Функция оценки

Функция вероятности

В математике — в частности, в теории больших отклонений — функция скорости — это функция, используемая для количественной оценки вероятностей редких событий. Такие функции используются для формулировки принципов больших отклонений . Принцип больших отклонений количественно оценивает асимптотическую вероятность редких событий для последовательности вероятностей.

Функцию скорости также называют функцией Крамера , в честь шведского специалиста по теории вероятностей Харальда Крамера .

Определения

Функция скорости Расширенная вещественная функция, определенная на топологическом пространстве Хаусдорфа, называется функцией скорости, если она не является тождественной и полунепрерывной снизу , т. е. все множества подуровней ${\displaystyle I:X\to [0,+\infty ]}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle +\infty }$

${\displaystyle \{x\in X\mid I(x)\leq c\}{\mbox{ for }}c\geq 0}$

замкнуты в . Если, кроме того, они компактны , то говорят, что это хорошая функция скорости . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle I}$

Говорят, что семейство вероятностных мер на удовлетворяет принципу больших отклонений с функцией скорости (и скоростью ), если для каждого замкнутого множества и каждого открытого множества ${\displaystyle (\mu _{\delta })_{\delta >0}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle I:X\to [0,+\infty )}$ ${\displaystyle 1/\delta }$ ${\displaystyle F\subseteq X}$ ${\displaystyle G\subseteq X}$

${\displaystyle \limsup _{\delta \downarrow 0}\delta \log \mu _{\delta }(F)\leq -\inf _{x\in F}I(x),\quad {\mbox{(U)}}}$

${\displaystyle \liminf _{\delta \downarrow 0}\delta \log \mu _{\delta }(G)\geq -\inf _{x\in G}I(x).\quad {\mbox{(L)}}}$

Если верхняя граница (U) справедлива только для компактных (а не замкнутых) множеств , то говорят, что удовлетворяется слабый принцип больших уклонений (со скоростью и слабой функцией скорости ). ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle (\mu _{\delta })_{\delta >0}}$ ${\displaystyle 1/\delta }$ ${\displaystyle I}$

Замечания

Роль открытых и замкнутых множеств в принципе больших отклонений аналогична их роли в слабой сходимости вероятностных мер: напомним, что говорят , что сходимость слабая , если для каждого замкнутого множества и каждого открытого множества ${\displaystyle (\mu _{\delta })_{\delta >0}}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle F\subseteq X}$ ${\displaystyle G\subseteq X}$

${\displaystyle \limsup _{\delta \downarrow 0}\mu _{\delta }(F)\leq \mu (F),}$

${\displaystyle \liminf _{\delta \downarrow 0}\mu _{\delta }(G)\geq \mu (G).}$

Существуют некоторые различия в номенклатуре, используемой в литературе: например, den Hollander (2000) использует просто «функцию скорости», тогда как эта статья — вслед за Dembo & Zeitouni (1998) — использует «хорошую функцию скорости» и «слабую функцию скорости». Rassoul-Agha & Seppäläinen (2015) использует термин «плотная функция скорости» вместо «хорошая функция скорости» из-за связи с экспоненциальной плотностью семейства мер. Независимо от номенклатуры, используемой для функций скорости, проверка того, должно ли неравенство верхней границы (U) выполняться для замкнутых или компактных множеств, позволяет определить, является ли используемый принцип большого отклонения сильным или слабым.

Характеристики

Уникальность

Естественный вопрос, который следует задать, учитывая несколько абстрактную установку общей структуры выше, заключается в том, является ли функция скорости уникальной. Оказывается, это так: если задана последовательность вероятностных мер ( μ _δ ) _{δ >0} на X , удовлетворяющая принципу большого отклонения для двух функций скорости I и J , то следует, что I ( x ) =  J ( x ) для всех x  ∈  X .

Экспоненциальная плотность

Можно преобразовать слабый принцип больших отклонений в сильный, если меры сходятся достаточно быстро. Если верхняя граница верна для компактных множеств F и последовательность мер ( μ _δ ) _{δ >0} экспоненциально тесна , то верхняя граница также верна для замкнутых множеств F . Другими словами, экспоненциальная теснота позволяет преобразовать слабый принцип больших отклонений в сильный.

Непрерывность

Наивно можно было бы попытаться заменить два неравенства (U) и (L) одним требованием, что для всех борелевских множеств S  ⊆  X ,

${\displaystyle \lim _{\delta \downarrow 0}\delta \log \mu _{\delta }(S)=-\inf _{x\in S}I(x).\quad {\mbox{(E)}}}$

Равенство (E) слишком ограничительно, поскольку многие интересные примеры удовлетворяют (U) и (L), но не (E). Например, мера μ _δ может быть неатомарной для всех δ , поэтому равенство (E) может выполняться для S  = { x } только если I было тождественно +∞, что не допускается в определении. Однако неравенства (U) и (L) подразумевают равенство (E) для так называемых I -непрерывных множеств S  ⊆  X , тех, для которых

${\displaystyle I{\big (}{\stackrel {\circ }{S}}{\big )}=I{\big (}{\bar {S}}{\big )},}$

где и обозначают внутренность и замыкание S в X соответственно. Во многих примерах многие интересующие множества/события являются I -непрерывными. Например, если I — непрерывная функция , то все множества S такие, что ${\displaystyle {\stackrel {\circ }{S}}}$ ${\displaystyle {\bar {S}}}$

${\displaystyle S\subseteq {\bar {\stackrel {\circ }{S}}}}$

являются I -непрерывными; все открытые множества, например, удовлетворяют этому включению.

Трансформация принципов больших отклонений

При наличии принципа большого отклонения в одном пространстве часто бывает интересно построить принцип большого отклонения в другом пространстве. В этой области есть несколько результатов:

• принцип сжатия говорит о том, как принцип большого отклонения в одном пространстве «продвигается вперед» (через продвижение меры вероятности) к принципу большого отклонения в другом пространстве посредством непрерывной функции ;
• Теорема Доусона-Гертнера показывает, как последовательность принципов больших уклонений на последовательности пространств переходит к проективному пределу .
• Наклонный принцип больших отклонений дает принцип больших отклонений для интегралов экспоненциальных функционалов .
• экспоненциально эквивалентные меры имеют те же самые принципы большого отклонения.

История и основы развития

Понятие функции скорости появилось в 1930-х годах в исследовании шведским математиком Харальдом Крамером последовательности независимых случайных величин ( Z _i ) _{i∈ ${\displaystyle \mathbb {N} }$} . А именно, среди некоторых соображений масштабирования, Крамер изучал поведение распределения среднего при n →∞. ^[1] Он обнаружил, что хвосты распределения X _n экспоненциально убывают как e ^{− nλ ( x )} , где множитель λ ( x ) в показателе степени является преобразованием Лежандра–Фенхеля (также известным как выпуклое сопряжение ) функции, производящей кумулянт . По этой причине эту конкретную функцию λ ( x ) иногда называют функцией Крамера . Функция скорости, определенная выше в этой статье, является широким обобщением этого понятия Крамера, определенным более абстрактно на пространстве вероятностей , а не на пространстве состояний случайной величины. ${\textstyle X_{n}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}Z_{i}}$ ${\displaystyle \Psi _{Z}(t)=\log \operatorname {E} e^{tZ}.}$

Смотрите также

• Теория экстремальных значений
• Принцип умеренного отклонения

Ссылки

1. Крамер, Харальд (1938). «Sur un nouveau theorème-limite de la theorie des the вероятностей». Colloque consacré à la theorie des вероятностей, Часть 3, Actualités scientifiques et industrielles (на французском языке). 731 : 5–23.

• Дембо, Амир; Зейтуни, Офер (1998). Методы больших отклонений и их применение . Applications of Mathematics (Нью-Йорк) 38 (Второе изд.). Нью-Йорк: Springer-Verlag. xvi+396. ISBN 0-387-98406-2. МР 1619036
• den Hollander, Frank (2000). Большие отклонения . Монографии Института Филдса 14. Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество . стр. x+143. ISBN 0-8218-1989-5. МР 1739680
• Расул-Ага, Фирас; Сеппяляйнен, Тимо (2015). Курс о больших уклонениях с введением в меры Гиббса . Аспирантура по математике 162. Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество. xiv+318. ISBN 978-0-8218-7578-0. МР 3309619