Теорема Фробениуса (дифференциальная топология)

О нахождении максимального множества решений системы однородных линейных уравнений в частных производных первого порядка

1-форма d z − y d x . на R ³ максимально нарушает предположение теоремы Фробениуса. Эти плоскости кажутся закрученными вдоль оси y . Она не интегрируема, в чем можно убедиться, нарисовав бесконечно малый квадрат в плоскости xy и следуя по пути вдоль 1-форм. Путь не вернется к той же z-координате после одного цикла.

В математике теорема Фробениуса дает необходимые и достаточные условия для нахождения максимального множества независимых решений переопределенной системы однородных линейных уравнений в частных производных первого порядка . В современных геометрических терминах , для заданного семейства векторных полей теорема дает необходимые и достаточные условия интегрируемости для существования слоения максимальными интегральными многообразиями , касательные расслоения которых натянуты на заданные векторные поля. Теорема обобщает теорему существования для обыкновенных дифференциальных уравнений, которая гарантирует, что одно векторное поле всегда порождает интегральные кривые ; Фробениус дает условия совместности, при которых интегральные кривые r векторных полей зацепляются в координатные сетки на r -мерных интегральных многообразиях. Теорема является основополагающей в дифференциальной топологии и исчислении на многообразиях .

Контактная геометрия изучает 1-формы, максимально нарушающие предположения теоремы Фробениуса. Пример показан справа.

Введение

Одноформенная версия

Предположим, что нам нужно найти траекторию частицы в подмножестве трехмерного пространства, но мы не знаем ее формулу траектории. Вместо этого мы знаем только, что ее траектория удовлетворяет , где — гладкие функции . Таким образом, наша единственная уверенность заключается в том, что если в какой-то момент времени частица находится в точке , то ее скорость в этот момент ограничена в плоскости уравнением ${\displaystyle adx+bdy+cdz=0}$ ${\displaystyle a,b,c}$ ${\displaystyle (x,y,z)}$ ${\displaystyle (x_{0},y_{0},z_{0})}$ $${\displaystyle a(x_{0},y_{0},z_{0})[x-x_{0}]+b(x_{0},y_{0},z_{0})[y-y_{0}]+c(x_{0},y_{0},z_{0})[z-z_{0}]=0}$$

Другими словами, мы можем нарисовать «локальную плоскость» в каждой точке трехмерного пространства, и мы знаем, что траектория частицы должна быть касательной к локальной плоскости в любой момент времени.

Если у нас есть два уравнения , то мы можем нарисовать две локальные плоскости в каждой точке, и их пересечение в общем случае будет прямой, что позволит нам однозначно решить кривую, начинающуюся в любой точке. Другими словами, с двумя 1-формами мы можем расщепить область на кривые. $${\displaystyle {\begin{cases}adx+bdy+cdz=0\\a'dx+b'dy+c'dz=0\end{cases}}}$$

Если у нас есть только одно уравнение , то мы могли бы расслаиваться на поверхности, в этом случае мы можем быть уверены, что кривая, начинающаяся на определенной поверхности, должна быть ограничена для блуждания внутри этой поверхности. Если нет, то кривая, начинающаяся в любой точке, может закончиться в любой другой точке в . ${\displaystyle adx+bdy+cdz=0}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$

Можно представить, что вы начинаете с облака маленьких плоскостей и простегиваете их вместе, чтобы сформировать полную поверхность. Главная опасность заключается в том, что если мы простегиваем маленькие плоскости по две за раз, мы можем пойти по циклу и вернуться к тому, с чего начали, но с небольшим сдвигом. Если это произойдет, то мы получим не двухмерную поверхность, а трехмерный шарик. Пример показан на диаграмме справа.

Если единая форма интегрируема, то петли точно замыкаются на себя, и каждая поверхность будет двумерной. Теорема Фробениуса утверждает, что это происходит именно тогда, когда по всей области, где . Обозначения определены в статье об единой форме . ${\displaystyle \omega \wedge d\omega =0}$ ${\displaystyle \omega :=adx+bdy+cdz}$

В ходе разработки аксиоматической термодинамики Каратеодори доказал, что если является интегрируемой одномерной формой на открытом подмножестве , то для некоторых скалярных функций на подмножестве. Это обычно называется теоремой Каратеодори в аксиоматической термодинамике. ^{[1] [2]} Это можно доказать интуитивно, сначала построив маленькие плоскости согласно , простегав их вместе в слоение, а затем присвоив каждой поверхности в слоении скалярную метку. Теперь для каждой точки , определим как скалярную метку поверхности, содержащей точку . ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \omega =fdg}$ ${\displaystyle f,g}$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle g(p)}$ ${\displaystyle p}$

Для каждой точки p, одна форма визуализируется как стопка параллельных плоскостей. Плоскости простегиваются вместе, но с "неравномерной толщиной". С масштабированием в каждой точке, будет иметь "равномерную толщину" и станет точным дифференциалом. ${\displaystyle \omega (p)}$ ${\displaystyle \omega }$

Теперь, является одноформой, которая имеет точно такие же плоскости, как . Однако она имеет "равномерную толщину" везде, в то время как может иметь "неравномерную толщину". Это можно исправить скалярным масштабированием с помощью , что дает . Это проиллюстрировано справа. ${\displaystyle dg}$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \omega =fdg}$

Несколько одноформ

В своей наиболее элементарной форме теорема решает задачу нахождения максимального множества независимых решений регулярной системы линейных однородных уравнений в частных производных первого порядка . Пусть

${\displaystyle \left\{f_{k}^{i}:\mathbf {R} ^{n}\to \mathbf {R} \ :\ 1\leq i\leq n,1\leq k\leq r\right\}}$

быть набором функций C 1 с r < n и таким, что матрица (  f^я
_к ) имеет ранг r при оценке в любой точке R ⁿ . Рассмотрим следующую систему уравнений в частных производных для функции C ² u  : R ⁿ → R :

${\displaystyle (1)\quad {\begin{cases}L_{1}u\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \sum _{i}f_{1}^{i}(x){\frac {\partial u}{\partial x^{i}}}={\vec {f}}_{1}\cdot \nabla u=0\\L_{2}u\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \sum _{i}f_{2}^{i}(x){\frac {\partial u}{\partial x^{i}}}={\vec {f}}_{2}\cdot \nabla u=0\\\qquad \cdots \\L_{r}u\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \sum _{i}f_{r}^{i}(x){\frac {\partial u}{\partial x^{i}}}={\vec {f}}_{r}\cdot \nabla u=0\end{cases}}}$

Ищутся условия существования набора решений u ₁ , ..., u _{n − r} таких, что градиенты ∇ u ₁ , ..., ∇ u _{n − r} линейно независимы .

Теорема Фробениуса утверждает, что эта задача допускает локальное решение ^[3] тогда и только тогда, когда операторы L _k удовлетворяют определенному условию интегрируемости, известному как инволютивность . В частности, они должны удовлетворять соотношениям вида

${\displaystyle L_{i}L_{j}u(x)-L_{j}L_{i}u(x)=\sum _{k}c_{ij}^{k}(x)L_{k}u(x)}$

для 1 ≤ i , j ≤ r и всех C ² функций u , и для некоторых коэффициентов c ^k _ij ( x ), которым разрешено зависеть от x . Другими словами, коммутаторы [ Li , L _j ] должны лежать в линейной оболочке L _k в каждой точке. Условие инволютивности является обобщением коммутативности частных производных. Фактически, стратегия доказательства теоремы Фробениуса состоит в формировании линейных комбинаций среди операторов _{Li так} , чтобы полученные операторы действительно коммутировали, а затем в показе, что существует система координат y _{i ,} для которой это в точности частные производные по y ₁ , ..., y _r .

От анализа к геометрии

Несмотря на то, что система переопределена, обычно существует бесконечно много решений. Например, система дифференциальных уравнений

${\displaystyle {\begin{cases}{\frac {\partial f}{\partial x}}+{\frac {\partial f}{\partial y}}=0\\{\frac {\partial f}{\partial y}}+{\frac {\partial f}{\partial z}}=0\end{cases}}}$

явно допускает множественные решения. Тем не менее, эти решения все еще имеют достаточную структуру, чтобы их можно было полностью описать. Первое наблюдение заключается в том, что даже если f ₁ и f ₂ являются двумя различными решениями, поверхности уровня f ₁ и f ₂ должны перекрываться. Фактически, поверхности уровня для этой системы являются плоскостями в R ³ вида x − y + z = C , где C — константа. Второе наблюдение заключается в том, что, как только поверхности уровня известны, все решения могут быть заданы в терминах произвольной функции. Поскольку значение решения f на поверхности уровня является константой по определению, определим функцию C ( t ) следующим образом:

${\displaystyle f(x,y,z)=C(t){\text{ whenever }}x-y+z=t.}$

Наоборот, если задана функция C ( t ) , то каждая функция f, заданная этим выражением, является решением исходного уравнения. Таким образом, из-за существования семейства поверхностей уровня решения исходного уравнения находятся во взаимно однозначном соответствии с произвольными функциями одной переменной.

Теорема Фробениуса позволяет установить аналогичное соответствие для более общего случая решений (1). Предположим, что u ₁ , ..., u _n−r являются решениями задачи (1), удовлетворяющими условию независимости градиентов. Рассмотрим множества уровня ^[4] ( u ₁ , ..., u _n−r ) как функции со значениями в R ^n−r . Если v ₁ , ..., v _n−r является другим таким набором решений, можно показать (используя некоторую линейную алгебру и теорему о среднем значении ), что это имеет то же самое семейство множеств уровня, но с возможно другим выбором констант для каждого множества. Таким образом, даже если независимые решения (1) не являются уникальными, уравнение (1) тем не менее определяет уникальное семейство множеств уровня. Так же, как и в случае примера, общие решения u уравнения (1) находятся во взаимно однозначном соответствии с (непрерывно дифференцируемыми) функциями на семействе множеств уровня. ^[5]

Множества уровня, соответствующие максимальным независимым множествам решений (1), называются интегральными многообразиями , поскольку функции на совокупности всех интегральных многообразий соответствуют в некотором смысле константам интегрирования . Как только одна из этих констант интегрирования известна, то соответствующее решение также известно.

Теорема Фробениуса на современном языке

Теорему Фробениуса можно переформулировать более экономно на современном языке. Первоначальная версия теоремы Фробениуса была сформулирована в терминах систем Пфаффа , которые сегодня можно перевести на язык дифференциальных форм . Альтернативная формулировка, которая несколько более интуитивна, использует векторные поля .

Формулировка с использованием векторных полей

В формулировке векторного поля теорема утверждает, что подрасслоение касательного расслоения многообразия интегрируемо (или инволютивно) тогда и только тогда, когда оно возникает из регулярного слоения . В этом контексте теорема Фробениуса связывает интегрируемость со слоением; для формулировки теоремы оба понятия должны быть четко определены .

Начнем с того, что произвольное гладкое векторное поле на многообразии определяет семейство кривых , его интегральные кривые (для интервалов ). Это решения , которое является системой обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка , разрешимость которой гарантируется теоремой Пикара–Линделёфа . Если векторное поле нигде не равно нулю, то оно определяет одномерное подрасслоение касательного расслоения , а интегральные кривые образуют регулярное слоение . Таким образом, одномерные подрасслоения всегда интегрируемы. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle u:I\to M}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle {\dot {u}}(t)=X_{u(t)}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M}$

Если подрасслоение имеет размерность больше единицы, необходимо наложить условие. Говорят, что подрасслоение касательного расслоения интегрируемо (или инволютивно ), если для любых двух векторных полей и , принимающих значения в , скобка Ли также принимает значения в . Это понятие интегрируемости нужно определить только локально; то есть существование векторных полей и и их интегрируемость нужно определить только на подмножествах . ${\displaystyle E\subset TM}$ ${\displaystyle TM}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle [X,Y]}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle M}$

Существует несколько определений фолиации . Здесь мы используем следующее:

Определение. P -мерное, класса C ^r слоение n -мерного многообразия M есть разложение M в объединение непересекающихся связных подмногообразий { L _α } _{α∈ A} , называемых слоями слоения, со следующим свойством: каждая точка в M имеет окрестность U и систему локальных, класса C ^r координат x =( x ¹ , ⋅⋅⋅, x ⁿ ) : U → R ⁿ таких, что для каждого слоя L _α компоненты U ∩ L _α описываются уравнениями x ^{p +1} =constant, ⋅⋅⋅, x ⁿ =constant. Слоение обозначается как ={ L _α } _{α∈ A} . ^[6] ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$

Тривиально, любое слоение определяет интегрируемое подрасслоение, поскольку если и является листом слоения, проходящим через то является интегрируемым. Теорема Фробениуса утверждает, что обратное также верно: ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle p\in M}$ ${\displaystyle N\subset M}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle E_{p}=T_{p}N}$

Учитывая приведенные выше определения, теорема Фробениуса утверждает, что подрасслоение интегрируемо тогда и только тогда, когда подрасслоение возникает из регулярного слоения . ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle M}$

Формулировка дифференциальных форм

Пусть U — открытое множество в многообразии M , Ω ¹ ( U ) — пространство гладких дифференцируемых 1-форм на U , а F — подмодуль Ω 1 ( U ) ранга r , причем ранг постоянен по значению над U. Теорема Фробениуса утверждает, что F интегрируем тогда и только тогда, когда для ^{каждого} p из U слой F p _{порождается} r точными дифференциальными формами .

Геометрически теорема утверждает, что интегрируемый модуль 1 -форм ранга r есть то же самое, что и слоение коразмерности r . Соответствие определению в терминах векторных полей, данному во введении, следует из тесной связи между дифференциальными формами и производными Ли . Теорема Фробениуса является одним из основных инструментов для изучения векторных полей и слоений.

Таким образом, существуют две формы теоремы: одна, которая работает с распределениями , то есть гладкими подрасслоениями D касательного расслоения TM ; и другая, которая работает с подрасслоениями градуированного кольца Ω( M ) всех форм на M . Эти две формы связаны двойственностью. Если D — гладкое касательное распределение на M , то аннулятор D , I ( D ) состоит из всех форм (для любого ) таких, что ${\displaystyle \alpha \in \Omega ^{k}(M)}$ ${\displaystyle k\in \{1,\dots ,\operatorname {dim} M\}}$

${\displaystyle \alpha (v_{1},\dots ,v_{k})=0}$

для всех . Множество I ( D ) образует подкольцо и, по сути, идеал в Ω( M ) . Более того, используя определение внешней производной , можно показать, что I ( D ) замкнуто относительно внешнего дифференцирования (является дифференциальным идеалом ) тогда и только тогда, когда D инволютивно. Следовательно, теорема Фробениуса принимает эквивалентную форму, что I ( D ) замкнуто относительно внешнего дифференцирования тогда и только тогда, когда D интегрируемо. ${\displaystyle v_{1},\dots ,v_{k}\in D}$

Обобщения

Эту теорему можно обобщить различными способами.

Бесконечные измерения

Одно бесконечномерное обобщение таково. ^[7] Пусть X и Y — банаховы пространства , а A ⊂ X , B ⊂ Y — пара открытых множеств . Пусть

${\displaystyle F:A\times B\to L(X,Y)}$

быть непрерывно дифференцируемой функцией декартова произведения (которая наследует дифференцируемую структуру от своего включения в X × Y ) в пространство L ( X , Y ) непрерывных линейных преобразований X в Y . Дифференцируемое отображение u  : A → B является решением дифференциального уравнения

${\displaystyle (1)\quad y'=F(x,y)}$

если

${\displaystyle \forall x\in A:\quad u'(x)=F(x,u(x)).}$

Уравнение (1) полностью интегрируемо , если для каждого существует окрестность U точки x ₀ такая, что (1) имеет единственное решение u ( x ), определенное на U , такое, что u ( x ₀ )= y ₀ . ${\displaystyle (x_{0},y_{0})\in A\times B}$

Условия теоремы Фробениуса зависят от того, является ли лежащее в основе поле R или C. Если это R , то предположим, что F непрерывно дифференцируемо. Если это C , то предположим, что F дважды непрерывно дифференцируемо. Тогда (1) полностью интегрируемо в каждой точке A × B тогда и только тогда, когда

${\displaystyle D_{1}F(x,y)\cdot (s_{1},s_{2})+D_{2}F(x,y)\cdot (F(x,y)\cdot s_{1},s_{2})=D_{1}F(x,y)\cdot (s_{2},s_{1})+D_{2}F(x,y)\cdot (F(x,y)\cdot s_{2},s_{1})}$

для всех s ₁ , s ₂ ∈ X. Здесь D ₁ (соответственно D ₂ ) обозначает частную производную по первой (соответственно второй) переменной; скалярное произведение обозначает действие линейного оператора F ( x , y ) ∈ L ( X , Y ) , а также действия операторов D ₁ F ( x , y ) ∈ L ( X , L ( X , Y )) и D ₂ F ( x , y ) ∈ L ( Y , L ( X , Y )) .

Банаховы многообразия

Бесконечномерная версия теоремы Фробениуса справедлива также для банаховых многообразий . ^[8] Утверждение по сути то же самое, что и конечномерная версия.

Пусть M — банахово многообразие класса не ниже C ² . Пусть E — подрасслоение касательного расслоения M . Расслоение E инволютивно , если для каждой точки p ∈ M и пары сечений X и Y множества E , определенных в окрестности точки p , скобка Ли множеств X и Y , вычисленная в точке p , лежит в E _p :

${\displaystyle [X,Y]_{p}\in E_{p}}$

С другой стороны, E интегрируемо , если для каждого p ∈ M существует погруженное подмногообразие φ  : N → M , образ которого содержит p , такое, что дифференциал φ является изоморфизмом TN с φ ⁻¹ E .

Теорема Фробениуса утверждает, что подрасслоение E интегрируемо тогда и только тогда, когда оно инволютивно.

Голоморфные формы

Утверждение теоремы остается верным для голоморфных 1-форм на комплексных многообразиях — многообразиях над C с биголоморфными функциями перехода . ^[9]

В частности, если r линейно независимых голоморфных 1-форм на открытом множестве в C ⁿ такие, что ${\displaystyle \omega ^{1},\dots ,\omega ^{r}}$

${\displaystyle d\omega ^{j}=\sum _{i=1}^{r}\psi _{i}^{j}\wedge \omega ^{i}}$

для некоторой системы голоморфных 1-форм ψ^джи
_я, 1 ≤ i , j ≤ r , то существуют голоморфные функции f _i ^j и g ⁱ такие, что на возможно меньшей области определения

${\displaystyle \omega ^{j}=\sum _{i=1}^{r}f_{i}^{j}dg^{i}.}$

Этот результат справедлив локально в том же смысле, что и другие версии теоремы Фробениуса. В частности, тот факт, что он был сформулирован для областей в C ^{n ,} не является ограничительным.

Формы высшего образования

Утверждение не обобщается на формы более высокой степени, хотя имеется ряд частных результатов, таких как теорема Дарбу и теорема Картана-Келера .

История

Несмотря на то, что теорема названа в честь Фердинанда Георга Фробениуса , ее впервые доказали Альфред Клебш и Федор Деана . Деана первым установил достаточные условия для теоремы, а Клебш разработал необходимые условия. Фробениус применил теорему к системам Пфаффа , тем самым проложив путь для ее использования в дифференциальной топологии.

Приложения

• В классической механике интегрируемость уравнений связей системы определяет, является ли система голономной или неголономной .
• В микроэкономической теории теорема Фробениуса может быть использована для доказательства существования решения проблемы интегрируемости функций спроса .

Аксиоматическая термодинамика Каратеодори

В классической термодинамике теорема Фробениуса может быть использована для построения энтропии и температуры в формализме Каратеодори. ^{[1] [10]}

В частности, Каратеодори рассматривал термодинамическую систему (конкретно можно представить себе поршень газа), которая может взаимодействовать с внешним миром либо посредством теплопроводности (например, поджигая поршень), либо посредством механической работы (толкая поршень). Затем он определил «адиабатический процесс» как любой процесс, который может пройти система без теплопроводности, и определил отношение « адиабатической доступности » таким образом: если система может перейти из состояния A в состояние B после адиабатического процесса, то адиабатически доступна из . Запишите это как . ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A\succeq B}$

Теперь предположим, что

• Для любой пары состояний выполняется хотя бы одно из и . ${\displaystyle A,B}$ ${\displaystyle A\succeq B}$ ${\displaystyle B\succeq A}$
• Для любого состояния и любой окрестности существует состояние в окрестности, такое, что адиабатически недоступно из . ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle A}$

Затем мы можем разбить пространство состояний на подмножества состояний, которые взаимно адиабатически доступны. При умеренных предположениях о гладкости каждое подмножество является многообразием коразмерности 1. Назовем эти многообразия «адиабатическими поверхностями». ${\displaystyle \succeq }$

Согласно первому закону термодинамики , существует скалярная функция («внутренняя энергия») на пространстве состояний, такая, что где — возможные способы выполнения механической работы над системой. Например, если система представляет собой баллон с идеальным газом, то . ${\displaystyle U}$ $${\displaystyle dU=\delta W+\delta Q=\sum _{i}X_{i}dx_{i}+\delta Q}$$ ${\displaystyle X_{1}dx_{1},...,X_{n}dx_{n}}$ ${\displaystyle \delta W=-pdV}$

Теперь определим одну форму в пространстве состояний Теперь, поскольку адиабатические поверхности касаются в каждой точке пространства состояний, является интегрируемой, поэтому по теореме Каратеодори существуют две скалярные функции в пространстве состояний, такие что . Это функции температуры и энтропии с точностью до мультипликативной константы. $${\displaystyle \omega :=dU-\sum _{i}X_{i}dx_{i}}$$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle T,S}$ ${\displaystyle \omega =TdS}$

Подставляя законы идеального газа и отмечая, что расширение Джоуля является (необратимым) адиабатическим процессом, мы можем исправить знак и найти, что означает . То есть энтропия сохраняется в обратимых адиабатических процессах и увеличивается во время необратимых адиабатических процессов. ${\displaystyle dS}$ ${\displaystyle A\succeq B}$ ${\displaystyle S(A)\leq S(B)}$

Смотрите также

• Условия интегрируемости дифференциальных систем
• Теорема о выпрямлении домена
• Теорема Ньюлендера-Ниренберга

Примечания

1. Buchdahl, HA (апрель 1949 г.). «О неограниченной теореме Каратеодори и ее применении в трактовке второго закона термодинамики». American Journal of Physics . 17 (4): 212–218. Bibcode : 1949AmJPh..17..212B. doi : 10.1119/1.1989552. ISSN  0002-9505.
2. Каратеодори, К. (1909). «Untersuchungen über die Grundlagen der Thermodynamik». Математические Аннален . 67 (3): 355–386. дои : 10.1007/BF01450409. ISSN  0025-5831.
3. Здесь локально означает внутри достаточно малых открытых подмножеств R ⁿ . В дальнейшем, когда мы говорим о решении, мы имеем в виду локальное решение.
4. Множество уровней — это подмножество R ^{n ,} соответствующее местоположению:

   ( u1 _, ..., un _{− r )} = ( c1 _, ... _, cn _{− r} ) ,

   для некоторых констант c _i .
5. Понятие непрерывно дифференцируемой функции на семействе множеств уровня можно сделать строгим с помощью теоремы о неявной функции .
6. Лоусон, Х. Блейн (1974), «Слоения», Бюллетень Американского математического общества , 80 (3): 369–418, ISSN  0040-9383, Zbl  0293.57014
7. Дьедонне, Ж (1969). "Гл. 10.9". Основы современного анализа . Academic Press. ISBN 9780122155307.
8. Ланг, С. (1995). "Гл. VI: Теорема Фробениуса". Дифференциальные и римановы многообразия . Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-94338-1.
9. Кобаяси, С .; Номидзу, К. (2009) [1969]. "Приложение 8". Основы дифференциальной геометрии . Библиотека классических произведений Wiley. Том 2. Wiley. ISBN 978-0-471-15732-8. Збл  0175.48504.
10. Buchdahl, HA (1 марта 1960 г.). «Концепции классической термодинамики». American Journal of Physics . 28 (3): 196–201. Bibcode : 1960AmJPh..28..196B. doi : 10.1119/1.1935102. ISSN  0002-9505.

Ссылки

• Лоусон, Х. Б. (1977). Качественная теория слоений . Американское математическое общество, серия CBMS. Т. 27. AMS.
• Абрахам, Ральф. ; Марсден, Джерролд Э. (2008) [1978]. "2.2.26 Теорема Фробениуса". Основы механики (2-е изд.). Американское математическое общество. стр. 93. ISBN 9780821844380.
• Клебш, А. (1866). «Ueber die simultane Integration Linear Partieller Differentialgleichungen». Дж. Рейн. Энджью. Математика. (Крель) . 1866 (65): 257–268. дои : 10.1515/crll.1866.65.257. S2CID  122439486.
• Дина, Ф. (1840). «Über die Bedingungen der Integrabilitat…» Дж. Рейн Ангью. Математика . 20 : 340–350. дои : 10.1515/crll.1840.20.340. S2CID  120057555.
• Фробениус, Г. (1877). «Über das Pfaffsche Проблема». Дж. Рейн Анжью. Математика . 1877 (82): 230–315. дои : 10.1515/crll.1877.82.230. S2CID  119848431.