Четверть запятой означала один

Проблемы с воспроизведением этих файлов? Смотрите справку по медиа .

Четверть запятой означала один , или ⁠ 1 /4⁠ -comma meanone , была наиболее распространенной темперацией meanone в шестнадцатом и семнадцатом веках, и иногда использовалась позже. В этой системе чистая квинта сглажена на одну четверть синтонической коммы ( 81 : 80 ), относительно ее правильной интонации, используемой в пифагорейской настройке ( частотное отношение 3 : 2 ); результат $⁠$ $3 / 2 ⁠ \times [⁠ 80 / 81 ⁠] 1 / 4 = 4 \sqrt 5 \approx 1,49535$ ,или квинта 696,578 центов. (12-я степень этого значения равна 125, тогда как 7 октав равны 128, и поэтому не хватает 41,059 центов.) Затем эта квинта повторяется для создания диатонической гаммы и других нот темперации. Цель состоит в том, чтобы получить справедливо интонированныемажорные терции(с соотношением частот, равным 5 : 4 ).Это было описаноПьетро Арономв егоToscanello de la Musica1523 года, где он сказал, что мажорные терции должны быть настроены так, чтобы быть «звучными и справедливыми, как можно более едиными».^[1]Более поздние теоретикиДжозеффо СарлиноиФрансиско де Салинасописали настройку с математической точностью.

Строительство

В среднетоновой настройке у нас есть различные хроматические и диатонические полутоны ; хроматический полутон — это разница между C и C ♯ , а диатонический полутон — это разница между C и D ♭ . В пифагорейской настройке диатонический полутон часто называют пифагорейской лиммой , а хроматический полутон — пифагорейским апотомом , но в пифагорейской настройке апотом больше, тогда как в ⁠ 1 /4⁠ запятая означает, что лимма больше. Другими словами, в пифагорейском строе мы имеем, что C ♯ выше, чем D ♭ , тогда как в ⁠ 1 /4⁠ запятая означает, что у нас C ♯ ниже, чем D ♭ .

В любой мелодической или пифагорейской настройке, где целый тон состоит из одного полутона каждого вида, большая терция состоит из двух целых тонов и, следовательно, из двух полутонов каждого вида, чистая квинта мелодической содержит четыре диатонических и три хроматических полутона, а октава — семь диатонических и пять хроматических полутонов, следует, что:

Пять квинт вниз и три октавы вверх составляют диатонический полутон, так что пифагорейская лимма темперируется до диатонического полутона.
Две квинты вверх и октава вниз составляют целый тон, состоящий из одного диатонического и одного хроматического полутона.
Четыре квинты вверх и две октавы вниз составляют большую терцию, состоящую из двух диатонических и двух хроматических полутонов, или, другими словами, двух целых тонов.

Таким образом, в пифагорейской настройке, где последовательности только квинт ( частотное отношение 3:2) и октав используются для создания других интервалов, целый тон составляет

{\frac {~\left({\frac {3}{\ 2\ }}\right)^{2}}{2}}={\frac {\ \left({\frac {9}{\ 4\ }}\right)\ }{2}}={\frac {9}{\ 8\ }}\ ,

и третья важная часть —

{\frac {~\left({\frac {3}{\ 2\ }}\right)^{4}}{2^{2}}}={\frac {\ \left({\frac {81}{\ 16\ }}\right)\ }{4}}={\frac {81}{\ 64\ }}\approx {\frac {80}{\ 64\ }}={\frac {5}{\ 4\ }}\ ;

разница в синтонической запятой , ⁠ 81 / 80 ⁠ .

Интервал семнадцатой ноты, состоящий из шестнадцати диатонических и двенадцати хроматических полутонов, например, интервал от D ₄ до F ♯₆ , может быть эквивалентно получен с помощью либо

стопка из четырех квинт (например, D ₄ A ₄ E ₅ B ₅ F ♯₆ ), или
стек из двух октав и одной большой терции (например, D ₄ D ₅ D ₆ F ♯₆ ).

Этот большой интервал семнадцатой содержит 5 + (5 − 1) + (5 − 1) + (5 − 1) = 20 − 3 = 17 позиций нотного стана . В пифагорейской настройке размер семнадцатой определяется с помощью стека из четырех правильно настроенных квинт (соотношение частот 3 : 2):

\left({\frac {3}{\ 2\ }}\right)^{4}={\frac {81}{\ 16\ }}={\frac {80}{\ 16\ }}\cdot {\frac {81}{\ 80\ }}=5\cdot {\frac {81}{\ 80\ }}~.

В темперации «четверть-комма» (mindone), где требуется только большая терция (5:4) , немного более узкая септаккордовая тональность получается путем наложения двух октав и большой терции:

2^{2}\cdot {\frac {5}{\ 4\ }}=5~.

Однако по определению семнадцатая того же размера (5 : 1) должна быть получена, даже в четверть-комма-между-нотой, путем наложения четырех квинтов. Поскольку правильно настроенные квинты, такие как те, что используются в пифагорейской настройке, производят немного более широкую семнадцатую, в четверть-комма-между-нотой квинты должны быть слегка сглажены, чтобы соответствовать этому требованию. Пусть $x$ будет отношением частот сглаженной квинты, желательно, чтобы четыре квинты имели отношение 5 : 1,

x^{4}=5\ ,

что подразумевает, что пятая часть - это

x={\sqrt[{4}]{5\ }}=5^{1/4}\ ,

целый тон, построенный путем перемещения на две квинты вверх и на одну октаву вниз, — это

{\frac {~x^{2}}{2}}={\frac {\ {\sqrt {5\ }}\ }{2}}\ ,

а диатонический полутон, построенный путем перемещения на три октавы вверх и на пять квинт вниз, — это

{\frac {\;2^{3}\ }{\ x^{5}}}={\frac {8}{~5^{5/4}}}~.

Обратите внимание, что в четверти запятая означает один, семнадцатый — ⁠ 81 / 80 ⁠ раз уже, чем в пифагорейской настройке. Эта разница в размере, равная примерно 21,506 цента , называется синтонической коммой . Это подразумевает, что квинта на четверть синтонической коммы уже, чем правильно настроенная пифагорейская квинта. А именно, эта система настраивает квинты в соотношении

5^{1/4}\приблизительно 1,495349\приблизительно {\frac {643}{430}}\

что выражается в логарифмической шкале центов как

1200\log _{2}{5^{1/4}}{\text{ центов}}\approx 696.578{\text{ центов}}\ ,

что немного меньше (или ниже), чем соотношение правильно настроенной квинты:

{\frac {3}{2}}=1,5

что выражается в логарифмической шкале центов как

1200\log _{2}{\left({\frac {3}{2}}\right)}{\text{ cents}}\approx 701.955{\text{ cents}}~.

Разница между этими двумя размерами составляет четверть синтонической запятой:

\approx 701.955-696.578\approx 5.377\approx {\frac {21.506}{4}}{\text{ cents}}~.

В целом, эта система настраивает большие терции в точном соотношении 5:4 (так, например, если A ₄ настроена на 440 Гц , C ♯₅ настроена на 550 Гц), большинство целых тонов (а именно большие секунды ) в соотношении √ 5 :2 и большинство полутонов (а именно диатонические полутоны или малые секунды ) в соотношении (8:5) ^{5 ⁄ 4} . Это достигается путем настройки семнадцатой на синтоническую комму ниже, чем пифагорейская семнадцатая, что подразумевает настройку квинты на четверть синтонической коммы ниже, чем точное соотношение 3:2. Именно это дает системе ее название « четверть-комма означает одну» .

12-тоновая гамма

Вся хроматическая гамма (подмножество которой — диатоническая гамма) может быть построена, начиная с заданной базовой ноты и увеличивая или уменьшая ее частоту на одну или несколько квинт. Этот метод идентичен пифагорейской настройке, за исключением размера квинты, которая темперируется, как описано выше. Однако темперации meanone (за исключением 12 TET ) не могут поместиться на клавиатуре из 12 нот; и, как и meanone quarter-comma, большинство из них требуют бесконечного количества нот (хотя есть очень близкое приближение к quarter-comma, которое может поместиться на клавиатуре с 31 клавишей). При настройке на клавиатуру из 12 нот многие ноты должны быть пропущены, и если настройка не «темперирована» для заполнения недостающих нот, клавишники, которые заменяют имеющуюся ноту ближайшей высоты (которая всегда имеет неправильную высоту) на фактическую соответствующую ноту quarter-comma (которая звучала бы консонансно, если бы была доступна), создают диссонансные ноты вместо согласной ноты quarter-comma.

Таблица построения ниже иллюстрирует, как получаются высоты нот относительно D ( базовой ноты ) в гамме на основе D (более подробное объяснение см . в Пифагорейской настройке ). Для каждой ноты в основной октаве таблица дает условное название интервала от D (базовой ноты), формулу для вычисления ее частотного соотношения и приблизительные значения для ее частотного соотношения и размера в центах.

В формулах x = ⁴ √ 5 = 5 ¹^⁄⁴ — размер темперированной чистой квинты, а соотношения x : 1 или 1 : x представляют восходящую или нисходящую темперированную чистую квинту (т. е. увеличение или уменьшение частоты на x ), тогда как 2 : 1 или 1 : 2 представляют восходящую или нисходящую октаву.

Как и в пифагорейской настройке, этот метод генерирует 13 тонов, с A ♭ и G ♯, отстоящими друг от друга почти на четверть тона. Для построения 12-тоновой шкалы A ♭ обычно отбрасывается.

Таблицы конструкций на основе С

В таблице выше показан стек квинт на основе D (т.е. стек, в котором все соотношения выражены относительно D, а D имеет соотношение 1/1). Поскольку он центрирован на D, базовой ноте, этот стек можно назвать симметричным на основе D :

А ♭ –Э ♭ –Б ♭ –Ф–Ц–Г– Д –А–Э–Б–Ф ♯ –Ц ♯ –Г ♯

Если принять чистую квинту за ⁴ √ 5 , то концы этой шкалы отстоят друг от друга на 125 по частотному соотношению, что приводит к зазору в ⁠125/128⁠ (около двух пятых полутона) между его концами, если они нормализованы к одной октаве. Если последний шаг (здесь G ♯ ) заменить копией A ♭ , но в той же октаве, что и G ♯ , это увеличит интервал C ♯ –G ♯ до диссонанса, называемого волчьей квинтой .

За исключением размера квинты, это идентично стеку, традиционно используемому в пифагорейской настройке . Некоторые авторы предпочитают показывать стек квинт на основе C, от A ♭ до G ♯ . Поскольку C не находится в его центре, этот стек называется асимметричным на основе C :

А ♭ –Э ♭ –С ♭ –Ф– С –Г–Д–А–Э–Б–Ф ♯ –С ♯ –Г ♯

Поскольку границы этого стека (A ♭ и G ♯ ) идентичны границам симметричного стека на основе D, названия нот 12-тоновой шкалы, создаваемой этим стеком, также идентичны. Единственное отличие заключается в том, что таблица построения показывает интервалы от C, а не от D. Обратите внимание, что из 12-тоновой шкалы можно образовать 144 интервала (см. таблицу ниже), которые включают интервалы от C, D и любой другой ноты. Однако таблица построения показывает только 12 из них, в данном случае те, которые начинаются с C. Это одновременно и главное преимущество, и главный недостаток асимметричного стека на основе C, поскольку интервалы от C обычно используются, но поскольку C не находится в центре этого стека, они, к сожалению, включают увеличенную квинту (т. е. интервал от C до G ♯ ), вместо малой сексты (от C до A ♭ ). Эта увеличенная квинта представляет собой крайне диссонирующий интервал вольфа , поскольку он отклоняется на 41,1 цента ( диезис с отношением 128 : 125, почти вдвое больше синтонической коммы ) от соответствующего чистого интервала 8 : 5 или 813,7 цента.

Напротив, интервалы от D, показанные в таблице выше, поскольку D находится в центре стека, не включают интервалы вольфа и включают чистую минорную сексту (от D до B ♭ ), вместо нечистой увеличенной квинты. Обратите внимание, что в вышеупомянутом наборе из 144 интервалов чистые минорные сексты наблюдаются чаще, чем нечистые увеличенные квинты (см. таблицу ниже), и это одна из причин, по которой нежелательно показывать нечистую увеличенную квинту в таблице построения. Симметричный стек на основе C также может быть использован, чтобы избежать вышеупомянутого недостатка:

Соль ♭ –Д ♭ –А ♭ –Э ♭ –С ♭ –Ф– С –Г–Д–А–Э–С–Ф ♯

В этом стеке G ♭ и F ♯ имеют схожую частоту, и G ♭ обычно отбрасывается. Кроме того, нота между C и D называется D ♭, а не C ♯ , а нота между G и A называется A ♭, а не G ♯ . Симметричный стек на основе C используется редко, возможно, потому, что он производит волчью квинту в необычной позиции F ♯ –D ♭ вместо G ♯ –E ♭ , где музыканты, использующие пифагорейскую настройку, ожидали этого).

Справедливо интонированная четверть запятой означала один

Чистая интонационная версия четвертной запятой означает темперацию один, которая может быть построена таким же образом, как рациональная версия 12 -TET Иоганна Кирнбергера . Значение 5 ¹^⁄⁸ · 35 ¹^⁄³ очень близко к 4, поэтому интервал 7-предела 6144 : 6125 (который является разницей между диезисом 5-предела 128 : 125 и семеричным диезисом 49 : 48), равный 5,362 цента, кажется очень близким к четвертной запятой ( ⁠81/80⁠ ) ¹^⁄⁴ от 5,377 центов. Таким образом, чистая квинта имеет соотношение 6125 : 4096, что является разницей между тремя просто большими терциями и двумя септимальными большими секундами ; четыре таких квинты превышают соотношение 5 : 1 на крошечный интервал в 0,058 центов. Волчья квинта там, по-видимому, составляет 49 : 32, разницу между септимальной малой септимой и септимальной большой секундой .

Большие и меньшие полутона

Как обсуждалось выше, в четверти запятая означала один темперамент,

соотношение полутона равно S = 8 : 5 ⁵^⁄⁴ ,
соотношение тона равно T = √ 5 : 2.

Тоны в диатонической гамме можно разделить на пары полутонов. Однако, поскольку S ² не равно T , каждый тон должен состоять из пары неравных полутонов, S , и X :

S\cdot X=T.

Следовательно,

X={\frac {T}{S}}={\frac {\sqrt {5}}{2}}{\Bigg /}{\frac {8}{5^{5/4}}}={\frac {5^{1/2}\cdot 5^{5/4}}{8\cdot 2}}={\frac {5^{7/4}}{16}}.

Обратите внимание, что S составляет 117,1 цента, а X составляет 76,0 цента. Таким образом, S — это больший полутон, а X — меньший. S обычно называют диатоническим полутоном (или малой секундой ), а X — хроматическим полутоном (или увеличенным унисоном ).

Размеры S и X можно сравнить с только что интонированным соотношением 18 : 17, которое составляет 99,0 центов. S отклоняется от него на +18,2 цента, а X на -22,9 цента. Эти два отклонения сопоставимы с синтонической коммой (21,5 цента), которую эта система призвана отстроить от пифагорейской большой терции. Однако, поскольку даже только что интонированное соотношение 18 : 17 звучит заметно диссонансно, эти отклонения считаются приемлемыми в полутоне.

В четверти запятой значащей тон малая секунда считается приемлемой, в то время как увеличенный унисон звучит диссонансно и его следует избегать.

Размер интервалов

В таблице выше показаны только интервалы от D. Однако интервалы могут быть образованы, начиная с каждой из перечисленных выше 12 нот. Таким образом, для каждого типа интервала можно определить двенадцать интервалов (двенадцать унисон, двенадцать полутонов , двенадцать интервалов, состоящих из 2 полутонов, двенадцать интервалов, состоящих из 3 полутонов и т. д.).

Как объяснялось выше, одна из двенадцати номинальных «квинт» ( волчья квинта ) имеет другой размер по отношению к остальным одиннадцати. По той же причине каждый из других типов интервалов (за исключением унисон и октав) имеет два разных размера в четверть-комма означает один при усечении, чтобы вписаться в октаву, которая допускает только 12 нот (тогда как фактическая четверть-комма означает один требует приблизительно 31 ноту на октаву ). Это цена, заплаченная за попытку вместить многонотную темперацию на клавиатуру без достаточного количества отдельных высот на октаву: следствием являются «поддельные» ноты, например, одна из так называемых «квинт» не является квинтой, а на самом деле уменьшенной секстой с четвертью-коммой , высота тона которой является плохой заменой необходимой квинты.

Таблица показывает приблизительный размер нот в центах: подлинные ноты находятся на светло-сером фоне, расстроенные замены — на красном или оранжевом фоне; название подлинных интервалов находится вверху или внизу столбца с простым серым фоном; названия интервалов плохих замен находятся на противоположном конце, напечатанные на цветном фоне. Названия интервалов даны в их стандартной сокращенной форме. ^[a] Например, размер интервала от D до A, который является чистой квинтой (P5), можно найти в седьмом столбце строки, обозначенной D. строго правильные (или чистые ) интервалы показаны жирным шрифтом. Интервалы Вольфа выделены красным. ^[b]

Приблизительный размер в центах 144 интервалов в настройке meantone на основе четверти-запятой. Названия интервалов даны в их стандартной краткой форме. ^[a] Чисто простые интервалы (которые являются только унисонами, октавами и некоторыми большими терциями и малыми секстами) показаны жирным шрифтом. Интервалы Wolf выделены красным. ^[b] Интервалы красного и золотого цветов являются расстроенными заменами для отсутствующих правильных нот meantone, опущенных из-за ограничения клавиатуры в 12 нот на октаву.

Удивительно, но хотя эта система настройки была разработана для создания чисто консонансных больших терций, только восемь интервалов, которые являются терциями в 12 TET, полностью соответствуют (5:4 или около 386,3 центов) укороченной четвертной запятой, показанной в таблице: фактические ноты четвертной запятой, необходимые для начала или окончания интервала терции, отсутствуют среди 12 доступных высот, а замена близлежащих доступных, но неправильных нот приводит к диссонансным терциям.

Причина, по которой размеры интервалов различаются по всей шкале, заключается в использовании заменяющих нот, высота тона которых правильно настроена для другого использования в шкале, вместо настоящих четвертных запятых для желаемого интервала, что создает расстроенные интервалы. Фактические ноты в полностью реализованной четвертной запятой (требующей около 31 клавиши на октаву вместо всего лишь 12) были бы консонансными, как и все неокрашенные интервалы: Диссонанс является следствием замены правильных четвертных запятых на неправильные ноты, которые случайно назначены на ту же клавишу на 12-тоновой клавиатуре. Как упоминалось выше, частоты, определенные конструкцией для двенадцати нот, определяют два разных вида полутонов (т. е. интервалов между соседними нотами):

Малая секунда (m2), также называемая диатоническим полутоном, с размером

S\ ({\mathsf {\ or\ }}S_{1})={\frac {\ 8\ }{~5^{5/4}}}\approx \

117,1 цента.

(например, между D и E ♭ )

Увеличенный унисон (A1), также называемый хроматическим полутоном , с размером

X\ ({\mathsf {\ or\ }}S_{2})={\frac {~5^{7/4}}{\ 16\ }}\approx \

76,0 центов.

(например, между C и C ♯ )

Наоборот, в равномерно темперированной хроматической гамме по определению двенадцать нот расположены на одинаковом расстоянии друг от друга, все полутона имеют размер ровно

S_{\mathsf {ET}}={\sqrt[{12}]{2\ }}=100{\mathsf {\ cents.}}

В результате все интервалы любого данного типа имеют одинаковый размер (например, все большие терции имеют одинаковый размер, все квинты имеют одинаковый размер и т. д.). Платой в этом случае является то, что ни один из них не настроен правильно и не является идеально консонансным, за исключением, конечно, унисона и октавы.

Для сравнения с другими системами настройки см. также эту таблицу .

По определению, в четверть-комма означает одну так называемую "чистую" квинту (P5 в таблице) размером приблизительно 696,6 центов ( $700 - ε$ центов, где $ε \approx$ 3,422 центов); поскольку средний размер 12 квинт должен быть равен точно 700 центам (как в равномерной темперации), другая должна иметь размер $700 + 11 ε$ центов, что составляет около 737,6 центов (одна из квинт вольфа ). Обратите внимание, что, как показано в таблице, последний интервал, хотя и используется в качестве замены квинты, фактический интервал на самом деле является уменьшенной секстой ( d6 ), которая, конечно, не в ладу с близлежащей, но другой квинтой, которую она заменяет. Аналогично,

10 больших секунд ( M2 ) составляют ≈ 193,2 цента ( $200 - 2 ε$ ), 2 уменьшенные терции ( d3 ) составляют ≈ 234,2 цента ( $200 + 10 ε$ ), а их среднее значение составляет 200 центов;
9 малых терций ( m3 ) составляют ≈ 310,3 цента ( $300 + 3 ε$ ), 3 увеличенные секунды ( A2 ) составляют ≈ 269,2 цента ( $300 - 9 ε$ ), а их среднее значение составляет 300 центов;
8 больших терций ( M3 ) составляют ≈ 386,3 цента ( $400 - 4 ε$ ), 4 уменьшенные кварты ( d4 ) составляют ≈ 427,4 цента ( $400 + 8 ε$ ), а их среднее значение составляет 400 центов;
7 диатонических полутонов ( m2 ) составляют ≈ 117,1 цента ( $100 + 5 ε$ ), 5 хроматических полутонов ( A1 ) составляют ≈ 76,0 цента ( $100 - 7 ε$ ), а их среднее значение составляет 100 центов.

Короче говоря, аналогичные различия в ширине наблюдаются для всех типов интервалов, за исключением унисон и октав, а избытки и дефициты ширины все кратны $ε$ , разнице между четвертной запятой, означающей одну квинту, и средней квинтой, необходимой для того, чтобы замкнуть спираль квинт в круг.

Обратите внимание, что, как очевидное следствие, каждый увеличенный или уменьшенный интервал ровно на $12$ $ε$ центов (≈ 41,1 цента) шире или уже своего энгармонического эквивалента. Например, уменьшенная секста (или волчья квинта) на $12$ $ε$ центов шире каждой чистой квинты, а каждая увеличенная секунда на $12$ $ε$ центов уже каждой малой терции. Этот интервал размером $12$ $ε$ центов известен как диезис , или уменьшенная секунда . Это подразумевает, что $ε$ можно также определить как одну двенадцатую диезиса.

Трезвучия в хроматической гамме

Мажорное трезвучие можно определить парой интервалов от основного тона: большой терцией (интервал, охватывающий 4 полутона) и чистой квинтой (7 полутонов). Минорное трезвучие можно также определить малой терцией (3 полутона) и чистой квинтой (7 полутонов).

Как показано выше, хроматическая гамма имеет двенадцать интервалов, охватывающих семь полутонов. Одиннадцать из них являются чистыми квинтами, в то время как двенадцатый является уменьшенной секстой. Поскольку они охватывают одинаковое количество полутонов, чистые квинты и уменьшенные сексты считаются энгармонически эквивалентными . В одинаково настроенной хроматической гамме чистые квинты и уменьшенные сексты имеют абсолютно одинаковый размер. То же самое верно для всех энгармонически эквивалентных интервалов, охватывающих 4 полутона (большие терции и уменьшенные кварты) или 3 полутона (малые терции и увеличенные секунды). Однако в темперации мидтон это неверно. В этой системе настройки энгармонически эквивалентные интервалы могут иметь разные размеры, и некоторые интервалы могут заметно отклоняться от своих правильно настроенных идеальных соотношений. Как объяснялось в предыдущем разделе, если отклонение слишком велико, то данный интервал не может использоваться ни сам по себе, ни в аккорде.

Следующая таблица фокусируется только на вышеупомянутых трех типах интервалов, используемых для формирования мажорных и минорных трезвучий. Каждая строка показывает три интервала разных типов, но имеющих одинаковую основную ноту. Каждый интервал определяется парой нот. Справа от каждого интервала указана формула для соотношения интервалов . Интервалы уменьшенная кварта, уменьшенная секста и увеличенная секунда могут рассматриваться как интервалы Вольфа и отмечены красным цветом . S и X обозначают соотношение двух вышеупомянутых видов полутонов (малая секунда и увеличенный унисон).

Сначала посмотрите на последние два столбца справа. Все интервалы в 7 полутонов, кроме одного, имеют соотношение

S^{4}\cdot X^{3}\approx 1.4953\approx 696.6{\text{ cents}}

что отклоняется на −5,4 цента от 3:2 702,0 цента. Пять центов — это мало и приемлемо. С другой стороны, уменьшенная секста от G ♯ до E ♭ имеет отношение

S^{5}\cdot X^{2}\approx 1.5312\approx 737.6{\text{ cents}}

что отклоняется на +35,7 центов от просто идеальной квинты. Тридцать пять центов — это за пределами приемлемого диапазона.

Теперь посмотрите на две колонки в середине. Восемь из двенадцати интервалов по 4 полутона имеют соотношение

S^{2}\cdot X^{2}=1.25\approx 386.3{\text{ cents}}

что в точности равно 5:4. С другой стороны, четыре уменьшенные кварты с корнями в C ♯ , F ♯ , G ♯ и B имеют соотношение

S^{3}\cdot X=1.28\approx 427.4{\text{ cents}}

что отклоняется на +41,1 цента от просто большой терции. Опять же, это звучит ужасно фальшиво.

Мажорные трезвучия формируются из больших терций и чистых квинт. Если любой из двух интервалов заменяется на интервал Вольфа (d6 вместо P5 или d4 вместо M3), то трезвучие не принимается. Поэтому мажорные трезвучия с основными нотами C ♯ , F ♯ , G ♯ и B не используются в гаммах мезонина, где основной нотой является C.

Теперь посмотрите на первые два столбца слева. Девять из двенадцати интервалов в 3 полутона имеют соотношение

S^{2}\cdot X\approx 1.1963\approx 310.3{\text{ cents}}

что отклоняется на −5,4 цента от 6 : 5 315,6 центов. Пять центов приемлемы. С другой стороны, три увеличенные секунды, корни которых E ♭ , F и B ♭ имеют отношение

S\cdot X^{2}\approx 1.1682\approx 269.2{\text{ cents}}

что отклоняется на −46,4 цента от просто малой терции. Однако это близкое совпадение для 7 : 6 малой септимальной терции 266,9 центов, отклоняясь на +2,3 цента. Эти увеличенные секунды, хотя и достаточно созвучны сами по себе, будут звучать «экзотично» или нетипично, если их играть вместе с чистой квинтой.

Минорные трезвучия формируются из малых терций и квинт. Если любой из двух интервалов заменить энгармонически эквивалентным интервалом (d6 вместо P5 или A2 вместо m3), то трезвучие будет звучать нехорошо. Поэтому минорные трезвучия с основными нотами E ♭ , F, G ♯ и B ♭ не используются в гамме средних тонов, определенной выше.

Используются следующие мажорные трезвучия: C, D, E ♭ , E, F, G, A, B ♭ .
Можно использовать следующие минорные трезвучия: C, C ♯ , D, E, F ♯ , G, A, B.
Следующие основные ноты полезны как для мажорных, так и для минорных трезвучий: C, D, E, G и A. Обратите внимание, что эти пять нот образуют мажорную пентатонику .
Следующие основные ноты полезны только для мажорных трезвучий: E ♭ , F, B ♭ .
Следующие основные ноты полезны только для минорных трезвучий: C ♯ , F ♯ , B.
Следующая основная нота не подходит ни для мажорного, ни для минорного трезвучия: G ♯ .

Альтернативное строительство

Как обсуждалось выше, в четверть-комме подразумевалась темперация, усеченная всего до 12 нот,

соотношение большего (диатонического) полутона равно S = 8 : 5 ⁵^⁄⁴ ,
соотношение меньшего (хроматического) полутона равно X = 5 ⁷^⁄⁴ : 16,
соотношение большинства целых тонов равно T = √ 5 : 2,
соотношение большинства квинт равно P = ⁴ √ 5 .

Путем расчета можно убедиться, что большинство целых тонов (а именно, большие секунды) состоят из одного большего и одного меньшего полутона:

T=S\cdot X={\frac {8}{5^{5/4}}}\cdot {\frac {5^{7/4}}{16}}={\frac {\sqrt {5}}{2}}.

Аналогично, квинта обычно состоит из трех тонов и одного большего полутона:

P=T^{3}\cdot S={\frac {5^{3/2}}{2^{3}}}\cdot {\frac {8}{5^{5/4}}}={\sqrt[{4}]{5}},

что эквивалентно четырем большим и трем меньшим полутонам:

P=T^{3}\cdot S=S^{4}\cdot X^{3}.

Диатоническая гамма

Диатоническую гамму можно построить, начиная с основной ноты и умножая ее либо на средний тон $T$ , чтобы подняться на одну большую ступень, либо на полутон $S,$ чтобы подняться на маленькую ступень.

CDEFGABC′ D′‖----|----|----|----‖----|----|----‖----|  $Т$   $Т$   $С$   $Т$   $Т$   $Т$   $С$   $Т$

Результирующие размеры интервалов относительно базовой ноты C показаны в следующей таблице. Чтобы подчеркнуть повторяющийся рисунок, в формулах используется символ $P \equiv T 3 S$ для представления чистой квинты ( пент ):

Сыграйте тонический мажорный аккорд ^ⓘ Сыграйте большую терцию ^ⓘ Сыграйте чистую квинту ^ⓘ

Хроматическая гамма

Построение хроматической гаммы размером в четверть ноты может осуществляться путем наложения последовательности из 12 полутонов, каждый из которых может быть либо более длинным диатоническим ( $S$ ) , либо более коротким хроматическим ( $Χ$ ).

CC ♯ DE ♭ EFF ♯   GG ♯ AB ♭ B C′ C′ ♯‖----|----|----|----|----|----|----‖----|----|---- |----|----‖----|  $х$   $S$   $S$   $х$  $S$   $х$  $S$  $х$  $S$  $S$  $х$  $S$   $х$

Обратите внимание, что эта гамма является расширением диатонической гаммы, показанной в предыдущей таблице. Было добавлено всего пять нот: C ♯ , E ♭ , F ♯ , G ♯ и B ♭ ( пентатоническая гамма ).

Как объяснялось выше, изначально идентичный звукоряд был определен и создан с использованием последовательности темперированных квинт, от E ♭ (пять квинт ниже D) до G ♯ (шесть квинт выше D), а не последовательности полутонов. Этот более традиционный подход, похожий на пифагорейскую систему настройки на основе D , объясняет причину, по которой полутоны $Χ$ и $S$ расположены в определенной и, по-видимому, произвольной последовательности, показанной выше.

Размеры интервалов относительно базовой ноты C представлены в следующей таблице. Частотные соотношения вычисляются, как показано в формулах. Дельта — это разница в центах между средним тоном и 12 TET ; столбец под названием " ⁠1/ 4 ⁠ -c" — это разница в четвертных запятых между средним тоном и пифагорейским строем. Обратите внимание, что $Χ$ $\equiv$ $⁠$ $Т / С ⁠$ , так что $Χ S$ $=$ $T$ ;большинство $Χ$ , представленных в таблице выше, исчезают в таблице ниже, поскольку они объединяются с предыдущим $S$ и становятся $T$ .

Сравнение с 31-тоновой равномерной темперацией

Чистая квинта четверти-запятой означает тон, выраженная как доля октавы, равна ⁠1/4⁠ log ₂ 5. Поскольку log ₂ 5 является иррациональным числом , цепочка средних квинт никогда не замыкается (т. е. никогда не равна цепочке октав). Однако приближения непрерывных дробей к этому иррациональному дробному числу позволяют нам найти равные деления октавы, которые действительно замыкаются; знаменатели этих дробей равны 1, 2, 5, 7, 12, 19, 31, 174, 205, 789, ... Из этого мы находим, что 31 четверть-запятая средняя квинт приближается к закрытию, и наоборот, 31 равномерная темперация представляет собой хорошее приближение к четверть-запятая средняя квинт.

Сноски

^ ab A для увеличенной (увеличенной); d для уменьшенной (уменьшенной совершенной или уменьшенной минорной); M для мажорной ; m для минорной ; P для совершенной (хотя P4 и P5 на самом деле не являются «чистыми» квартами или квинтами в средней тональности).
^ ab Интервалы «Вольфа» на практике определяются здесь как любой предположительно консонантный интервал (которые все состоят из 3, 4, 5, 7, 8 или 9 диатонических или хроматических полутонов), размер которого отличается от просто интонации на синтоническую запятую или больше. Это: большие и малые терции или сексты, чистые кварты или квинты и все их энгармонические эквиваленты . С другой стороны, предполагаемые диссонантные интервалы (состоящие из 1, 2, 6, 10 или 11 полутонов) — это большие и малые секунды или септимы, тритоны и их энгармонические эквиваленты . Поскольку они уже должны быть диссонантными , независимо от того, правильно ли они настроены или нет, они не помечаются как интервалы «Вольфа», даже если они отклоняются от просто интонации более чем на одну синтоническую запятую .

Ссылки

^ Линдли, Марк (1974). «Температура клавишных инструментов начала XVI века». Musica Disciplina . 28 : 129–151. JSTOR 20532169.

Внешние ссылки

«Четверть запятой означает один», на Xenharmonic Wiki .