Функция выбора

Математическая функция

Функция выбора ( селектор , выбор ) — это математическая функция f , которая определена для некоторой коллекции X непустых множеств и присваивает некоторый элемент каждого множества S в этой коллекции S с помощью f ( S ); f ( S ) отображает S в некоторый элемент S . Другими словами, f является функцией выбора для X тогда и только тогда, когда она принадлежит прямому произведению X .

Пример

Пусть X  = { {1,4,7}, {9}, {2,7} }. Тогда функция f, определенная как f({1, 4, 7}) = 7, f({9}) = 9 и f({2, 7}) = 2, является функцией выбора на X.

История и значение

Эрнст Цермело (1904) ввел функции выбора, а также аксиому выбора (AC) и доказал теорему о хорошем порядке ^[1] , которая гласит, что каждое множество может быть хорошо упорядочено . AC утверждает, что каждое множество непустых множеств имеет функцию выбора. Более слабая форма AC, аксиома счетного выбора (AC _ω ), утверждает, что каждое счетное множество непустых множеств имеет функцию выбора. Однако при отсутствии AC или AC _ω , некоторые множества все еще могут иметь функцию выбора.

• Если — конечное множество непустых множеств, то можно построить функцию выбора для , выбрав один элемент из каждого члена Для этого требуется только конечное число выборов, поэтому ни AC, ни AC _ω не нужны. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X.}$
• Если каждый член является непустым множеством, а объединение вполне упорядочено, то можно выбрать наименьший элемент каждого члена . В этом случае можно было одновременно хорошо упорядочить каждый член , сделав всего один выбор хорошего порядка объединения, поэтому ни AC, ни AC _ω не понадобились. (Этот пример показывает, что теорема о хорошем упорядочении подразумевает AC. Обратное также верно, но менее тривиально.) ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \bigcup X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

Функция выбора многозначной карты

Даны два множества X и Y , пусть F будет многозначным отображением из X в Y (что эквивалентно, является функцией из X в множество степеней Y ) . ${\displaystyle F:X\rightarrow {\mathcal {P}}(Y)}$

Говорят, что функция является выбором F , если : ${\displaystyle f:X\rightarrow Y}$

$${\displaystyle \forall x\in X\,(f(x)\in F(x))\,.}$$

Существование более регулярных функций выбора, а именно непрерывных или измеримых выборов, важно в теории дифференциальных включений , оптимального управления и математической экономики . ^[2] См. Теорема выбора .

Функция тау Бурбаки

Николя Бурбаки использовал исчисление ε для своих основ, которые имели символ, который можно было интерпретировать как выбор объекта (если он существовал), который удовлетворяет данному предложению. Так что если является предикатом, то является одним конкретным объектом, который удовлетворяет (если он существует, в противном случае он возвращает произвольный объект). Следовательно, мы можем получить квантификаторы из функции выбора, например, было эквивалентно . ^[3] ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle P(x)}$ ${\displaystyle \tau _{x}(P)}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle P(\tau _{x}(P))}$ ${\displaystyle (\exists x)(P(x))}$

Однако оператор выбора Бурбаки сильнее обычного: это оператор глобального выбора. То есть, он подразумевает аксиому глобального выбора . ^[4] Гильберт понял это, когда ввел эпсилон-исчисление. ^[5]

Смотрите также

• Аксиома счетного выбора
• Аксиома зависимого выбора
• парадокс Хаусдорфа
• Геминепрерывность

Примечания

1. Цермело, Эрнст (1904). «Beweis, dass jede Menge wohlgeordnet werden kann». Математические Аннален . 59 (4): 514–16. дои : 10.1007/BF01445300.
2. Бордер, Ким С. (1989). Теоремы о неподвижной точке с приложениями к экономике и теории игр . Cambridge University Press. ISBN 0-521-26564-9.
3. Бурбаки, Николя. Элементы математики: Теория множеств . ISBN 0-201-00634-0.
4. Джон Харрисон, «Взгляд Бурбаки», электронная версия.
5. "Здесь, кроме того, мы сталкиваемся с весьма примечательным обстоятельством, а именно, что все эти трансфинитные аксиомы выводятся из одной аксиомы, которая также содержит ядро ​​одной из наиболее критикуемых аксиом в математической литературе, а именно аксиомы выбора: , где — трансфинитная логическая функция выбора". Гильберт (1925), «О бесконечности», отрывок из книги Жана ван Хейенорта « От Фреге к Гёделю », стр. 382. Из nCatLab. ${\displaystyle A(a)\to A(\varepsilon (A))}$ ${\displaystyle \varepsilon }$

Ссылки

В данной статье использованы материалы из Choice function на PlanetMath , которые лицензированы в соответствии с лицензией Creative Commons Attribution/Share-Alike License .