Теорема выбора Майкла

О существовании непрерывного выбора многозначного отображения из паракомпактного пространства

В функциональном анализе , разделе математики, теорема выбора Майкла — это теорема выбора, названная в честь Эрнеста Майкла . В своей наиболее популярной форме она утверждает следующее: ^[1]

Теорема выбора Майкла  —  Пусть X — паракомпактное пространство , а Y — сепарабельное банахово пространство . Пусть — нижняя геминепрерывная функция со значениями множества с непустыми выпуклыми замкнутыми значениями. Тогда существует непрерывная селекция F. ${\displaystyle F\colon X\to Y}$ ${\displaystyle f\colon X\to Y}$

Наоборот , если любое полунепрерывное снизу мультиотображение из топологического пространства X в банахово пространство с непустыми выпуклыми замкнутыми значениями допускает непрерывный выбор , то X является паракомпактным. Это дает еще одну характеристику паракомпактности .

Примеры

Функция, удовлетворяющая всем требованиям

Функция: , показанная серой областью на рисунке справа, является функцией множества значений из действительного интервала [0,1] в себя. Она удовлетворяет всем условиям Майкла, и действительно имеет непрерывный выбор, например: или . ${\displaystyle F(x)=[1-x/2,~1-x/4]}$ ${\displaystyle f(x)=1-x/2}$ ${\displaystyle f(x)=1-3x/8}$

Функция, которая не удовлетворяет нижней геминепрерывности

Функция

${\displaystyle F(x)={\begin{cases}3/4&0\leq x<0.5\\\left[0,1\right]&x=0.5\\1/4&0.5<x\leq 1\end{cases}}}$

является функцией множества значений из действительного интервала [0,1] в себя. Она имеет непустые выпуклые замкнутые значения. Однако она не является геминепрерывной снизу в точке 0,5. Действительно, теорема Майкла неприменима, и функция не имеет непрерывного выбора: любой выбор в точке 0,5 обязательно разрывен. ^[2]

Приложения

Теорему выбора Майкла можно применить, чтобы показать, что дифференциальное включение

${\displaystyle {\frac {dx}{dt}}(t)\in F(t,x(t)),\quad x(t_{0})=x_{0}}$

имеет решение класса C ¹ , когда F полунепрерывно снизу , а F ( t ,  x ) — непустое замкнутое и выпуклое множество для всех ( t ,  x ). Когда F однозначно, это классическая теорема существования Пеано .

Обобщения

Теорема, принадлежащая Дойчу и Кендерову, обобщает теорему Мишеля о выборе до эквивалентности, связывающей приближенные выборы с почти нижней геминепрерывностью , где говорят, что является почти нижней геминепрерывностью, если в каждой из всех окрестностей существует окрестность такая , что ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \cap _{u\in U}\{F(u)+V\}\neq \emptyset .}$

Точнее, теорема Дойча–Кендерова утверждает, что если является паракомпактным, нормированным векторным пространством и непустым выпуклым для каждого , то является почти геминепрерывным снизу тогда и только тогда, когда имеет непрерывные аппроксимационные выборки, то есть для каждой окрестности в существует непрерывная функция такая, что для каждого , . ^[3] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle F(x)}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle f\colon X\mapsto Y}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle f(x)\in F(X)+V}$

В заметке Сюй доказал, что теорема Дойча–Кендерова также верна, если — локально выпуклое топологическое векторное пространство . ^[4] ${\displaystyle Y}$

Смотрите также

• Теорема выбора Майкла для нуль-мерного случая
• Теорема выбора
• Теорема максимума

Ссылки

1. Майкл, Эрнест (1956). «Непрерывные выборки. I». Annals of Mathematics . Вторая серия. 63 (2): 361–382. doi :10.2307/1969615. hdl : 10338.dmlcz/119700 . JSTOR  1969615. MR  0077107.
2. "проверка доказательства - сведение теоремы Какутани о неподвижной точке к теореме Брауэра с использованием теоремы выбора". Mathematics Stack Exchange . Получено 29.10.2019 .
3. Дойч, Франк; Кендеров, Петар (январь 1983 г.). «Непрерывные выборки и приближенные выборки для отображений со значениями множеств и их применение к метрическим проекциям». Журнал SIAM по математическому анализу . 14 (1): 185–194. doi :10.1137/0514015.
4. Сюй, Юйгуан (декабрь 2001 г.). «Заметка о непрерывной приближенной теореме выбора». Журнал теории приближений . 113 (2): 324–325. doi : 10.1006/jath.2001.3622 .

Дальнейшее чтение

• Repovš, Dušan ; Semenov, Pavel V. (2014). "Continuous Selections of Multivalued Mappings". В Hart, KP; van Mill, J.; Simon, P. (ред.). Recent Progress in General Topology . Vol. III. Berlin: Springer. pp. 711–749. arXiv : 1401.2257 . Bibcode :2014arXiv1401.2257R. ISBN 978-94-6239-023-2.
• Обен, Жан-Пьер; Челлина, Арриго (1984). Дифференциальные включения, многозначные отображения и теория жизнеспособности . Грундл. дер Мат. Висс. Том. 264. Берлин: Springer-Verlag. ISBN 3-540-13105-1.
• Обен, Жан-Пьер; Франковска, Х. (1990). Многозначный анализ . Базель: Биркхойзер. ISBN 3-7643-3478-9.
• Даймлинг, Клаус (1992). Многозначные дифференциальные уравнения . Вальтер де Грюйтер. ISBN 3-11-013212-5.
• Реповш, Душан ; Семенов, Павел В. (1998). Непрерывные выборки многозначных отображений . Дордрехт: Kluwer Academic Publishers. ISBN 0-7923-5277-7.
• Реповш, Душан ; Семенов, Павел В. (2008). «Эрнест Майкл и теория непрерывных выборов». Топология и ее приложения . 155 (8): 755–763. arXiv : 0803.4473 . doi :10.1016/j.topol.2006.06.011.
• Aliprantis, Charalambos D.; Border, Kim C. (2007). Анализ бесконечных измерений: Путеводитель для путешествующих автостопом (3-е изд.). Springer. ISBN 978-3-540-32696-0.
• Ху, С.; Папагеоргиу, Н. Справочник по многозначному анализу . Том I. Клювер. ISBN 0-7923-4682-3.