Тета-соответствие

В математике тета -соответствие или соответствие Хау — это математическое отношение между представлениями двух групп редуктивной дуальной пары . Локальное тета-соответствие связывает неприводимые допустимые представления над локальным полем , тогда как глобальное тета-соответствие связывает неприводимые автоморфные представления над глобальным полем .

Тета-соответствие было введено Роджером Хоу в Howe (1979). Его название возникло из-за его происхождения из теоретической формулировки Андре Вейля теории тета-рядов в Weil (1964). Соответствие Шимуры , построенное Жаном-Лу Вальдспургером в Waldspurger (1980) и Waldspurger (1991), можно рассматривать как пример тета-соответствия.

Заявление

Настраивать

Пусть будет локальным или глобальным полем, не имеющим характеристики . Пусть будет симплектическим векторным пространством над , а симплектическая группа . ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle Sp(W)}$

Зафиксируйте редуктивную двойственную пару в . Существует классификация редуктивных двойственных пар. ^{[1] [2]} ${\displaystyle (G,H)}$ ${\displaystyle Sp(W)}$

Локальная тета-корреспонденция

${\displaystyle F}$теперь является локальным полем. Зафиксируем нетривиальный аддитивный характер . Существует представление Вейля метаплектической группы , связанной с , которое мы записываем как . ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle Mp(W)}$ ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle \omega _{\psi }}$

Учитывая редуктивную двойственную пару в , можно получить пару коммутирующих подгрупп в , вытянув проекционное отображение из в . ${\displaystyle (G,H)}$ ${\displaystyle Sp(W)}$ ${\displaystyle ({\widetilde {G}},{\widetilde {H}})}$ ${\displaystyle Mp(W)}$ ${\displaystyle Mp(W)}$ ${\displaystyle Sp(W)}$

Локальное тета-соответствие — это соответствие 1-1 между некоторыми неприводимыми допустимыми представлениями и некоторыми неприводимыми допустимыми представлениями , полученное ограничением представления Вейля подгруппой . Соответствие было определено Роджером Хау в работе Хау (1979). Утверждение о том, что это соответствие 1-1, называется гипотезой двойственности Хау . ${\displaystyle {\widetilde {G}}}$ ${\displaystyle {\widetilde {H}}}$ ${\displaystyle \omega _{\psi }}$ ${\displaystyle Mp(W)}$ ${\displaystyle {\widetilde {G}}\cdot {\widetilde {H}}}$

Ключевые свойства локального тета-соответствия включают его совместимость с индукцией Бернштейна-Зелевинского ^[3] и соотношениями сохранения, касающимися индексов первого появления вдоль башен Витта. ^[4]

Глобальная тета-корреспонденция

Стивен Раллис продемонстрировал версию глобальной гипотезы двойственности Хау для каспидальных автоморфных представлений над глобальным полем, предполагая справедливость гипотезы двойственности Хау для всех локальных мест. ^[5]

гипотеза двойственности Хау

Определим множество неприводимых допустимых представлений , которые можно реализовать как частные . Определим и аналогично. ${\displaystyle {\mathcal {R}}({\widetilde {G}},\omega _{\psi })}$ ${\displaystyle {\widetilde {G}}}$ ${\displaystyle \omega _{\psi }}$ ${\displaystyle {\mathcal {R}}({\widetilde {H}},\omega _{\psi })}$ ${\displaystyle {\mathcal {R}}({\widetilde {G}}\cdot {\widetilde {H}},\omega _{\psi })}$

Гипотеза двойственности Хау утверждает, что является графиком биекции между и . ${\displaystyle {\mathcal {R}}({\widetilde {G}}\cdot {\widetilde {H}},\omega _{\psi })}$ ${\displaystyle {\mathcal {R}}({\widetilde {G}},\omega _{\psi })}$ ${\displaystyle {\mathcal {R}}({\widetilde {H}},\omega _{\psi })}$

Гипотеза двойственности Хау для архимедовых локальных полей была доказана Роджером Хау . ^[6] Для -адических локальных полей с нечетными ее доказал Жан-Лу Вальдспургер . ^[7] Альберто Мингес позже дал доказательство для дуальных пар общих линейных групп , которое работает для произвольной характеристики вычета. ^[8] Для ортогонально-симплектических или унитарных дуальных пар ее доказали Ви Тек Ган и Шуичиро Такеда. ^[9] Последний случай кватернионных дуальных пар был завершен Ви Тек Ган и Биньонг Сан . ^[10] ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p}$

Смотрите также

• Редукционная дуальная пара
• Метаплектическая группа

Ссылки

1. Хоу 1979.
2. Мёглин, Виньерас и Вальдспургер 1987.
3. Кудла 1986.
4. Сан и Чжу 2015.
5. Раллис 1984.
6. Хоу 1989.
7. Вальдспургер 1990.
8. Мингес 2008.
9. Ган и Такеда 2016.
10. Ган и Сан 2017.

Библиография

• Ган, Ви Тек ; Такеда, Шуичиро (2016), «Доказательство гипотезы двойственности Хоу», J. Amer. Math. Soc. , 29 (2): 473–493, arXiv : 1407.1995 , doi : 10.1090/jams/839, S2CID  942882
• Gan, Wee Teck ; Sun, Binyong (2017), «Гипотеза двойственности Хау: кватернионный случай», в Cogdell, J.; Kim, J.-L.; Zhu, C.-B. (ред.), Теория представлений, теория чисел и теория инвариантов , Progr. Math., 323, Birkhäuser/Springer, стр. 175–192
• Howe, Roger E. (1979), "θ-ряды и теория инвариантов", в Borel, A. ; Casselman, W. (ред.), Automorphic forms, representations and L-functions (Proc. Sympos. Pure Math., Oregon State Univ., Corvallis, Ore., 1977), Часть 1 , Proc. Sympos. Pure Math., XXXIII, Providence, RI: American Mathematical Society , стр. 275–285, ISBN 978-0-8218-1435-2, МР  0546602
• Хоу, Роджер Э. (1989), «Трансцендирование классической теории инвариантов», J. Amer. Math. Soc. , 2 (3): 535–552, doi : 10.2307/1990942 , JSTOR  1990942
• Кудла, Стивен С. (1986), «О локальном тета-соответствии», Invent. Math. , 83 (2): 229–255, Bibcode : 1986InMat..83..229K, doi : 10.1007/BF01388961, S2CID  122106772
• Мингес, Альберто (2008), «Явная переписка Хоу: двойственные пары типа II», Ann. наук. Эк. Норм. Супер. , 4, 41 (5): 717–741, doi : 10.24033/asens.2080
• Мёглин, Колетт ; Виньерас, Мари-Франс ; Вальдспургер, Жан-Лу (1987), Correspondances de Howe sur un corps p-adique , Конспекты лекций по математике, том. 1291, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , номер документа : 10.1007/BFb0082712, ISBN. 978-3-540-18699-1, МР  1041060
• Раллис, Стивен (1984), «О гипотезе двойственности Хоу», Compositio Math. , 51 (3): 333–399
• Сан, Биньонг ; Чжу, Чэнь-Бо (2015), «Соотношения сохранения для локального тета-соответствия», J. Amer. Math. Soc. , 28 (4): 939–983, arXiv : 1204.2969 , doi : 10.1090/S0894-0347-2014-00817-1, S2CID  5936119
• Вальдспургер, Жан-Лу (1980), «Переписка Шимуры», J. Math. Приложение Pures. , 59 (9): 1–132
• Вальдспургер, Жан-Лу (1990), «Демонстрация гипотезы дуалита де Хоу в cas p-adique, p ≠ 2», Праздничный сборник в честь II Пятецкого-Шапиро по случаю его шестидесятилетия, Часть I , Израильская математика. Конф. Учеб., 2 : 267–324.
• Вальдспургер, Жан-Лу (1991), «Соответствия Шимуры и кватернионов», Forum Math. , 3 (3): 219–307, doi :10.1515/form.1991.3.219, S2CID  123512840
• Вейль, Андре (1964), «Определенные группы унитарных операторов», Acta Math. , 111 : 143–211, doi : 10.1007/BF02391012