Теория Де Дондера–Вейля

В математической физике теория Де Дондера–Вейля является обобщением гамильтонова формализма в вариационном исчислении и классической теории поля на пространстве-времени , которое рассматривает пространственные и временные координаты на равных основаниях. В этой структуре гамильтонов формализм в механике обобщается на теорию поля таким образом, что поле представляется как система, которая изменяется как в пространстве, так и во времени. Это обобщение отличается от канонического гамильтонова формализма в теории поля, который по-разному рассматривает пространственные и временные переменные и описывает классические поля как бесконечномерные системы, развивающиеся во времени.

Формулировка теории поля Де Дондера–Вейля

Теория Де Дондера–Вейля основана на замене переменных, известной как преобразование Лежандра . Пусть x ⁱ — пространственно-временные координаты, для i = 1 до n (где n = 4 представляет 3 + 1 измерений пространства и времени), а y ^{— полевые} переменные, для a = 1 до m , а L — плотность лагранжиана.

${\displaystyle L=L(y^{a},\partial _{i}y^{a},x^{i})}$

С полимоментами p ⁱ _a, определенными как

${\displaystyle p_{a}^{i}=\partial L/\partial (\partial _{i}y^{a})}$

и функция Гамильтона Де Дондера–Вейля H, определяемая как

${\displaystyle H=p_{a}^{i}\partial _{i}y^{a}-L}$

Уравнения Де Дондера–Вейля следующие: ^[1]

${\displaystyle \partial p_{a}^{i}/\partial x^{i}=-\partial H/\partial y^{a}\,,\,\partial y^{a}/\partial x^{i}=\partial H/\partial p_{a}^{i}}$

Эта гамильтонова форма уравнений поля Де Дондера-Вейля является ковариантной и эквивалентна уравнениям Эйлера-Лагранжа , когда преобразование Лежандра к переменным p ⁱ _a и H не является сингулярным. Теория представляет собой формулировку ковариантной гамильтоновой теории поля , которая отличается от канонического гамильтонова формализма и при n = 1 сводится к гамильтоновой механике (см. также принцип действия в вариационном исчислении ).

Герман Вейль в 1935 году разработал теорию Гамильтона-Якоби для теории Де Дондера-Вейля. ^[2]

Подобно гамильтонову формализму в механике, сформулированному с использованием симплектической геометрии фазового пространства , теория Де Дондера-Вейля может быть сформулирована с использованием мультисимплектической геометрии или полисимплектической геометрии и геометрии расслоений струй .

Обобщение скобок Пуассона на теорию Де Дондера–Вейля и представление уравнений Де Дондера–Вейля в терминах обобщенных скобок Пуассона, удовлетворяющих алгебре Герстенхабера, было найдено Канатчиковым в 1993 году. ^[3]

История

Формализм, теперь известный как теория Де Дондера–Вейля (DW), был разработан Теофилем Де Дондером ^{[4] [5]} и Германом Вейлем . Герман Вейль сделал свое предложение в 1934 году, вдохновленный работой Константина Каратеодори , которая, в свою очередь, была основана на работе Вито Вольтерры . Работа Де Дондера, с другой стороны, началась с теории интегральных инвариантов Эли Картана . ^[6] Теория Де Дондера–Вейля была частью вариационного исчисления с 1930-х годов и изначально нашла очень мало применений в физике. Недавно она была применена в теоретической физике в контексте квантовой теории поля ^[7] и квантовой гравитации . ^[8]

В 1970 году Енджей Снятыцкий, автор Геометрического квантования и квантовой механики , разработал инвариантную геометрическую формулировку струйных пучков , основываясь на работах Де Дондера и Вейля. ^[9] В 1999 году Игорь Канатчиков показал, что ковариантные уравнения гамильтонового поля Де Дондера–Вейля могут быть сформулированы в терминах матриц Даффина–Кеммера–Петье . ^[10]

Смотрите также

• Гамильтонова теория поля
• Ковариантная гамильтонова теория поля

Дальнейшее чтение

• Избранные статьи по ГЕОДЕЗИЧЕСКИМ ПОЛЯМ, переведенные и отредактированные DH Delphenich. Часть 1 [2] Архивировано 21.10.2016 на Wayback Machine , Часть 2 [3] Архивировано 20.10.2016 на Wayback Machine
• Х. А. Каструп, Канонические теории лагранжевых динамических систем в физике, Physics Reports, том 101, выпуски 1–2, страницы 1-167 (1983).
• Марк Дж. Готей, Джеймс Айзенберг, Джерролд Э. Марсден, Ричард Монтгомери: «Отображения импульса и классические релятивистские поля. Часть I: Ковариантная теория поля» arXiv :physics/9801019
• Корнелиус Пауфлер, Гартман Рёмер: Уравнения Де Дондера–Вейля и мультисимплектическая геометрия Архивировано 15 апреля 2012 г. в Wayback Machine , Отчеты по математической физике, т. 49 (2002), № 2–3, стр. 325–334
• Кшиштоф Маурин: Наследие Римана: римановские идеи в математике и физике , Часть II, Глава 7.16 Теории поля для вариационного исчисления для кратных интегралов , Kluwer Academic Publishers, ISBN  0-7923-4636-X , 1997, стр. 482 и далее.

Ссылки

1. Ханно Рунд, «Теория Гамильтона-Якоби в вариационном исчислении: ее роль в математике и физике», Van Nostrand, Reinhold, 1966.
2. Герман Вейль, «Геодезические поля в вариационном исчислении для кратных интегралов», Ann. Math. 36, 607 (1935). https://www.jstor.org/stable/1968645
3. Игорь В. Канатчиков: О канонической структуре ковариантной гамильтоновой формулировки Де Дондера–Вейля теории поля I. Градуированные скобки Пуассона и уравнения движения, arXiv:hep-th/9312162 (подано 20 декабря 1993 г.).
4. Теофиль Де Дондер, «Теория инвариантности вариационного исчисления», Готье-Виллар, 1930. [1]
5. Фредерик Элен: Гамильтоновы формализмы для многомерного вариационного исчисления и теории возмущений В Haïm Brézis, Felix E. Browder, Abbas Bahri, Sergiu Klainerman, Michael Vogelius (ads.): Некомпактные проблемы на стыке геометрии, анализа и топологии , Американское математическое общество, 2004, стр. 127–148, стр. 131, ISBN 0-8218-3635-8 , 
6. Роджер Белявски, Кевин Хьюстон , Мартин Спейт: Вариационные задачи в дифференциальной геометрии , Серия лекций Лондонского математического общества, № 394, Университет Лидса, 2009, ISBN 978-0-521-28274-1 , стр. 104 и далее. 
7. Игорь В. Канатчиков: Теория Де Дондера–Вейля и гиперкомплексное расширение квантовой механики до теории поля, arXiv:hep-th/9810165 (отправлено 21 октября 1998 г.)
8. Игорь В. Канатчиков: Доканоническая квантовая гравитация: квантование без разложения пространства-времени, arXiv:gr-qc/0012074 (отправлено 20 декабря 2000 г.)
9. Jedrzej Śniatycki, 1970. Цитируется по: Yvette Kosmann-Schwarzbach : The Noether Theorems: Invariance and Conservation Laws in the 20th Century , Springer, 2011, ISBN 978-0-387-87867-6 , стр. 111 
10. Игорь В. Канатчиков: О формулировке Даффина–Кеммера–Петьо ковариантной гамильтоновой динамики в теории поля, arXiv:hep-th/9911175 (подано 23 ноября 1999 г.)