства-времени». Scientific Reports . 9 (1): 19984. Bibcode :2019NatSR...919984L. doi : 10.1038/s41598-019-56357-3 . PMC  6934697 . PMID  31882809.
• Нельсон, Э. (1966). «Вывод уравнения Шредингера из ньютоновской механики». Physical Review . 150 (4): 1079–1085. Bibcode : 1966PhRv..150.1079N. doi : 10.1103/PhysRev.150.1079.
• Нельсон, Э. (1986). «Теория поля и будущее стохастической механики». В Альбеверио, С.; Казати, Г.; Мерлини, Д. (ред.). Стохастические процессы в классических и квантовых системах . Конспект лекций по физике. Том 262. Берлин: Springer-Verlag. стр. 438–469. doi :10.1007/3-540-17166-5. ISBN 978-3-662-13589-1. OCLC  864657129.
• Нельсон, Э. (2014). "Стохастическая механика релятивистских полей". Journal of Physics: Conference Series . 504 (1): 012013. Bibcode : 2014JPhCS.504a2013N. doi : 10.1088/1742-6596/504/1/012013 . S2CID  123706792.
• Павон, М. (1995). «Новая формулировка стохастической механики». Physics Letters A. 209 ( 3–4): 143–149. Bibcode : 1995PhLA..209..143P. doi : 10.1016/0375-9601(95)00847-4.
• Перрен, Дж. (1911). «Броуновское движение и молекулярная реальность». Nature . 86 (2160): 105. Bibcode :1911Natur..86..105R. doi : 10.1038/086105a0 . hdl : 2027/mdp.39015010952425 . ISSN  0028-0836.
• Wallstrom, TC (1989). «О выводе уравнения Шредингера из стохастической механики». Foundations of Physics Letters . 2 (2): 113–126. Bibcode : 1989FoPhL...2..113W. doi : 10.1007/BF00696108.
• Wallstrom, TC (1994). «Неэквивалентность между уравнением Шредингера и гидродинамическими уравнениями Маделунга». Physical Review A. 49 ( 3): 1613–1617. Bibcode : 1994PhRvA..49.1613W. doi : 10.1103/PhysRevA.49.1613. PMID  9910408.
• Винер, Норберт (1923). «Дифференциальное пространство». Журнал математики и физики . 2 (1–4): 131–174. doi :10.1002/sapm192321131. ISSN  0097-1421.
• Ясуэ, К. (1979). «Стохастическое квантование: обзор». Международный журнал теоретической физики . 18 (12): 861–913. Bibcode : 1979IJTP...18..861Y. doi : 10.1007/BF00669566. S2CID  120858652.
• Zambrini, JC (1985). «Стохастическая динамика: обзор стохастического исчисления вариаций». International Journal of Theoretical Physics . 24 (3): 277–327. Bibcode : 1985IJTP...24..277Z. doi : 10.1007/BF00669792. S2CID  122076991.
• Хуан, Q.; Замбрини, JC (2023). «От дифференциальной геометрии второго порядка к стохастической геометрической механике». Журнал нелинейной науки . 33 (67): 1–127. arXiv : 2201.03706 . Bibcode :2023JNS....33...67H. doi : 10.1007/s00332-023-09917-x .

Книги

• Джеммер, М. (1974). Философия квантовой механики: интерпретации квантовой механики в исторической перспективе . Нью-Йорк: Wiley. ISBN 0-471-43958-4. LCCN  74013030. OCLC  613797751.
• Kuipers, F. (2023). Стохастическая механика: объединение квантовой механики с броуновским движением. SpringerBriefs in Physics. Cham: SpringerBriefs in Physics. arXiv : 2301.05467 . doi :10.1007/978-3-031-31448-3. ISBN 978-3-031-31447-6. S2CID  255825676.
• Намсрай, К. (1985). Нелокальная квантовая теория поля и стохастическая квантовая механика. Дордрехт; Бостон: D. Reidel Publishing Co. doi :10.1007/978-94-009-4518-0. ISBN 90-277-2001-0. LCCN  85025617. OCLC  12809936.
• Нельсон, Эдвард (1967). Динамические теории броуновского движения . Princeton University Press. ISBN 978-0-691-07950-9.
• Нельсон, Э. (1985). Квантовые флуктуации. Принстон: Princeton University Press. ISBN 0-691-08378-9. LCCN  84026449. OCLC  11549759.
• де ла Пенья, Луис ; Четто, Ана Мария (1996). ван дер Мерве, Олвин (ред.). Квантовые кости: введение в стохастическую электродинамику. Дордрехт; Бостон; Лондон: Kluwer Academic Publishers. ISBN 0-7923-3818-9. LCCN  95040168. OCLC  832537438.