Эрретт Бишоп

Американский математик (1928–1983)

Эрретт Альберт Бишоп (14 июля 1928 г. – 14 апреля 1983 г.) ^[1] был американским математиком, известным своими работами по анализу. Он наиболее известен разработкой конструктивного анализа в своей работе 1967 года «Основы конструктивного анализа» , где он доказал большинство важных теорем в реальном анализе, используя « конструктивистские » методы.

Жизнь

Отец Эрретта Бишопа, Альберт Т. Бишоп, окончил Военную академию США в Вест-Пойнте , закончив карьеру профессором математики в Университете штата Уичито в Канзасе. Хотя он умер, когда Эрретту не было и 4 лет, он повлиял на дальнейшую карьеру Эрретта с помощью математических текстов, которые он оставил после себя, и именно так Эрретт открыл для себя математику. Эрретт вырос в Ньютоне, штат Канзас . Эрретт и его сестра были явными математическими вундеркиндами.

Бишоп поступил в Чикагский университет в 1944 году, получив степени бакалавра и магистра в 1947 году. Докторантура, которую он начал в том же году, была прервана двумя годами в армии США , 1950–52, где он занимался математическими исследованиями в Национальном бюро стандартов . Он защитил докторскую диссертацию в 1954 году под руководством Пола Халмоша ; его диссертация называлась «Спектральная теория операций в банаховых пространствах» .

Бишоп преподавал в Калифорнийском университете в 1954–65 годах. Он провел 1964–65 учебный год в Институте фундаментальных исследований Миллера в Беркли . Он был приглашенным ученым в Институте перспективных исследований в 1961–62 годах. ^[2] С 1965 года и до своей смерти он был профессором Калифорнийского университета в Сан-Диего .

Работа

Работы Бишопа можно разделить на пять категорий:

1. Полиномиальная и рациональная аппроксимация. Примерами являются расширения теоремы аппроксимации Мергеляна и теоремы Фридьеша Рисса и Марселя Рисса о мерах на единичной окружности, ортогональных полиномам.
2. Общая теория функциональных алгебр . Здесь Бишоп работал над равномерными алгебрами (коммутативными банаховыми алгебрами с единицей, нормы которых являются спектральными нормами ), доказывая такие результаты, как антисимметричное разложение равномерной алгебры, теорему Бишопа–ДеЛиу и доказательство существования мер Йенсена. Бишоп написал обзор 1965 года «Равномерные алгебры», исследуя взаимодействие между теорией равномерных алгебр и теорией нескольких комплексных переменных.
3. Банаховы пространства и теория операторов , предмет его диссертации. Он ввел то, что сейчас называется условием Бишопа, полезным в теории разложимых операторов .
4. Теория функций многих комплексных переменных . Примером может служить его работа 1962 года «Аналитичность в некоторых банаховых пространствах». Он доказал важные результаты в этой области, такие как биголоморфная теорема вложения для многообразия Штейна как замкнутого подмногообразия в и новое доказательство теоремы Реммерта о собственном отображении. ${\displaystyle \mathbb {\mathbb {C} } ^{n}}$
5. Конструктивная математика . Бишоп заинтересовался фундаментальными вопросами, работая в Институте Миллера. Его ныне знаменитые «Основы конструктивного анализа» (1967) ^[3] были направлены на то, чтобы показать, что конструктивное рассмотрение анализа осуществимо, в то время как Вейль был настроен пессимистично. Пересмотр 1985 года, названный «Конструктивный анализ» , был завершен при содействии Дугласа Бриджеса.

В 1972 году Бишоп (совместно с Генри Ченгом) опубликовал работу «Конструктивная теория меры» .

В более поздний период своей жизни Бишоп считался ведущим математиком в области конструктивистской математики. В 1966 году его пригласили выступить на Международном конгрессе математиков по этой теме. Его доклад назывался «Конструктивизация абстрактного математического анализа». ^[4] Американское математическое общество пригласило его прочитать четыре часовые лекции в рамках серии лекций Colloquium. Название его лекций было «Шизофрения современной математики». Абрахам Робинсон писал о работе Бишопа в области конструктивистской математики: «Даже те, кто не желает принимать основную философию Бишопа, должны быть впечатлены огромной аналитической силой, проявленной в его работе». ^[5] Робинсон, однако, написал в своем обзоре книги Бишопа, что исторический комментарий Бишопа «скорее энергичен, чем точен».

Кавычки

• (А) «Математика — это здравый смысл»;
• (Б) «Не спрашивай, верно ли утверждение, пока не узнаешь, что оно означает»;
• (C) «Доказательством является любой полностью убедительный аргумент»;
• (D) «Значимые различия заслуживают сохранения».

(Пункты A–D — принципы конструктивизма из его книги «Шизофрения в современной математике». Американское математическое общество , 1973 г.)(Перепечатано в Rosenblatt 1985.)

• «Главная забота математики — это число, а это значит положительные целые числа... По словам Кронекера, положительные целые числа были созданы Богом. Кронекер выразил бы это еще лучше, если бы сказал, что положительные целые числа были созданы Богом для блага человека (и других конечных существ). Математика принадлежит человеку, а не Богу. Нас не интересуют свойства положительных целых чисел, которые не имеют описательного значения для конечного человека. Когда человек доказывает, что положительное целое число существует, он должен показать, как его найти. Если у Бога есть своя собственная математика, которую нужно сделать, пусть он сделает это сам». (Бишоп 1967, Глава 1, Конструктивистский манифест, страница 2)
• «Мы не утверждаем, что идеалистическая математика бесполезна с конструктивной точки зрения. Это было бы так же глупо, как утверждать, что нестрогая математика бесполезна с классической точки зрения. Каждая теорема, доказанная идеалистическими методами, представляет собой вызов: найти конструктивную версию и дать ей конструктивное доказательство». (Бишоп 1967, Предисловие, стр. x)
• «Теорема 1 — это знаменитая теорема Кантора о том, что действительные числа несчетны. Доказательство по сути является «диагональным» доказательством Кантора. И теорема Кантора, и его метод доказательства имеют большое значение». (Бишоп, 1967, Глава 2, Исчисление и действительные числа, стр. 25)
• «Действительные числа для определенных целей слишком слабы. Многие прекрасные явления становятся полностью видимыми только тогда, когда на первый план выдвигаются комплексные числа ». (Бишоп, 1967, Глава 5, Комплексный анализ, стр. 113)
• «Очевидно, что многие результаты в этой книге могут быть запрограммированы для компьютера с помощью некоторой такой процедуры, как та, что указана выше. В частности, вероятно, что большинство результатов глав 2, 4, 5, 9, 10 и 11 могут быть представлены в виде компьютерных программ. Например, полное сепарабельное метрическое пространство X может быть описано последовательностью действительных чисел, а следовательно, последовательностью целых чисел, просто перечислив расстояния между каждой парой элементов данного счетного плотного множества. . . . В том виде, в каком эта книга написана, она ориентирована на человека, а не на компьютер. Было бы очень интересно иметь версию, ориентированную на компьютер». (Бишоп 1967, Приложение B, Аспекты конструктивной истины, страницы 356 и 357)
• «Вполне возможно, что классическая математика перестанет существовать как самостоятельная дисциплина» (Бишоп, 1970, стр. 54)
• «Критика Брауэром классической математики была связана с тем, что я буду называть «принижением смысла » » (Бишоп в Розенблатте, 1985, стр. 1)

Смотрите также

• Епископский набор
• Конструктивный анализ
• Конструктивизм (математика)
• Критика нестандартного анализа

Примечания

1. Некролог UCSD
2. Институт перспективных исследований: Сообщество ученых
3. Штольценберг, Габриэль (1970). «Обзор: Эрретт Бишоп, Основы конструктивного анализа». Bull. Amer. Math. Soc. 76 (2): 301–323. doi : 10.1090/s0002-9904-1970-12455-7 .
4. Бишоп, Эрретт. «Конструктивизация абстрактного математического анализа» (PDF) . Международный математический союз. Архивировано из оригинала (PDF) 7 ноября 2017 г. . Получено 1 ноября 2017 г. .
5. Варшавский 1985.

Ссылки

• Бишоп, Эрретт 1967. Основы конструктивного анализа , Нью-Йорк: Academic Press. ISBN 4-87187-714-0 
• Бишоп, Эрретт и Дуглас Бриджес, 1985. Конструктивный анализ . Нью-Йорк: Springer. ISBN 0-387-15066-8 . 
• Бишоп, Эрретт (1970) Математика как числовой язык. 1970 Интуиционизм и теория доказательств (Proc. Conf., Буффало, Нью-Йорк, 1968) страницы 53–71. Северная Голландия, Амстердам.
• Бишоп, Э. (1985) Шизофрения в современной математике. В Errett Bishop: размышления о нем и его исследованиях (Сан-Диего, Калифорния, 1983), 1–32, Contemp. Math. 39, Американское математическое общество, Провиденс, Род-Айленд.
• Бриджес, Дуглас, «Конструктивная математика», Стэнфордская энциклопедия философии (зимнее издание 2004 г.), Эдвард Н. Залта (ред.), [1] - Онлайн-статья Дугласа Бриджеса, соавтора Бишопа.
• Rosenblatt, M., ed., 1985. Эрретт Бишоп: Размышления о нем и его исследованиях . Труды мемориального заседания по Эрретту Бишопу, состоявшегося в Калифорнийском университете в Сан-Диего, 24 сентября 1983 г. Contemporary Mathematics 39. AMS.
• Warschawski, S. (1985), "Errett Bishop - In Memoriam", в Rosenblatt, M. (ред.), Errett Bishop: Reflections on him and his research , Contemporary Mathematics, т. 39, Американское математическое общество
• Шехтер, Эрик 1997. Справочник по анализу и его основам . Нью-Йорк: Academic Press. ISBN 0-12-622760-8 — Конструктивные идеи в анализе, цитирует Бишопа. 

Внешние ссылки

• О'Коннор, Джон Дж.; Робертсон, Эдмунд Ф. , «Эрретт Бишоп», Архив истории математики Мактьютора , Университет Сент-Эндрюс
• Эрретт Бишоп в проекте «Генеалогия математики»