Функция палатки, часто используемая при обработке сигналов
Образцовая треугольная функцияТреугольная функция (также известная как функция треугольника , функция шляпы или функция палатки ) — это функция, график которой имеет форму треугольника. Часто это равнобедренный треугольник с высотой 1 и основанием 2, в этом случае ее называют треугольной функцией. Треугольные функции полезны в обработке сигналов и проектировании систем связи как представления идеализированных сигналов, а треугольная функция — в частности, как функция ядра интегрального преобразования , из которой можно получить более реалистичные сигналы, например, при оценке плотности ядра . Она также применяется в импульсно-кодовой модуляции в качестве формы импульса для передачи цифровых сигналов и в качестве согласованного фильтра для приема сигналов. Она также используется для определения треугольного окна, иногда называемого окном Бартлетта .
Определения Наиболее распространенное определение — это кусочная функция:
три ( х ) = Λ ( х ) = определение макс ( 1 − | х | , 0 ) = { 1 − | х | , | х | < 1 ; 0 в противном случае . {\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {tri} (x)=\Lambda (x)\ &{\overset {\underset {\text{def}}{}}{=}}\ \max {\big (}1-|x|,0{\big )}\\&={\begin{cases}1-|x|,&|x|<1;\\0&{\text{иначе}}.\\\end{cases}}\end{aligned}}} Эквивалентно, его можно определить как свертку двух идентичных единичных прямоугольных функций :
три ( х ) = прям ( х ) ∗ прям ( х ) = ∫ − ∞ ∞ прям ( х − τ ) ⋅ прям ( τ ) г τ . {\displaystyle {\begin{align}\operatorname {tri} (x)&=\operatorname {rect} (x)*\operatorname {rect} (x)\\&=\int _{-\infty }^{\infty }\operatorname {rect} (x-\tau )\cdot \operatorname {rect} (\tau )\,d\tau .\\\end{align}}} Треугольную функцию можно также представить как произведение прямоугольной и абсолютной функций:
три ( х ) = прям ( х / 2 ) ( 1 − | х | ) . {\displaystyle \operatorname {tri} (x)=\operatorname {rect} (x/2){\big (}1-|x|{\big )}.} Альтернативная треугольная функция Обратите внимание, что некоторые авторы вместо этого определяют функцию треугольника как имеющую основание шириной 1 вместо ширины 2:
три ( 2 х ) = Λ ( 2 х ) = определение макс ( 1 − 2 | х | , 0 ) = { 1 − 2 | х | , | х | < 1 2 ; 0 в противном случае . {\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {tri} (2x)=\Lambda (2x)\ &{\overset {\underset {\text{def}}{}}{=}}\ \max {\big (}1-2|x|,0{\big )}\\&={\begin{cases}1-2|x|,&|x|<{\tfrac {1}{2}};\\0&{\text{иначе}}.\\\end{cases}}\end{aligned}}} В наиболее общем виде треугольная функция — это любой линейный B-сплайн : [1]
три дж ( х ) = { ( х − х дж − 1 ) / ( х дж − х дж − 1 ) , х дж − 1 ≤ х < х дж ; ( х дж + 1 − х ) / ( х дж + 1 − х дж ) , х дж ≤ х < х дж + 1 ; 0 в противном случае . {\displaystyle \operatorname {tri} _{j}(x)={\begin{cases}(x-x_{j-1})/(x_{j}-x_{j-1}),&x_{j-1}\leq x<x_{j};\\(x_{j+1}-x)/(x_{j+1}-x_{j}),&x_{j}\leq x<x_{j+1};\\0&{\text{иначе}}.\end{cases}}} В то время как определение вверху является частным случаем
Λ ( х ) = три дж ( х ) , {\displaystyle \Lambda (x)=\operatorname {tri} _{j}(x),} где , , и . х дж − 1 = − 1 {\displaystyle x_{j-1}=-1} х дж = 0 {\displaystyle x_{j}=0} х дж + 1 = 1 {\displaystyle x_{j+1}=1}
Линейный B-сплайн — это то же самое, что и непрерывная кусочно-линейная функция , и эту общую треугольную функцию полезно формально определить как ф ( х ) {\displaystyle f(x)} ф ( х ) {\displaystyle f(x)}
ф ( х ) = ∑ дж у дж ⋅ три дж ( х ) , {\displaystyle f(x)=\sum _{j}y_{j}\cdot \operatorname {tri} _{j}(x),} где для всех целых . Кусочно-линейная функция проходит через каждую точку, выраженную координатами с упорядоченной парой , то есть, х дж < х дж + 1 {\displaystyle x_{j}<x_{j+1}} дж {\displaystyle j} ( х дж , у дж ) {\displaystyle (x_{j},y_{j})}
ф ( х дж ) = у дж {\displaystyle f(x_{j})=y_{j}}
Масштабирование Для любого параметра : а ≠ 0 {\displaystyle а\neq 0}
три ( т а ) = ∫ − ∞ ∞ 1 | а | прям ( τ а ) ⋅ прям ( т − τ а ) г τ = { 1 − | т / а | , | т | < | а | ; 0 в противном случае . {\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {tri} \left({\tfrac {t}{a}}\right)&=\int _{-\infty }^{\infty }{\tfrac {1}{|a|}}\operatorname {rect} \left({\tfrac {\tau }{a}}\right)\cdot \operatorname {rect} \left({\tfrac {t-\tau }{a}}\right)\,d\tau \\&={\begin{cases}1-|t/a|,&|t|<|a|;\\0&{\text{иначе}}.\end{cases}}\end{aligned}}}
преобразование Фурье Преобразование легко определяется с помощью свойства свертки преобразований Фурье и преобразования Фурье прямоугольной функции :
Ф { три ( т ) } = Ф { прям ( т ) ∗ прям ( т ) } = Ф { прям ( т ) } ⋅ Ф { прям ( т ) } = Ф { прям ( т ) } 2 = с я н с 2 ( ф ) , {\displaystyle {\begin{align}{\mathcal {F}}\{\operatorname {tri} (t)\}&={\mathcal {F}}\{\operatorname {rect} (t)*\operatorname {rect} (t)\}\\&={\mathcal {F}}\{\operatorname {rect} (t)\}\cdot {\mathcal {F}}\{\operatorname {rect} (t)\}\\&={\mathcal {F}}\{\operatorname {rect} (t)\}^{2}\\&=\mathrm {sinc} ^{2}(f),\end{align}}} где — нормализованная функция sinc . синк ( х ) = грех ( π х ) / ( π х ) {\displaystyle \operatorname {sinc} (x)=\sin(\pi x)/(\pi x)}
Смотрите также
Ссылки ^ "Основные свойства сплайнов и B-сплайнов" (PDF) . INF-MAT5340 Lecture Notes. стр. 38. 
