Мерсенн Твистер

Генератор псевдослучайных чисел

Mersenne Twister — это генератор псевдослучайных чисел общего назначения (PRNG), разработанный в 1997 году Макото Мацумото (松本 眞) и Такудзи Нишимурой (西村 拓士) . ^{[1] [2]} Его название происходит от выбора простого числа Мерсенна в качестве длины периода.

Mersenne Twister был разработан специально для исправления большинства недостатков, обнаруженных в старых ГПСЧ.

Наиболее часто используемая версия алгоритма Mersenne Twister основана на простом числе Мерсенна . Стандартная реализация этого, MT19937, использует длину слова 32 бита . Существует еще одна реализация (с пятью вариантами ^[3] ), в которой используется длина слова 64 бита, MT19937-64; он генерирует другую последовательность. ${\displaystyle 2^{19937}-1}$

к-распределение

Псевдослучайная последовательность w - битных целых чисел периода P называется k-распределенной с точностью до v -бита, если выполняется следующее. ${\displaystyle x_{i}}$

Пусть trunc _v ( x ) обозначает число , образованное старшими v битами x , и рассмотрим P k v -битных векторов.

${\displaystyle (\operatorname {trunc} _{v}(x_{i}),\operatorname {trunc} _{v}(x_{i+1}),\,\ldots ,\operatorname {trunc} _{v}(x_{i+k-1}))\quad (0\leq i<P)}$.

Тогда каждая из возможных комбинаций битов встречается одинаковое количество раз за период, за исключением комбинации, состоящей из всех нулей, которая встречается один раз реже. ${\displaystyle 2^{kv}}$

Алгоритмическая деталь

Визуализация генерации псевдослучайных 32-битных целых чисел с использованием Mersenne Twister. В разделе «Извлечение числа» показан пример, где целое число 0 уже выведено, а индекс равен целому числу 1. «Создать числа» запускается, когда все целые числа были выведены.

Для длины слова w -бит Mersenne Twister генерирует целые числа в диапазоне . ${\displaystyle [0,2^{w}-1]}$

Алгоритм Mersenne Twister основан на матричной линейной рекуррентности над конечным двоичным полем . Алгоритм представляет собой регистр сдвига со скрученной обобщенной обратной связью ^[4] (twisted GFSR или TGFSR) рациональной нормальной формы (TGFSR(R)), с отражением и смягчением битов состояния. Основная идея состоит в том, чтобы определить серию с помощью простого рекуррентного соотношения, а затем вывести числа в форме , где T — обратимая -матрица, называемая матрицей смягчения . ${\displaystyle {\textbf {F}}_{2}}$ ${\displaystyle x_{i}}$ ${\displaystyle x_{i}^{T}}$ ${\displaystyle {\textbf {F}}_{2}}$

Общий алгоритм характеризуется следующими величинами:

• w : размер слова (в битах)
• n : степень рецидива
• m : среднее слово, смещение, используемое в рекуррентном отношении, определяющем серию , ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle 1\leq m<n}$
• r : точка разделения одного слова или количество бит младшей битовой маски, ${\displaystyle 0\leq r\leq w-1}$
• a : коэффициенты матрицы скручивания рациональной нормальной формы
• b , c : Битовые маски смягчения TGFSR(R)
• s , t : Сдвиг битов отпуска TGFSR(R)
• u , d , l : дополнительные смены/маски закалочных долот Mersenne Twister

с ограничением, что это простое число Мерсенна. Этот выбор упрощает тест на примитивность и тест на k -распределение , которые необходимы при поиске параметров. ${\displaystyle 2^{nw-r}-1}$

Серия определяется как серия w -битных величин с рекуррентным соотношением: ${\displaystyle x}$

${\displaystyle x_{k+n}:=x_{k+m}\oplus \left(({x_{k}}^{u}\mid {x_{k+1}}^{l})A\right)\qquad k=0,1,2,\ldots }$

где обозначает конкатенацию битовых векторов (со старшими битами слева), побитовое исключающее ИЛИ (XOR), означает верхние биты w - r и означает младшие биты . ${\displaystyle \mid }$ ${\displaystyle \oplus }$ ${\displaystyle x_{k}^{u}}$ ${\displaystyle x_{k}}$ ${\displaystyle x_{k+1}^{l}}$ ${\displaystyle x_{k+1}}$

Все индексы могут быть смещены на -n.

${\displaystyle x_{k}:=x_{k-(n-m)}\oplus \left(({x_{k-n}}^{u}\mid {x_{k-(n-1)}}^{l})A\right)\qquad k=n,n+1,n+2,\ldots }$

где теперь LHS, , — это следующее сгенерированное значение в серии с точки зрения значений, сгенерированных в прошлом, которые находятся на RHS. ${\displaystyle x_{k}}$

Твист-преобразование A определяется в рациональной нормальной форме как: с как единичная матрица. Преимущество рациональной нормальной формы состоит в том, что умножение на A можно эффективно выразить как: (помните, что здесь умножение матрицы выполняется в , и поэтому вместо сложения используется побитовое исключающее ИЛИ) где – бит младшего порядка . $${\displaystyle A={\begin{pmatrix}0&I_{w-1}\\a_{w-1}&(a_{w-2},\ldots ,a_{0})\end{pmatrix}}}$$ ${\displaystyle I_{w-1}}$ ${\displaystyle (w-1)(w-1)}$ ${\displaystyle {\textbf {F}}_{2}}$ $${\displaystyle {\boldsymbol {x}}A={\begin{cases}{\boldsymbol {x}}\gg 1&x_{0}=0\\({\boldsymbol {x}}\gg 1)\oplus {\boldsymbol {a}}&x_{0}=1\end{cases}}}$$ ${\displaystyle x_{0}}$ ${\displaystyle x}$

Как и в случае с TGFSR(R), «Твистер Мерсенна» каскадируется с умеренным преобразованием , чтобы компенсировать пониженную размерность равнораспределения (из-за того, что A находится в рациональной нормальной форме). Обратите внимание, что это эквивалентно использованию матрицы A , где для T является обратимая матрица, и поэтому анализ характеристического полинома, упомянутый ниже, все еще остается в силе. ${\displaystyle A=T^{-1}*AT}$

Как и в случае с A , мы выбираем смягчающее преобразование так, чтобы оно было легко вычислимым, и поэтому фактически не конструируем T само по себе. В случае Mersenne Twister этот отпуск определяется как

${\displaystyle {\begin{aligned}y&\equiv x\oplus ((x\gg u)~\And ~d)\\y&\equiv y\oplus ((y\ll s)~\And ~b)\\y&\equiv y\oplus ((y\ll t)~\And ~c)\\z&\equiv y\oplus (y\gg l)\end{aligned}}}$

где — следующее значение из серии, — временное промежуточное значение и — значение, возвращаемое алгоритмом, с и как побитовые сдвиги влево и вправо , а также как побитовое И. Первое и последнее преобразования добавлены для улучшения равнораспределения младших разрядов. Согласно свойству TGFSR, требуется достичь верхней границы равнораспределения для старших битов. ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle \ll }$ ${\displaystyle \gg }$ ${\displaystyle \&}$ ${\displaystyle s+t\geq \left\lfloor {\frac {w}{2}}\right\rfloor -1}$

Коэффициенты для MT19937:

${\displaystyle {\begin{aligned}(w,n,m,r)&=(32,624,397,31)\\a&={\textrm {9908B0DF}}_{16}\\(u,d)&=(11,{\textrm {FFFFFFFF}}_{16})\\(s,b)&=(7,{\textrm {9D2C5680}}_{16})\\(t,c)&=(15,{\textrm {EFC60000}}_{16})\\l&=18\\\end{aligned}}}$

Обратите внимание, что 32-битные реализации Mersenne Twister обычно имеют d  = FFFFFFFF ₁₆ . В результате d иногда опускается в описании алгоритма, поскольку побитовое и с d в этом случае не имеет никакого эффекта.

Коэффициенты для MT19937-64: ^[5]

${\displaystyle {\begin{aligned}(w,n,m,r)=(64,312,156,31)\\a={\textrm {B5026F5AA96619E9}}_{16}\\(u,d)=(29,{\textrm {5555555555555555}}_{16})\\(s,b)=(17,{\textrm {71D67FFFEDA60000}}_{16})\\(t,c)=(37,{\textrm {FFF7EEE000000000}}_{16})\\l=43\\\end{aligned}}}$

Инициализация

Состояние, необходимое для реализации Mersenne Twister, представляет собой массив из n значений по w бит каждое. Для инициализации массива используется w -битное начальное значение, которое передается путем установки начального значения и последующей установки ${\displaystyle x_{0}}$ ${\displaystyle x_{n-1}}$ ${\displaystyle x_{0}}$

${\displaystyle x_{i}=f\times (x_{i-1}\oplus (x_{i-1}\gg (w-2)))+i}$

для от до . ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle n-1}$

• Первое значение, которое затем генерирует алгоритм, основано на , а не на . ${\displaystyle x_{n}}$ ${\displaystyle x_{0}}$
• Константа f образует еще один параметр генератора, но не является частью самого алгоритма.
• Значение f для MT19937 составляет 1812433253.
• Значение f для MT19937-64 составляет 6364136223846793005. ^[5]

C-код

#include <stdint.h> #define n 624 #define m 397 #define w 32 #define r 31 #define UMASK (0xffffffffUL << r) #define LMASK (0xffffffffUL >> (wr)) #define a 0x9908b0dfUL #define u 11 #define s 7 #define t 15 #define l 18 #define b 0x9d2c5680UL #define c 0xefc60000UL #define f 1812433253ULtypedef struct { uint32_t state_array [ n ]; // массив вектора состояния int state_index ; // индекс в массиве векторов состояния, 0 <= state_index <= n-1 всегда } mt_state ;        void Initialize_state ( mt_state * state , uint32_t семя ) { uint32_t * state_array = & ( state -> state_array [ 0 ]); state_array [ 0 ] = семя ; // предлагаемое начальное семя = 19650218UL for ( int i = 1 ; i < n ; i ++ ) { семя = f * ( семя ^ ( семя >> ( w -2 ))) + i ; // Кнут TAOCP Vol2. 3-е изд. P.106 для множителя. state_array [ я ] = семя ; } Состояние -> индекс_состояния = 0 ; }                                          uint32_t random_uint32 ( mt_state * state ) { uint32_t * state_array = & ( state -> state_array [ 0 ]); int k = состояние -> индекс_состояния ; // указать местоположение текущего состояния // 0 <= state_index <= n-1 всегда // int k = k - n; // указать на состояние n итераций до // if (k < 0) k += n; // циклическое индексирование по модулю n // предыдущие 2 строки фактически ничего не делают // только для иллюстрации int j = k - ( n -1 ); // указать на состояние n-1 итераций до if ( j < 0 ) j += n ; // циклическое индексирование по модулю n                                 uint32_t x = ( state_array [ k ] & UMASK ) | ( state_array [ j ] & LMASK ); uint32_t xA = x >> 1 ; если ( x & 0x00000001UL ) xA ^= a ; j знак равно k - ( п - м ); // указать на состояние nm итераций перед if ( j < 0 ) j += n ; // циклическое индексирование по модулю n x = state_array [ j ] ^ xA ; // вычисляем следующее значение в состоянии state_array [ k ++ ] = x ; // обновляем новое значение состояния if ( k >= n ) k = 0 ; // циклическое индексирование по модулю n state -> state_index = k ; uint32_t y = x ^ ( x >> u ); // закалка y = y ^ (( y << s ) & b ); y = y ^ (( y << t ) & c ); uint32_t z = y ^ ( y >> l ); вернуть г ; }                                                                                                     

Сравнение с классической GFSR

Чтобы достичь теоретического верхнего предела периода в T GFSR , должен быть примитивный полином , являющийся характеристическим полиномом ${\displaystyle 2^{nw-r}-1}$ ${\displaystyle \phi _{B}(t)}$ ${\displaystyle \phi _{B}(t)}$

${\displaystyle B={\begin{pmatrix}0&I_{w}&\cdots &0&0\\\vdots &&&&\\I_{w}&\vdots &\ddots &\vdots &\vdots \\\vdots &&&&\\0&0&\cdots &I_{w}&0\\0&0&\cdots &0&I_{w-r}\\S&0&\cdots &0&0\end{pmatrix}}{\begin{matrix}\\\\\leftarrow m{\text{-th row}}\\\\\\\\\end{matrix}}}$

${\displaystyle S={\begin{pmatrix}0&I_{r}\\I_{w-r}&0\end{pmatrix}}A}$

Преобразование твиста улучшает классический GFSR следующими ключевыми свойствами:

• Период достигает теоретического верхнего предела (за исключением случаев, когда инициализируется значением 0). ${\displaystyle 2^{nw-r}-1}$
• Равнораспределение в n измерениях (например, линейные конгруэнтные генераторы в лучшем случае могут обеспечить разумное распределение в пяти измерениях)

Варианты

CryptMT — это поточный шифр и криптографически безопасный генератор псевдослучайных чисел , который внутри использует Mersenne Twister. ^{[6] [7]} Он был разработан Мацумото и Нисимурой вместе с Марико Хагитой и Муцуо Сайто. Он был представлен проекту eSTREAM сети eCRYPT . ^[6] В отличие от Mersenne Twister или других его производных, CryptMT запатентован .

MTGP — это вариант Mersenne Twister, оптимизированный для графических процессоров, опубликованный Муцуо Сайто и Макото Мацумото. ^[8] Базовые операции линейной рекурсии расширены из MT, а параметры выбраны так, чтобы позволить множеству потоков вычислять рекурсию параллельно, одновременно разделяя свое пространство состояний для уменьшения нагрузки на память. В документе утверждается, что улучшенное равнораспределение по сравнению с MT и производительность на старом графическом процессоре (2008 года) ( Nvidia GTX260 со 192 ядрами) составила 4,7 мс для 5×10 ⁷ случайных 32-битных целых чисел.

SFMT ( SIMD -ориентированный Fast Mersenne Twister) — это вариант Mersenne Twister, представленный в 2006 году ^[9] , предназначенный для быстрой работы при работе на 128-битном SIMD.

• Он примерно в два раза быстрее Mersenne Twister. ^[10]
• Он имеет лучшее свойство равнораспределения точности v-бит, чем MT, но хуже, чем WELL («Well Equidistributed Long- period Linear») .
• Он быстрее восстанавливается из начального состояния с нулевым превышением, чем MT, но медленнее, чем WELL.
• Он поддерживает различные периоды от 2 ⁶⁰⁷  - 1 до 2 ^{216 091}  - 1.

Intel SSE2 и PowerPC AltiVec поддерживаются SFMT. Он также используется для игр с Cell BE на PlayStation 3 . ^[11]

TinyMT — это вариант Mersenne Twister, предложенный Сайто и Мацумото в 2011 году. ^[12] TinyMT использует всего 127 бит пространства состояний, что значительно меньше по сравнению с исходными 2,5 КиБ состояния. Однако его период намного короче, чем у оригинала, поэтому авторы рекомендуют его только в тех случаях, когда память ограничена. ${\displaystyle 2^{127}-1}$

Характеристики

Преимущества:

• Лицензионно-лицензированный и непатентованный для всех вариантов, кроме CryptMT.
• Проходит многочисленные тесты на статистическую случайность, включая тесты Дайхарда и большинство, но не все, тестов TestU01 . ^[13]
• Очень длительный период . Обратите внимание, что длительный период не является гарантией качества генератора случайных чисел. Короткие периоды, например, используемые во многих старых программных пакетах, могут быть проблематичными. ^[14] ${\displaystyle 2^{19937}-1}$ ${\displaystyle 2^{32}}$
• k-распределено с точностью до 32 бит для каждого (определение k -распределено см. ниже) ${\displaystyle 1\leq k\leq 623}$
• Реализации обычно создают случайные числа быстрее, чем аппаратно реализованные методы. Исследование показало, что Mersenne Twister создает 64-битные случайные числа с плавающей запятой примерно в двадцать раз быстрее, чем аппаратно реализованный процессорный набор инструкций RDRAND . ^[15]

Недостатки:

• Относительно большой буфер состояния, почти 2,5  КБ , если не используется вариант TinyMT.
• Посредственная пропускная способность по современным стандартам, если не используется вариант SFMT (обсуждаемый ниже). ^[16]
• Демонстрирует две явные ошибки (линейная сложность) в Crush и BigCrush в пакете TestU01. Тест, как и «Твистер Мерсенна», основан на -алгебре . ^[13] ${\displaystyle {\textbf {F}}_{2}}$
• Множественные экземпляры, которые отличаются только начальным значением (но не другими параметрами), обычно не подходят для моделирования Монте-Карло , требующего независимых генераторов случайных чисел, хотя существует метод выбора нескольких наборов значений параметров. ^{[17] [18]}
• Плохая диффузия: может потребоваться много времени, чтобы начать генерировать выходные данные, которые проходят тесты на случайность , если начальное состояние сильно неслучайно, особенно если начальное состояние имеет много нулей. Следствием этого является то, что два экземпляра генератора, запущенные с почти одинаковыми начальными состояниями, обычно выдают почти одну и ту же последовательность в течение многих итераций, прежде чем в конечном итоге разойдутся. Обновление алгоритма MT от 2002 года улучшило инициализацию, поэтому начало с такого состояния маловероятно. ^[19] Говорят, что версия с графическим процессором (MTGP) еще лучше. ^[20]
• Содержит подпоследовательности, в которых нулей больше, чем единиц. Это добавляет к плохому свойству диффузии, что затрудняет восстановление из состояний со многими нулями.
• Не является криптографически безопасным , если не используется вариант CryptMT (обсуждаемый ниже). Причина в том, что соблюдение достаточного количества итераций (624 в случае MT19937, поскольку это размер вектора состояния, из которого производятся будущие итерации) позволяет предсказать все будущие итерации.

Приложения

Mersenne Twister используется в качестве ГПСЧ по умолчанию в следующем программном обеспечении:

• Языки программирования: Dyalog APL , ^[21] IDL , ^[22] R , ^[23] Ruby , ^[24] Free Pascal , ^[25] PHP , ^[26] Python (также доступен в NumPy , однако вместо этого значение по умолчанию было изменено на PCG64) . начиная с версии 1.17 ^[27] ), ^{[28] [29] [30]} CMU Common Lisp , ^[31] Embeddable Common Lisp , ^[32] Steel Bank Common Lisp , ^[33] Julia (до версии Julia 1.6 LTS, все еще доступна позже, но с версии 1.7 по умолчанию используется лучший/более быстрый ГСЧ) ^[34]
• Библиотеки и программное обеспечение Linux : GLib , ^[35] Библиотека арифметики множественной точности GNU , ^[36] GNU Octave , ^[37] Научная библиотека GNU ^[38]
• Другое: Microsoft Excel , ^[39] GAUSS , ^[40] gretl , ^[41] Stata , ^[42] SageMath , ^[43] Scilab , ^[44] Maple , ^[45] MATLAB ^[46]

Он также доступен в Apache Commons , ^[47] в стандартной библиотеке C++ (начиная с C++11 ), ^{[48] [49]} и в Mathematica . ^[50] Дополнительные реализации предусмотрены во многих программных библиотеках, включая библиотеки Boost C++ , ^[51] библиотеку CUDA , ^[52] и числовую библиотеку NAG . ^[53]

Mersenne Twister — один из двух ГПСЧ в SPSS : другой генератор сохранен только для совместимости со старыми программами, а Mersenne Twister считается «более надежным». ^[54] Mersenne Twister также является одним из PRNG в SAS : остальные генераторы устарели и устарели. ^[55] Mersenne Twister — это PRNG по умолчанию в Stata , другой — KISS , для совместимости со старыми версиями Stata. ^[56]

Альтернативы

Альтернативный генератор WELL («Well Equidistributed Long- period Linear») предлагает более быстрое восстановление, равную случайность и почти равную скорость. ^[57]

Генераторы xorshift и их варианты от Marsaglia являются самыми быстрыми в классе LFSR. ^[58]

64-битные MELG («64-битные максимально равнораспределенные линейные генераторы с простым периодом Мерсенна») полностью оптимизированы с точки зрения свойств k -распределения. ^[59] ${\displaystyle {\textbf {F}}_{2}}$

Семейство ACORN (опубликовано в 1989 г.) — это еще один PRNG с k -распределением, который демонстрирует скорость вычислений, аналогичную MT, и лучшие статистические свойства, поскольку удовлетворяет всем текущим (2019 г.) критериям TestU01; при использовании с соответствующим выбором параметров ACORN может иметь сколь угодно большой период и точность.

Семейство PCG — это более современный генератор с большим периодом, с лучшей локальностью кэша и менее заметной предвзятостью с помощью современных методов анализа. ^[60]

Рекомендации

1. Мацумото, М.; Нисимура, Т. (1998). «Твистер Мерсенна: 623-мерный равнораспределенный равномерный генератор псевдослучайных чисел». ACM-транзакции по моделированию и компьютерному моделированию . 8 (1): 3–30. CiteSeerX  10.1.1.215.1141 . дои : 10.1145/272991.272995. S2CID  3332028.
2. Например, Марсланд С. (2011) Машинное обучение ( CRC Press ), §4.1.1. См. также раздел «Внедрение в программные системы».
3. Джон Савард. «Твистер Мерсенна». Последующая статья, опубликованная в 2000 году, представила пять дополнительных форм вихря Мерсенна с периодом 2^19937-1. Все пять были разработаны для реализации 64-битной арифметики вместо 32-битной.
4. Мацумото, М.; Курита, Ю. (1992). «Витые генераторы GFSR». ACM-транзакции по моделированию и компьютерному моделированию . 2 (3): 179–194. дои : 10.1145/146382.146383. S2CID  15246234.
5. "std::mersenne_twister_engine". Генерация псевдослучайных чисел . Проверено 20 июля 2015 г.
6. "CryptMt и Фубуки". ЭКРИПТ . Архивировано из оригинала 1 июля 2012 г. Проверено 12 ноября 2017 г.
7. Мацумото, Макото; Нисимура, Такудзи; Хагита, Марико; Сайто, Муцуо (2005). «Криптографический поток Мерсенна и блочный шифр Фубуки» (PDF) .
8. Муцуо Сайто; Макото Мацумото (2010). «Варианты Mersenne Twister, подходящие для графических процессоров». arXiv : 1005.4973v3 [cs.MS].
9. «Быстрый вихрь Мерсенна, ориентированный на SIMD (SFMT)» . Хиросима-u.ac.jp . Проверено 4 октября 2015 г.
10. «SFMT: Сравнение скорости» . Хиросима-u.ac.jp . Проверено 4 октября 2015 г.
11. «Лицензия PlayStation3» . scei.co.jp. ​Проверено 4 октября 2015 г.
12. "Крошечный Твистер Мерсенна (TinyMT)" . Хиросима-u.ac.jp . Проверено 4 октября 2015 г.
13. П. Л'Экуйер и Р. Симард, «TestU01: «Библиотека AC для эмпирического тестирования генераторов случайных чисел», Транзакции ACM в математическом программном обеспечении , 33, 4, статья 22 (август 2007 г.).
14. Примечание: 2 ¹⁹⁹³⁷ составляет примерно 4,3 × 10 ⁶⁰⁰¹ ; это на много порядков больше предполагаемого числа частиц в наблюдаемой Вселенной , которое составляет 10 ⁸⁷ .
15. Маршрут, Мэтью (10 августа 2017 г.). «Синтез популяции ультрахолодных карликов с радиовспышкой». Астрофизический журнал . 845 (1): 66. arXiv : 1707.02212 . Бибкод : 2017ApJ...845...66R. дои : 10.3847/1538-4357/aa7ede . S2CID  118895524.
16. «Быстрый вихрь Мерсенна (SFMT), ориентированный на SIMD: в два раза быстрее, чем вихрь Мерсенна» . Японское общество содействия науке . Проверено 27 марта 2017 г.
17. Макото Мацумото; Такудзи Нишимура. «Динамическое создание генераторов псевдослучайных чисел» (PDF) . Проверено 19 июля 2015 г.
18. Хироши Харамото; Макото Мацумото; Такудзи Нисимура; Франсуа Паннетон; Пьер Л'Экуайер. «Эффективный скачок вперед для F2-линейных генераторов случайных чисел» (PDF) . Проверено 12 ноября 2015 г.
19. "mt19937ar: Mersenne Twister с улучшенной инициализацией" . Хиросима-u.ac.jp . Проверено 4 октября 2015 г.
20. Туман, Агнер (1 мая 2015 г.). «Генератор псевдослучайных чисел для векторных и многоядерных процессоров». Журнал современных прикладных статистических методов . 14 (1): 308–334. дои : 10.22237/jmasm/1430454120 .
21. «Случайная ссылка». Справочное руководство по языку Dialog . Проверено 4 июня 2020 г.
22. «СЛУЧАЙНО (ссылка на IDL)» . Центр документации Exelis VIS . Проверено 23 августа 2013 г.
23. «Генератор случайных чисел». Представление задач CRAN: распределения вероятностей . Проверено 29 мая 2012 г.
24. "Документация класса "Случайный"" . Документация Ruby 1.9.3 . Проверено 29 мая 2012 г.
25. «случайный». бесплатная документация по Паскалю . Проверено 28 ноября 2013 г.
26. «mt_rand — Генерация лучшего случайного значения». Руководство по PHP . Проверено 2 марта 2016 г.
27. «Примечания к выпуску NumPy 1.17.0 — Руководство по NumPy v1.21» . numpy.org . Проверено 29 июня 2021 г.
28. «9.6 случайных чисел — генерация псевдослучайных чисел» . Документация Python v2.6.8 . Проверено 29 мая 2012 г.
29. «8.6 случайный — Генерация псевдослучайных чисел» . Документация Python v3.2 . Проверено 29 мая 2012 г.
30. «случайное — Генерация псевдослучайных чисел — Документация Python 3.8.3» . Документация Python 3.8.3 . Проверено 23 июня 2020 г.
31. «Выбор дизайна и расширения» . Руководство пользователя CMUCL . Проверено 3 февраля 2014 г.
32. «Случайные состояния». Руководство по ECL . Проверено 20 сентября 2015 г.
33. «Генерация случайных чисел». Руководство пользователя СБКЛ .
34. «Случайные числа · Язык Джулии» . docs.julialang.org . Проверено 21 июня 2022 г.
35. «Случайные числа: Справочное руководство GLib» .
36. «Алгоритмы случайных чисел». ГНУ МП . Проверено 21 ноября 2013 г.
37. «16.3 Специальные матрицы полезности» . GNU Октава . Встроенная функция: рандом
38. «Переменные среды случайных чисел» . Научная библиотека ГНУ . Проверено 24 ноября 2013 г.
39. Мелар, Г. (2014), «О точности статистических процедур в Microsoft Excel 2010», Вычислительная статистика , 29 (5): 1095–1128, CiteSeerX 10.1.1.455.5508 , doi : 10.1007/s00180-014-0482 -5, S2CID  54032450 .
40. «Справочник по языку GAUSS 14» (PDF) .
41. «Униформа». Справочник по функциям Gretl .
42. «Новый генератор случайных чисел — 64-битный Mersenne Twister».
43. «Распределение вероятностей — Справочное руководство Sage v7.2: Вероятность» .
44. "Гранд - Случайные числа" . Справка по Scilab .
45. «Генератор случайных чисел». Онлайн-справка Maple . Проверено 21 ноября 2013 г.
46. «Алгоритмы генератора случайных чисел» . Центр документации MathWorks .
47. «Генерация данных». Руководство пользователя Apache Commons Math .
48. «Генерация случайных чисел в C++11» (PDF) . Стандартная основа C++ .
49. "std::mersenne_twister_engine". Генерация псевдослучайных чисел . Проверено 25 сентября 2012 г.
50. [1] Документация Mathematica
51. "boost/random/mersenne_twister.hpp". Библиотеки Boost C++ . Проверено 29 мая 2012 г.
52. «Обзор API хоста» . Документация по набору инструментов CUDA . Проверено 2 августа 2016 г.
53. «G05 - Генераторы случайных чисел» . Введение в главу библиотеки NAG . Проверено 29 мая 2012 г.
54. «Генератор случайных чисел». Статистика IBM SPSS . Проверено 21 ноября 2013 г.
55. «Использование функций случайных чисел». Справочник по языку SAS . Проверено 21 ноября 2013 г.
56. Справка по Stata: set rng — укажите, какой генератор случайных чисел (ГСЧ) использовать.
57. П. Л'Экуйер, «Генератори равномерных случайных чисел», Международная энциклопедия статистических наук , Ловрик, Миодраг (ред.), Springer-Verlag, 2010.
58. «Генераторы xorshift*/xorshift+ и перестрелка PRNG» .
59. Харасе, С.; Кимото, Т. (2018). «Реализация 64-битных максимально равнораспределенных F2-линейных генераторов с простым периодом Мерсенна». Транзакции ACM в математическом программном обеспечении . 44 (3): 30:1–30:11. arXiv : 1505.06582 . дои : 10.1145/3159444. S2CID  14923086.
60. "Бумага PCG". 27 июля 2017 г.

дальнейшее чтение

• Харасе, С. (2014), «О -линейных отношениях генераторов псевдослучайных чисел Мерсенна Твистера», Mathematics and Computers in Simulation , 100 : 103–113, arXiv : 1301.5435 , doi : 10.1016/j.matcom.2014.02.002, S2CID  6984431 ${\displaystyle \mathbb {F} _{2}}$.
• Харасе, С. (2019), «Преобразование Мерсенна Твистера в числа с плавающей запятой двойной точности», Mathematics and Computers in Simulation , 161 : 76–83, arXiv : 1708.06018 , doi : 10.1016/j.matcom.2018.08.006 , S2CID  19777310.

Внешние ссылки

• Научная статья по MT и связанные с ней статьи Макото Мацумото.
• Домашняя страница Mersenne Twister с кодами на C, Fortran, Java, Lisp и некоторых других языках.
• Примеры Mersenne Twister — коллекция реализаций Mersenne Twister на нескольких языках программирования — на GitHub.
• SFMT в действии: Часть I — Создание DLL, включая поддержку SSE2 — в Code Project