Частичная изометрия

В математическом функциональном анализе частичная изометрия — это линейное отображение между гильбертовыми пространствами, такое, что оно является изометрией на ортогональном дополнении своего ядра .

Ортогональное дополнение его ядра называется начальным подпространством , а его область значений называется конечным подпространством .

Частичные изометрии появляются в полярном разложении .

Общее определение

Понятие частичной изометрии можно определить другими эквивалентными способами. Если U — изометрическое отображение, определенное на замкнутом подмножестве H ₁ гильбертова пространства H, то мы можем определить расширение W отображения U на все H условием, что W равно нулю на ортогональном дополнении H ₁ . Таким образом, частичная изометрия также иногда определяется как замкнутое частично определенное изометрическое отображение.

Частичные изометрии (и проекции) можно определить в более абстрактной обстановке полугруппы с инволюцией ; определение совпадает с приведенным здесь.

Характеристика в конечных измерениях

В конечномерных векторных пространствах матрица является частичной изометрией тогда и только тогда, когда является проекцией на ее носитель. Сравните это с более требовательным определением изометрии : матрица является изометрией тогда и только тогда, когда . Другими словами, изометрия является инъективной частичной изометрией. ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A^{*}A}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle V^{*}V=I}$

Любая конечномерная частичная изометрия может быть представлена, при некотором выборе базиса, как матрица вида , то есть как матрица, первые столбцы которой образуют изометрию, в то время как все остальные столбцы тождественно равны 0. ${\displaystyle A={\begin{pmatrix}V&0\end{pmatrix}}}$ ${\displaystyle \operatorname {rank} (A)}$

Обратите внимание, что для любой изометрии эрмитово сопряжение является частичной изометрией, хотя не каждая частичная изометрия имеет такую ​​форму, как явно показано в приведенных примерах. ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle V^{*}}$

Операторные алгебры

Для операторных алгебр вводятся начальное и конечное подпространства:

${\displaystyle {\mathcal {I}}W:={\mathcal {R}}W^{*}W,\,{\mathcal {F}}W:={\mathcal {R}}WW^{*}}$

C*-Алгебры

Для C*-алгебр имеем цепочку эквивалентностей, обусловленную C*-свойством:

${\displaystyle (W^{*}W)^{2}=W^{*}W\iff WW^{*}W=W\iff W^{*}WW^{*}=W^{*}\iff (WW^{*})^{2}=WW^{*}}$

Таким образом, можно определить частичные изометрии одним из вышеприведенных способов и объявить начальную и конечную проекцию W*W и WW* .

Пара проекций разбивается отношением эквивалентности :

${\displaystyle P=W^{*}W,\,Q=WW^{*}}$

Он играет важную роль в K-теории для C*-алгебр и в теории проекций Мюррея — фон Неймана в алгебре фон Неймана .

Специальные классы

Прогнозы

Любая ортогональная проекция — это проекция с общим начальным и конечным подпространством:

${\displaystyle P:{\mathcal {H}}\rightarrow {\mathcal {H}}:\quad {\mathcal {I}}P={\mathcal {F}}P}$

Вложения

Любое изометрическое вложение — это вложение с полным начальным подпространством:

${\displaystyle J:{\mathcal {H}}\hookrightarrow {\mathcal {K}}:\quad {\mathcal {I}}J={\mathcal {H}}}$

Унитариев

Любой унитарный оператор — это оператор с полным начальным и конечным подпространством:

${\displaystyle U:{\mathcal {H}}\leftrightarrow {\mathcal {K}}:\quad {\mathcal {I}}U={\mathcal {H}},\,{\mathcal {F}}U={\mathcal {K}}}$

(Помимо этого, существуют гораздо более частичные изометрии.)

Примеры

Нильпотенты

В двумерном комплексном гильбертовом пространстве матрица

${\displaystyle {\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}}}$

является частичной изометрией с начальным подпространством

${\displaystyle \{0\}\oplus \mathbb {C} }$

и конечное подпространство

${\displaystyle \mathbb {C} \oplus \{0\}.}$

Общие конечномерные примеры

Другие возможные примеры в конечных измерениях: Это явно не изометрия, поскольку столбцы не ортонормальны. Однако ее опора — это область и , и ограничивая действие на этом пространстве, она становится изометрией (и, в частности, унитарной). Аналогично можно проверить , что , то есть, что является проекцией на ее опору. $${\displaystyle A\equiv {\begin{pmatrix}1&0&0\\0&{\frac {1}{\sqrt {2}}}&{\frac {1}{\sqrt {2}}}\\0&0&0\end{pmatrix}}.}$$ ${\displaystyle \mathbf {e} _{1}\equiv (1,0,0)}$ ${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2}}}(\mathbf {e} _{2}+\mathbf {e} _{3})\equiv (0,1/{\sqrt {2}},1/{\sqrt {2}})}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A^{*}A=\Pi _{\operatorname {supp} (A)}}$ ${\displaystyle A^{*}A}$

Частичные изометрии не обязательно соответствуют квадратным матрицам. Рассмотрим, например, Эта матрица имеет опору на охват и , и действует как изометрия (и, в частности, как тождество) на этом пространстве. $${\displaystyle A\equiv {\begin{pmatrix}1&0&0\\0&{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2}}\\0&0&0\\0&{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2}}\end{pmatrix}}.}$$ ${\displaystyle \mathbf {e} _{1}\equiv (1,0,0)}$ ${\displaystyle \mathbf {e} _{2}+\mathbf {e} _{3}\equiv (0,1,1)}$

Еще один пример, в котором это время действует как нетривиальная изометрия на своем носителе, это Можно легко проверить, что , и , показывая изометрическое поведение между его носителем и его диапазоном . ${\displaystyle A}$ $${\displaystyle A={\begin{pmatrix}0&{\frac {1}{\sqrt {2}}}&{\frac {1}{\sqrt {2}}}\\1&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}}.}$$ ${\displaystyle A\mathbf {e} _{1}=\mathbf {e} _{2}}$ ${\displaystyle A\left({\frac {\mathbf {e} _{2}+\mathbf {e} _{3}}{\sqrt {2}}}\right)=\mathbf {e} _{1}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \operatorname {span} (\{\mathbf {e} _{1},\mathbf {e} _{2}+\mathbf {e} _{3}\})}$ ${\displaystyle \operatorname {span} (\{\mathbf {e} _{1},\mathbf {e} _{2}\})}$

Сдвиг влево и сдвиг вправо

На квадратно-суммируемых последовательностях операторы

${\displaystyle R:\ell ^{2}(\mathbb {N} )\to \ell ^{2}(\mathbb {N} ):(x_{1},x_{2},\ldots )\mapsto (0,x_{1},x_{2},\ldots )}$

${\displaystyle L:\ell ^{2}(\mathbb {N} )\to \ell ^{2}(\mathbb {N} ):(x_{1},x_{2},\ldots )\mapsto (x_{2},x_{3},\ldots )}$

которые связаны между собой

${\displaystyle R^{*}=L}$

являются частичными изометриями с начальным подпространством

${\displaystyle LR(x_{1},x_{2},\ldots )=(x_{1},x_{2},\ldots )}$

и конечное подпространство:

${\displaystyle RL(x_{1},x_{2},\ldots )=(0,x_{2},\ldots )}$.

Ссылки

• Джон Б. Конвей (1999). «Курс теории операторов», AMS Bookstore, ISBN  0-8218-2065-6
• Carey, RW; Pincus, JD (май 1974). "Инвариант для некоторых операторных алгебр". Труды Национальной академии наук . 71 (5): 1952–1956. Bibcode :1974PNAS...71.1952C. doi : 10.1073/pnas.71.5.1952 . PMC  388361 . PMID  16592156.
• Алан Л. Т. Патерсон (1999). «Группоиды, обратные полугруппы и их операторные алгебры», Springer, ISBN 0-8176-4051-7 
• Марк В. Лоусон (1998). "Обратные полугруппы: теория частичных симметрий". World Scientific ISBN 981-02-3316-7 
• Стефан Рамон Гарсия; Мэтью Окубо Паттерсон; Росс, Уильям Т. (2019). «Частично изометрические матрицы: краткий и выборочный обзор». arXiv : 1903.11648 [math.FA].

Внешние ссылки

• Важные свойства и доказательства
• Альтернативные доказательства