В математике финитное отношение над последовательностью множеств X 1 , ..., X n является подмножеством декартова произведения X 1 × ... × X n ; то есть это множество из n -кортежей ( x 1 , ..., x n ) , каждый из которых является последовательностью элементов x i в соответствующем X i . [1] [2] [3] Обычно отношение описывает возможную связь между элементами n -кортежа. Например, отношение " x делится на y и z " состоит из множества из 3-кортежей, таких что при подстановке вместо x , y и z соответственно предложение становится истинным.
Неотрицательное целое число n , которое задает количество «мест» в отношении, называется арностью , адичностью или степенью отношения. Отношение с n «местами» по-разному называется n -арным отношением , n -адическим отношением или отношением степени n . Отношения с конечным числом мест называются финитными отношениями (или просто отношениями , если контекст ясен). Также возможно обобщить концепцию до бесконечных отношений с бесконечными последовательностями . [4]
Когда два объекта, качества, класса или атрибута, рассматриваемые умом вместе, рассматриваются в некоторой связи, эта связь называется отношением.
— Август Де Морган [5]
Поскольку определение основано на базовых множествах X 1 , ..., X n , R можно более формально определить как ( n + 1 )-кортеж ( X 1 , ..., X n , G ) , где G , называемый графиком R , является подмножеством декартова произведения X 1 × ... × X n .
Как часто делается в математике, один и тот же символ используется для обозначения математического объекта и базового множества, поэтому утверждение ( x 1 , ..., x n ) ∈ R часто используется для обозначения ( x 1 , ..., x n ) ∈ G и читается как « x 1 , ..., x n связаны с R » и обозначается с помощью префиксной записи как Rx 1 ⋯ x n и с помощью постфиксной записи как x 1 ⋯ x n R . В случае, когда R является бинарным отношением, эти утверждения также обозначаются с помощью инфиксной записи как x 1 Rx 2 .
При этом следует учитывать следующие соображения:
Пусть булев домен B будет набором из двух элементов, скажем, B = {0, 1} , элементы которого можно интерпретировать как логические значения, обычно 0 = ложь и 1 = истина . Характеристическая функция R , обозначаемая как χ R , является булевой функцией χ R : X 1 × ... × X n → B , определяемой как χ R ( ( x 1 , ..., x n ) ) = 1, если Rx 1 ⋯ x n и χ R ( ( x 1 , ..., x n ) ) = 0 в противном случае.
В прикладной математике, информатике и статистике булеву функцию принято называть n -арным предикатом . С более абстрактной точки зрения формальной логики и теории моделей отношение R представляет собой логическую модель или реляционную структуру , которая служит одной из многих возможных интерпретаций некоторого символа n -арного предиката.
Поскольку отношения возникают во многих научных дисциплинах, а также во многих разделах математики и логики , существует значительное различие в терминологии. Помимо теоретико-множественного расширения реляционного понятия или термина, термин «отношение» может также использоваться для обозначения соответствующей логической сущности, либо логического понимания , которое является совокупностью интенций или абстрактных свойств, разделяемых всеми элементами в отношении, либо символов, обозначающих эти элементы и интенции. Кроме того, некоторые авторы последнего убеждения вводят термины с более конкретными коннотациями (например, «реляционная структура» для теоретико-множественного расширения данного реляционного понятия).
Нулевые (0-арные) отношения насчитывают только два члена: пустое нулевое отношение, которое никогда не выполняется, и универсальное нулевое отношение, которое всегда выполняется. Это происходит потому, что существует только один 0-кортеж, пустой кортеж (), и существует ровно два подмножества (синглтонного) множества всех 0-кортежей. Иногда они полезны для построения базового случая аргумента индукции .
Унарные (1-арные) отношения можно рассматривать как совокупность членов (например, совокупность лауреатов Нобелевской премии ), имеющих некоторое свойство (например, присуждение Нобелевской премии ).
Каждая нулевая функция является унарным отношением.
Бинарные (2-арные) отношения являются наиболее часто изучаемой формой финитных отношений. Однородные бинарные отношения (где X 1 = X 2 ) включают
Гетерогенные бинарные отношения включают в себя
Тернарные (3-арные) отношения включают, например, бинарные функции , которые связывают два входа и выход. Все три домена однородного тернарного отношения являются одним и тем же набором.
Рассмотрим троичное отношение R " x думает, что y нравится z " над множеством людей P = {Алиса, Боб, Чарльз, Дениз} , определяемое следующим образом:
R можно эквивалентно представить в виде следующей таблицы:
Здесь каждая строка представляет собой тройку R , то есть она делает утверждение в форме « x думает, что y нравится z ». Например, первая строка утверждает, что «Алиса думает, что Бобу нравится Дениз». Все строки различны. Порядок строк не имеет значения, но порядок столбцов имеет значение. [1]
Приведенная выше таблица также является простым примером реляционной базы данных , области с теорией, укорененной в реляционной алгебре и приложениях в управлении данными. [6] Однако специалисты по информатике, логики и математики, как правило, имеют разные представления о том, что такое общее отношение и из чего оно состоит. Например, базы данных предназначены для работы с эмпирическими данными, которые по определению конечны, тогда как в математике также рассматриваются отношения с бесконечной арностью (т. е. бесконечные отношения).
Логик Август Де Морган в работе, опубликованной около 1860 года, был первым, кто сформулировал понятие отношения в его нынешнем смысле. Он также изложил первые формальные результаты в теории отношений (о Де Моргане и отношениях см. Merrill 1990).
Чарльз Пирс , Готтлоб Фреге , Георг Кантор , Ричард Дедекинд и другие развили теорию отношений. Многие из их идей, особенно об отношениях, называемых порядками , были обобщены в «Принципах математики» (1903), где Бертран Рассел свободно использовал эти результаты.
В 1970 году Эдгар Кодд предложил реляционную модель для баз данных , тем самым предвосхитив развитие систем управления базами данных . [1]