теория Морзе

Анализирует топологию многообразия, изучая дифференцируемые функции на этом многообразии.

В математике , в частности в дифференциальной топологии , теория Морса позволяет анализировать топологию многообразия , изучая дифференцируемые функции на этом многообразии. Согласно основным идеям Марстона Морса , типичная дифференцируемая функция на многообразии будет отражать топологию довольно прямо. Теория Морса позволяет находить структуры CW и обрабатывать разложения на многообразиях, а также получать существенную информацию об их гомологии .

До Морзе Артур Кейли и Джеймс Клерк Максвелл разработали некоторые идеи теории Морзе в контексте топографии . Морзе первоначально применил свою теорию к геодезическим ( критическим точкам функционала энергии на пространстве путей). Эти методы были использованы в доказательстве Раулем Боттом его теоремы о периодичности .

Аналогом теории Морса для комплексных многообразий является теория Пикара–Лефшеца .

Основные понятия

Седловая точка

Для иллюстрации рассмотрим поверхность горного ландшафта (в более общем смысле — многообразие ). Если — функция, задающая высоту каждой точки, то прообразом точки в является контурная линия (в более общем смысле — множество уровней ). Каждый связный компонент контурной линии — это либо точка, либо простая замкнутая кривая , либо замкнутая кривая с двойной точкой . Контурные линии также могут иметь точки более высокого порядка (тройные точки и т. д.), но они нестабильны и могут быть удалены небольшой деформацией ландшафта. Двойные точки в контурных линиях возникают в седловых точках или перевалах, где окружающий ландшафт изгибается вверх в одном направлении и вниз в другом. ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle M\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$

Контурные линии вокруг седловой точки

Представьте себе затопление этого ландшафта водой. Когда вода достигает высоты , подводная поверхность составляет , точки с высотой или ниже. Рассмотрим, как топология этой поверхности меняется по мере подъема воды. Она кажется неизменной, за исключением случаев, когда проходит высоту критической точки , где градиент равен (в более общем смысле, матрица Якоби, действующая как линейное отображение между касательными пространствами, не имеет максимального ранга ). Другими словами, топология не меняется, за исключением случаев, когда вода либо (1) начинает заполнять бассейн, (2) покрывает седловину ( горный перевал ), либо (3) затапливает вершину. ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle M^{a}\,{\stackrel {\text{def}}{=}}\,f^{-1}(-\infty ,a]}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle M^{a}}$

Тор

Этим трем типам критических точек — бассейнам, проходам и пикам (т.е. минимумам, седлам и максимумам) — сопоставляется число, называемое индексом, число независимых направлений в котором уменьшается от точки. Точнее, индекс невырожденной критической точки — это размерность наибольшего подпространства касательного пространства к точке , на котором гессиан отрицательно определен . Индексы бассейнов, проходов и пиков равны и соответственно. ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle 0,1,}$ ${\displaystyle 2,}$

Рассматривая более общую поверхность, пусть будет тор, ориентированный как на рисунке, снова взяв точку на его высоту над плоскостью. Можно снова проанализировать, как топология подводной поверхности меняется с повышением уровня воды . ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle M^{a}}$ ${\displaystyle a}$

Цилиндр (вверху справа), образованный при , гомотопически эквивалентен 1-клеточному элементу, прикрепленному к диску (внизу слева). ${\displaystyle M^{a}}$ ${\displaystyle f(q)<a<f(r)}$

Тор с удаленным диском (вверху справа), образованный при , гомотопически эквивалентен 1-ячейке, прикрепленной к цилиндру (внизу слева). ${\displaystyle M^{a}}$ ${\displaystyle f(r)<a<f(s)}$

Начиная с нижней части тора, пусть и будут четырьмя критическими точками индекса и , соответствующими бассейну, двум седлам и пику соответственно. Когда меньше , то будет пустым множеством. После проходит уровень , когда тогда будет диск , который гомотопически эквивалентен точке (0-ячейке), которая была «прикреплена» к пустому множеству. Далее, когда превышает уровень , то будет цилиндром и будет гомотопически эквивалентен диску с прикрепленной 1-ячейкой (изображение слева). После прохождения уровня , то будет тор с удаленным диском, который гомотопически эквивалентен цилиндру с прикрепленной 1-ячейкой (изображение справа). Наконец, когда больше критического уровня , то будет тором, т. е. тором с удаленным и повторно прикрепленным диском (2-ячейкой). ${\displaystyle p,q,r,}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle 0,1,1,}$ ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle f(p)=0,}$ ${\displaystyle M^{a}}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle p,}$ ${\displaystyle 0<a<f(q),}$ ${\displaystyle M^{a}}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle q,}$ ${\displaystyle f(q)<a<f(r),}$ ${\displaystyle M^{a}}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle r,}$ ${\displaystyle f(r)<a<f(s),}$ ${\displaystyle M^{a}}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle s,}$ ${\displaystyle M^{a}}$

Это иллюстрирует следующее правило: топология не меняется, за исключением случаев, когда проходит высоту критической точки; в этой точке к присоединяется -ячейка , где - индекс точки. Это не решает того, что происходит, когда две критические точки находятся на одной высоте, что может быть разрешено небольшим возмущением В случае ландшафта или многообразия, встроенного в евклидово пространство , это возмущение может просто слегка наклонять, вращая систему координат. ${\displaystyle M^{a}}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle M^{a}}$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle f.}$

Необходимо позаботиться о том, чтобы сделать критические точки невырожденными. Чтобы увидеть, что может представлять проблему, пусть и пусть Тогда является критической точкой но топология не меняется при прохождении Проблема в том, что вторая производная равна — то есть гессиан обращается в нуль, а критическая точка вырождается. Эта ситуация неустойчива, поскольку при небольшой деформации до вырожденная критическая точка либо удаляется ( ), либо распадается на две невырожденные критические точки ( ). ${\displaystyle M=\mathbb {R} }$ ${\displaystyle f(x)=x^{3}.}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle f,}$ ${\displaystyle M^{a}}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle 0.}$ ${\displaystyle f''(0)=0}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f(x)=x^{3}+\epsilon x}$ ${\displaystyle \epsilon >0}$ ${\displaystyle \epsilon <0}$

Формальное развитие

Для действительной гладкой функции на дифференцируемом многообразии точки, в которых дифференциал обращается в нуль, называются критическими точками , а их образы при называются критическими значениями . Если в критической точке матрица вторых частных производных ( матрица Гессе ) невырождена, то называется ${\displaystyle f:M\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle M,}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p}$невырожденная критическая точка ; если гессиан сингулярен, тоявляется ${\displaystyle p}$вырожденная критическая точка .

Для функций от до имеет критическую точку в начале координат, если которая невырождена, если (то есть имеет вид ), и вырождена, если (то есть имеет вид ). Менее тривиальным примером вырожденной критической точки является начало координат обезьяньего седла . $${\displaystyle f(x)=a+bx+cx^{2}+dx^{3}+\cdots }$$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ,}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle b=0,}$ ${\displaystyle c\neq 0}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle a+cx^{2}+\cdots }$ ${\displaystyle c=0}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle a+dx^{3}+\cdots }$

Индекс невырожденной критической точки — это размерность наибольшего подпространства касательного пространства к в , на котором гессиан отрицательно определен . Это соответствует интуитивному представлению о том, что индекс — это число направлений, в которых уменьшается. Вырождение и индекс критической точки не зависят от выбора используемой локальной системы координат, как показывает закон Сильвестра . ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle f}$

лемма Морса

Пусть будет невырожденной критической точкой Тогда существует карта в окрестности такой , что для всех и всюду Здесь равно индексу в . Как следствие леммы Морса, можно видеть, что невырожденные критические точки являются изолированными . (Относительно расширения на комплексную область см. Комплексную лемму Морса . Для обобщения см. лемму Морса–Пале ). ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle f:M\to R.}$ ${\displaystyle \left(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}\right)}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle x_{i}(p)=0}$ ${\displaystyle i}$ $${\displaystyle f(x)=f(p)-x_{1}^{2}-\cdots -x_{\gamma }^{2}+x_{\gamma +1}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}}$$ ${\displaystyle U.}$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle p}$

Фундаментальные теоремы

Гладкая вещественная функция на многообразии является функцией Морса, если она не имеет вырожденных критических точек. Основной результат теории Морса гласит, что почти все функции являются функциями Морса. Технически, функции Морса образуют открытое, плотное подмножество всех гладких функций в топологии. Иногда это выражается как «типичная функция является функцией Морса» или « генерическая функция является функцией Морса». ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle C^{2}}$

Как уже было сказано, нас интересует вопрос о том, когда топология меняется при изменении . Половину ответа на этот вопрос дает следующая теорема. ${\displaystyle M^{a}=f^{-1}(-\infty ,a]}$ ${\displaystyle a}$

Теорема. Предположим, что является гладкой вещественной функцией на компактна , и нет критических значений между и Тогда является диффеоморфной и деформация втягивается на ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle M,}$ ${\displaystyle a<b,}$ ${\displaystyle f^{-1}[a,b]}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b.}$ ${\displaystyle M^{a}}$ ${\displaystyle M^{b},}$ ${\displaystyle M^{b}}$ ${\displaystyle M^{a}.}$

Также интересно узнать, как топология меняется при прохождении критической точки. Следующая теорема отвечает на этот вопрос. ${\displaystyle M^{a}}$ ${\displaystyle a}$

Теорема. Предположим, что является гладкой вещественной функцией на и является невырожденной критической точкой индекса и что Предположим, что является компактным и не содержит критических точек, кроме Тогда является гомотопически эквивалентным с присоединенной -клеткой . ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \gamma ,}$ ${\displaystyle f(p)=q.}$ ${\displaystyle f^{-1}[q-\varepsilon ,q+\varepsilon ]}$ ${\displaystyle p.}$ ${\displaystyle M^{q+\varepsilon }}$ ${\displaystyle M^{q-\varepsilon }}$ ${\displaystyle \gamma }$

Эти результаты обобщают и формализуют «правило», изложенное в предыдущем разделе.

Используя два предыдущих результата и тот факт, что на любом дифференцируемом многообразии существует функция Морса, можно доказать, что любое дифференцируемое многообразие является комплексом CW с -ячейкой для каждой критической точки индекса. Чтобы сделать это, нужен технический факт, что можно организовать так, чтобы на каждом критическом уровне была одна критическая точка, что обычно доказывается с помощью градиентно-подобных векторных полей для перестановки критических точек. ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n.}$

Неравенства Морса

Теория Морса может быть использована для доказательства некоторых сильных результатов о гомологии многообразий. Число критических точек индекса равно числу ячеек в структуре CW на , полученной из "восхождения" Используя тот факт, что знакопеременная сумма рангов групп гомологии топологического пространства равна знакопеременной сумме рангов групп цепей, из которых вычисляется гомология, то, используя группы клеточных цепей (см. клеточная гомология ), ясно, что эйлерова характеристика равна сумме , где - число критических точек индекса Также по клеточной гомологии ранг й группы ^{гомологии} комплекса CW меньше или равен числу -ячеек в Следовательно, ранг й группы ^{гомологии} , то есть число Бетти , меньше или равен числу критических точек индекса функции Морса на Эти факты можно усилить, чтобы получить ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle f:M\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle f.}$ ${\displaystyle \chi (M)}$ $${\displaystyle \sum (-1)^{\gamma }C^{\gamma }\,=\chi (M)}$$ ${\displaystyle C^{\gamma }}$ ${\displaystyle \gamma .}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle M.}$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle b_{\gamma }(M)}$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle M.}$Неравенства Морса : $${\displaystyle C^{\gamma }-C^{\gamma -1}\pm \cdots +(-1)^{\gamma }C^{0}\geq b_{\gamma }(M)-b_{\gamma -1}(M)\pm \cdots +(-1)^{\gamma }b_{0}(M).}$$

В частности, для любого человека есть $${\displaystyle \gamma \in \{0,\ldots ,n=\dim M\},}$$ $${\displaystyle C^{\gamma }\geq b_{\gamma }(M).}$$

Это дает мощный инструмент для изучения топологии многообразий. Предположим, что на замкнутом многообразии существует функция Морса с ровно k критическими точками. Каким образом существование функции ограничивает ? Случай был изучен Джорджем Рибом в 1952 году; теорема Риба о сфере утверждает, что гомеоморфна сфере Случай возможен только в небольшом числе низких размерностей, и M гомеоморфно многообразию Иллса–Койпера . В 1982 году Эдвард Виттен разработал аналитический подход к неравенствам Морса, рассмотрев комплекс де Рама для возмущенного оператора ^{[1] [2]} ${\displaystyle f:M\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle k=2}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle S^{n}.}$ ${\displaystyle k=3}$ ${\displaystyle d_{t}=e^{-tf}de^{tf}.}$

Применение к классификации замкнутых 2-многообразий

Теория Морса использовалась для классификации замкнутых 2-многообразий с точностью до диффеоморфизма. Если ориентировано, то классифицируется по своему роду и диффеоморфно сфере с ручками: таким образом, если диффеоморфно 2-сфере; и если диффеоморфно связной сумме 2 -торов. Если неориентируемо, то классифицируется по числу и диффеоморфно связной сумме вещественных проективных пространств. В частности, два замкнутых 2-многообразия гомеоморфны тогда и только тогда, когда они диффеоморфны. ^{[3] [4]} ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle g=0,}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle g>0,}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle g>0}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle \mathbf {RP} ^{2}.}$

Гомология Морзе

Гомологии Морса — это особенно простой способ понять гомологию гладких многообразий . Она определяется с помощью общего выбора функции Морса и римановой метрики . Основная теорема заключается в том, что результирующая гомология является инвариантом многообразия (то есть не зависит от функции и метрики) и изоморфна сингулярной гомологии многообразия; это подразумевает, что числа Морса и сингулярные числа Бетти совпадают, и дает непосредственное доказательство неравенств Морса. Бесконечномерный аналог гомологии Морса в симплектической геометрии известен как гомология Флоера .

Теория Морзе-Ботта

Понятие функции Морса можно обобщить для рассмотрения функций, имеющих невырожденные многообразия критических точек.Функция Морса–Ботта — это гладкая функция на многообразии, критическое множество которой является замкнутым подмногообразием, а гессиан невырожден в нормальном направлении. (Эквивалентно, ядро ​​гессиана в критической точке равно касательному пространству к критическому подмногообразию.) Функция Морса — это особый случай, когда критические многообразия нульмерны (поэтому гессиан в критических точках невырожден в каждом направлении, то есть не имеет ядра).

Индекс наиболее естественно рассматривать как пару , где — размерность неустойчивого многообразия в заданной точке критического многообразия, и равен плюс размерность критического многообразия. Если функция Морса–Ботта возмущена малой функцией на критическом локусе, индекс всех критических точек возмущенной функции на критическом многообразии невозмущенной функции будет лежать между и $${\displaystyle \left(i_{-},i_{+}\right),}$$ ${\displaystyle i_{-}}$ ${\displaystyle i_{+}}$ ${\displaystyle i_{-}}$ ${\displaystyle i_{-}}$ ${\displaystyle i_{+}.}$

Функции Морса–Ботта полезны, поскольку с общими функциями Морса трудно работать; функции, которые можно визуализировать и с которыми можно легко вычислить, обычно имеют симметрии. Они часто приводят к положительно-размерным критическим многообразиям. Рауль Ботт использовал теорию Морса–Ботта в своем оригинальном доказательстве теоремы о периодичности Ботта .

Круглые функции являются примерами функций Морса–Ботта, где критические множества представляют собой (непересекающиеся объединения) окружностей.

Гомологии Морса также могут быть сформулированы для функций Морса–Ботта; дифференциал в гомологиях Морса–Ботта вычисляется с помощью спектральной последовательности . Фредерик Буржуа набросал подход в ходе своей работы над версией симплектической теории поля Морса–Ботта, но эта работа так и не была опубликована из-за существенных аналитических трудностей.

Смотрите также

• Теория мин-макса Альмгрена – Питтса
• Цифровая теория Морзе  – Цифровая адаптация континуальной теории Морзе для скалярных объемных данных
• Дискретная теория Морзе
• набор Якоби
• Лагранжев грассманиан  – пространство лагранжевых подпространств фиксированного симплектического векторного пространстваPages displaying wikidata descriptions as a fallback
• Категория Люстерника–Шнирельмана  – целочисленный гомотопический инвариант пространств; размер минимального открытого покрытия, состоящего из стягиваемых множествPages displaying wikidata descriptions as a fallback
• Система Морса–Смейла  – гладкая динамическая система, неблуждающее множество которой состоит из конечного числа гиперболических точек равновесия и гиперболических периодических орбит и удовлетворяющая условию трансверсальности на устойчивом и неустойчивом многообразиях.Pages displaying wikidata descriptions as a fallback
• Теорема о горном перевале  – математическая теорема о достаточном условии существования седловой точки.Pages displaying wikidata descriptions as a fallback
• Лемма Сарда  – Теорема в математическом анализеPages displaying short descriptions of redirect targets
• Стратифицированная теория Морзе

Ссылки

1. Виттен, Эдвард (1982). «Суперсимметрия и теория Морса». J. Differential Geom. 17 (4): 661–692. doi : 10.4310/jdg/1214437492 .
2. Роу, Джон (1998). Эллиптические операторы, топология и асимптотический метод . Pitman Research Notes in Mathematics Series. Т. 395 (2-е изд.). Longman. ISBN 0582325021.
3. Голд, Дэвид Б. (1982). Дифференциальная топология: введение . Монографии и учебники по чистой и прикладной математике. Т. 72. Марсель Деккер. ISBN 0824717090.
4. Шастри, Анант Р. (2011). Элементы дифференциальной топологии. CRC Press. ISBN 9781439831601.

Дальнейшее чтение

• Ботт, Рауль (1988). «Неукротимая теория Морса». Публикации Mathématiques de l'IHÉS . 68 : 99–114. дои : 10.1007/bf02698544. S2CID  54005577.
• Ботт, Рауль (1982). «Лекции по теории Морса, старые и новые». Бюллетень Американского математического общества . (NS). 7 (2): 331–358. doi : 10.1090/s0273-0979-1982-15038-8 .
• Кейли, Артур (1859). «О контурных и наклонных линиях» (PDF) . The Philosophical Magazine . 18 (120): 264–268.
• Гость, Мартин (2001). «Теория Морзе в 1990-х». arXiv : math/0104155 .
• Хирш, М. (1994). Дифференциальная топология (2-е изд.). Springer.
• Kosinski, Antoni A. (19 октября 2007 г.). Дифференциальные многообразия . Dover Book on Mathematics (переиздание издания 1993 г.). Mineola, New York: Dover Publications. ISBN 978-0-486-46244-8. OCLC  853621933.
• Ланг, Серж (1999). Основы дифференциальной геометрии . Тексты для аспирантов по математике . Том 191. Нью-Йорк: Springer-Verlag . ISBN 978-0-387-98593-0. OCLC  39379395.
• Мацумото, Юкио (2002). Введение в теорию Морзе .
• Максвелл, Джеймс Клерк (1870). «На холмах и долинах» (PDF) . The Philosophical Magazine . 40 (269): 421–427.
• Милнор, Джон (1963). Теория Морзе . Princeton University Press. ISBN 0-691-08008-9.Классический продвинутый справочник по математике и математической физике.
• Милнор, Джон (1965). Лекции по теореме о h-кобордизме (PDF) .
• Морзе, Марстон (1934). Вариационное исчисление в целом . Публикация коллоквиума Американского математического общества. Том 18. Нью-Йорк.{{cite book}}: CS1 maint: location missing publisher (link)
• Шварц, Матиас (1993). Гомология Морса . Биркхойзер. ISBN 9780817629045.