stringtranslate.com

Полярный набор

В функциональном и выпуклом анализе , а также смежных дисциплинах математики полярное множество — это специальное выпуклое множество, связанное с любым подмножеством векторного пространства, лежащим в двойственном пространстве. Биполярное множество подмножества является полярным множеством , но лежит в (не ).

Определения

Существует по крайней мере три конкурирующих определения поляры множества, происходящие из проективной геометрии и выпуклого анализа. [1] [ необходима ссылка ] В каждом случае определение описывает двойственность между определенными подмножествами пары векторных пространств над действительными или комплексными числами ( и часто являются топологическими векторными пространствами (TVS)).

Если — векторное пространство над полем , то, если не указано иное, оно обычно, но не всегда, будет некоторым векторным пространством линейных функционалов на , а двойственное спаривание будет билинейным оценочным ( в точке ) отображением, определяемым формулой Если — топологическое векторное пространство , то пространство обычно, но не всегда, будет непрерывным двойственным пространством , и в этом случае двойственное спаривание снова будет оценочным отображением.

Обозначим замкнутый шар радиуса с центром в начале координат в базовом скалярном поле через

Функционально-аналитическое определение

Абсолютно полярный

Предположим, что это спаривание . Полярный или абсолютный полярный подмножества — это множество:

где обозначает образ множества при отображении, определенном с помощью Если обозначает выпуклую сбалансированную оболочку , которая по определению является наименьшим выпуклым и сбалансированным подмножеством , содержащим , то

Это аффинный сдвиг геометрического определения; он имеет полезную характеристику, заключающуюся в том, что функционально-аналитическая поляра единичного шара (в ) — это в точности единичный шар (в ).

Преполярный или абсолютный преполярный подмножество — это множество:

Очень часто преполяр подмножества также называют полярным или абсолютным полярным и обозначают как ; на практике это повторное использование обозначений и слова «полярный» редко вызывает какие-либо проблемы (например, неоднозначность), и многие авторы даже не используют слово «преполярный».

Биполярное подмножество часто обозначается как множество ; то есть,

Настоящий полярный

Действительная полярная подмножество — это множество : а действительная преполярная подмножество — это множество:

Как и в случае с абсолютным преполяром, действительный преполяр обычно называется действительным поляром и обозначается также как [2]. Важно отметить, что некоторые авторы (например, [Schaefer 1999]) определяют «поляр» как «действительный поляр» (а не «абсолютный поляр», как это сделано в этой статье) и используют для него обозначение (а не обозначение , которое используется в этой статье и в [Narici 2011]).

Действительный биполяр подмножества иногда обозначается как — это множество ; оно равно -замыканию выпуклой оболочки [ 2]

Для подмножества является выпуклым, -замкнутым и содержит [2] В общем случае возможно, что но равенство будет иметь место, если является сбалансированным . Кроме того, где обозначает сбалансированную оболочку [ 2]

Конкурирующие определения

Определение «полярного» множества не является общепринятым. Хотя в этой статье «полярный» определяется как «абсолютный полярный», некоторые авторы определяют «полярный» как «действительный полярный», а другие авторы используют еще и другие определения. Независимо от того, как автор определяет «полярный», обозначение почти всегда отражает его выбор определения (поэтому значение обозначения может различаться от источника к источнику). В частности, полярное множество иногда определяется как: где обозначение не является стандартным обозначением.

Теперь мы кратко обсудим, как эти различные определения соотносятся друг с другом и когда они эквивалентны.

Всегда имеет место тот случай, когда и если является вещественным (или, что эквивалентно, если и являются векторными пространствами над ), то

Если — симметричное множество (то есть, или эквивалентно, ), то где, если вдобавок — вещественнозначное, то

Если и являются векторными пространствами над (так что является комплекснозначным) и если (где обратите внимание, что это подразумевает и ), то где если в дополнение к этому для всех действительных то

Таким образом, для того, чтобы все эти определения полярного множества согласовывались, достаточно, чтобы для всех скаляров единичной длины [примечание 1] (где это эквивалентно для всех скаляров единичной длины ). В частности, все определения полярного множества согласуются, когда является сбалансированным множеством (что часто, но не всегда, так), так что часто не имеет значения, какое из этих конкурирующих определений используется. Однако эти различия в определениях «полярного» множества иногда вносят тонкие или важные технические различия, когда не обязательно является сбалансированным.

Специализация для канонической двойственности

Алгебраическое дуальное пространство

Если — любое векторное пространство, то пусть обозначает алгебраическое сопряженное пространство , которое является множеством всех линейных функционалов на . Векторные пространства всегда являются замкнутым подмножеством пространства всех -значных функций на относительно топологии поточечной сходимости, поэтому, когда наделено топологией подпространства, то становится Хаусдорфовым полным локально выпуклым топологическим векторным пространством (TVS). Для любого подмножества пусть

Если есть какие-либо подмножества, то и где обозначает выпуклую сбалансированную оболочку Для любого конечномерного векторного подпространства пусть обозначает евклидову топологию , на которой есть единственная топология, которая превращает в хаусдорфово топологическое векторное пространство (TVS). Если обозначает объединение всех замыканий , поскольку изменяется по всем конечномерным векторным подпространствам, то ( см. эту сноску [примечание 2] для объяснения). Если есть поглощающее подмножество, то по теореме Банаха–Алаоглу , есть слабо-* компактное подмножество

Если — любое непустое подмножество векторного пространства и если — любое векторное пространство линейных функционалов на (то есть векторное подпространство алгебраического сопряженного пространства ) , то действительное отображение

    определяется    

является полунормой на Если тогда по определению супремума , так что отображение, определенное выше, не будет вещественнозначным и, следовательно, оно не будет полунормой.

Непрерывное двойное пространство

Предположим, что является топологическим векторным пространством (TVS) с непрерывным дуальным пространством Важный частный случай, когда и скобки представляют каноническое отображение: теперь рассматривается. Тройка называется каноническим спариванием, связанным с

Поляра подмножества относительно этого канонического спаривания равна:

Для любого подмножества , где обозначает замыкание в

Теорема Банаха–Алаоглу утверждает, что если является окрестностью начала координат в , то и это полярное множество является компактным подмножеством непрерывного сопряженного пространства , когда наделено слабой-* топологией (также известной как топология поточечной сходимости).

Если удовлетворяет для всех скаляров единичной длины, то можно заменить знаки абсолютного значения на (оператор действительной части) так, что:

Преполярный подмножество — это:

Если удовлетворяет для всех скаляров единичной длины, то можно заменить знаки абсолютной величины на так, чтобы: где

Биполярная теорема характеризует биполярность подмножества топологического векторного пространства.

Если — нормированное пространство и — открытый или замкнутый единичный шар в (или даже любое подмножество замкнутого единичного шара, которое содержит открытый единичный шар), то — замкнутый единичный шар в непрерывном сопряженном пространстве, когда наделено своей канонической сопряженной нормой .

Геометрическое определение конусов

Полярный конус выпуклого конуса — это множество

Это определение дает дуальность точек и гиперплоскостей, записывая последнюю как пересечение двух противоположно ориентированных полупространств. Полярная гиперплоскость точки является геометрическим местом ; двойственное отношение для гиперплоскости дает полярную точку этой гиперплоскости. [3] [ необходима цитата ]

Некоторые авторы (по ошибке) называют двойной конус полярным конусом; в этой статье мы не будем следовать этому соглашению. [4]

Характеристики

Если не указано иное, будет спариванием . Топология является слабой-* топологией на , в то время как является слабой топологией на Для любого множества обозначает действительную полярную для , а обозначает абсолютную полярную для Термин «полярный» будет относиться к абсолютной полярной.

Последние два результата объясняют, почему равностепенно непрерывные подмножества непрерывного сопряженного пространства играют столь важную роль в современной теории функционального анализа: потому что равностепенно непрерывные подмножества содержат в себе всю информацию об исходной топологии локально выпуклого пространства.

Установить отношения

Смотрите также

Примечания

  1. ^ Поскольку для того, чтобы все эти полные определения полярного множества совпадали, если является действительным, то достаточно, чтобы было симметричным, в то время как если является комплексным, то достаточно, чтобы для всех действительных
  2. ^ Чтобы доказать, что пусть Если является конечномерным векторным подпространством тогда поскольку является непрерывным (как это верно для всех линейных функционалов на конечномерном хаусдорфовом TVS), то из и будучи замкнутым множеством следует, что Объединение всех таких множеств, следовательно, также является подмножеством что доказывает, что и поэтому В общем случае, если является любой TVS-топологией на тогда

Ссылки

  1. ^ ab Aliprantis, CD; Border, KC (2007). Анализ бесконечных измерений: Путеводитель для путешествующих автостопом (3-е изд.). Springer. стр. 215. doi :10.1007/3-540-29587-9. ISBN 978-3-540-32696-0.
  2. ^ abcde Narici & Beckenstein 2011, стр. 225–273.
  3. ^ ab Zălinescu, C. (2002). Выпуклый анализ в общих векторных пространствах . River Edge, NJ: World Scientific. стр. 7–8. ISBN 978-9812380678.
  4. ^ Рокафеллар, ТР (1970). Выпуклый анализ . Принстонский университет. С. 121-8. ISBN 978-0-691-01586-6.
  5. ^ abc Trèves 2006, стр. 195–201.
  6. ^ abcdefg Schaefer & Wolff 1999, стр. 123–128.
  7. ^ Никулеску, CP; Перссон, Ларс-Эрик (2018). Выпуклые функции и их приложения . CMS Books in Mathematics. Cham, Швейцария: Springer. стр. 94–5, 134–5. doi :10.1007/978-3-319-78337-6. ISBN 978-3-319-78337-6.
  8. ^ Наричи и Бекенштейн 2011, стр. 472.
  9. ^ Jarchow 1981, стр. 148–150.

Библиография