Лемма Цорна

Лемма Цорна , также известная как лемма Куратовского–Цорна , является предложением теории множеств . Она утверждает, что частично упорядоченное множество , содержащее верхние границы для каждой цепи (то есть каждое полностью упорядоченное подмножество ), обязательно содержит по крайней мере один максимальный элемент .

Лемма была доказана (предполагая аксиому выбора ) Казимежем Куратовским в 1922 году и независимо Максом Цорном в 1935 году. [ ^2] Она встречается в доказательствах нескольких теорем решающего значения, например, теоремы Хана–Банаха в функциональном анализе , теоремы о том, что каждое векторное пространство имеет базис , ^[3]теоремы Тихонова в топологии, утверждающей, что каждое произведение компактных пространств компактно, и теоремы в абстрактной алгебре о том, что в кольце с единицей каждый собственный идеал содержится в максимальном идеале и что каждое поле имеет алгебраическое замыкание . ^[4]

Лемма Цорна эквивалентна теореме о полном упорядочении , а также аксиоме выбора , в том смысле, что в рамках ZF ( теории множеств Цермело–Френкеля без аксиомы выбора) любой из трех достаточен для доказательства двух других. ^[5] Более ранней формулировкой леммы Цорна является принцип максимума Хаусдорфа , который гласит, что каждое полностью упорядоченное подмножество данного частично упорядоченного множества содержится в максимальном полностью упорядоченном подмножестве этого частично упорядоченного множества. ^[6]

Мотивация

Чтобы доказать существование математического объекта, который можно рассматривать как максимальный элемент в некотором частично упорядоченном множестве каким-либо образом, можно попытаться доказать существование такого объекта, предположив, что максимального элемента нет, и используя трансфинитную индукцию и предположения ситуации, чтобы получить противоречие. Лемма Цорна приводит в порядок условия, которым должна удовлетворять ситуация, чтобы такой аргумент работал, и позволяет математикам не повторять аргумент трансфинитной индукции вручную каждый раз, а просто проверять условия леммы Цорна.

Если вы создаете математический объект поэтапно и обнаруживаете, что (i) вы не закончили даже после бесконечного количества этапов, и (ii) вам, кажется, ничто не мешает продолжать строительство, то лемма Цорна вполне может вам помочь.
— Уильям Тимоти Гауэрс , «Как использовать лемму Цорна» ^[7]

Утверждение леммы

Предварительные представления:

Множество P, снабженное бинарным отношением ≤, которое является рефлексивным ( x ≤ x для каждого x ), антисимметричным (если оба x ≤ y и y ≤ x выполняются, то x = y ) и транзитивным (если x ≤ y и y ≤ z, то x ≤ z ), называется (частично) упорядоченным по ≤. Если даны два элемента x и y из P с x ≤ y , то y считается большим или равным x . Слово «частичный» означает, что не каждая пара элементов частично упорядоченного множества обязана быть сравнимой по отношению порядка, то есть в частично упорядоченном множестве P с отношением порядка ≤ могут быть элементы x и y с ни x ≤ y, ни y ≤ x . Упорядоченное множество, в котором каждая пара элементов сравнима, называется полностью упорядоченным .
Каждое подмножество S частично упорядоченного множества P само может рассматриваться как частично упорядоченное, ограничивая отношение порядка, унаследованное от P, до S. Подмножество S частично упорядоченного множества P называется цепью (в P ), если оно полностью упорядочено в унаследованном порядке.
Элемент m частично упорядоченного множества P с отношением порядка ≤ является максимальным (относительно ≤), если нет другого элемента P , большего, чем m , то есть, если нет s в P с s ≠ m и m ≤ s . В зависимости от отношения порядка частично упорядоченное множество может иметь любое количество максимальных элементов. Однако полностью упорядоченное множество может иметь не более одного максимального элемента.
Для подмножества S частично упорядоченного множества P элемент u из P является верхней границей S , если он больше или равен каждому элементу S. Здесь S не обязательно должен быть цепью, а u должен быть сравним с каждым элементом S , но сам не обязательно должен быть элементом S.

Тогда лемму Цорна можно сформулировать так:

Лемма Цорна — Предположим, что частично упорядоченное множество P обладает тем свойством, что каждая цепь в P имеет верхнюю границу в P. Тогда множество P содержит по крайней мере один максимальный элемент .

Иногда используются варианты этой формулировки, например, требующие, чтобы множество P и его цепи были непустыми. ^[8]

Лемма Цорна (для непустых множеств) — Предположим, что непустое частично упорядоченное множество P обладает тем свойством, что каждая непустая цепь имеет верхнюю границу в P. Тогда множество P содержит по крайней мере один максимальный элемент.

Хотя эта формулировка кажется формально слабее (поскольку она накладывает на P дополнительное условие непустоты, но получает тот же вывод о P ), на самом деле эти две формулировки эквивалентны: чтобы проверить это, предположим сначала, что P удовлетворяет условию, что каждая цепь в P имеет верхнюю границу в P . Тогда пустое подмножество P является цепью, поскольку оно удовлетворяет определению бессодержательно ; поэтому гипотеза подразумевает, что это подмножество должно иметь верхнюю границу в P , и эта верхняя граница показывает, что P на самом деле непусто. Наоборот, если P предполагается непустым и удовлетворяет гипотезе, что каждая непустая цепь имеет верхнюю границу в P , то P также удовлетворяет условию, что каждая цепь имеет верхнюю границу, поскольку произвольный элемент P служит верхней границей для пустой цепи (то есть пустого подмножества, рассматриваемого как цепь).

Разница может показаться тонкой, но во многих доказательствах, которые ссылаются на лемму Цорна, берутся объединения некоторого вида для получения верхней границы, и поэтому случай пустой цепи может быть упущен; то есть проверка того, что все цепи имеют верхние границы, может иметь дело с пустыми и непустыми цепями по отдельности. Поэтому многие авторы предпочитают проверять непустоту множества P , а не иметь дело с пустой цепью в общем аргументе. ^[9]

Примеры приложений

Каждое векторное пространство имеет базис

Лемму Цорна можно использовать, чтобы показать, что каждое векторное пространство V имеет базис . ^[10]

Если V = { 0 }, то пустое множество является базисом для V . Теперь предположим, что V ≠ { 0 }. Пусть P будет множеством, состоящим из всех линейно независимых подмножеств V . Поскольку V не является нулевым векторным пространством , существует ненулевой элемент v из V , поэтому P содержит линейно независимое подмножество { v }. Более того, P частично упорядочено включением множеств (см. порядок включения ). Нахождение максимального линейно независимого подмножества V совпадает с нахождением максимального элемента в P .

Чтобы применить лемму Цорна, возьмем цепь T в P (то есть T — подмножество P , которое полностью упорядочено). Если T — пустое множество, то { v } — верхняя граница для T в P . Предположим тогда, что T непусто. Нам нужно показать, что T имеет верхнюю границу, то есть существует линейно независимое подмножество B из V , содержащее все элементы T .

Возьмем B как объединение всех множеств в T. Мы хотим показать, что B является верхней границей для T в P. Для этого достаточно показать, что B является линейно независимым подмножеством V.

Предположим в противном случае, что B не является линейно независимым. Тогда существуют векторы v ₁ , v ₂ , ..., v _k ∈ B и скаляры a ₁ , a ₂ , ..., a _k , не все равные нулю, такие, что

a_{1}\mathbf {v} _{1}+a_{2}\mathbf {v} _{2}+\cdots +a_{k}\mathbf {v} _{k}=\mathbf {0} .

Так как B является объединением всех множеств в T , существуют некоторые множества S ₁ , S ₂ , ..., S _k ∈ T такие, что v _i ∈ S _i для каждого i = 1, 2, ..., k . Поскольку T полностью упорядочено, одно из множеств S ₁ , S ₂ , ..., S _k должно содержать остальные, поэтому существует некоторое множество S _{i ,} которое содержит все v ₁ , v ₂ , ..., v _k . Это говорит нам о том, что существует линейно зависимый набор векторов в S _i , что противоречит тому, что S _i линейно независим (потому что является членом P ).

Гипотеза леммы Цорна проверена, и, таким образом, в P существует максимальный элемент , другими словами, максимальное линейно независимое подмножество B множества V.

Наконец, мы показываем, что B действительно является базисом V . Достаточно показать, что B является остовным множеством V . Предположим ради противоречия, что B не является остовным. Тогда существует некоторая v ∈ V , не покрываемая остовом B . Это говорит о том, что B ∪ { v } является линейно независимым подмножеством V , которое больше B , что противоречит максимальности B . Следовательно, B является остовным множеством V , и, таким образом, базисом V .

Каждое нетривиальное кольцо с единицей содержит максимальный идеал

Лемму Цорна можно использовать для того, чтобы показать, что каждое нетривиальное кольцо R с единицей содержит максимальный идеал .

Пусть P — множество, состоящее из всех собственных идеалов в R (то есть всех идеалов в R, кроме самого R ). Поскольку R нетривиально, множество P содержит тривиальный идеал {0}. Более того, P частично упорядочено включением множеств. Нахождение максимального идеала в R — это то же самое, что нахождение максимального элемента в P .

Чтобы применить лемму Цорна, возьмем цепь T в P . Если T пусто, то тривиальный идеал {0} является верхней границей для T в P . Предположим тогда, что T непусто. Необходимо показать, что T имеет верхнюю границу, то есть существует идеал I ⊆ R, содержащий все элементы T , но все еще меньший R (иначе он не был бы собственным идеалом, поэтому его нет в P ).

Возьмем I как объединение всех идеалов в T. Мы хотим показать, что I является верхней границей для T в P. Сначала покажем, что I является идеалом в R. Чтобы I был идеалом, он должен удовлетворять трем условиям:

I — непустое подмножество R ,
Для любых x , y ∈ I сумма x + y содержится в I ,
Для каждого r ∈ R и каждого x ∈ I произведение rx принадлежит I.

#1 - I является непустым подмножеством R.

Поскольку T содержит по крайней мере один элемент, и этот элемент содержит по крайней мере 0, объединение I содержит по крайней мере 0 и не является пустым. Каждый элемент T является подмножеством R , поэтому объединение I состоит только из элементов R .

#2 - Для любых x , y ∈ I сумма x + y принадлежит I.

Предположим, что x и y являются элементами I . Тогда существуют два идеала J , K ∈ T такие, что x является элементом J , а y является элементом K . Поскольку T полностью упорядочен, мы знаем, что J ⊆ K или K ⊆ J . Без потери общности предположим первый случай. Оба x и y являются элементами идеала K , поэтому их сумма x + y является элементом K , что показывает, что x + y является элементом I .

#3 - Для каждого r ∈ R и каждого x ∈ I произведение rx принадлежит I.

Предположим, что x — элемент I. Тогда существует идеал J ∈ T такой, что x принадлежит J. Если r ∈ R , то rx — элемент J и , следовательно, элемент I. Таким образом, I — идеал в R.

Теперь покажем, что I — собственный идеал. Идеал равен R тогда и только тогда, когда он содержит 1. (Ясно, что если это R, то он содержит 1; с другой стороны, если он содержит 1 и r — произвольный элемент R , то r 1 = r — элемент идеала, и поэтому идеал равен R. ) Итак, если бы I был равен R , то он содержал бы 1, и это означает, что один из членов T содержал бы 1 и, таким образом, был бы равен R — но R явно исключен из P.

Гипотеза леммы Цорна проверена, и, таким образом, в P существует максимальный элемент , другими словами, максимальный идеал в R.

Эскиз доказательства

Далее следует набросок доказательства леммы Цорна, предполагающий аксиому выбора . Предположим, что лемма ложна. Тогда существует частично упорядоченное множество, или частично упорядоченное множество, P такое, что каждое полностью упорядоченное подмножество имеет верхнюю границу, и что для каждого элемента в P существует другой элемент, больший, чем он. Для каждого полностью упорядоченного подмножества T мы можем затем определить больший элемент b ( T ), поскольку T имеет верхнюю границу, и эта верхняя граница имеет больший элемент. Чтобы фактически определить функцию b , нам нужно использовать аксиому выбора (явно: пусть , то есть множество верхних границ для T . Аксиома выбора дает ). $B(T)=\{b\in P:\forall t\in T,b\geq t\}$ $b:b(T)\in B(T)$

Используя функцию b , мы собираемся определить элементы a ₀ < a ₁ < a ₂ < a ₃ < ... < a _ω < a _ω+1 <…, в P. Эта несчетная последовательность действительно длинная : индексы — это не только натуральные числа , но и все ординалы . На самом деле, последовательность слишком длинная для множества P ; в ней слишком много ординалов ( собственный класс ), больше, чем элементов в любом множестве (другими словами, для любого множества ординалов существует больший ординал), и множество P вскоре будет исчерпано, и тогда мы столкнемся с желаемым противоречием.

a i определяются трансфинитной рекурсией : мы выбираем a ₀ в P произвольно (это возможно, так как _P содержит верхнюю границу для пустого множества и, таким образом, не является пустым) и для любого другого ординала w мы устанавливаем a _w = b ({ a _v : v < w }). Поскольку a _v полностью упорядочены, это вполне обоснованное определение.

Вышеприведенное доказательство можно сформулировать без явного указания ординалов, рассматривая начальные сегменты { _av : v < w } как подмножества P. Такие множества можно легко охарактеризовать как хорошо упорядоченные цепи S⊆P , где каждый x∈S удовлетворяет x = b ( { y∈S : y < x }). Противоречие достигается, если отметить, что мы всегда можем найти «следующий» начальный сегмент, либо взяв объединение всех таких S ( соответствующее предельному ординальному случаю), либо добавив b ( S ) к « последнему» S (соответствующему последующему ординальному случаю). ^[11]

Это доказательство показывает, что на самом деле верна немного более сильная версия леммы Цорна:

Лемма — Если P — частично упорядоченное множество , в котором каждое вполне упорядоченное подмножество имеет верхнюю границу, и если x — любой элемент P , то P имеет максимальный элемент, больший или равный x . То есть существует максимальный элемент, сравнимый с x .

В качестве альтернативы можно использовать то же доказательство для максимального принципа Хаусдорфа . Это доказательство приведено, например, в «Наивной теории множеств » Халмоша или в § Доказательство ниже.

Доказательство

Основная идея доказательства состоит в том, чтобы свести доказательство к доказательству следующей слабой формы леммы Цорна:

Лемма — Пусть — множество, состоящее из подмножеств некоторого фиксированного множества, такое, что удовлетворяет следующим свойствам: $F$ $F$

$F$ непусто.
Объединение каждого полностью упорядоченного подмножества находится в , где упорядочение осуществляется относительно включения множеств. $F$ $F$
Для каждого набора из каждое подмножество из находится в . $S$ $F$ $S$ $F$

Тогда имеет максимальный элемент относительно включения множества. $F$

(Заметим, что, строго говоря, (1) избыточно, поскольку (2) подразумевает, что пустое множество находится в .) Заметим, что вышеизложенное является слабой формой леммы Цорна, поскольку лемма Цорна, в частности, утверждает, что любое множество подмножеств, удовлетворяющее приведенным выше (1) и (2), имеет максимальный элемент. Дело в том, что, наоборот, лемма Цорна следует из этой слабой формы. ^[12] Действительно, пусть будет множеством всех цепей в . Тогда оно удовлетворяет всем приведенным выше свойствам (оно непусто, поскольку пустое подмножество является цепью.) Таким образом, по приведенной выше слабой форме мы находим максимальный элемент в ; т. е. максимальную цепь в . По условию леммы Цорна имеет верхнюю границу в . Тогда это максимальный элемент, поскольку если , то больше, чем и, следовательно , . Таким образом, . $F$ $F$ $P$ $С$ $F$ $P$ $С$ $x$ $P$ $x$ $y\geq x$ ${\widetilde {C}}=C\cup \{y\}$ $С$ ${\widetilde {C}}=C$ $у=х$

Доказательство слабой формы дано в Hausdorff maximum principle#Proof . Действительно, существование максимальной цепи — это в точности утверждение Hausdorff maximum principle.

Это же доказательство показывает и следующий эквивалентный вариант леммы Цорна: ^[13]

Лемма — Пусть — частично упорядоченное множество, в котором каждая цепь имеет наименьшую верхнюю границу в . Тогда имеет максимальный элемент. $P$ $P$ $P$

Действительно, тривиально, лемма Цорна влечет указанную выше лемму. Наоборот, указанная выше лемма влечет указанную выше слабую форму леммы Цорна, поскольку объединение дает наименьшую верхнюю границу.

Лемма Цорна подразумевает аксиому выбора

Доказательство того, что лемма Цорна подразумевает аксиому выбора, иллюстрирует типичное применение леммы Цорна. ^[14] (Структура доказательства точно такая же, как и для теоремы Хана–Банаха .)

Для данного множества непустых множеств и его объединения (которое существует по аксиоме объединения ), мы хотим показать, что существует функция $X$ $U:=\bigcup X$

f:X\to U

такой, что для каждого . Для этого рассмотрим множество $f(S)\in S$ $S\in X$

P=\{f:X'\to U\mid X'\subset X,f(S)\in S\}

Он частично упорядочен по расширению; т. е. тогда и только тогда, когда является ограничением . Если является цепочкой в , то мы можем определить функцию на объединении, установив , когда . Это хорошо определено, так как если , то является ограничением . Функция также является элементом и является общим расширением всех ' s. Таким образом, мы показали, что каждая цепочка в имеет верхнюю границу в . Следовательно, по лемме Цорна существует максимальный элемент в , который определен на некотором . Мы хотим показать . Предположим иначе; тогда существует множество . Так как является непустым, то оно содержит элемент . Затем мы можем расшириться до функции , установив и . (Заметьте, что этот шаг не требует аксиомы выбора.) Функция находится в и , что противоречит максимальности . $f\leq g$ $f$ $г$ $f_{i}:X_{i}\to U$ $P$ $f$ $X'=\cup _{i}X_{i}$ $f(x)=f_{i}(x)$ $x\in X_{i}$ $я<j$ $f_{i}$ $f_{j}$ $f$ $P$ $f_{i}$ $P$ $P$ $f$ $P$ $X'\subset X$ $X'=X$ $S\in XX'$ $S$ $с$ $f$ $г$ $g|_{X'}=f$ $g(S)=s$ $г$ $P$ $f<g$ $f$ $\квадрат$

По сути, то же самое доказательство также показывает, что лемма Цорна подразумевает теорему о хорошем упорядочении : возьмем в качестве множество всех хорошо упорядоченных подмножеств данного множества и затем покажем, что максимальный элемент множества равен . ^[15] $P$ $X$ $P$ $X$

История

Максимальный принцип Хаусдорфа — раннее утверждение, аналогичное лемме Цорна.

Казимеж Куратовский доказал в 1922 году ^[16] версию леммы, близкую к ее современной формулировке (она применяется к множествам, упорядоченным по включению и замкнутым относительно объединений вполне упорядоченных цепей). По сути, та же самая формулировка (ослабленная использованием произвольных цепей, а не только вполне упорядоченных) была независимо дана Максом Цорном в 1935 году ^[17], который предложил ее как новую аксиому теории множеств, заменяющую теорему о вполне упорядочении, продемонстрировал некоторые ее приложения в алгебре и обещал показать ее эквивалентность аксиоме выбора в другой статье, которая так и не появилась.

Название «лемма Цорна», по-видимому, произошло от Джона Тьюки , который использовал его в своей книге « Сходимость и однородность в топологии» в 1940 году. В «Теории ансамблей» Бурбаки 1939 года аналогичный максимальный принцип упоминается как «le théorème de Zorn». ^[18] Название «лемма Куратовского–Цорна» преобладает в Польше и России.

Эквивалентные формы леммы Цорна

Лемма Цорна эквивалентна (в ZF ) трем основным результатам:

Известная шутка, намекающая на эту эквивалентность (которая может противоречить человеческой интуиции), приписывается Джерри Боне : «Аксиома выбора, очевидно, истинна, принцип хорошего порядка, очевидно, ложен, и кто может сказать что-либо о лемме Цорна?» ^[19]

Лемма Цорна также эквивалентна теореме о сильной полноте логики первого порядка. ^[20]

Более того, лемма Цорна (или одна из ее эквивалентных форм) подразумевает некоторые важные результаты в других областях математики. Например,

Теорема Банаха о расширении, которая используется для доказательства одного из самых фундаментальных результатов в функциональном анализе — теоремы Хана–Банаха.
Каждое векторное пространство имеет базис , результат линейной алгебры (которой он эквивалентен ^[21] ). В частности, действительные числа, как векторное пространство над рациональными числами, обладают базисом Гамеля.
Каждое коммутативное унитальное кольцо имеет максимальный идеал , результат теории колец, известный как теорема Крулля , которому эквивалентна лемма Цорна ^[22]
Теорема Тихонова в топологии (которой она также эквивалентна ^[23] )
Каждый правильный фильтр содержится в ультрафильтре , что приводит к теореме о полноте логики первого порядка ^[24].

В этом смысле лемма Цорна является мощным инструментом, применимым во многих областях математики.

Аналоги при ослаблениях аксиомы выбора

Ослабленная форма леммы Цорна может быть доказана из ZF + DC (теория множеств Цермело–Френкеля с заменой аксиомы выбора на аксиому зависимого выбора ). Лемму Цорна можно выразить напрямую, заметив, что множество, не имеющее максимального элемента, было бы эквивалентно утверждению, что отношение порядка множества будет целым, что позволило бы нам применить аксиому зависимого выбора для построения счетной цепи. В результате любое частично упорядоченное множество с исключительно конечными цепями должно иметь максимальный элемент. ^[25]

В более общем смысле, усиление аксиомы зависимого выбора до более высоких ординалов позволяет нам обобщить утверждение из предыдущего абзаца до более высоких мощностей. ^[25] В пределе, где мы допускаем произвольно большие ординалы, мы восстанавливаем доказательство полной леммы Цорна, используя аксиому выбора из предыдущего раздела.

В популярной культуре

В честь леммы назван фильм 1970 года «Лемма Цорна» .

Лемма упоминается в мультсериале «Симпсоны» в эпизоде « Новый друг Барта ». ^[26]

Смотрите также

Антицепь – Подмножество несравнимых элементов
Теорема Бурбаки–Витта
Частичный порядок с полной цепочкой – частично упорядоченное множество, в котором каждая цепь имеет наименьшую верхнюю границу.
Теорема Шпильрайна о расширении – Математический результат об отношениях порядка
Конечность Тарского – Математическое множество, содержащее конечное число элементов.
Лемма Тейхмюллера–Тьюки (иногда ее называют леммой Тьюки)

Примечания

^ Серр, Жан-Пьер (2003), Деревья , Springer Monographs in Mathematics, Springer, стр. 23
^ Мур 2013, стр. 168
^ Вилански, Альберт (1964). Функциональный анализ . Нью-Йорк: Blaisdell. С. 16–17.
^ Jech 2008, гл. 2, §2 Некоторые приложения аксиомы выбора в математике
^ Иех 2008, стр. 9
^ Мур 2013, стр. 168
↑ Уильям Тимоти Гауэрс (12 августа 2008 г.). «Как использовать лемму Цорна».
^ Например, Ланг, Серж (2002). Алгебра . Выпускные тексты по математике. Т. 211 (пересмотренное 3-е изд.). Springer-Verlag. стр. 880. ISBN 978-0-387-95385-4., Даммит, Дэвид С.; Фут, Ричард М. (1998). Абстрактная алгебра (2-е изд.). Prentice Hall. стр. 875. ISBN 978-0-13-569302-5., и Бергман, Джордж М (2015). Приглашение в общую алгебру и универсальные конструкции. Universitext (2-е изд.). Springer-Verlag. стр. 162. ISBN 978-3-319-11477-4..
^ Бергман, Джордж М (2015). Приглашение к общей алгебре и универсальным конструкциям. Universitext (Второе изд.). Springer-Verlag. стр. 164. ISBN 978-3-319-11477-4.
^ Смитс, Тим. «Доказательство того, что каждое векторное пространство имеет базис» (PDF) . Получено 14 августа 2022 г.
^ Левин, Джонатан В. (1991). «Простое доказательство леммы Цорна». The American Mathematical Monthly . 98 (4): 353–354. doi :10.1080/00029890.1991.12000768.
^ Халмош, § 16. Примечание: в ссылке этот вывод сделан путем указания на то, что существует вложение, сохраняющее порядок.
$s:P\hookrightarrow {\mathfrak {P}}(P)$
и что "проход" позволяет вывести существование максимального элемента или, что эквивалентно, элемента из слабой формы леммы Цорна. Значение прохода там было неясным, и поэтому здесь мы дали альтернативное рассуждение. $s(P)$ $P$
^ Халмош, § 16. Упражнение.
^ Халмош 1960, § 16. Упражнение.
^ Халмош 1960, § 17. Упражнение.
^ Куратовский, Казимир (1922). «Une méthode d'élimination des nombres transfinis des raisonnements mathématiques» [Метод избавления от трансфинитных чисел в математических рассуждениях] (PDF) . Fundamenta Mathematicae (на французском языке). 3 : 76–108. дои : 10.4064/fm-3-1-76-108 . Проверено 24 апреля 2013 г.
^ Цорн, Макс (1935). «Замечание о методе в трансфинитной алгебре». Бюллетень Американского математического общества . 41 (10): 667–670. doi : 10.1090/S0002-9904-1935-06166-X .
↑ Кэмпбелл 1978, стр. 82.
^ Кранц, Стивен Г. (2002), «Аксиома выбора», Справочник по логике и методам доказательства для компьютерных наук , Springer, стр. 121–126, doi :10.1007/978-1-4612-0115-1_9, ISBN 978-1-4612-6619-8.
^ JL Bell & AB Slomson (1969). Модели и ультрапроизведения . North Holland Publishing Company. Глава 5, Теорема 4.3, стр. 103.
^ Бласс, Андреас (1984). «Существование баз подразумевает аксиому выбора». Аксиоматическая теория множеств . Contemporary Mathematics. Vol. 31. pp. 31–33. doi :10.1090/conm/031/763890. ISBN 9780821850268.
^ Ходжес, В. (1979). «Крулл подразумевает Цорна». Журнал Лондонского математического общества . s2-19 (2): 285–287. doi :10.1112/jlms/s2-19.2.285.
^ Келли, Джон Л. (1950). «Теорема Тихонова о произведении подразумевает аксиому выбора». Fundamenta Mathematicae . 37 : 75–76. doi : 10.4064/fm-37-1-75-76 .
^ JL Bell & AB Slomson (1969). Модели и ультрапродукты . North Holland Publishing Company.
^ ab Wolk, Elliot S. (1983), «О принципе зависимого выбора и некоторых формах леммы Цорна», Canadian Mathematical Bulletin , 26 (3): 365–367, doi : 10.4153/CMB-1983-062-5
^ «Лемма Цорна | Симпсоны и их математические секреты».

Ссылки

Кэмпбелл, Пол Дж. (февраль 1978 г.). «Происхождение леммы Цорна». Historia Mathematica . 5 (1): 77–89. doi : 10.1016/0315-0860(78)90136-2 .
Пол Халмос , Наивная теория множеств . Принстон, Нью-Джерси: Компания Д. Ван Ностранда, 1960. Перепечатано Springer-Verlag, Нью-Йорк, 1974. ISBN 0-387-90092-6 (издание Springer-Verlag).
Цесельский, Кшиштоф (1997). Теория множеств для практикующего математика . Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-59465-3.
Jech, Thomas (2008) [1973]. Аксиома выбора . Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications . ISBN 978-0-486-46624-8.
Мур, Грегори Х. (2013) [1982]. Аксиома выбора Цермело: ее происхождение, развитие и влияние . Dover Publications . ISBN 978-0-486-48841-7.

Внешние ссылки

«Лемма Цорна», Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
Лемма Цорна на ProvenMath содержит формальное доказательство вплоть до мельчайших деталей эквивалентности аксиомы выбора и леммы Цорна.
Лемма Цорна в Metamath — еще одно формальное доказательство. (Версия Unicode для последних браузеров.)