Финансовая корреляция

Мера взаимосвязи двух или более финансовых переменных с течением времени

Финансовые корреляции измеряют связь между изменениями двух или более финансовых переменных с течением времени. Например, цены на акции и облигации с фиксированным процентом часто движутся в противоположных направлениях: когда инвесторы продают акции, они часто используют выручку для покупки облигаций и наоборот. В этом случае цены акций и облигаций отрицательно коррелируют.

Финансовые корреляции играют ключевую роль в современных финансах . Согласно модели оценки капитальных активов (CAPM; модель, признанная Нобелевской премией ), увеличение диверсификации увеличивает соотношение доходности к риску. Меры риска включают стоимость под риском , ожидаемый дефицит и дисперсию доходности портфеля . ^[1]

Финансовая корреляция и коэффициент корреляции Пирсона

Существует несколько статистических мер степени финансовой корреляции. Коэффициент корреляции Пирсона-момента иногда применяется к финансовым корреляциям. Однако ограничения подхода корреляции Пирсона в финансах очевидны. Во-первых, линейные зависимости, оцениваемые коэффициентом корреляции Пирсона, нечасто встречаются в финансах. Во-вторых, меры линейной корреляции являются мерами естественной зависимости только в том случае, если совместное распределение переменных является эллиптическим . Однако лишь немногие финансовые распределения, такие как многомерное нормальное распределение и многомерное распределение Стьюдента-t, являются особыми случаями эллиптических распределений, для которых мера линейной корреляции может быть осмысленно интерпретирована. В-третьих, нулевой коэффициент корреляции Пирсона-момента не обязательно означает независимость, поскольку рассматриваются только два первых момента. Например, ( y  ≠ 0) приведет к нулевому коэффициенту корреляции Пирсона, что, возможно, вводит в заблуждение. ^[2] Поскольку подход Пирсона неудовлетворителен для моделирования финансовых корреляций, количественные аналитики разработали специальные меры финансовой корреляции. Точная оценка корреляций требует, чтобы процесс моделирования маргинальных значений включал такие характеристики, как асимметрия и эксцесс . Неучет этих атрибутов может привести к серьезной ошибке оценки в корреляциях и ковариациях, которые имеют отрицательные смещения (до 70% от истинных значений). ^[3] В практическом применении оптимизации портфеля точная оценка матрицы дисперсии-ковариации имеет первостепенное значение. Таким образом, прогнозирование с помощью моделирования Монте-Карло с гауссовой копулой и четко определенными маргинальными распределениями является эффективным. ^[4] ${\displaystyle Y=X^{2}}$

Меры финансовой корреляции

Корреляция броуновских движений

Стивен Хестон применил корреляционный подход ^[5] для отрицательной корреляции стохастической доходности акций и стохастической волатильности . Основные уравнения исходной модели Хестона — это два стохастических дифференциальных уравнения , SDE ${\displaystyle {\frac {dS(t)}{S(t)}}}$ ${\displaystyle \ \sigma (t)}$

${\displaystyle {\frac {dS(t)}{S(t)}}=\mu \,dt+\sigma (t)\,dz_{1}(t)}$(1)

и

${\displaystyle d\sigma ^{2}(t)=g[\sigma _{L}^{2}-\sigma ^{2}(t)]\,dt+\xi \sigma (t)\,dz_{2}(t)}$(2)

где S — базовый актив, — ожидаемый темп роста , а — стохастическая волатильность в момент времени t. В уравнении (2) g — средняя скорость возврата (гравитация), которая тянет дисперсию к ее долгосрочному среднему значению , а — волатильность волатильности σ(t). dz(t) — стандартное броуновское движение , т. е . , — это iid , в частности, это случайный выбор из стандартизированного нормального распределения n~(0,1). В уравнении (1) базовый актив следует стандартному геометрическому броуновскому движению, которое также применяется в модели Блэка–Шоулза–Мертона , которая, однако, предполагает постоянную волатильность. Корреляция между стохастическими процессами (1) и (2) вводится путем корреляции двух броуновских движений и . Мгновенная корреляция между броуновскими движениями равна ${\displaystyle \ \mu }$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \ \sigma (t)}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \ \sigma ^{2}(t)}$ ${\displaystyle \sigma _{L}^{2}}$ ${\displaystyle \ \xi }$ ${\displaystyle dz(t)=\varepsilon _{t}{\sqrt {dt}}}$ ${\displaystyle \ \varepsilon _{t}}$ ${\displaystyle \varepsilon _{t}}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle dz_{1}}$ ${\displaystyle dz_{2}}$ ${\displaystyle \ \rho }$

${\displaystyle \operatorname {Corr} [dz_{1}(t),dz_{2}(t)]=\rho \,dt}$(3).

Определение (3) можно удобно смоделировать с помощью тождества

${\displaystyle dz_{1}(t)={\sqrt {\rho }}dz_{2}(t)+{\sqrt {1-\rho }}\,dz_{3}(t)}$(4)

где и независимы, а и независимы, t ≠ t'. ${\displaystyle dz_{2}(t)}$ ${\displaystyle dz_{3}(t)}$ ${\displaystyle dz(t)}$ ${\displaystyle dz(t')}$

Коэффициент биномиальной корреляции

Еще одна финансовая мера корреляции, применяемая в основном к корреляции дефолтов, ^{[ по мнению кого? ]} - это подход биномиальной корреляции Лукаса (1995). ^[6] Мы определяем биномиальные события и где - время дефолта сущности , а - время дефолта сущности . Следовательно, если сущность дефолтирует до или в момент времени , случайная индикаторная переменная примет значение 1, и 0 в противном случае. То же самое относится к . Кроме того, и - вероятность дефолта и соответственно, и - совместная вероятность дефолта . Стандартное отклонение однопробного биномиального события равно , где P - вероятность исхода X. Следовательно, мы выводим совместный коэффициент зависимости дефолта биномиальных событий и как ${\displaystyle 1_{X}=1_{\{\tau _{X}\leq T\}}}$ ${\displaystyle 1_{Y}=1_{\{\tau _{Y}\leq T\}}}$ ${\displaystyle \tau _{X}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \tau _{Y}}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle 1_{X}}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle P(X)}$ ${\displaystyle P(Y)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle P(XY)}$ ${\displaystyle {\sqrt {P(X)-(P(X))^{2}}}}$ ${\displaystyle 1_{\{\tau _{X}\leq T\}}}$ ${\displaystyle 1_{\{\tau _{Y}\leq T\}}}$

${\displaystyle \rho (1_{\{\tau _{X}\leq T\}},1_{\{\tau _{Y}\leq T\}})={\frac {P(XY)-P(X)P(Y)}{{\sqrt {P(X)-(P(X))^{2}}}{\sqrt {P(Y)-(P(Y))^{2}}}}}}$(5).

По построению уравнение (5) может моделировать только биномиальные события, например, дефолт и отсутствие дефолта. Подход биномиальной корреляции уравнения (5) является предельным случаем подхода корреляции Пирсона, обсуждаемого в разделе 1. Как следствие, существенные недостатки подхода корреляции Пирсона для финансового моделирования применимы также к модели биномиальной корреляции. ^{[ необходима цитата ]}

Корреляции копулы

Довольно недавний, известный и в то же время печально известный корреляционный подход, применяемый в финансах, — это подход копулы . Копулы восходят к Склару (1959). ^[7] Копулы были введены в финансы Васичеком (1987) ^[8] и Ли (2000). ^[9]

Копулы упрощают статистические проблемы. Они позволяют объединять несколько одномерных распределений в одно многомерное распределение. Формально, копула-функция C преобразует n-мерную функцию на интервале [0,1] в единичномерную:

${\displaystyle C:[0,1]^{n}\rightarrow [0,1]}$(6).

Более конкретно, пусть будет равномерным случайным вектором с и . Тогда существует копула-функция такая, что ${\displaystyle u_{i}}$ ${\displaystyle u_{i}=u_{1},...,u_{n},u_{i}\in [0,1]}$ ${\displaystyle i\in N}$ ${\displaystyle C}$

${\displaystyle C(u_{1},\ldots ,u_{n})=F[F_{1}^{-1}(u_{1}),\ldots ,F_{n}^{-1}(u_{n})]}$(7)

где F — совместная кумулятивная функция распределения, а , i = 1, ..., n _i — одномерные маргинальные распределения. — обратная функция . Если маргинальные распределения непрерывны, то C — уникальное. Свойства и доказательства уравнения (11) см. в работах Sklar (1959) и Nelsen (2006). ^[10] Существует множество типов функций копулы. Их можно в целом разделить на однопараметрические копулы, такие как гауссовская копула и архимедова копула, которые включают копулы Гумбеля, Клейтона и Франка. Часто цитируемыми двухпараметрическими копулами являются копулы Стьюдента-t, Фреше и Маршалла-Олкина. Обзор этих копул см. в работе Nelsen (2006). В финансах копулы обычно применяются для получения коррелированных вероятностей дефолта в портфеле, ^{[ согласно кому? ]} например, в обеспеченном долговом обязательстве , CDO. Впервые это сделал Ли в 2006 году. Он определил равномерные маржи как кумулятивные вероятности дефолта Q для субъекта i в фиксированное время t, : ${\displaystyle \ F_{i}}$ ${\displaystyle F_{i}^{-1}}$ ${\displaystyle \ F_{i}}$ ${\displaystyle F_{i}^{-1}(u_{i})}$ ${\displaystyle u_{i}}$ ${\displaystyle Q_{i}(t)}$

${\displaystyle \ u_{i}=Q_{i}(t)}$(8).

Следовательно, из уравнений (7) и (8) выводим гауссовскую временную копулу по умолчанию CGD,

${\displaystyle C_{GD}(u_{1},\ldots ,u_{n})=M_{n,R}[N_{1}^{-1}(Q_{1}(t)),\ldots ,N_{n}^{-1}(Q_{n}(t))]}$(9).

В уравнении (9) члены отображают кумулятивные вероятности дефолта Q актива i для времени t, , процентиль к процентилю к стандартному нормальному. Затем отображенные стандартные нормальные предельные распределения объединяются в единое n-мерное распределение путем применения корреляционной структуры многомерного нормального распределения с корреляционной матрицей R. Вероятность n коррелированных дефолтов в момент времени t определяется как . ${\displaystyle N_{i}^{-1}}$ ${\displaystyle Q_{i}(t)}$ ${\displaystyle N_{i}^{-1}Q_{i}(t)}$ ${\displaystyle M_{n,R}}$ ${\displaystyle M_{n,R}}$

Копулы и финансовый кризис 2007–2008 гг.

Было написано множество неакадемических статей, демонизирующих копула-подход и обвиняющих его в мировом финансовом кризисе 2007/2008 гг., см., например, Salmon 2009, ^[11] Jones 2009, ^[12] и Lohr 2009. ^[13] Существует три основных критических замечания в адрес копула-подхода: (a) зависимость от хвоста, (b) калибровка, (c) управление рисками .

(а) Зависимость от хвоста

В кризис финансовые корреляции обычно увеличиваются, см. исследования Das, Duffie, Kapadia и Saita (2007) ^[14] и Duffie, Eckner, Horel и Saita (2009) ^[15] и ссылки в них. Поэтому было бы желательно применить модель корреляции с высокими сопутствующими движениями в нижнем хвосте совместного распределения. Можно математически показать, что гауссова копула имеет относительно низкую зависимость хвоста, как показано на следующих диаграммах рассеяния. ^{[ необходима цитата ]}

Рисунок 1: Диаграммы рассеяния различных моделей копул

Как видно на рисунке 1b, копула Student-t демонстрирует более высокую зависимость хвоста и может лучше подходить для моделирования финансовых корреляций. Кроме того, как видно на рисунке 1(c), копула Gumbel демонстрирует высокую зависимость хвоста, особенно для отрицательных сопутствующих движений. Предполагая, что корреляции увеличиваются, когда цены на активы снижаются, копула Gumbel также может быть хорошим подходом к корреляции для финансового моделирования. ^[16]

(б) Калибровка

Еще одной критикой гауссовой копулы является сложность ее калибровки по рыночным ценам. На практике обычно используется один параметр корреляции (не матрица корреляции) для моделирования корреляции по умолчанию между любыми двумя сущностями в обеспеченном долговом обязательстве, CDO. Концептуально этот параметр корреляции должен быть одинаковым для всего портфеля CDO. Однако трейдеры случайным образом изменяют параметр корреляции для разных траншей , чтобы получить желаемые спреды траншей. Трейдеры увеличивают корреляцию для «экстремальных» траншей, таких как транш акций или старшие транши, называемые улыбкой корреляции. Это похоже на часто цитируемую улыбку подразумеваемой волатильности в модели Блэка–Шоулза–Мертона. Здесь трейдеры увеличивают подразумеваемую волатильность, особенно для путов вне денег, но также и для коллов вне денег, чтобы увеличить цену опциона. ^{[ необходима цитата ]} .

В рамках оптимизации средней дисперсии точная оценка матрицы дисперсии-ковариации имеет первостепенное значение. Таким образом, прогнозирование с помощью моделирования Монте-Карло с гауссовой копулой и четко определенными маргинальными распределениями является эффективным. ^[17] Важно, чтобы процесс моделирования учитывал эмпирические характеристики доходности акций, такие как авторегрессия, асимметричная волатильность, перекос и эксцесс. Неучет этих атрибутов приводит к серьезной ошибке оценки в корреляциях и дисперсиях, которые имеют отрицательные смещения (до 70% от истинных значений). ^[18]

(в) Управление рисками

Еще одна критика подхода копулы заключается в том, что модель копулы статична и, следовательно, допускает лишь ограниченное управление рисками, см. Finger (2009) ^[19] или Donnelly и Embrechts (2010). ^[20] Оригинальные модели копулы Vasicek (1987) и Li (2000) и несколько расширений модели, таких как Hull и White (2004) ^[21] или Gregory и Laurent (2004) ^[22], имеют временной горизонт в один период, т. е. являются статическими. В частности, нет стохастического процесса для критических базовых переменных интенсивности дефолта и корреляции дефолта. Однако даже в этих ранних формулировках копулы бэк-тестирование и стресс-тестирование переменных для различных временных горизонтов могут дать ценную чувствительность, см. Whetten и Adelson (2004) ^[23] и Meissner, Hector и. Rasmussen (2008). ^[24] Кроме того, переменные копулы можно сделать функцией времени, как в работе Халла, Предеску и Уайта (2005). ^[25] Это все еще не создает полностью динамический стохастический процесс с дрейфом и шумом, который допускает гибкое хеджирование и управление рисками. Лучшими решениями являются действительно динамические структуры копулы, см. раздел «Динамические копулы» ниже.

Иррациональное самодовольство

До мирового финансового кризиса 2007–2008 годов многочисленные участники рынка доверяли модели копулы некритично и наивно. ^{[ требуется ссылка ]} Однако кризис 2007–2008 годов был не столько вопросом конкретной модели корреляции, сколько вопросом «иррациональной самоуспокоенности». В чрезвычайно благоприятный период времени с 2003 по 2006 год надлежащее хеджирование, надлежащее управление рисками и результаты стресс-тестов в значительной степени игнорировались. ^{[ требуется ссылка ]} Ярким примером является лондонское дочернее предприятие AIG, которое продало кредитные дефолтные свопы и обеспеченные долговые обязательства на сумму около 500 миллиардов долларов, не проводя при этом какого-либо серьезного хеджирования. Для проницательного документа о неадекватном управлении рисками, приведшем к кризису, см. «Личный взгляд на кризис – Признания риск-менеджера» (The Economist 2008). ^[26] В частности, если любая модель кредитной корреляции снабжена благоприятными входными данными, такими как низкая интенсивность дефолтов и низкая корреляция дефолтов, выходные показатели риска будут благоприятными, «мусор на входе и мусор на выходе» в терминологии моделирования. ^{[ необходима ссылка ]}

Динамические связки

Основным усовершенствованием моделей копул являются динамические копулы, введенные Альбанезе и др. (2005) ^[27] и (2007). ^[28] Подход «динамического обусловливания» моделирует эволюцию многофакторных суперрешеток, которые коррелируют процессы возврата каждой сущности на каждом временном шаге. Биномиальные динамические копулы применяют комбинаторные методы, чтобы избежать моделирования Монте-Карло. Более богатые динамические гауссовские копулы применяют моделирование Монте-Карло и требуют мощной компьютерной технологии.

Моделирование корреляции условно-независимых дефолтов (CID)

Чтобы избежать указания корреляции по умолчанию между каждой парой сущностей в портфеле, часто применяется факторизация. ^{[ требуется цитата ]} Это приводит к моделированию условно независимого дефолта (CID). Наиболее широко применяемой моделью CID является модель однофакторной гауссовой копулы (OFGC). Это была фактическая рыночная модель для ценообразования CDO до мирового финансового кризиса 2007/2008 гг. ^{[ требуется цитата ]} Основное уравнение модели OFGC

${\displaystyle x_{i}={\sqrt {\rho }}M+{\sqrt {1-\rho }}Z_{i}}$(10)

где и являются случайными выборками из и . В результате скрытая переменная , иногда интерпретируемая как стоимость актива i, см. Turc, Very, Benhamou и Alvarez et al. (2005), ^{[29] [ требуется лучший источник ]} также равна n~(0,1). Общий фактор может быть интерпретирован как экономическая среда, возможно, представленная доходностью S&P 500. является идиосинкразическим компонентом, «силой» сущности i, возможно, измеряемой доходностью цены акций сущности i. Из уравнения (10) мы видим, что корреляция между сущностями i моделируется косвенно путем обуславливания скрытой переменной общим фактором . Например, для p = 1, скрытые переменные всех сущностей , поэтому идентичны в каждой симуляции. Для p = 0, все скрытые переменные для всех сущностей , следовательно, являются независимыми. Важно, что как только мы фиксируем значение M, значения по умолчанию n сущностей (условно на M) взаимно независимы. ^{[ необходима цитата ]} ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle Z_{i}}$ ${\displaystyle N(0,1)}$ ${\displaystyle 0\leq \rho \leq 1}$ ${\displaystyle x_{i}}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle Z_{i}}$ ${\displaystyle x_{i}}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle i=1,...,n,\ x_{i}=M}$ ${\displaystyle x_{i}}$ ${\displaystyle i=1,\ldots ,n,\ x_{i}=Z_{i}}$ ${\displaystyle x_{i}}$

С 2010 года OFGC является основой управления кредитным риском в Базеле II . ^{[ требуется цитата ]} Преимущества модели — простота и интуитивность. Одним из главных недостатков модели является то, что трейдеры при ценообразовании CDO случайным образом изменяют параметр корреляции для разных траншей CDO, чтобы достичь желаемых спредов траншей. Однако концептуально параметр корреляции должен быть одинаковым для всего портфеля. ^{[ требуется цитата ]}

Моделирование заражения по умолчанию

Моделирование дефолта заражения можно рассматривать как разновидность моделирования CID. Как обсуждалось в разделе 2.3, в рамках CID корреляция моделируется путем обуславливания общего рыночного фактора M, который влияет на все сущности в одинаковой степени. Чем ниже случайный выбор для M, тем выше интенсивность дефолта всех сущностей (если только ρ = 0). Следовательно, моделирование CID может прояснить кластеризацию дефолта. Напротив, подходы заражения моделируют интенсивность дефолта сущности как функцию дефолта другой сущности. Следовательно, моделирование дефолта заражения включает риск контрагента, т. е. прямое влияние дефолтной сущности на интенсивность дефолта другой сущности. В частности, после дефолта конкретной сущности интенсивность дефолта всех активов в портфеле увеличивается. Затем эта инфекционность дефолта обычно экспоненциально затухает до уровней неинфекционной интенсивности дефолта. См. статьи Дэвиса и Ло (2001) ^[30] и Джарроу и Ю (2001), ^[31] , которые были пионерами моделирования заражения по умолчанию.

Подходы корреляции сверху вниз

В рамках моделирования кредитной корреляции довольно новым подходом к корреляции является моделирование сверху вниз. Здесь эволюция распределения интенсивности портфеля выводится напрямую, т.е. абстрагируясь от дефолтных интенсивностей отдельных субъектов. Модели сверху вниз обычно применяются на практике, если:

• Значения интенсивности по умолчанию для отдельных сущностей недоступны или ненадежны.
• Интенсивности по умолчанию отдельных сущностей не нужны. Это может быть в случае оценки однородного портфеля, такого как индекс однородных сущностей.
• Огромный размер портфеля делает моделирование индивидуальных интенсивностей дефолтов проблематичным.

Модели сверху вниз обычно более экономичны, эффективны в вычислительном отношении и часто могут быть лучше откалиброваны по рыночным ценам, чем модели снизу вверх. Хотя, казалось бы, важная информация, такая как интенсивность по умолчанию отдельных сущностей, игнорируется, модель сверху вниз обычно может лучше улавливать свойства портфеля, такие как волатильность или корреляционные улыбки. Кроме того, информация по умолчанию отдельных сущностей часто может быть выведена с помощью методов случайного прореживания, см. подробности в Giesecke, Goldberg and Ding (2007) ^{[32] .}

В рамках подхода «сверху вниз» Шёнбухер (2006) ^[33] создает неоднородную по времени цепь Маркова переходных ставок. Корреляция по умолчанию вводится изменениями волатильности переходных ставок. Для определенных созвездий параметров более высокая волатильность означает более быстрый переход к более низким состояниям по умолчанию, и, как следствие, подразумевает более высокую корреляцию по умолчанию, и наоборот. Аналогично, Хёрд и Кузнецов (2006a) ^[34] и (2006b) ^[35] вызывают корреляцию случайным изменением скорости времени. Более высокая скорость времени означает более быстрый переход к более низкому состоянию, возможно, к дефолту, и, как следствие, увеличивает корреляцию по умолчанию, и наоборот. Сравнительный анализ подходов к корреляции в финансах см. в Albanese, Li, Lobachevskiy, and Meissner (2010). ^[36]

Ссылки

1. Лоу, RKY; Фафф, Р.; Аас, К. (2016). «Улучшение выбора портфеля среднего–дисперсии путем моделирования асимметрии распределения» (PDF) . Журнал экономики и бизнеса . 85 : 49–72. doi :10.1016/j.jeconbus.2016.01.003.
2. Альбанезе, К.; Д. Ли; Е. Лобачевский; Г. Мейснер (2010). «Сравнительный анализ или корреляционные подходы в финансах». ССНН  1769302.
3. Fantazzinni, D. (2009). «Влияние неправильно определенных маргиналов и копул на вычисление значения риска: исследование Монте-Карло». Computational Statistics & Data Analysis . 53 (6): 2168–2188. doi :10.1016/j.csda.2008.02.002.
4. Лоу, RKY; Фафф, Р.; Аас, К. (2016). «Улучшение выбора портфеля среднего–дисперсии путем моделирования асимметрии распределения» (PDF) . Журнал экономики и бизнеса . 85 : 49–72. doi :10.1016/j.jeconbus.2016.01.003.
5. Мейсснер, Гюнтер (2014). Моделирование и управление корреляционным риском: прикладное руководство. Wiley.
6. Лукас, Д. (1995). «Корреляция дефолтов и кредитный анализ». Журнал фиксированного дохода . 4 (4): 76–87. doi :10.3905/jfi.1995.408124. S2CID  154557991.
7. Склар, А. (1959). «Функции перераспределения размеров и границ». Публикации Института статистики Парижского университета (на французском языке). 8 : 229–231.
8. Склар, А. (1987). «Стоимость кредитного портфеля». Риск .
9. Ли, Д. (2000). «О корреляции дефолтов: подход копулы». Журнал фиксированного дохода . 9 (4): 119–149. doi :10.3905/jfi.2000.319253. S2CID  167437822.
10. Нельсен, Р. (2006). Введение в связку (2-е изд.). Springer.
11. Салмон, Ф. (2009). «Рецепт катастрофы: формула, которая убила Уолл-стрит». Журнал Wired .
12. Джонс, С. (24 апреля 2009 г.). «Формула, которая повалила Уолл-Стрит». The Financial Times .
13. Лор, С. (12 сентября 2009 г.). «Математические волшебники Уолл-стрит забыли несколько переменных». New York Times .
14. Дас, С.; Д. Даффи; Н. Кападиа; Л. Сайта (февраль 2007 г.). «Распространенные недостатки: как коррелируют корпоративные дефолты». Журнал финансов . ЛСИИ, №1: 93–117. CiteSeerX 10.1.1.330.5575 . дои : 10.1111/j.1540-6261.2007.01202.x. S2CID  6474056. 
15. Даффи, Д.; А. Экнер; Г. Хорель; Л. Сайта (2009). «Дефолт, коррелированный со слабостью». Журнал финансов . 64 (5): 2089–2123. CiteSeerX 10.1.1.603.8597 . doi :10.1111/j.1540-6261.2009.01495.x. 
16. https://mentormecareers.com/gumbel-copula/
17. Лоу, RKY; Фафф, Р.; Аас, К. (2016). «Улучшение выбора портфеля среднего–дисперсии путем моделирования асимметрии распределения» (PDF) . Журнал экономики и бизнеса . 85 : 49–72. doi :10.1016/j.jeconbus.2016.01.003.
18. Fantazzinni, D. (2009). «Влияние неправильно определенных маргиналов и копул на вычисление значения риска: исследование Монте-Карло». Computational Statistics & Data Analysis . 53 (6): 2168–2188. doi :10.1016/j.csda.2008.02.002.
19. Фингер, К. (Зима 2009). «Тестирование хеджирования в рамках стандартной модели траншевого кредитного ценообразования». Журнал RiskMetrics . SSRN  1356015.
20. Доннелли, К.; Эмбрехтс, П. (2010). «Дьявол кроется в хвостах: актуарная математика и кризис субстандартного ипотечного кредитования» (PDF) . Бюллетень ASTIN . 40 (1): 1–33. doi :10.2143/AST.40.1.2049222. hdl :20.500.11850/20517. S2CID  14201831.
21. Халл, Дж.; А. Уайт (2004). «Оценка CDO и n-го дефолтного CDS без моделирования Монте-Карло». Журнал Derivatives . 12 (2): 8–23. doi :10.3905/jod.2004.450964. S2CID  13976617.
22. Грегори, Дж.; Лоран, Дж. П. (октябрь 2004 г.). «В основе корреляции». РИСК .
23. Уэттен, М.; М. Адельсон (2004). «The Bespoke – Руководство по однотраншевым синтетическим CDO». Nomura Fixed Income Research .
24. Мейсснер, Г.; Гектор, Р.; Расмуссен, Т. (2008). «Хеджирование CDO в однофакторной гауссовой копуле Framework/The Definitive Guide to CDOs». Книги RISK .
25. Халл, Джон К.; Предеску, Мирела; Уайт, Алан (1 января 2005 г.). «Оценка корреляционно-зависимых кредитных деривативов с использованием структурной модели». doi :10.2139/ssrn.686481. S2CID  15280387. SSRN  686481. {{cite journal}}: Цитировать журнал требует |journal=( помощь )
26. "Исповедь риск-менеджера". The Economist . 9 апреля 2008 г. Получено 30 сентября 2013 г.
27. Альбанезе, Ч.; О. Чен; А. Далессандро; А. Видлер (2005). «Моделирование динамической кредитной корреляции (рабочий документ)». CiteSeerX 10.1.1.139.4191 . 
28. Albanese, C.; A. Vidler (2007). "Динамическое обусловливание и корзины кредитной корреляции (рабочий документ)". Полное руководство по CDOS - рынок, применение, оценка и хеджирование. Risk Books (готовится к печати).
29. Turc, J.; Very, P.; Benhamou, D.; Alvarez, V. (2005). «Ценообразование с улыбкой» (исследовательская работа по кредитам SG) {{cite journal}}: Цитировать журнал требует |journal=( помощь )
30. Дэвис, М.; Ло, В. (2001). «Инфекционные дефолты». Количественные финансы 1 .
31. Джарроу, Р.; Ю, Ф. (2001). «Риск контрагента и ценообразование дефолтных ценных бумаг». Журнал финансов . 56 (5): 1765–1799. CiteSeerX 10.1.1.2.3743 . doi :10.1111/0022-1082.00389. 
32. Гизеке, К.; Л. Голдберг; X. Дин (2009). «Подход сверху вниз к многоимённому кредиту». Исследование операций . 59 (2): 283–300. CiteSeerX 10.1.1.139.6466 . doi :10.1287/opre.1100.0855. 
33. Шёнбухер, П. (2006). «Потери портфеля и структура условий переходных ставок потерь: новая методология ценообразования портфельных кредитных деривативов (рабочий документ)». CiteSeerX 10.1.1.469.2527 .  {{cite journal}}: Цитировать журнал требует |journal=( помощь )
34. Hurd, TR; Kuznetsov, A. (2006). "Модель аффинной цепи Маркова для многофирменной кредитной миграции". Журнал кредитного риска . 2006a (3).
35. Hurd, TR; Kuznetsov, A. (2006). «Быстрые вычисления CDO в модели аффинной цепи Маркова». Журнал кредитного риска . 2006b.
36. Альбанезе, К.; Д. Ли; Е. Лобачевский; Г. Мейснер (2010). «Сравнительный анализ или корреляционные подходы в финансах». дои : 10.2139/ssrn.1769302. ССНН  1769302. {{cite journal}}: Цитировать журнал требует |journal=( помощь )