В математике теория операторов — это изучение линейных операторов в функциональных пространствах , начиная с дифференциальных и интегральных операторов . Операторы могут быть представлены абстрактно по их характеристикам, например, ограниченные линейные операторы или закрытые операторы , а также могут быть рассмотрены нелинейные операторы . Исследование, которое во многом зависит от топологии функциональных пространств, является разделом функционального анализа .
Если совокупность операторов образует алгебру над полем , то она является операторной алгеброй . Описание операторных алгебр является частью теории операторов.
Теория одного оператора занимается свойствами и классификацией операторов, рассматриваемых по одному. Например, в эту категорию попадает классификация нормальных операторов по их спектрам .
Спектральная теорема — это любой из ряда результатов о линейных операторах или о матрицах . [1] В широком смысле спектральная теорема обеспечивает условия, при которых оператор или матрица могут быть диагонализованы (то есть представлены в виде диагональной матрицы в некотором базисе). Эта концепция диагонализации относительно проста для операторов в конечномерных пространствах, но требует некоторой модификации для операторов в бесконечномерных пространствах. В общем, спектральная теорема определяет класс линейных операторов , которые можно смоделировать операторами умножения , которые настолько просты, насколько можно надеяться найти. Говоря более абстрактным языком, спектральная теорема — это утверждение о коммутативных C*-алгебрах . См. также спектральную теорию для исторической перспективы.
Примерами операторов, к которым применима спектральная теорема, являются самосопряженные операторы или, в более общем смысле, нормальные операторы в гильбертовых пространствах .
Спектральная теорема также обеспечивает каноническое разложение, называемое спектральным разложением , разложением по собственным значениям или разложением по собственным значениям, базового векторного пространства, на котором действует оператор.
Нормальный оператор в комплексном гильбертовом пространстве H — это непрерывный линейный оператор N : H → H , который коммутирует со своим эрмитовым сопряженным N* , то есть: NN* = N*N . [2]
Нормальные операторы важны, поскольку для них справедлива спектральная теорема . Сегодня класс нормальных операторов хорошо изучен. Примеры обычных операторов:
Спектральная теорема распространяется на более общий класс матриц. Пусть A — оператор в конечномерном пространстве внутреннего произведения. A называется нормальным , если A * A = AA * . Можно показать, что A является нормальным тогда и только тогда, когда оно унитарно диагонализируемо: по разложению Шура мы имеем A = UTU * , где U унитарно, а T верхнетреугольное. Поскольку A нормальный, TT * = T * T . Следовательно, T должна быть диагональной, поскольку нормальные верхнетреугольные матрицы диагональны. Обратное очевидно.
Другими словами, A является нормальной тогда и только тогда, когда существует унитарная матрица U такая, что
Полярное разложение любого ограниченного линейного оператора A между комплексными гильбертовыми пространствами представляет собой каноническую факторизацию как произведение частичной изометрии и неотрицательного оператора. [3]
Полярное разложение матриц обобщается следующим образом: если A — ограниченный линейный оператор, то существует единственная факторизация A как произведение A = UP , где U — частичная изометрия, P — неотрицательный самосопряженный оператор и начальный пространство U является замыканием диапазона P .
Оператор U необходимо ослабить до частичной изометрии, а не до унитарной, из-за следующих проблем. Если A — односторонний сдвиг на l 2 ( N ), то | А | знак равно ( А*А ) 1/2 знак равно я . Итак, если А = U | A |, U должно быть A , которое не является унитарным.
Существование полярного разложения является следствием леммы Дугласа :
Лемма . Если A , B — ограниченные операторы в гильбертовом пространстве H и A*A ≤ B*B , то существует сжатие C такое, что A = CB . Более того, C единственен, если Ker ( B* ) ⊂ Ker ( C ).
Оператор C может быть определен как C ( Bh ) = Ah , расширен по непрерывности до замыкания Ran ( B ) и нулем на ортогональном дополнении к Ran( B ) . Оператор C корректно определен, поскольку из A*A ≤ B*B следует Ker( B ) ⊂ Ker( A ) . Далее следует лемма.
В частности, если A*A = B*B , то C является частичной изометрией, которая единственна, если Ker( B* ) ⊂ Ker( C ). В общем случае для любого ограниченного оператора A
Когда H конечномерен, U можно расширить до унитарного оператора; в целом это не так (см. пример выше). Альтернативно, полярное разложение можно показать, используя операторную версию разложения по сингулярным значениям .
По свойству непрерывного функционального исчисления | А | находится в C*-алгебре , порожденной A . Аналогичное, но более слабое утверждение справедливо и для частичной изометрии: полярная часть U находится в алгебре фон Неймана, порожденной A . Если A обратимо, то U также будет находиться в C*-алгебре , порожденной A.
Многие изучаемые операторы являются операторами в гильбертовых пространствах голоморфных функций , и изучение оператора тесно связано с вопросами теории функций. Например, теорема Берлинга описывает инвариантные подпространства одностороннего сдвига в терминах внутренних функций, которые представляют собой ограниченные голоморфные функции на единичном круге с унимодулярными граничными значениями почти всюду на круге. Берлинг интерпретировал односторонний сдвиг как умножение на независимую переменную в пространстве Харди . [4] Успех в изучении операторов умножения и, в более общем смысле, операторов Теплица (которые представляют собой умножение с последующим проецированием на пространство Харди) вдохновил на изучение аналогичных вопросов в других пространствах, таких как пространство Бергмана .
Теория операторных алгебр выдвигает на первый план такие алгебры операторов, как С*-алгебры .
AC*-алгебра, A , является банаховой алгеброй над полем комплексных чисел вместе с отображением * : A → A. Пишут x* для изображения элемента x из A. Карта * имеет следующие свойства: [5]
Замечание. Первые три тождества говорят, что A является *-алгеброй . Последнее тождество называется тождеством C* и эквивалентно:
C*-идентичность является очень строгим требованием. Например, вместе с формулой спектрального радиуса это означает, что C*-норма однозначно определяется алгебраической структурой:
