RLC-схема

Цепь RLC — это электрическая цепь , состоящая из резистора (R), катушки индуктивности (L) и конденсатора (C), соединенных последовательно или параллельно. Название схемы образовано от букв, которые используются для обозначения составляющих компонентов этой схемы, причем последовательность компонентов может отличаться от RLC.

Схема образует гармонический генератор тока и резонирует аналогично LC-цепи . Введение резистора увеличивает затухание этих колебаний, которое также известно как затухание . Резистор также снижает пиковую резонансную частоту. Некоторое сопротивление неизбежно, даже если резистор специально не включен в состав компонента.

Цепи RLC имеют множество применений в качестве генераторных схем . Радиоприемники и телевизоры используют их для настройки для выделения узкого диапазона частот из окружающих радиоволн. В этой роли схему часто называют настроенной схемой. Цепь RLC может использоваться как полосовой фильтр , полосовой фильтр , фильтр нижних частот или фильтр верхних частот . Например, приложение настройки является примером полосовой фильтрации. RLC-фильтр описывается как схема второго порядка , что означает, что любое напряжение или ток в цепи можно описать дифференциальным уравнением второго порядка при анализе цепей.

Три элемента схемы, R, L и C, могут быть объединены в различные топологии . Все три элемента, включенные последовательно или все три элемента параллельно, являются наиболее простыми по концепции и наиболее понятными для анализа. Однако существуют и другие схемы, некоторые из которых имеют практическое значение в реальных схемах. Одной из часто встречающихся проблем является необходимость учитывать сопротивление индуктора. Индукторы обычно состоят из катушек с проводом, сопротивление которых обычно нежелательно, но оно часто оказывает существенное влияние на цепь.

Базовые концепты

Резонанс

Важным свойством этой схемы является ее способность резонировать на определенной частоте, резонансной частоте $f 0$ . Частоты измеряются в герцах . В этой статье используется угловая частота ω $0, поскольку она математически более удобна.$ Измеряется в радианах в секунду. Они связаны друг с другом простой пропорцией:

\omega _{0}=2\pi f_{0}\,.

Резонанс возникает потому, что энергия в этой ситуации сохраняется двумя разными способами: в электрическом поле, когда конденсатор заряжается, и в магнитном поле, когда ток протекает через индуктор. Энергия может передаваться от одного к другому внутри цепи, и это может быть колебательным. Механическая аналогия — это груз, подвешенный на пружине, которая при отпускании будет колебаться вверх и вниз. Это не мимолетная метафора; груз на пружине описывается точно тем же дифференциальным уравнением второго порядка, что и цепь RLC, и для всех свойств одной системы будет найдено аналогичное свойство другой. Механическим свойством, соответствующим резистору в цепи, является трение в системе пружина-груз. Трение медленно останавливает любое колебание, если нет внешней силы, вызывающей его. Аналогичным образом, сопротивление в цепи RLC «гасит» колебания, уменьшая их со временем, если в цепи нет источника питания переменного тока.

Резонансная частота определяется как частота, при которой полное сопротивление цепи минимально. Эквивалентно, его можно определить как частоту, на которой импеданс является чисто действительным (то есть чисто резистивным). Это происходит потому, что импедансы катушки индуктивности и конденсатора в резонансе равны, но имеют противоположный знак и компенсируются. Цепи, в которых L и C включены параллельно, а не последовательно, на самом деле имеют максимальное, а не минимальное сопротивление. По этой причине их часто называют антирезонаторами ; однако до сих пор принято называть частоту, на которой это происходит, резонансной частотой.

Собственная частота

Резонансная частота определяется через полное сопротивление источника возбуждения. Схема все еще может продолжать колебаться (какое-то время) после того, как источник возбуждения был удален или на нее было произведено повышение напряжения (включая понижение до нуля). Это похоже на то, как камертон продолжает звонить после удара, и этот эффект часто называют звоном. Этот эффект представляет собой пиковую собственную резонансную частоту схемы и, как правило, не совсем совпадает с частотой управляемого резонанса, хотя они обычно довольно близки друг к другу. Разные авторы используют различные термины, чтобы различать эти два понятия, но безоговорочная резонансная частота обычно означает управляемую резонансную частоту. Возбуждаемая частота может называться незатухающей резонансной частотой или незатухающей собственной частотой, а пиковая частота может называться затухающей резонансной частотой или затухающей собственной частотой. Причиной использования этой терминологии является то, что управляемая резонансная частота в последовательном или параллельном резонансном контуре имеет значение. ^[1]

\omega _{0}={\frac {1}{\sqrt {L\,C~}}}\,~.

Это точно так же, как резонансная частота LC-цепи без потерь, то есть без резистора. Резонансная частота для управляемой цепи RLC такая же, как и для цепи, в которой нет демпфирования, а значит, и незатухающей резонансной частоты. С другой стороны, пиковая амплитуда резонансной частоты зависит от номинала резистора и описывается как затухающая резонансная частота. Цепь с сильным демпфированием вообще не сможет резонировать, если она не задействована. Цепь, номинал резистора которой приводит к тому, что она находится на грани звона, называется критически демпфированной . Любая сторона критического демпфирования описывается как недостаточно демпфированная (происходит звон) и чрезмерно демпфированная (звон подавляется).

Схемы с топологией более сложной, чем простые последовательные или параллельные (некоторые примеры описаны ниже в статье), имеют управляемую резонансную частоту, которая отклоняется от , и для них незатухающая резонансная частота, затухающая резонансная частота и управляемая резонансная частота могут быть разными. $\ \omega _{0}=1/{\sqrt {L\,C~}}\$

Демпфирование

Затухание вызвано сопротивлением в цепи. Он определяет, будет ли схема резонировать естественным образом (то есть без источника возбуждения). Цепи, которые будут резонировать таким образом, называются недостаточно демпфированными, а те, которые не будут резонировать, - передемпфированными. Затухание затухания (символ $α$ ) измеряется в неперах в секунду. Однако безразмерный коэффициент демпфирования (обозначение $ζ$ , дзета) часто является более полезной мерой, которая связана с $α$ соотношением

\ \zeta = {\frac {\alpha }{\ \omega _{0}\ }}\ .

Особый случай $ζ = 1$ называется критическим затуханием и представляет собой случай контура, находящегося прямо на границе колебаний. Это минимальное демпфирование, которое можно применить, не вызывая колебаний.

Пропускная способность

Эффект резонанса можно использовать для фильтрации, быстрое изменение импеданса вблизи резонанса можно использовать для пропускания или блокировки сигналов, близких к резонансной частоте. Могут быть построены как полосовые, так и полосовые фильтры, некоторые схемы фильтров показаны ниже в статье. Ключевым параметром при проектировании фильтра является полоса пропускания . Полоса пропускания измеряется между частотами среза , чаще всего определяемыми как частоты, на которых мощность, проходящая через цепь, падает до половины значения, передаваемого при резонансе. Есть две такие частоты половинной мощности: одна выше и одна ниже резонансной частоты.

\Delta \omega =\omega _{2}-\omega _{1}\,,

где $Δ ω$ — полоса пропускания, $ω 1$ — нижняя частота половинной мощности, а $ω 2$ — верхняя частота половинной мощности. Полоса пропускания связана с затуханием

\Delta \omega =2\alpha \,,

где единицами измерения являются радианы в секунду и неперы в секунду соответственно. ^{[ нужна ссылка ]} Для других единиц может потребоваться коэффициент пересчета. Более общей мерой ширины полосы является дробная полоса пропускания, которая выражает полосу пропускания как долю резонансной частоты и определяется выражением

B_{\mathrm {f} }={\frac {\Delta \omega {\omega _{0}}}\,.

Дробная полоса пропускания также часто указывается в процентах. Демпфирование цепей фильтров настраивается таким образом, чтобы обеспечить необходимую полосу пропускания. Узкополосный фильтр, например режекторный фильтр , требует низкого демпфирования. Широкополосный фильтр требует высокого демпфирования.

Q- фактор

Добротность — широко распространенная мера, используемая для характеристики резонаторов . Она определяется как пиковая энергия, запасенная в цепи, деленная на среднюю энергию, рассеиваемую в ней на радиан при резонансе. Поэтому цепи с низкой $добротностью$ демпфируются и имеют потери, а цепи с высокой $добротностью$ демпфируются недостаточно и склонны к экстремальным значениям амплитуды при работе на резонансной частоте. ^[a] $Q$ относится к полосе пропускания; Цепи с низкой $добротностью$ являются широкополосными, а схемы с высокой $добротностью$ — узкополосными. На самом деле случается, что $Q$ является обратной дробной полосой пропускания.

Q={\frac {1}{\,B_{\mathrm {f} }\,}}={\frac {\omega _{\text{o}}}{\,\operatorname {\Delta } \omega \,}}\;.

^[2]

$Добротность$ прямо пропорциональна избирательности , поскольку $добротность$ обратно пропорциональна полосе пропускания.

Для последовательного резонансного контура (как показано ниже) $добротность$ можно рассчитать следующим образом: ^[2]

Q={\frac {X}{\,R\;}}={\frac {1}{\,\omega _{\text{o}}R\,C\,}}={\frac {\,\omega _{\text{o}}L\,}{R}}={\frac {1}{\,R\;}}{\sqrt {{\frac {L}{\,C\,}}\,}}={\frac {\,Z_{\text{o}}\,}{R\;}}\;,

^[2]

где реактивное сопротивление либо при резонансе , либо при резонансе, и $\,X\,$ $\,L\,$ $\,C\,$ $\,Z_{\text{o}}\equiv {\sqrt {{\frac {L}{\,C\,}}\,}}\;.$

Масштабируемые параметры

Все параметры $ζ$ , $Bf$ и $Q$ $масштабируются$ $до$ $ω0$ . Это означает, что схемы, имеющие схожие параметры, имеют схожие характеристики независимо от того, работают ли они в одном и том же диапазоне частот.

Далее в статье дается подробный анализ последовательной схемы RLC. Другие конфигурации не описаны так подробно, но приведены ключевые отличия от серийного случая. Общая форма дифференциальных уравнений, приведенная в разделе о последовательных цепях, применима ко всем цепям второго порядка и может использоваться для описания напряжения или тока в любом элементе каждой цепи.

Последовательная схема

В этой схеме все три компонента включены последовательно с источником напряжения . Основное дифференциальное уравнение можно найти, подставив в закон напряжения Кирхгофа (КВЛ) определяющее уравнение для каждого из трех элементов. Из КВЛ,

V_{\mathrm {R} }+V_{\mathrm {L} }+V_{\mathrm {C} }=V(t)\,,

где $VR$ , $VL$ и $VC$ — напряжения на $R$ , $L$ и $C$ соответственно, а $V$ $($ $t$ $)$ $— изменяющееся во$ $времени$ напряжение источника $.$

Подстановка и в приведенное выше уравнение дает: $V_{R}=R\ I(t)\,,$ $\,V_{\mathrm {L} }=L{\frac {\mathrm {d} I(t)}{\mathrm {d} t}}\,$ $\,V_{\mathrm {C} }=V(0)+{\frac {1}{\,C\,}}\int _{0}^{t}I(\tau )\,\mathrm {d} \tau \,$

RI(t)+L{\frac {\,\mathrm {d} I(t)\,}{\mathrm {d} t}}+V(0)+{\frac {1}{\,C\,}}\int _{0}^{t}I(\tau )\,\mathrm {d} \tau =V(t)\;.

В случае, когда источником является неизменяющееся напряжение, взятие производной по времени и деление на $L$ приводит к следующему дифференциальному уравнению второго порядка:

{\frac {\mathrm {d} ^{2}}{\mathrm {d} t^{2}}}I(t)+{\frac {R}{\,L\,}}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}I(t)+{\frac {1}{\,L\,C\,}}I(t)=0\;.

Это можно с пользой выразить в более общей форме:

{\frac {\mathrm {d} ^{2}}{\mathrm {d} t^{2}}}I(t)+2\alpha {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}I(t)+\omega _{0}^{2}I(t)=0\;.

$α$ и $ω 0$ выражены в единицах угловой частоты . $α$ называется частотой непера , или затуханием , и является мерой того, насколько быстро затухнет переходная реакция схемы после устранения стимула. Непер встречается в названии, потому что единицей измерения также можно считать непер в секунду, причем непер — это логарифмическая единица затухания. $ω 0$ – угловая резонансная частота. ^[3]

Для случая последовательной цепи RLC эти два параметра определяются следующим образом: ^[4]

{\begin{aligned}\alpha &={\frac {R}{\,2L\,}}\\\omega _{0}&={\frac {1}{\,{\sqrt {L\,C\,}}\,}}\;.\end{aligned}}

Полезным параметром является коэффициент демпфирования $ζ$ , который определяется как отношение этих двух значений; хотя иногда $ζ$ не используется, а вместо этого $α$ называется коэффициентом затухания ; следовательно, требуется тщательное уточнение использования этого термина. ^[5]

\zeta \equiv {\frac {\alpha }{\,\omega _{0}\,}}\;.

В случае последовательной цепи RLC коэффициент затухания определяется выражением

\zeta ={\frac {\,R\,}{2}}{\sqrt {{\frac {C}{\,L\,}}\,}}={\frac {1}{\ 2Q\ }}~.

Значение коэффициента затухания определяет тип переходного процесса, который будет проявляться в схеме. ^[6]

Переходный процесс

Дифференциальное уравнение имеет характеристическое уравнение , ^[7]

s^{2}+2\alpha s+\omega _{0}^{2}=0\,.

Корнями уравнения в $s$ -области являются: ^[7]

{\begin{aligned}s_{1}&=-\alpha +{\sqrt {\alpha ^{2}-\omega _{0}^{2}\,}}=-\omega _{0}\left(\zeta -{\sqrt {\zeta ^{2}-1\,}}\right)={\frac {-\omega _{0}}{\ \zeta +{\sqrt {\zeta ^{2}-1\ }}\ }}\ ,\\s_{2}&=-\alpha -{\sqrt {\alpha ^{2}-\omega _{0}^{2}\,}}=-\omega _{0}\left(\zeta +{\sqrt {\zeta ^{2}-1\,}}\right)\;.\end{aligned}}

Общее решение дифференциального уравнения представляет собой экспоненту либо от корня, либо линейную суперпозицию обоих:

I(t)=A_{1}e^{s_{1}t}+A_{2}e^{s_{2}t}\;.

Коэффициенты $А 1$ и $А 2$ определяются граничными условиями конкретной анализируемой задачи. То есть они устанавливаются значениями токов и напряжений в цепи в начале переходного процесса и предполагаемым значением, к которому они установятся через бесконечное время. ^[8] Дифференциальное уравнение схемы решается тремя различными способами в зависимости от значения $ζ$ . Они бывают перезатухающими ( $ζ > 1$ ), недостаточными ( $ζ < 1$ ) и критически затухающими ( $ζ = 1$ ).

Перезатухающий отклик

Перезатухающий отклик ( $ζ > 1$ ) равен ^[9]

I(t)=A_{1}e^{-\omega _{0}\left(\zeta +{\sqrt {\zeta ^{2}-1}}\right)t}+A_{2}e^{-\omega _{0}\left(\zeta -{\sqrt {\zeta ^{2}-1}}\right)t}\;.

Сверхзатухающий отклик представляет собой затухание переходного тока без колебаний. ^[10]

Недостаточный отклик

Недостаточный отклик ( $ζ < 1$ ) равен ^[11]

I(t)=B_{1}e^{-\alpha t}\cos(\omega _{\mathrm {d} }t)+B_{2}e^{-\alpha t}\sin(\omega _{\mathrm {d} }t)\,.

Применяя стандартные тригонометрические тождества, две тригонометрические функции могут быть выражены как одна синусоида со сдвигом фазы: ^[12]

I(t)=B_{3}e^{-\alpha t}\sin(\omega _{\mathrm {d} }t+\varphi )\;.

Недостаточное демпфирование представляет собой затухающие колебания на частоте $ω d$ . Колебания затухают со скоростью, определяемой затуханием $α$ . Экспонента $α$ описывает огибающую колебания . $B 1$ и $B 2$ (или $B 3$ и фазовый сдвиг $φ$ во второй форме) — произвольные константы, определяемые граничными условиями. Частота $ω d$ определяется формулой ^[11]

\omega _{\mathrm {d} }={\sqrt {\omega _{0}^{2}-\alpha ^{2}}}=\omega _{0}{\sqrt {1-\zeta ^{2}\,}}\;.

Это называется затухающей резонансной частотой или затухающей собственной частотой. Это частота, на которой схема будет естественным образом колебаться, если она не управляется внешним источником. Резонансную частоту $ω 0$ , которая представляет собой частоту, на которой схема будет резонировать под действием внешнего колебания, часто можно назвать незатухающей резонансной частотой, чтобы отличить ее. ^[13]

Критически затухающий отклик

Критически затухающий отклик ( $ζ = 1$ ) равен ^[14]

I(t)=D_{1}te^{-\alpha t}+D_{2}e^{-\alpha t}\;.

Критически затухающий отклик представляет собой отклик схемы, который затухает в максимально быстрое время, не переходя в колебание. Это соображение важно в системах управления, где требуется как можно быстрее достичь желаемого состояния без превышения допустимого значения. $D 1$ и $D 2$ — произвольные константы, определяемые граничными условиями. ^[15]

Домен Лапласа

Ряд RLC можно анализировать как на предмет поведения в переходном, так и в устойчивом состоянии переменного тока с использованием преобразования Лапласа . ^[16] Если указанный выше источник напряжения создает сигнал с преобразованием Лапласа $V (s)$ (где $s$ - комплексная частота $s = σ + jω$ ), KVL может применяться в области Лапласа:

V(s)=I(s)\left(R+L\,s+{\frac {1}{\,C\,s\,}}\right)\,,

где $I (s)$ — преобразованный Лапласом ток через все компоненты. Решение для $I (s)$ :

I(s)={\frac {1}{\,R+L\,s+{\frac {1}{\,C\,s\,}}\,}}V(s)\;.

И переставляя, мы имеем

I(s)={\frac {s}{\,L\ \left(s^{2}+{\frac {R}{\,L\,}}s+{\frac {1}{\,L\,C\,}}\right)\,}}V(s)\;.

Прием Лапласа

Решение для допуска Лапласа $Y (s)$ :

Y(s)={\frac {I(s)}{\,V(s)\,}}={\frac {s}{\,L\ \left(s^{2}+{\frac {R}{\,L\,}}s+{\frac {1}{\,L\,C\,}}\right)\,}}\,.

Упрощая, используя параметры $α$ и $ω 0$ , определенные в предыдущем разделе, имеем

Y(s)={\frac {I(s)}{\,V(s)\,}}={\frac {s}{\,L\ \left(s^{2}+2\alpha s+\omega _{0}^{2}\right)\,}}\;.

Полюсы и нули

Нули Y $($ $s$ $)$ $— это те$ значения $s$ , где $Y$ $($ $s$ $) = 0$ :

s=0\quad {\mbox{and}}\quad |s|\rightarrow \infty \;.

Полюсы Y $($ $s$ $)$ — это те значения $s$ , при которых $Y$ $($ $s$ $)$ $\to \infty$ . По квадратичной формуле находим

s=-\alpha \pm {\sqrt {\alpha ^{2}-\omega _{0}^{2}\,}}\;.

Полюса $Y (s)$ идентичны корням $s 1$ и $s 2$ характеристического полинома дифференциального уравнения в разделе выше.

Общее решение

Для произвольного $V (t)$ решением, полученным обратным преобразованием $I (s),$ является:

В недостаточно демпфированном случае $ω 0 > α$ :
$I(t)={\frac {1}{\,L\,}}\ \int _{0}^{t}V(t-\tau )e^{-\alpha \tau }\left[\cos(\omega _{\mathrm {d} }\tau )-{\frac {\alpha }{\ \omega _{\mathrm {d} }\ }}\sin(\omega _{\mathrm {d} }\tau )\right]\,d\tau \,,$
В критически затухающем случае $ω 0 = α$ :
$\ I(t)={\frac {1}{\ L\ }}\ \int _{0}^{t}V(t-\tau )e^{-\alpha \tau }\ \left[\ 1-\alpha \tau \ \right]\ \mathrm {d} \tau \ ,$
В случае перезатухания $ω 0 < α$ :
$\ I(t)={\frac {1}{\ L\ }}\ \int _{0}^{t}V(t-\tau )e^{-\alpha \tau }\left[\cosh(\omega _{\mathrm {r} }\tau )-{\frac {\alpha }{\ \omega _{\mathrm {r} }\ }}\sinh(\omega _{\mathrm {r} }\tau )\right]\,d\tau \ ,$

где $ω r = \sqrt α 2 - ω 02$ , а $ch$ и $sinh$ — обычные гиперболические функции .

Синусоидальное устойчивое состояние

Синусоидальное устойчивое состояние представляется в виде $s = jω$ , где $j$ — мнимая единица . Взяв величину приведенного выше уравнения с помощью этой замены:

{\big |}Y(j\omega ){\big |}={\frac {1}{{\sqrt {R^{2}+\left(\omega L-{\frac {1}{\,\omega C\,}}\right)^{2}}}\,}}\;.

а ток как функцию $ω$ можно найти из

{\big |}I(j\omega ){\big |}={\big |}Y(j\omega ){\big |}\cdot {\bigl |}V(j\omega ){\bigr |}\;.

Существует пиковое значение $| я (jω) |$ . Величина $ω$ на этом пике в данном конкретном случае равна незатухающей собственной резонансной частоте. ^[17] Это означает, что максимальное напряжение на резисторе и, следовательно, максимальное рассеивание тепла происходит на собственной частоте.

\omega _{0}={\frac {1}{\,{\sqrt {L\ C\ }}\,}}\;.

По частотной характеристике тока также можно определить частотную характеристику напряжений на различных элементах схемы (см. рисунок). При этом максимальное напряжение на конденсаторе бывает при частоте

\omega _{C}={\frac {\ {\sqrt {{\tfrac {L}{\ C\ }}-{\tfrac {1}{2}}R^{2}}}\ }{L}}\;,

тогда как максимальное напряжение на индукторе возникает при

\omega _{L}={\frac {1}{\ C{\sqrt {{\tfrac {L}{\ C\ }}-{\tfrac {1}{2}}R^{2}\ }}\ }}\;.

Он содержит: . $\omega _{C}<\omega _{0}<\omega _{L}$

Параллельная схема

Свойства параллельной цепи RLC можно получить из соотношения двойственности электрических цепей и учитывая, что параллельный RLC представляет собой двойной импеданс последовательного RLC. Учитывая это, становится ясно, что дифференциальные уравнения, описывающие данную схему, в общем виде идентичны уравнениям, описывающим последовательный RLC.

Для параллельной схемы затухание $α$ определяется выражением ^[18]

\alpha ={\frac {1}{\,2\,R\,C\,}}

и, следовательно, коэффициент демпфирования

\zeta ={\frac {1}{\,2\,R\,}}{\sqrt {{\frac {L}{C}}~}}\,~.

Аналогично, другие масштабированные параметры, дробная полоса пропускания и $Q$ также являются обратными величинами друг другу. Это означает, что широкополосная схема с низкой $добротностью$ в одной топологии станет узкополосной схемой с высокой $добротностью$ в другой топологии, если она построена из компонентов с одинаковыми номиналами. Дробная полоса пропускания и $добротность$ параллельной схемы определяются выражением

{\begin{aligned}B_{\mathrm {f} }&={\frac {1}{\,R\,}}{\sqrt {{\frac {L}{C}}~}}\\Q&=R{\sqrt {{\frac {C}{L}}~}}\,~.\end{aligned}}

Обратите внимание, что формулы здесь являются обратными формулам для последовательной цепи, приведенным выше.

Частотная область

Комплексный адмиттанс этой цепи определяется сложением адмиттансов компонентов:

{\begin{aligned}{\frac {1}{\,Z\,}}&={\frac {1}{\,Z_{L}\,}}+{\frac {1}{\,Z_{C}\,}}+{\frac {1}{\,Z_{R}\,}}\\&={\frac {1}{\,j\,\omega \,L\,}}+j\,\omega \,C+{\frac {1}{\,R\,}}\,.\end{aligned}}

Переход от последовательного расположения к параллельному расположению приводит к тому, что сопротивление цепи при резонансе имеет пик, а не минимум, поэтому схема является антирезонатором.

На графике напротив видно, что в частотной характеристике тока на резонансной частоте имеется минимум, когда цепь управляется постоянным напряжением. С другой стороны, если он управляется постоянным током, максимум напряжения будет соответствовать той же кривой, что и ток в последовательной цепи. $~\omega _{0}=1/{\sqrt {\,L\,C~}}~$

Другие конфигурации

Последовательный резистор с индуктором в параллельной LC-цепи, как показано на рисунке 4, представляет собой топологию, часто встречающуюся там, где необходимо учитывать сопротивление обмотки катушки и ее собственную емкость. Параллельные LC-цепи часто используются для полосовой фильтрации , и $добротность$ в значительной степени определяется этим сопротивлением. Резонансная частота этого контура равна ^[19]

\ \omega _{0}={\sqrt {{\frac {1}{\ LC\ }}-\left({\frac {R}{\ L\ }}\right)^{2}~}}\ .

Это резонансная частота контура, определяемая как частота, при которой адмиттанс имеет нулевую мнимую часть. Частота, которая появляется в обобщенной форме характеристического уравнения (которая для этой схемы такая же, как и раньше)

\ s^{2}+2\alpha s+{\omega '_{0}}^{2}=0\

это не та частота. В данном случае это естественная, незатухающая резонансная частота: ^[20]

\ \omega '_{0}\equiv {\frac {1}{\ {\sqrt {LC~}}\ }}\ .

Частота $ω max$ , при которой величина импеданса максимальна, определяется выражением ^[21]

\ \omega _{\mathrm {max} }=\omega '_{0}\ {\sqrt {-{\frac {1}{\ Q_{L}^{2}\ ~}}+{\sqrt {1+{\frac {2}{\ Q_{L}^{2}\ }}~}}~}}\ ,

где $Q L ≡.mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output .sfrac.tion,.mw-parser-output .sfrac .tion{display:inline-block;vertical-align:-0.5em;font-size:85%;text-align:center}.mw-parser-output .sfrac .num{display:block;line-height:1em;margin:0.0em 0.1em;border-bottom:1px solid}.mw-parser-output .sfrac .den{display:block;line-height:1em;margin:0.1em 0.1em}.mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px}ω′ 0 л/р$ - добротность катушки. Это можно хорошо аппроксимировать формулой ^[21]

\ \omega _{\mathrm {max} }\approx \omega '_{0}\ {\sqrt {1-{\frac {1}{\ 2Q_{L}^{4}\ }}~}}\ .

Кроме того, точная максимальная величина импеданса определяется выражением ^[21]

\ |Z|_{\mathrm {max} }={\frac {RQ_{L}^{2}}{\ {\sqrt {2Q_{L}{\sqrt {Q_{L}^{2}+2\ }}-\left(2Q_{L}^{2}+1\right)~}}\ }}={\frac {RQ_{L}}{\ {\sqrt {2{\sqrt {1+2/Q_{L}^{2}\ }}-\left(2+1/Q_{L}^{2}\right)~}}\ }}\ .

Для значений этого можно хорошо аппроксимировать ^[21] $\ Q_{L}\gg 1\ ,$

\ |Z|_{\mathrm {max} }\approx RQ_{L}^{2}\ .

Аналогично, резистор, включенный параллельно с конденсатором в последовательной LC-цепи, может использоваться для обозначения конденсатора с диэлектриком с потерями. Эта конфигурация показана на рисунке 5. Резонансная частота (частота, при которой импеданс имеет нулевую мнимую часть) в этом случае определяется выражением ^[22]

\ \omega _{0}={\sqrt {{\frac {1}{\ LC\ }}-{\frac {1}{\ (RC)^{2}\ }}\ }}\ ,

в то время как частота $ω m$ , на которой величина импеданса минимальна, определяется выражением

\ \omega _{\mathrm {m} }=\omega '_{0}\ {\sqrt {-{\frac {1}{\ Q_{C}^{2}\ }}+{\sqrt {1+{\frac {2}{\ Q_{C}^{2}\ }}\ }}\ }}\ ,

где $Q C знак равно ω' 0 RC$ .

История

Первое свидетельство того, что конденсатор может производить электрические колебания, было обнаружено в 1826 году французским учёным Феликсом Савари . ^[23]^[24] Он обнаружил, что когда лейденскую банку разряжали через проволоку, намотанную на железную иглу, иногда игла оставалась намагниченной в одном направлении, а иногда в противоположном. Он правильно пришел к выводу, что это было вызвано затухающим колеблющимся разрядным током в проводе, который менял намагниченность иглы взад и вперед до тех пор, пока он не стал слишком мал, чтобы оказывать эффект, оставляя иглу намагниченной в случайном направлении.

Американский физик Джозеф Генри повторил эксперимент Савари в 1842 году и пришел к тому же выводу, по-видимому, независимо. ^[25]^[26] Британский учёный Уильям Томсон (лорд Кельвин) в 1853 году математически показал, что разряд лейденской банки через индуктивность должен быть колебательным, и вывел его резонансную частоту. ^[23]^[25]^[26]

Британский радиоисследователь Оливер Лодж , разрядив большую батарею лейденских банок через длинный провод, создал настроенную цепь с резонансной частотой в звуковом диапазоне, которая при разряде производила музыкальный тон из искры. ^[25] В 1857 году немецкий физик Беренд Вильгельм Феддерсен сфотографировал искру, создаваемую резонансной цепью лейденской банки во вращающемся зеркале, предоставив видимое свидетельство колебаний. ^[23]^[25]^[26] В 1868 году шотландский физик Джеймс Клерк Максвелл рассчитал эффект от подачи переменного тока в цепь с индуктивностью и емкостью, показав, что отклик максимален на резонансной частоте. ^[23]

Первый пример кривой электрического резонанса был опубликован в 1887 году немецким физиком Генрихом Герцем в его новаторской статье об открытии радиоволн, в которой была показана зависимость длины искры, получаемой от его искровых LC-резонаторных детекторов, в зависимости от частоты. ^[23]

Одной из первых демонстраций резонанса между настроенными контурами был эксперимент Лоджа с «синтоническими банками» примерно в ¹⁸⁸⁹ году ^. искровой промежуток. Когда к одной настроенной цепи подавалось высокое напряжение от индукционной катушки, создавая искры и, таким образом, колебательные токи, искры возбуждались в другой настроенной цепи только тогда, когда катушки индуктивности были настроены на резонанс. Лодж и некоторые английские учёные предпочли для этого эффекта термин « синтония », но термин « резонанс » со временем прижился. ^[23]

Первое практическое применение схем RLC было в 1890-х годах в радиопередатчиках с искровым разрядником , позволяющих настраивать приемник на передатчик. Первый патент на радиосистему, допускающую настройку, был подан Лоджем в 1897 году, хотя первые практические системы были изобретены в 1900 году пионером англо-итальянского радио Гульельмо Маркони . ^[23]

Приложения

Переменные настроенные схемы

Эти схемы очень часто используются в схемах настройки аналоговых радиоприемников. Регулируемая настройка обычно достигается с помощью переменного конденсатора с параллельными пластинами, который позволяет изменять значение $C и настраиваться на станции на разных частотах.$ Для каскада ПЧ в радиоприемнике, где настройка предварительно задана на заводе, более обычным решением является регулируемый сердечник в дросселе для регулировки $L$ . В этой конструкции сердечник (изготовленный из материала с высокой проницаемостью , увеличивающего индуктивность) имеет резьбу, так что его можно ввинчивать дальше или вывинчивать из обмотки индуктора по мере необходимости.

Фильтры

В приложениях фильтрации резистор становится нагрузкой, с которой работает фильтр. Значение коэффициента демпфирования выбирается исходя из желаемой полосы пропускания фильтра. Для более широкой полосы пропускания требуется большее значение коэффициента затухания (и наоборот). Три компонента дают дизайнеру три степени свободы. Два из них необходимы для установки полосы пропускания и резонансной частоты. У дизайнера по-прежнему остается один, который можно использовать для масштабирования $R$ , $L$ и $C$ до удобных практических значений. Альтернативно, $R$ может быть заранее задано внешней схемой, которая будет использовать последнюю степень свободы.

Фильтр нижних частот

Цепь RLC может использоваться в качестве фильтра нижних частот. Конфигурация схемы показана на рисунке 6. Изломная частота, то есть частота точки 3 дБ, определяется выражением

\omega _{\mathrm {c} }={\frac {1}{\sqrt {LC}}}\,.

Это также полоса пропускания фильтра. Коэффициент демпфирования определяется выражением ^[27]

\zeta ={\frac {1}{2R_{L}}}{\sqrt {\frac {L}{C}}}\,.

Фильтр верхних частот

Фильтр верхних частот показан на рисунке 7. Угловая частота такая же, как у фильтра нижних частот:

\omega _{\mathrm {c} }={\frac {1}{\sqrt {LC}}}\,.

Фильтр имеет полосу задерживания такой ширины. ^[28]

Полосовой фильтр

Полосовой фильтр может быть сформирован с помощью схемы RLC, либо путем включения последовательной цепи LC последовательно с нагрузочным резистором, либо путем размещения параллельной цепи LC параллельно нагрузочному резистору. Эти схемы показаны на рисунках 8 и 9 соответственно. Центральная частота определяется выражением

\omega _{\mathrm {c} }={\frac {1}{\sqrt {LC}}}\,,

а полоса пропускания для последовательной схемы равна ^[29]

\Delta \omega ={\frac {R_{L}}{L}}\,.

Шунтовая версия схемы предназначена для управления источником с высоким импедансом, то есть источником постоянного тока. В этих условиях полоса пропускания равна ^[29]

\Delta \omega ={\frac {1}{CR_{L}}}\,.

Полосовой фильтр

На рисунке 10 показан полосовой фильтр, образованный последовательной LC-цепью, включенной параллельно нагрузке. На рисунке 11 показан полосовой фильтр, образованный параллельной LC-цепью, включенной последовательно с нагрузкой. В первом случае требуется источник с высоким импедансом, чтобы ток направлялся в резонатор, когда при резонансе он становится низким импедансом. Во втором случае требуется источник с низким импедансом, чтобы напряжение на антирезонаторе падало, когда при резонансе он становится высоким импедансом. ^[30]

Осцилляторы

Для приложений в генераторных схемах обычно желательно сделать затухание (или, что то же самое, коэффициент затухания) как можно меньшим. На практике эта цель требует сделать сопротивление цепи $R$ как можно меньшим физически для последовательной цепи или, альтернативно, увеличить $R$ до максимально возможного значения для параллельной цепи. В любом случае схема RLC становится хорошим приближением к идеальной схеме LC . Однако для цепей с очень низким затуханием (высокая $добротность$ ) могут стать важными такие проблемы, как диэлектрические потери катушек и конденсаторов.

В схеме генератора

\alpha \ll \omega _{0}\,,

или эквивалентно

\zeta \ll 1\,.

Как результат,

\omega _{\mathrm {d} }\approx \omega _{0}\,.

Умножитель напряжения

В последовательной RLC-цепи при резонансе ток ограничивается только сопротивлением цепи.

I={\frac {V}{R}}\,.

Если $R$ мало и состоит, скажем, только из сопротивления обмотки индуктора, то этот ток будет большим. Это приведет к падению напряжения на индукторе

V_{L}={\frac {V}{R}}\omega _{0}L\,.

Напряжение равной величины также будет наблюдаться на конденсаторе, но в противофазе с катушкой индуктивности. Если $R$ можно сделать достаточно малым, эти напряжения могут в несколько раз превышать входное напряжение. Коэффициент напряжения - это, по сути, $добротность$ цепи,

{\frac {V_{L}}{V}}=Q\,.

Аналогичный эффект наблюдается и с токами в параллельной цепи. Несмотря на то, что для внешнего источника схема выглядит как имеющая высокий импеданс, во внутренней петле параллельного индуктора и конденсатора циркулирует большой ток.

Схема импульсного разряда

Последовательная цепь RLC с перезатуханием может использоваться в качестве цепи импульсного разряда. Часто бывает полезно знать значения компонентов, которые можно использовать для создания сигнала. Это описывается формой

I(t)=I_{0}\left(\,e^{-\alpha \,t}-e^{-\beta \,t}\right)\,.

Такая схема может состоять из накопительного конденсатора, нагрузки в виде сопротивления, некоторой индуктивности цепи и переключателя – все последовательно. Начальные условия заключаются в том, что конденсатор находится под напряжением $V 0$ и ток в индукторе отсутствует. Если индуктивность $L$ известна, то остальные параметры задаются следующими – емкостью:

C={\frac {1}{~L\,\alpha \,\beta \,~}}\,,

сопротивление (суммарное значение цепи и нагрузки):

R=L\,(\,\alpha +\beta \,)\,,

начальное напряжение на клеммах конденсатора:

V_{0}=-I_{0}L\,\alpha \,\beta \,\left({\frac {1}{\beta }}-{\frac {1}{\alpha }}\right)\,.

Перестановка для случая, когда известна $R - емкость:$

C={\frac {~\alpha +\beta ~}{R\,\alpha \,\beta }}\,,

индуктивность (сумма цепи и нагрузки):

L={\frac {R}{\,\alpha +\beta ~}}\,,

начальное напряжение на клеммах конденсатора:

V_{0}={\frac {\,-I_{0}R\,\alpha \,\beta ~}{\alpha +\beta }}\left({\frac {1}{\beta }}-{\frac {1}{\alpha }}\right)\,.

Смотрите также

Сноски

^ Реакция RLC на напряжение возбуждения происходит на частоте генерации без потерь, даже если сопротивление потерь $R$ может присутствовать. Управляемый резонанс не возникает на частоте затухающих свободных колебаний, с более сложной формулой (см. ниже), которая дает уменьшенное значение из-за затухания ( $R$ ), которое применимо только к свободным колебаниям (отсутствие управляющего сигнала). $\ {\frac {1}{\ 2\pi {\sqrt {LC\ }}\ }}\ ,$

Библиография

Агарвал, Анант; Ланг, Джеффри Х. (2005). Основы аналоговых и цифровых электронных схем . Морган Кауфманн. ISBN 1-55860-735-8.
Хумар, Дж. Л. (2002). Динамика структур . Тейлор и Фрэнсис. ISBN 90-5809-245-3.
Ирвин, Дж. Дэвид (2006). Базовый инженерный анализ цепей . Уайли. ISBN 7-302-13021-3.
Кайзер, Кеннет Л. (2004). Справочник по электромагнитной совместимости . ЦРК Пресс. ISBN 0-8493-2087-9.
Нильссон, Джеймс Уильям; Ридель, Сьюзан А. (2008). Электрические цепи . Прентис Холл. ISBN 978-0-13-198925-2.

RLC-схема

Базовые концепты

Резонанс

Собственная частота

Демпфирование

Пропускная способность

Q- фактор

Масштабируемые параметры

Последовательная схема

Переходный процесс

Перезатухающий отклик

Недостаточный отклик

Критически затухающий отклик

Домен Лапласа

Прием Лапласа

Полюсы и нули

Общее решение

Синусоидальное устойчивое состояние

Параллельная схема

Частотная область

Другие конфигурации

История

Приложения

Переменные настроенные схемы

Фильтры

Фильтр нижних частот

Фильтр верхних частот

Полосовой фильтр

Полосовой фильтр

Осцилляторы

Умножитель напряжения

Схема импульсного разряда

Смотрите также

Сноски

Рекомендации

Библиография