Эрмитов вейвлет

Семейство непрерывных вейвлетов

Эрмитовы вейвлеты — это семейство дискретных и непрерывных вейвлетов, используемых в постоянных и дискретных вейвлет-преобразованиях Эрмита. Эрмитов вейвлет определяется как нормализованная производная гауссовского распределения для каждого положительного : ^[1] где обозначает полином Эрмита вероятностника . Каждый коэффициент нормализации задается как Функция называется допустимым вейвлетом Эрмита, если она удовлетворяет условию допустимости: ^[2] ${\displaystyle n^{\textrm {th}}}$ ${\displaystyle n^{\textrm {th}}}$ ${\displaystyle n}$ $${\displaystyle \Psi _{n}(x)=(2n)^{-{\frac {n}{2}}}c_{n}\operatorname {He} _{n}\left(x\right)e^{-{\frac {1}{2}}x^{2}},}$$ ${\displaystyle \operatorname {He} _{n}(x)}$ ${\displaystyle n^{\textrm {th}}}$ ${\displaystyle c_{n}}$ $${\displaystyle c_{n}=\left(n^{{\frac {1}{2}}-n}\Gamma \left(n+{\frac {1}{2}}\right)\right)^{-{\frac {1}{2}}}=\left(n^{{\frac {1}{2}}-n}{\sqrt {\pi }}2^{-n}(2n-1)!!\right)^{-{\frac {1}{2}}}\quad n\in \mathbb {N} .}$$ ${\displaystyle \Psi \in L_{\rho ,\mu }(-\infty ,\infty )}$

$${\displaystyle C_{\Psi }=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {\|{\hat {\Psi }}(n)\|^{2}}{\|n\|}}<\infty }$$

где — члены преобразования Эрмита . ${\displaystyle {\hat {\Psi }}(n)}$ ${\displaystyle \Psi }$

В компьютерном зрении и обработке изображений операторы производных Гаусса разных порядков часто используются в качестве основы для выражения различных типов визуальных операций; см. масштабное пространство и N-струя . ^[3]

Примеры

Первые три производные функции Гаусса при : равны: и их нормы . ${\displaystyle \mu =0,\;\sigma =1}$ $${\displaystyle f(t)=\pi ^{-1/4}e^{(-t^{2}/2)},}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}f'(t)&=-\pi ^{-1/4}te^{(-t^{2}/2)},\\f''(t)&=\pi ^{-1/4}(t^{2}-1)e^{(-t^{2}/2)},\\f^{(3)}(t)&=\pi ^{-1/4}(3t-t^{3})e^{(-t^{2}/2)},\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle L^{2}}$ ${\displaystyle \lVert f'\rVert ={\sqrt {2}}/2,\lVert f''\rVert ={\sqrt {3}}/2,\lVert f^{(3)}\rVert ={\sqrt {30}}/4}$

Нормализация производных дает три эрмитовых вейвлета: $${\displaystyle {\begin{aligned}\Psi _{1}(t)&={\sqrt {2}}\pi ^{-1/4}te^{(-t^{2}/2)},\\\Psi _{2}(t)&={\frac {2}{3}}{\sqrt {3}}\pi ^{-1/4}(1-t^{2})e^{(-t^{2}/2)},\\\Psi _{3}(t)&={\frac {2}{15}}{\sqrt {30}}\pi ^{-1/4}(t^{3}-3t)e^{(-t^{2}/2)}.\end{aligned}}}$$

Смотрите также

• Вейвлет
• Вейвлет Рикера — это эрмитов вейвлет. ${\displaystyle n=2}$

Ссылки

1. Брэкс, Ф.; Де Шеппер, Х.; Де Шеппер, Н.; Соммен, Ф. (1 февраля 2008 г.). «Эрмитовы вейвлеты Клиффорда-Эрмита: альтернативный подход». Бюллетень Бельгийского математического общества, Саймон Стевин . 15 (1). дои : 10.36045/bbms/1203692449 . ISSN  1370-1444.
2. "Непрерывные и дискретные вейвлет-преобразования, связанные с преобразованием Эрмита". Международный журнал анализа и приложений . 2020. doi : 10.28924/2291-8639-18-2020-531 .
3. Wah, Benjamin W., ред. (2007-03-15). Wiley Encyclopedia of Computer Science and Engineering (1-е изд.). Wiley. doi :10.1002/9780470050118.ecse609. ISBN 978-0-471-38393-2.

Внешние ссылки

• Эрмитовы вейвлеты Клиффорда–Эрмита (Кафедра математического анализа, Инженерный факультет, Гентский университет)