Теорема Петера–Вейля

Основной результат в гармоническом анализе на компактных топологических группах

В математике теорема Петера–Вейля является основным результатом в теории гармонического анализа , применяемым к топологическим группам , которые являются компактными , но не обязательно абелевыми . Первоначально она была доказана Германом Вейлем и его учеником Фрицем Петером в условиях компактной топологической группы G (Питер и Вейль, 1927). Теорема представляет собой набор результатов, обобщающих важные факты о разложении регулярного представления любой конечной группы , открытые Фердинандом Георгом Фробениусом и Иссаем Шуром .

Пусть G — компактная группа. Теорема состоит из трех частей. Первая часть утверждает, что матричные коэффициенты неприводимых представлений G плотны в пространстве C ( G ) непрерывных комплекснозначных функций на G , а значит, и в пространстве L ² ( G ) квадратично интегрируемых функций . Вторая часть утверждает полную приводимость унитарных представлений G . Затем третья часть утверждает, что регулярное представление G на L ² ( G ) разлагается в прямую сумму всех неприводимых унитарных представлений. Более того, матричные коэффициенты неприводимых унитарных представлений образуют ортонормированный базис L ² ( G ). В случае, когда G — группа единичных комплексных чисел, этот последний результат является просто стандартным результатом из рядов Фурье .

Коэффициенты матрицы

Матричный коэффициент группы G — это комплекснозначная функция на G, заданная как композиция ${\displaystyle \varphi }$

${\displaystyle \varphi =L\circ \pi }$

где π :  G  → GL( V ) — конечномерное ( непрерывное ) групповое представление G , а L — линейный функционал на векторном пространстве эндоморфизмов V (например, trace), который содержит GL( V ) как открытое подмножество. Матричные коэффициенты непрерывны, поскольку представления по определению непрерывны , и линейные функционалы на конечномерных пространствах также непрерывны.

Первая часть теоремы Питера–Вейля утверждает (Bump 2004, §4.1; Knapp 1986, теорема 1.12):

Теорема Петера–Вейля (часть I). Множество матричных коэффициентов G плотно в пространстве непрерывных комплексных функций C ( G ) на G , снабженном равномерной нормой .

Этот первый результат напоминает теорему Стоуна–Вейерштрасса тем, что он указывает плотность множества функций в пространстве всех непрерывных функций, подчиняющихся только алгебраической характеристике . Фактически, матричные коэффициенты образуют унитальную алгебру, инвариантную относительно комплексного сопряжения, поскольку произведение двух матричных коэффициентов является матричным коэффициентом представления тензорного произведения, а комплексное сопряжение является матричным коэффициентом дуального представления. Следовательно, теорема непосредственно следует из теоремы Стоуна–Вейерштрасса, если матричные коэффициенты разделяют точки, что очевидно, если G является матричной группой (Knapp 1986, p. 17). Наоборот, следствием теоремы является то, что любая компактная группа Ли изоморфна матричной группе (Knapp 1986, Theorem 1.15).

Следствием этого результата является то, что матричные коэффициенты G плотны в L ² ( G ).

Разложение унитарного представления

Вторая часть теоремы дает существование разложения унитарного представления G в конечномерные представления. Теперь, интуитивно группы были задуманы как вращения геометрических объектов, поэтому вполне естественно изучать представления, которые по сути возникают из непрерывных действий в гильбертовых пространствах. (Для тех , кто впервые познакомился с дуальными группами, состоящими из характеров, которые являются непрерывными гомоморфизмами в группу окружности , этот подход аналогичен, за исключением того, что группа окружности (в конечном итоге) обобщается до группы унитарных операторов в заданном гильбертовом пространстве.)

Пусть G — топологическая группа, а H — комплексное гильбертово пространство.

Непрерывное линейное действие ∗ : G × H → H порождает непрерывное отображение ρ _∗  : G → H ^H (функции из H в H со строгой топологией ), определяемое следующим образом: ρ _∗ ( g )( v ) = ∗(g,v) . Это отображение, очевидно, является гомоморфизмом из G в GL( H ), ограниченные линейные операторы на H . Обратно, имея такое отображение, мы можем однозначно восстановить действие очевидным образом.

Таким образом, мы определяем представления G в гильбертовом пространстве H как те групповые гомоморфизмы ρ, которые возникают из непрерывных действий G на H. Мы говорим, что представление ρ является унитарным , если ρ( g ) является унитарным оператором для всех g  ∈  G ; т. е. для всех v , w  ∈  H . (Т. е. оно является унитарным, если ρ : G → U( H ). Обратите внимание, как это обобщает особый случай одномерного гильбертова пространства, где U( C ) является просто группой окружности.) ${\displaystyle \langle \rho (g)v,\rho (g)w\rangle =\langle v,w\rangle }$

Учитывая эти определения, мы можем сформулировать вторую часть теоремы Петера–Вейля (Кнапп, 1986, теорема 1.12):

Теорема Петера–Вейля (часть II). Пусть ρ — унитарное представление компактной группы G в комплексном гильбертовом пространстве H. Тогда H распадается в ортогональную прямую сумму неприводимых конечномерных унитарных представлений G.

Разложение квадратично-интегрируемых функций

Чтобы сформулировать третью и последнюю часть теоремы, существует естественное гильбертово пространство над G, состоящее из квадратично интегрируемых функций , ; это имеет смысл, поскольку мера Хаара существует на G . Группа G имеет унитарное представление ρ на , заданное действием слева, посредством ${\displaystyle L^{2}(G)}$ ${\displaystyle L^{2}(G)}$

${\displaystyle \rho (h)f(g)=f(h^{-1}g).}$

Окончательное утверждение теоремы Питера–Вейля (Knapp 1986, теорема 1.12) дает явный ортонормированный базис . Грубо говоря, оно утверждает, что матричные коэффициенты для G , соответствующим образом перенормированные, являются ортонормированным базисом L 2 ⁽ G ) . В частности, разлагается в ортогональную прямую сумму всех неприводимых унитарных представлений, в которой кратность каждого неприводимого представления равна его степени (то есть размерности базового пространства представления). Таким образом, ${\displaystyle L^{2}(G)}$ ${\displaystyle L^{2}(G)}$

${\displaystyle L^{2}(G)={\underset {\pi \in \Sigma }{\widehat {\bigoplus }}}E_{\pi }^{\oplus \dim E_{\pi }}}$

где Σ обозначает множество (классов изоморфизма) неприводимых унитарных представлений группы G , а суммирование обозначает замыкание прямой суммы тотальных пространств E _π представлений π.

Мы также можем рассматривать как представление группы прямого произведения , с двумя факторами, действующими посредством переноса слева и справа соответственно. Зафиксируем представление . Пространство матричных коэффициентов для представления может быть отождествлено с , пространством линейных отображений в себя. Естественное левое и правое действие на матричные коэффициенты соответствует действию на , заданному ${\displaystyle L^{2}(G)}$ ${\displaystyle G\times G}$ ${\displaystyle (\pi ,E_{\pi })}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \operatorname {End} (E_{\pi })}$ ${\displaystyle E_{\pi }}$ ${\displaystyle G\times G}$ ${\displaystyle \operatorname {End} (E_{\pi })}$

${\displaystyle (g,h)\cdot A=\pi (g)A\pi (h)^{-1}.}$

Тогда мы можем разложить как унитарное представление в виде ${\displaystyle L^{2}(G)}$ ${\displaystyle G\times G}$

${\displaystyle L^{2}(G)={\underset {\pi \in \Sigma }{\widehat {\bigoplus }}}E_{\pi }\otimes E_{\pi }^{*}.}$

Наконец, мы можем сформировать ортонормальный базис для следующим образом. Предположим, что представитель π выбран для каждого класса изоморфизма неприводимого унитарного представления, и обозначим совокупность всех таких π через Σ. Пусть будут матричными коэффициентами π в ортонормальном базисе, другими словами ${\displaystyle L^{2}(G)}$ ${\displaystyle \scriptstyle {u_{ij}^{(\pi )}}}$

${\displaystyle u_{ij}^{(\pi )}(g)=\langle \pi (g)e_{j},e_{i}\rangle .}$

для каждого g  ∈  G . Наконец, пусть d ^(π) будет степенью представления π. Теорема теперь утверждает, что множество функций

${\displaystyle \left\{{\sqrt {d^{(\pi )}}}u_{ij}^{(\pi )}\mid \,\pi \in \Sigma ,\,\,1\leq i,j\leq d^{(\pi )}\right\}}$

является ортонормированным базисом ${\displaystyle L^{2}(G).}$

Ограничение на функции класса

Функция на G называется функцией класса , если для всех и в G . Пространство квадратично-интегрируемых функций класса образует замкнутое подпространство , и, следовательно, само по себе является гильбертовым пространством. В пространстве матричных коэффициентов для фиксированного представления есть характер , определяемый как ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f(hgh^{-1})=f(g)}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle L^{2}(G)}$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle \chi _{\pi }}$ ${\displaystyle \pi }$

${\displaystyle \chi _{\pi }(g)=\operatorname {trace} (\pi (g)).}$

В приведённой выше записи символ представляет собой сумму диагональных коэффициентов матрицы:

${\displaystyle \chi _{\pi }=\sum _{i=1}^{d^{(\pi )}}u_{ii}^{(\pi )}.}$

Важным следствием предыдущего результата является следующее:

Теорема : Характеры неприводимых представлений группы G образуют базис Гильберта для пространства квадратично-интегрируемых функций классов на G.

Этот результат играет важную роль в классификации Вейля представлений связной компактной группы Ли . ^[1]

Пример: U(1)

Простым, но полезным примером является случай группы комплексных чисел величиной 1, . В этом случае неприводимые представления являются одномерными и задаются как ${\displaystyle G=S^{1}}$

${\displaystyle \pi _{n}(e^{i\theta })=e^{in\theta }.}$

Тогда для каждого представления существует один матричный коэффициент, функция

${\displaystyle u_{n}(e^{i\theta })=e^{in\theta }.}$

Последняя часть теоремы Петера–Вейля утверждает в этом случае, что эти функции образуют ортонормированный базис для . В этом случае теорема является просто стандартным результатом теории рядов Фурье. ${\displaystyle L^{2}(S^{1})}$

Для любой компактной группы G мы можем рассматривать разложение в терминах матричных коэффициентов как обобщение теории рядов Фурье. Действительно, это разложение часто называют рядом Фурье. ${\displaystyle L^{2}(G)}$

Пример: SU(2)

Мы используем стандартное представление группы SU(2) как

${\displaystyle \operatorname {SU} (2)=\left\{{\begin{pmatrix}\alpha &-{\overline {\beta }}\\\beta &{\overline {\alpha }}\end{pmatrix}}:\ \ \alpha ,\beta \in \mathbb {C} ,\,|\alpha |^{2}+|\beta |^{2}=1\right\}~,}$

Таким образом, SU(2) представляется как 3-сфера, находящаяся внутри . Неприводимые представления SU(2), между тем, помечены неотрицательным целым числом и могут быть реализованы как естественное действие SU(2) на пространстве однородных многочленов степени от двух комплексных переменных. ^[2] Матричные коэффициенты представления -го типа являются гиперсферическими гармониками степени , то есть ограничениями на однородных гармонических многочленов степени от и . Ключом к проверке этого утверждения является вычисление того, что для любых двух комплексных чисел и , функция ${\displaystyle S^{3}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{2}=\mathbb {R} ^{4}}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle S^{3}}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle z_{1}}$ ${\displaystyle z_{2}}$

${\displaystyle (\alpha ,\beta )\mapsto (z_{1}\alpha +z_{2}\beta )^{m}}$

является гармонической функцией . ${\displaystyle (\alpha ,\beta )\in \mathbb {C} ^{2}=\mathbb {R} ^{4}}$

В этом случае нахождение ортонормированного базиса, состоящего из матричных коэффициентов, равносильно нахождению ортонормированного базиса, состоящего из гиперсферических гармоник, что является стандартной конструкцией в анализе на сферах. ${\displaystyle L^{2}(\operatorname {SU} (2))=L^{2}(S^{3})}$

Последствия

Теория представлений связных компактных групп Ли

Теорема Петера–Вейля, а именно утверждение о том, что характеры образуют ортонормированный базис для пространства квадратично интегрируемых функций классов, играет ключевую роль в классификации неприводимых представлений связной компактной группы Ли. ^[3] Аргумент также зависит от интегральной формулы Вейля (для функций классов) и формулы характера Вейля .

Краткое изложение аргументации можно найти здесь .

Линейность компактных групп Ли

Одним из важных следствий теоремы Петера–Вейля является следующее: ^[4]

Теорема : Каждая компактная группа Ли имеет точное конечномерное представление и, следовательно, изоморфна замкнутой подгруппе для некоторого . ${\displaystyle \operatorname {GL} (n;\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle n}$

Структура компактных топологических групп

Из теоремы Петера–Вейля можно вывести важную общую структурную теорему. Пусть G — компактная топологическая группа, которую мы предполагаем хаусдорфовой . Для любого конечномерного G -инвариантного подпространства V в L ² ( G ), где G действует слева, рассмотрим образ G в GL( V ). Он замкнут, поскольку G компактен, и является подгруппой группы Ли GL( V ). Из теоремы Эли Картана следует , что образ G также является группой Ли.

Если теперь взять предел (в смысле теории категорий ) по всем таким пространствам V , то получим результат относительно G : поскольку G действует точно на L2 ( G ), G является обратным пределом групп Ли . Конечно, она сама может не быть группой Ли: например, она может быть ^{проконечной} группой .

Смотрите также

• Двойственность Понтрягина

Ссылки

• Питер, Ф.; Вейль, Х. (1927), "Die Vollständigkeit der примитивный Darstellungen einer geschlossenen kontinuierlichen Gruppe", Math. Энн. , 97 : 737–755, doi : 10.1007/BF01447892.
• Бамп, Дэниел (2004), Группы Ли , Springer, ISBN 0-387-21154-3.
• Холл, Брайан С. (2015), Группы Ли, алгебры Ли и представления: элементарное введение , Graduate Texts in Mathematics, т. 222 (2-е изд.), Springer, ISBN 978-3319134666.
• «Теорема Питера-Вейля», Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
• Кнапп, Энтони (1986), Теория представлений полупростых групп , Princeton University Press, ISBN 0-691-09089-0.
• Кнапп, Энтони В. (2002), Группы Ли за пределами введения , Progress in Mathematics, т. 140 (2-е изд.), Бостон: Birkhäuser, ISBN 0-8176-4259-5.
• Mostow, George D. (1961), «Когомологии топологических групп и солвмногообразий», Annals of Mathematics , 73 (1), Princeton University Press: 20–48, doi : 10.2307/1970281, JSTOR  1970281
• Пале, Ричард С.; Стюарт, TE (1961), «Когомологии дифференцируемых групп преобразований», American Journal of Mathematics , 83 (4), Издательство Университета Джонса Хопкинса: 623–644, doi : 10.2307/2372901, JSTOR  2372901.

Специфический

1. Холл 2015 Глава 12
2. Холл 2015 Пример 4.10
3. Холл 2015 Раздел 12.5
4. Кнапп 2002, Следствие IV.4.22