stringtranslate.com

Счастливое число

В теории чисел счастливое число — это натуральное число в наборе, который генерируется определенным « решетом ». Это сито похоже на решето Эратосфена , которое генерирует простые числа , но оно исключает числа на основе их положения в оставшемся наборе, а не их значения (или положения в исходном наборе натуральных чисел). [1]

Термин был введен в 1956 году в статье Гардинера, Лазаруса, Метрополиса и Улама . В той же работе они также предложили назвать другое решето «решетом Иосифа Флавия» [2] из-за его сходства с игрой в подсчет в задаче Иосифа Флавия .

Счастливые числа разделяют некоторые свойства с простыми числами, такие как асимптотическое поведение согласно теореме о простых числах ; также на них была распространена версия гипотезы Гольдбаха . Существует бесконечно много счастливых чисел. Двойные счастливые числа и двойные простые числа также, по-видимому, встречаются с похожей частотой. Однако, если L n обозначает n -е счастливое число, а p n n -е простое число, то L n > p n для всех достаточно больших n . [3]

Из-за их очевидного сходства с простыми числами некоторые математики предположили, что некоторые из их общих свойств могут быть обнаружены и в других наборах чисел, генерируемых ситами определенной неизвестной формы, но для этой гипотезы нет теоретических оснований .

Процесс просеивания

Анимация, демонстрирующая сито счастливых чисел. Числа на красновато-оранжевом фоне — счастливые числа. Когда число вычеркивается, его фон меняется с серого на фиолетовый. Диаграмма доходит до 120.

Продолжайте удалять n- е оставшиеся числа, где n — следующее число в списке после последнего выжившего числа. Следующее в этом примере — 9.

Одним из отличий применения процедуры от решета Эратосфена является то, что для n , являющегося числом, умножаемым на определенном проходе, первое число, исключаемое на проходе, является n -ным оставшимся числом, которое еще не было исключено, в отличие от числа 2n . То есть список чисел, который пересчитывает это решето, отличается на каждом проходе (например, 1, 3, 7, 9, 13, 15, 19... на третьем проходе), тогда как в решете Эратосфена решето всегда перебирает весь исходный список (1, 2, 3...).

После того как эта процедура будет полностью выполнена, оставшиеся целые числа станут счастливыми числами (те, которые окажутся простыми, выделены жирным шрифтом):

1 , 3 , 7 , 9 , 13 , 15 , 21 , 25 , 31 , 33 , 37 , 43 , 49 , 51 , 63 , 67 , 69 , 73 , 75 , 79 , 87 , 93 , 99 , 105 , 111 , 115 , 127 , 129 , 133 , 135 , 141 , 151 , 159 , 163 , 169 , 171 , 189 , 193 , 195 , 201 , 205 , 211 , 219 , 223 , 231 , 235 , 237 , 241 , 259 , 261 , 267 , 273 , 283 , 285 , 289 , 297 , 303 , 307 , 319 , 321 , 327 , 331 , 339 , ... (последовательность A000959 в OEIS ).

Счастливое число, которое удаляет n из списка счастливых чисел: (0, если n — счастливое число)

0, 2, 0, 2, 3, 2, 0, 2, 0, 2, 3, 2, 0, 2, 0, 2, 3, 2, 7, 2, 0, 2, 3, 2, 0, 2, 9, 2, 3, 2, 0, 2, 0, 2, 3, 2, 0, 2, 7, 2, 3, 2, 0, 2, 13, 2, 3, 2, 0, 2, 0, 2, 3, 2, 15, 2, 9, 2, 3, 2, 7, 2, 0, 2, 3, 2, 0, 2, 0, 2, 3, 2, 0, 2, 0, 2, 3, 2, 0, 2, 7, 2, 3, 2, 21, 2, ... (последовательность A264940 в OEIS )

Счастливые простые числа

«Счастливое простое число» — это счастливое число, которое является простым. Это:

3, 7, 13, 31, 37, 43, 67, 73, 79, 127, 151, 163, 193, 211, 223, 241, 283, 307, 331, 349, 367, 409, 421, 433, 463, 487, 541, 577, 601, 613, 619, 631, 643, 673, 727, 739, 769, 787, 823, 883, 937, 991, 997, ... (последовательность A031157 в OEIS ).

Было высказано предположение, что существует бесконечно много счастливых простых чисел. [4]

Смотрите также

Ссылки

  1. ^ Weisstein, Eric W. "Счастливое число". mathworld.wolfram.com . Получено 11 августа 2020 г.
  2. ^ Гардинер, Верна; Лазарус, Р.; Метрополис, Н .; Улам, С. (1956). «О некоторых последовательностях целых чисел, определяемых решетами». Mathematics Magazine . 29 (3): 117–122. doi :10.2307/3029719. ISSN  0025-570X. JSTOR  3029719. Zbl  0071.27002.
  3. ^ Хокинс, Д.; Бриггс, У. Э. (1957). «Теорема о счастливом числе». Mathematics Magazine . 31 (2): 81–84, 277–280. doi :10.2307/3029213. ISSN  0025-570X. JSTOR  3029213. Zbl  0084.04202.
  4. ^ Слоан, Н. Дж. А. (ред.). «Последовательность A031157 (Числа, которые являются одновременно счастливыми и простыми)». Онлайновая энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд OEIS.

Дальнейшее чтение

Внешние ссылки