В математике модуль Галуа — это G -модуль , где G — группа Галуа некоторого расширения полей . Термин представление Галуа часто используется, когда G -модуль является векторным пространством над полем или свободным модулем над кольцом в теории представлений , но может также использоваться как синоним G -модуля. Изучение модулей Галуа для расширений локальных или глобальных полей и их групповых когомологий является важным инструментом в теории чисел .
Пусть K — нормированное поле (с нормированием, обозначенным v ), и пусть L / K — конечное расширение Галуа с группой Галуа G . Для расширения w поля v до L пусть I w обозначает его группу инерции . Модуль Галуа ρ : G → Aut( V ) называется неразветвленным , если ρ( I w ) = {1}.
В классической алгебраической теории чисел пусть L — расширение Галуа поля K , а G — соответствующая группа Галуа. Тогда кольцо O L алгебраических целых чисел L можно рассматривать как O K [ G ]-модуль, и можно спросить, какова его структура. Это арифметический вопрос, поскольку по теореме о нормальном базисе известно, что L — свободный K [ G ]-модуль ранга 1. Если то же самое верно для целых чисел, то это эквивалентно существованию нормального целочисленного базиса , т. е. α в O L, такого, что его сопряженные элементы относительно G дают свободный базис для O L над O K . Это интересный вопрос даже (возможно, особенно), когда K — поле рациональных чисел Q .
Например, если L = Q ( √ −3 ), существует ли нормальный целочисленный базис? Ответ — да, как можно увидеть, отождествив его с Q ( ζ ), где
На самом деле все подполя циклотомических полей для корней степени p из единицы для простого числа p имеют нормальные целые базисы (над Z ), как можно вывести из теории гауссовых периодов ( теорема Гильберта–Шпайзера ). С другой стороны, гауссово поле не имеет. Это пример необходимого условия, найденного Эмми Нётер ( возможно, известного ранее? ). Здесь важно ручное ветвление . В терминах дискриминанта D из L , и принимая все еще K = Q , никакое простое число p не должно делить D в степени p . Тогда теорема Нётер утверждает, что ручное ветвление необходимо и достаточно для того, чтобы O L был проективным модулем над Z [ G ]. Поэтому, безусловно, необходимо, чтобы он был свободным модулем. Это оставляет вопрос о разрыве между свободным и проективным, для которого теперь построена большая теория.
Классический результат, основанный на результате Дэвида Гильберта , заключается в том, что слабо разветвленное абелево числовое поле имеет нормальный целочисленный базис. Это можно увидеть, используя теорему Кронекера–Вебера для вложения абелевого поля в циклотомическое поле. [1]
Многие объекты, возникающие в теории чисел, являются естественными представлениями Галуа. Например, если L — расширение Галуа числового поля K , то кольцо целых чисел O L поля L является модулем Галуа над O K для группы Галуа поля L / K (см. теорему Гильберта–Шпайзера). Если K — локальное поле, то мультипликативная группа его сепарабельного замыкания является модулем для абсолютной группы Галуа поля K , и ее изучение приводит к локальной теории полей классов . Для глобальной теории полей классов вместо этого используется объединение групп классов иделей всех конечных сепарабельных расширений поля K.
Существуют также представления Галуа, которые возникают из вспомогательных объектов и могут быть использованы для изучения групп Галуа. Важным семейством примеров являются ℓ-адические модули Тейта абелевых многообразий .
Пусть K — числовое поле. Эмиль Артин ввел класс представлений Галуа абсолютной группы Галуа G K поля K , которые теперь называются представлениями Артина . Это непрерывные конечномерные линейные представления G K на комплексных векторных пространствах . Изучение Артином этих представлений привело его к формулировке закона взаимности Артина и гипотезы, которая теперь называется гипотезой Артина относительно голоморфности L - функций Артина .
Из-за несовместимости проконечной топологии на G K и обычной (евклидовой) топологии на комплексных векторных пространствах образ представления Артина всегда конечен.
Пусть ℓ — простое число . ℓ-адическое представление G K — это непрерывный гомоморфизм групп ρ : G K → Aut( M ) , где M — либо конечномерное векторное пространство над Q ℓ (алгебраическое замыкание ℓ-адических чисел Q ℓ ), либо конечно порождённый Z ℓ -модуль (где Z ℓ — целочисленное замыкание Z ℓ в Q ℓ ). Первыми возникшими примерами были ℓ-адический циклотомический характер и ℓ-адические модули Тейта абелевых многообразий над K . Другие примеры исходят из представлений Галуа модулярных форм и автоморфных форм, а также представлений Галуа на ℓ-адических группах когомологий алгебраических многообразий.
В отличие от представлений Артина, ℓ-адические представления могут иметь бесконечное изображение. Например, изображение G Q под ℓ-адическим циклотомическим характером равно . ℓ-адические представления с конечным изображением часто называют представлениями Артина. С помощью изоморфизма Q ℓ с C их можно отождествить с настоящими представлениями Артина.
Это представления над конечным полем характеристики ℓ. Они часто возникают как редукция mod ℓ ℓ-адического представления.
Существует множество условий для представлений, заданных некоторым свойством представления, ограниченным группой разложения некоторого простого числа. Терминология для этих условий несколько хаотична, разные авторы придумывают разные названия для одного и того же условия и используют одно и то же название с разными значениями. Некоторые из этих условий включают:
Если K — локальное или глобальное поле, то теория классовых формаций связывает с K его группу Вейля W K , непрерывный гомоморфизм групп φ : W K → G K , и изоморфизм топологических групп
где C K — это K × или группа классов иделей I K / K × (в зависимости от того, является ли K локальным или глобальным) и W аб
К является абелианизацией группы Вейля K . С помощью φ любое представление G K можно рассматривать как представление W K . Однако W K может иметь строго больше представлений, чем G K . Например, с помощью r K непрерывные комплексные характеры W K находятся во взаимно однозначном соответствии с характерами C K . Таким образом, характер абсолютного значения на C K дает характер W K , образ которого бесконечен и, следовательно, не является характером G K (поскольку все такие имеют конечный образ).
ℓ-адическое представление W K определяется так же, как и для G K . Они естественным образом возникают из геометрии: если X — гладкое проективное многообразие над K , то ℓ-адические когомологии геометрического слоя X — это ℓ-адическое представление G K , которое посредством φ индуцирует ℓ-адическое представление W K . Если K — локальное поле вычетной характеристики p ≠ ℓ, то проще изучать так называемые представления Вейля–Делиня W K .
Пусть K — локальное поле. Пусть E — поле нулевой характеристики. Представление Вейля–Делиня над E поля W K (или просто поля K ) — это пара ( r , N ), состоящая из
Эти представления совпадают с представлениями над E группы Вейля –Делиня K.
Если характеристика остатка K отлична от ℓ, теорема Гротендика о ℓ-адической монодромии устанавливает биекцию между ℓ-адическими представлениями W K (над Q ℓ ) и представлениями Вейля–Делиня W K над Q ℓ (или, что эквивалентно, над C ). Последние обладают той приятной особенностью, что непрерывность r имеет место только относительно дискретной топологии на V , что делает ситуацию более алгебраической по своему характеру.
