Лагранжева и эйлерова спецификация поля течения

Файл:Лагранжев против Эйлера ^{[ требуется дополнительное объяснение ]}

В классических теориях поля лагранжева спецификация поля потока — это способ рассмотрения движения жидкости, где наблюдатель следует за отдельным жидким пакетом , движущимся в пространстве и времени. ^[1]^[2] Построение графика положения отдельного пакета во времени дает линию пути пакета. Это можно визуализировать, сидя в лодке и дрейфуя по реке.

Спецификация Эйлера для поля потока — это способ рассмотрения движения жидкости, который фокусируется на определенных местах в пространстве, через которые жидкость течет с течением времени. ^[1]^[2] Это можно наглядно представить, сидя на берегу реки и наблюдая, как вода проходит через фиксированное место.

Лагранжевы и эйлеровы спецификации поля потока иногда свободно обозначаются как лагранжева и эйлерова системы отсчета . Однако, в общем случае, как лагранжева, так и эйлерова спецификации поля потока могут быть применены в любой системе отсчета наблюдателя и в любой системе координат, используемой в выбранной системе отсчета. Лагранжевы и эйлеровы спецификации названы в честь Жозефа-Луи Лагранжа и Леонарда Эйлера соответственно.

Эти спецификации отражены в вычислительной гидродинамике , где «эйлеровы» симуляции используют фиксированную сетку , в то время как «лагранжевы» симуляции (например, симуляции без сетки ) характеризуются узлами симуляции, которые могут перемещаться в соответствии с полем скорости .

История

Леонард Эйлер ввел обе спецификации в двух работах, написанных в 1755 ^[3] и 1759 годах. ^[4]^[5] Жозеф-Луи Лагранж изучал уравнения движения в связи с принципом наименьшего действия в 1760 году, позднее в трактате по механике жидкости в 1781 году, ^[6] и, в-третьих, в своей книге «Аналитическая механика» . ^[5] В этой книге Лагранж начинает с лагранжевой спецификации, но позже преобразует их в эйлерову спецификацию. ^[5]

Описание

В эйлеровой спецификации поля поле представляется как функция положения x и времени t . Например, скорость потока представляется функцией $\mathbf {u} \left(\mathbf {x} ,t\right).$

С другой стороны, в лагранжевой спецификации отдельные пакеты жидкости отслеживаются во времени. Пакеты жидкости помечаются некоторым (независимым от времени) векторным полем x ₀ . (Часто x ₀ выбирается в качестве положения центра масс пакетов в некоторый начальный момент времени t ₀ . Он выбирается таким образом, чтобы учесть возможные изменения формы с течением времени. Следовательно, центр масс является хорошей параметризацией скорости потока u пакета.) ^[1] В лагранжевом описании поток описывается функцией, задающей положение частицы, помеченной x _{0 ,} в момент времени t . $\mathbf {X} \left(\mathbf {x} _{0},t\right),$

Две спецификации связаны следующим образом: ^[2] поскольку обе стороны описывают скорость частицы, обозначенной x ₀ в момент времени t . $\mathbf {u} \left(\mathbf {X} (\mathbf {x} _{0},t),t\right)={\frac {\partial \mathbf {X} }{\partial t}}\left(\mathbf {x} _{0},t\right),$

В выбранной системе координат x ₀ и x называются лагранжевыми координатами и эйлеровыми координатами потока соответственно.

Материальный производный

Лагранжевы и эйлеровы спецификации кинематики и динамики поля потока связаны материальной производной (также называемой производной Лагранжа, конвективной производной, субстанциальной производной или производной частиц) ^{[1] .}

Предположим, что у нас есть поле потока u , и нам также дано общее поле с эйлеровой спецификацией F ( x , t ). Теперь можно спросить об общей скорости изменения F, испытываемой конкретным пакетом потока. Это можно вычислить как где ∇ обозначает оператор набла относительно x , а оператор u ⋅∇ должен применяться к каждому компоненту F . Это говорит нам о том, что общая скорость изменения функции F при движении пакетов жидкости через поле потока, описываемое его эйлеровой спецификацией u , равна сумме локальной скорости изменения и конвективной скорости изменения F . Это является следствием цепного правила , поскольку мы дифференцируем функцию F ( X ( x ₀ , t ), t ) относительно t . ${\frac {\mathrm {D} \mathbf {F} {\mathrm {D} t}}= {\frac {\partial \mathbf {F} {\partial t}}+\left( \mathbf {u} \cdot \nabla \right)\mathbf {F} ,$

Законы сохранения для единичной массы имеют форму Лагранжа, которая вместе с законом сохранения массы порождает закон сохранения Эйлера; напротив, когда жидкие частицы могут обмениваться величиной (например, энергией или импульсом), существуют только законы сохранения Эйлера. ^[7]

Смотрите также

Примечания

^ abcd Batchelor, GK (1973). Введение в гидродинамику. Кембридж, Великобритания: Cambridge University Press. С. 71–73. ISBN 978-0-521-09817-5. OCLC 847527173.
^ abc Lamb, H. (1994) [1932]. Гидродинамика (6-е изд.). Cambridge University Press. §3–§7 и §13–§16. ISBN 978-0-521-45868-9.
^ Эйлер, Леонард (1757-01-01). «Основные принципы движения жидкостей». Мемуары Берлинской академии наук : 274–315.
^ Эйлер, Леонард (1761-01-01). «Принципы движения жидкости». Новые комментарии Academiae Scientiarum Petropolitanae : 271–311.
^ abc Лэмб, сэр Хорас (1945-01-01). Гидродинамика. Courier Corporation. ISBN 978-0-486-60256-1.
^ «Жозеф Луи де Лагранж: Воспоминания о теории движения жидкостей» . сайты.mathdoc.fr . Проверено 17 октября 2024 г.
^ Фалькович, Грегори (2011). Механика жидкости (Краткий курс для физиков) . Cambridge University Press. ISBN 978-1-107-00575-4.

Ссылки

Бадин, Г.; Крисциани, Ф. (2018). Вариационная формулировка динамики жидкости и геофизической жидкости - механика, симметрии и законы сохранения . Springer. стр. 218. Bibcode : 2018vffg.book.....B. doi : 10.1007/978-3-319-59695-2. ISBN 978-3-319-59694-5. S2CID 125902566.
Ландау, Лев ; Лифшиц, Е.М. (1987). Механика жидкости . Курс теоретической физики, том 6 (2-е изд.). Баттерворт-Хайнеманн. ISBN 978-0750627672.

Внешние ссылки

[1] Объективность в классической механике сплошных сред: движения, функции Эйлера и Лагранжа; градиент деформации; производные Ли; формула сложения скоростей, Кориолис; Объективность.