Функция нескольких комплексных переменных

Тип математических функций

Теория функций многих комплексных переменных — это раздел математики, изучающий функции, определенные на комплексном координатном пространстве , то есть n -кортежах комплексных чисел . Название области, изучающей свойства этих функций, называется несколькими комплексными переменными (и аналитическим пространством ), которое в Классификации предметов математики имеет заголовок верхнего уровня. ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$

Как и в комплексном анализе функций одной переменной , что имеет место при n = 1 , изучаемые функции являются голоморфными или комплексно-аналитическими, так что локально они являются степенными рядами по переменным z i . Эквивалентно, они являются локально равномерными пределами полиномов ; или локально квадратично интегрируемыми решениями n _{-мерных} уравнений Коши – Римана . [ 1 ] ^{[ 2] [3]} Для одной комплексной переменной каждая область ^{[примечание 1]} ( ), является областью голоморфности некоторой функции, другими словами, каждая область имеет функцию, для которой она является областью голоморфности. ^{[4] [5]} Для нескольких комплексных переменных это не так; существуют области ( ), которые не являются областью голоморфности никакой функции, и поэтому не всегда являются областью голоморфности, поэтому область голоморфности является одной из тем в этой области. ^[4] Патчинг локальных данных мероморфных функций , т. е. проблема создания глобальной мероморфной функции из нулей и полюсов, называется проблемой Кузена. Кроме того, интересные явления, которые происходят в нескольких комплексных переменных, принципиально важны для изучения компактных комплексных многообразий и комплексных проективных многообразий ( ) ^[6] и имеют другой оттенок по сравнению с комплексной аналитической геометрией в или на многообразиях Штейна , они во многом похожи на изучение алгебраических многообразий, то есть изучение алгебраической геометрии , а не комплексной аналитической геометрии. ${\displaystyle D\subset \mathbb {C} }$ ${\displaystyle D\subset \mathbb {C} ^{n},\ n\geq 2}$ ${\displaystyle \mathbb {CP} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$

Историческая перспектива

Многие примеры таких функций были известны в математике девятнадцатого века; абелевы функции , тета-функции и некоторые гипергеометрические ряды , а также, как пример обратной задачи; проблема обращения Якоби . ^[7] Естественно, что та же самая функция одной переменной, которая зависит от некоторого комплексного параметра, является кандидатом. Однако теория в течение многих лет не стала полноценной областью математического анализа , поскольку ее характерные явления не были раскрыты. Подготовительная теорема Вейерштрасса теперь была бы классифицирована как коммутативная алгебра ; она действительно оправдывала локальную картину, ветвление , которая касается обобщения точек ветвления теории римановой поверхности .

С работами Фридриха Хартогса , Пьера Кузена  [fr] , Э. Э. Леви и Киёси Оки в 1930-х годах начала формироваться общая теория; другими работавшими в этой области в то время были Генрих Бенке , Петер Туллен , Карл Штайн , Вильгельм Виртингер и Франческо Севери . Хартогс доказал некоторые основные результаты, такие как то, что каждая изолированная особенность устранима для каждой аналитической функции, когда n > 1. Естественно, с аналогами контурных интегралов будет сложнее обращаться; при n = 2 интеграл, окружающий точку, должен быть по трехмерному многообразию (поскольку мы находимся в четырех действительных измерениях), в то время как итерации контурных (линейных) интегралов по двум отдельным комплексным переменным должны приводить к двойному интегралу по двумерной поверхности. Это означает, что исчисление вычетов должно будет принять совершенно другой характер. $${\displaystyle f:\mathbb {C} ^{n}\to \mathbb {C} }$$

После 1945 года важные работы во Франции, на семинаре Анри Картана , и Германии с Гансом Грауэртом и Рейнхольдом Реммертом быстро изменили картину теории. Ряд вопросов были прояснены, в частности, вопрос аналитического продолжения . Здесь очевидно важное отличие от теории с одной переменной; в то время как для каждого открытого связного множества D в мы можем найти функцию, которая нигде не будет аналитически продолжаться за границу, этого нельзя сказать для n > 1. На самом деле D такого рода являются довольно специальными по своей природе (особенно в комплексных координатных пространствах и многообразиях Штейна, удовлетворяя условию, называемому псевдовыпуклостью ). Естественные области определения функций, продолженные до предела, называются многообразиями Штейна , и их природа заключается в том, чтобы заставить группы когомологий пучков исчезнуть, с другой стороны, теорема Грауэрта–Рименшнейдера об исчезновении известна как аналогичный результат для компактных комплексных многообразий, а гипотеза Грауэрта–Рименшнейдера является частным случаем гипотезы Нарасимхана. ^[4] Фактически, именно необходимость поставить (в частности) работу Оки на более ясную основу быстро привела к последовательному использованию пучков для формулировки теории (с серьезными последствиями для алгебраической геометрии , в частности из работы Грауэрта). ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$

С этого момента появилась фундаментальная теория, которая могла применяться к аналитической геометрии , ^{[примечание 2]} автоморфным формам нескольких переменных и уравнениям в частных производных . Теория деформации сложных структур и комплексных многообразий была описана в общих чертах Кунихико Кодайрой и Д.К. Спенсером . Знаменитая статья GAGA Серра ^[8] зафиксировала точку перехода от аналитической геометрии к алгебраической геометрии .

Слышали, как CL Siegel жаловался, что новая теория функций нескольких комплексных переменных содержала мало функций , что означало, что специальная функциональная сторона теории была подчинена пучкам. Интерес для теории чисел , безусловно, заключается в конкретных обобщениях модулярных форм . Классическими кандидатами являются модулярные формы Гильберта и модулярные формы Зигеля . В наши дни они связаны с алгебраическими группами ( соответственно ограничение Вейля из полностью вещественного числового поля GL (2) и симплектическая группа ), для которых оказывается, что автоморфные представления могут быть выведены из аналитических функций. В некотором смысле это не противоречит Зигелю; современная теория имеет свои собственные, отличные направления.

Последующие разработки включали теорию гиперфункции и теорему об острие клина , обе из которых были вдохновлены квантовой теорией поля . Существует ряд других областей, таких как теория банаховой алгебры , которые опираются на несколько комплексных переменных.

Комплексное координатное пространство

Комплексное координатное пространство является декартовым произведением n копий , и когда является областью голоморфности, может рассматриваться как многообразие Штейна и более обобщенное пространство Штейна. также считается комплексным проективным многообразием , кэлеровым многообразием ^[9] и т. д. Это также n -мерное векторное пространство над комплексными числами , что дает его размерность 2 n над . ^{[примечание 3]} Следовательно, как множество и как топологическое пространство , может быть отождествлено с действительным координатным пространством , и его топологическая размерность , таким образом, равна 2 n . ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2n}}$

На языке, свободном от координат, любое векторное пространство над комплексными числами можно рассматривать как действительное векторное пространство с вдвое большим числом измерений, где комплексная структура задается линейным оператором J (таким, что J ² = − I ), который определяет умножение на мнимую единицу i .

Любое такое пространство, как и действительное пространство, ориентировано . На комплексной плоскости, рассматриваемой как декартова плоскость , умножение на комплексное число w = u + iv может быть представлено действительной матрицей

${\displaystyle {\begin{pmatrix}u&-v\\v&u\end{pmatrix}},}$

с определителем

${\displaystyle u^{2}+v^{2}=|w|^{2}.}$

Аналогично, если выразить любой конечномерный комплексный линейный оператор как действительную матрицу (которая будет составлена ​​из 2 × 2 блоков вышеупомянутой формы), то ее определитель равен квадрату модуля соответствующего комплексного определителя. Это неотрицательное число, что подразумевает, что (действительная) ориентация пространства никогда не меняется на противоположную комплексным оператором. То же самое относится к якобианам голоморфных функций от до . ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$

Голоморфные функции

Определение

Функция f, определенная на области и со значениями в , называется голоморфной в точке, если она комплексно-дифференцируема в этой точке, в том смысле, что существует комплексное линейное отображение такое, что ${\displaystyle D\subset \mathbb {C} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle z\in D}$ ${\displaystyle L:\mathbb {C} ^{n}\to \mathbb {C} }$

${\displaystyle f(z+h)=f(z)+L(h)+o(\lVert h\rVert )}$

Функция f называется голоморфной, если она голоморфна во всех точках своей области определения D.

Если f голоморфен, то все частичные отображения:

${\displaystyle z\mapsto f(z_{1},\dots ,z_{i-1},z,z_{i+1},\dots ,z_{n})}$

голоморфны как функции одной комплексной переменной: мы говорим, что f голоморфна по каждой переменной в отдельности. Наоборот, если f голоморфна по каждой переменной в отдельности, то f на самом деле голоморфна: это известно как теорема Хартога или как лемма Осгуда при дополнительной гипотезе, что f непрерывна .

Уравнения Коши–Римана

В одной комплексной переменной функция, определенная на плоскости, голоморфна в точке тогда и только тогда, когда ее действительная часть и мнимая часть удовлетворяют так называемым уравнениям Коши-Римана в точке  : ${\displaystyle f:\mathbb {C} \to \mathbb {C} }$ ${\displaystyle p\in \mathbb {C} }$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle p}$ $${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial x}}(p)={\frac {\partial v}{\partial y}}(p)\quad {\text{ and }}\quad {\frac {\partial u}{\partial y}}(p)=-{\frac {\partial v}{\partial x}}(p)}$$

В случае нескольких переменных функция голоморфна тогда и только тогда, когда она голоморфна по каждой переменной в отдельности, и, следовательно, тогда и только тогда, когда действительная и мнимая части удовлетворяют уравнениям Коши-Римана: ${\displaystyle f:\mathbb {C} ^{n}\to \mathbb {C} }$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle f}$ $${\displaystyle \forall i\in \{1,\dots ,n\},\quad {\frac {\partial u}{\partial x_{i}}}={\frac {\partial v}{\partial y_{i}}}\quad {\text{ and }}\quad {\frac {\partial u}{\partial y_{i}}}=-{\frac {\partial v}{\partial x_{i}}}}$$

Используя формализм производных Виртингера , это можно переформулировать как: или даже более компактно, используя формализм комплексных дифференциальных форм , как: $${\displaystyle \forall i\in \{1,\dots ,n\},\quad {\frac {\partial f}{\partial {\overline {z_{i}}}}}=0,}$$ $${\displaystyle {\bar {\partial }}f=0.}$$

Интегральная формула Коши I (версия для полидиска)

Докажите достаточность двух условий (A) и (B). Пусть f удовлетворяет условиям непрерывности и раздельно гомоморфности на области D . Каждый диск имеет спрямляемую кривую , является кусочно- гладкой , классом замкнутой кривой Жордана. ( ) Пусть будет областью, окруженной каждым . Замыкание декартова произведения равно . Также возьмем замкнутый полидиск так, чтобы он стал . ( и пусть будет центром каждого диска.) Используя интегральную формулу Коши одной переменной повторно, ^{[примечание 4]} ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle \gamma _{\nu }}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}^{1}}$ ${\displaystyle \nu =1,2,\ldots ,n}$ ${\displaystyle D_{\nu }}$ ${\displaystyle \gamma _{\nu }}$ ${\displaystyle {\overline {D_{1}\times D_{2}\times \cdots \times D_{n}}}}$ ${\displaystyle {\overline {D_{1}\times D_{2}\times \cdots \times D_{n}}}\in D}$ ${\displaystyle {\overline {\Delta }}}$ ${\displaystyle {\overline {\Delta }}\subset {D_{1}\times D_{2}\times \cdots \times D_{n}}}$ ${\displaystyle {\overline {\Delta }}(z,r)=\left\{\zeta =(\zeta _{1},\zeta _{2},\dots ,\zeta _{n})\in \mathbb {C} ^{n};\left|\zeta _{\nu }-z_{\nu }\right|\leq r_{\nu }{\text{ for all }}\nu =1,\dots ,n\right\}}$ ${\displaystyle \{z\}_{\nu =1}^{n}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}f(z_{1},\ldots ,z_{n})&={\frac {1}{2\pi i}}\int _{\partial D_{1}}{\frac {f(\zeta _{1},z_{2},\ldots ,z_{n})}{\zeta _{1}-z_{1}}}\,d\zeta _{1}\\[6pt]&={\frac {1}{(2\pi i)^{2}}}\int _{\partial D_{2}}\,d\zeta _{2}\int _{\partial D_{1}}{\frac {f(\zeta _{1},\zeta _{2},z_{3},\ldots ,z_{n})}{(\zeta _{1}-z_{1})(\zeta _{2}-z_{2})}}\,d\zeta _{1}\\[6pt]&={\frac {1}{(2\pi i)^{n}}}\int _{\partial D_{n}}\,d\zeta _{n}\cdots \int _{\partial D_{2}}\,d\zeta _{2}\int _{\partial D_{1}}{\frac {f(\zeta _{1},\zeta _{2},\ldots ,\zeta _{n})}{(\zeta _{1}-z_{1})(\zeta _{2}-z_{2})\cdots (\zeta _{n}-z_{n})}}\,d\zeta _{1}\end{aligned}}}$

Поскольку является спрямляемой жордановой замкнутой кривой ^{[примечание 5],} а f является непрерывной, то порядок произведений и сумм можно поменять местами, так что повторный интеграл можно вычислить как кратный интеграл . Следовательно, ${\displaystyle \partial D}$

Формула оценки Коши

Поскольку порядок произведений и сумм взаимозаменяем, из ( 1 ) получаем

f — это класс -функция. ${\displaystyle {\mathcal {C}}^{\infty }}$

Из (2), если f голоморфна на полидиске и , получается следующее оценочное уравнение. ${\displaystyle \left\{\zeta =(\zeta _{1},\zeta _{2},\dots ,\zeta _{n})\in \mathbb {C} ^{n};|\zeta _{\nu }-z_{\nu }|\leq r_{\nu },{\text{ for all }}\nu =1,\dots ,n\right\}}$ ${\displaystyle |f|\leq {M}}$

${\displaystyle \left|{\frac {\partial ^{k_{1}+\cdots +k_{n}}f(\zeta _{1},\zeta _{2},\ldots ,\zeta _{n})}{{\partial z_{1}}^{k_{1}}\cdots \partial {z_{n}}^{k_{n}}}}\right|\leq {\frac {Mk_{1}\cdots k_{n}!}{{r_{1}}^{k_{1}}\cdots {r_{n}}^{k_{n}}}}}$

Следовательно, теорема Лиувилля верна.

Разложение голоморфных функций на поликруге в степенной ряд

Если функция f голоморфна на поликруге , то из интегральной формулы Коши видно, что ее можно однозначно разложить в следующий степенной ряд. ${\displaystyle \{z=(z_{1},z_{2},\dots ,z_{n})\in \mathbb {C} ^{n};|z_{\nu }-a_{\nu }|<r_{\nu },{\text{ for all }}\nu =1,\dots ,n\}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}&f(z)=\sum _{k_{1},\dots ,k_{n}=0}^{\infty }c_{k_{1},\dots ,k_{n}}(z_{1}-a_{1})^{k_{1}}\cdots (z_{n}-a_{n})^{k_{n}}\ ,\\&c_{k_{1}\cdots k_{n}}={\frac {1}{(2\pi i)^{n}}}\int _{\partial D_{1}}\cdots \int _{\partial D_{n}}{\frac {f(\zeta _{1},\dots ,\zeta _{n})}{(\zeta _{1}-a_{1})^{k_{1}+1}\cdots (\zeta _{n}-a_{n})^{k_{n}+1}}}\,d\zeta _{1}\cdots d\zeta _{n}\end{aligned}}}$

Кроме того, f , удовлетворяющая следующим условиям, называется аналитической функцией.

Для каждой точки выражается как разложение в степенной ряд, сходящееся на D  : ${\displaystyle a=(a_{1},\dots ,a_{n})\in D\subset \mathbb {C} ^{n}}$ ${\displaystyle f(z)}$

${\displaystyle f(z)=\sum _{k_{1},\dots ,k_{n}=0}^{\infty }c_{k_{1},\dots ,k_{n}}(z_{1}-a_{1})^{k_{1}}\cdots (z_{n}-a_{n})^{k_{n}}\ ,}$

Мы уже объяснили, что голоморфные функции на полидиске являются аналитическими. Также из теоремы, выведенной Вейерштрассом, мы можем видеть, что аналитическая функция на полидиске (сходящийся степенной ряд) является голоморфной.

Если последовательность функций сходится равномерно на компактах внутри области D , то предельная функция f также равномерно на компактах внутри области D. Кроме того, соответствующая частная производная также компактно сходится на области D к соответствующей производной f . ${\displaystyle f_{1},\ldots ,f_{n}}$ ${\displaystyle f_{v}}$ ${\displaystyle f_{v}}$

${\displaystyle {\frac {\partial ^{k_{1}+\cdots +k_{n}}f}{\partial {z_{1}}^{k_{1}}\cdots \partial {z_{n}}^{k_{n}}}}=\sum _{v=1}^{\infty }{\frac {\partial ^{k_{1}+\cdots +k_{n}}f_{v}}{\partial {z_{1}}^{k_{1}}\cdots \partial {z_{n}}^{k_{n}}}}}$^[10]

Радиус сходимости степенного ряда

Можно определить комбинацию положительных действительных чисел так, что степенной ряд сходится равномерно при и не сходится равномерно при . ${\displaystyle \{r_{\nu }\ (\nu =1,\dots ,n)\}}$ ${\textstyle \sum _{k_{1},\dots ,k_{n}=0}^{\infty }c_{k_{1},\dots ,k_{n}}(z_{1}-a_{1})^{k_{1}}\cdots (z_{n}-a_{n})^{k_{n}}\ }$ ${\displaystyle \left\{z=(z_{1},z_{2},\dots ,z_{n})\in \mathbb {C} ^{n};|z_{\nu }-a_{\nu }|<r_{\nu },{\text{ for all }}\nu =1,\dots ,n\right\}}$ ${\displaystyle \left\{z=(z_{1},z_{2},\dots ,z_{n})\in \mathbb {C} ^{n};|z_{\nu }-a_{\nu }|>r_{\nu },{\text{ for all }}\nu =1,\dots ,n\right\}}$

Таким образом, можно иметь подобную комбинацию радиуса сходимости ^{[примечание 6]} для одной комплексной переменной. Эта комбинация, как правило, не является уникальной, и существует бесконечное число комбинаций.

Расширение серии Лорана

Пусть голоморфна в кольце и непрерывна на своей окружности, тогда существует следующее разложение: ${\displaystyle \omega (z)}$ ${\displaystyle \left\{z=(z_{1},z_{2},\dots ,z_{n})\in \mathbb {C} ^{n};r_{\nu }<|z|<R_{\nu },{\text{ for all }}\nu +1,\dots ,n\right\}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\omega (z)&=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{k!}}{\frac {1}{(2\pi i)^{n}}}\int _{|\zeta _{\nu }|=R_{\nu }}\cdots \int \omega (\zeta )\times \left[{\frac {d^{k}}{dz^{k}}}{\frac {1}{\zeta -z}}\right]_{z=0}df_{\zeta }\cdot z^{k}\\[6pt]&+\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k!}}{\frac {1}{2\pi i}}\int _{|\zeta _{\nu }|=r_{\nu }}\cdots \int \omega (\zeta )\times \left(0,\cdots ,{\sqrt {\frac {k!}{\alpha _{1}!\cdots \alpha _{n}!}}}\cdot \zeta _{n}^{\alpha _{1}-1}\cdots \zeta _{n}^{\alpha _{n}-1},\cdots 0\right)df_{\zeta }\cdot {\frac {1}{z^{k}}}\ (\alpha _{1}+\cdots +\alpha _{n}=k)\end{aligned}}}$

Интеграл во втором члене правой части выполняется так, чтобы увидеть ноль слева в каждой плоскости, также этот интегрированный ряд равномерно сходится в кольце , где и , и поэтому можно проинтегрировать член. ^[11] ${\displaystyle r'_{\nu }<|z|<R'_{\nu }}$ ${\displaystyle r'_{\nu }>r_{\nu }}$ ${\displaystyle R'_{\nu }<R_{\nu }}$

Формула Бохнера–Мартинелли (интегральная формула Коши II)

Интегральная формула Коши справедлива только для полидисков, а в области нескольких комплексных переменных полидиски являются лишь одной из многих возможных областей, поэтому мы вводим формулу Бохнера–Мартинелли .

Предположим, что f — непрерывно дифференцируемая функция на замыкании области D на с кусочно-гладкой границей , и пусть символ обозначает внешнее или клиновое произведение дифференциальных форм. Тогда формула Бохнера–Мартинелли утверждает, что если z находится в области D , то для , z в ядре Бохнера–Мартинелли является дифференциальной формой в бистепени , определяемой соотношением ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$ ${\displaystyle \partial D}$ ${\displaystyle \land }$ ${\displaystyle \zeta }$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$ ${\displaystyle \omega (\zeta ,z)}$ ${\displaystyle \zeta }$ ${\displaystyle (n,n-1)}$

${\displaystyle \omega (\zeta ,z)={\frac {(n-1)!}{(2\pi i)^{n}}}{\frac {1}{|z-\zeta |^{2n}}}\sum _{1\leq j\leq n}({\overline {\zeta }}_{j}-{\overline {z}}_{j})\,d{\overline {\zeta }}_{1}\land d\zeta _{1}\land \cdots \land d\zeta _{j}\land \cdots \land d{\overline {\zeta }}_{n}\land d\zeta _{n}}$

${\displaystyle \displaystyle f(z)=\int _{\partial D}f(\zeta )\omega (\zeta ,z)-\int _{D}{\overline {\partial }}f(\zeta )\land \omega (\zeta ,z).}$

В частности, если f голоморфна, то второй член исчезает, поэтому

${\displaystyle \displaystyle f(z)=\int _{\partial D}f(\zeta )\omega (\zeta ,z).}$

Теорема тождества

Голоморфные функции нескольких комплексных переменных удовлетворяют теореме тождества , как в одной переменной: две голоморфные функции, определенные на одном и том же связном открытом множестве и совпадающие на открытом подмножестве N из D , равны на всем открытом множестве D. Этот результат можно доказать из того факта, что голоморфные функции имеют расширения степенных рядов, и его также можно вывести из случая одной переменной. В отличие от случая одной переменной, возможно, что две различные голоморфные функции совпадут на множестве, имеющем точку накопления, например, отображения и совпадут на всей комплексной прямой , определяемой уравнением . ${\displaystyle D\subset \mathbb {C} ^{n}}$ ${\displaystyle f(z_{1},z_{2})=0}$ ${\displaystyle g(z_{1},z_{2})=z_{1}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{2}}$ ${\displaystyle z_{1}=0}$

Максимальный принцип , теорема об обратной функции и теоремы о неявной функции также справедливы. Для обобщенной версии теоремы о неявной функции для комплексных переменных см. подготовительную теорему Вейерштрасса .

Биголоморфизм

Из теоремы об обратной функции можно определить следующее отображение.

Для области U , V n -мерного комплексного пространства биективная голоморфная функция и обратное отображение также голоморфны. В это время называется биголоморфизмом U , V , также мы говорим, что U и V биголоморфно эквивалентны или что они биголоморфны. ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$ ${\displaystyle \phi :U\to V}$ ${\displaystyle \phi ^{-1}:V\to U}$ ${\displaystyle \phi }$

Теорема Римана об отображении не выполняется

Когда , открытые шары и открытые полидиски не являются биголоморфно эквивалентными, то есть между ними не существует биголоморфного отображения . ^[12] Это было доказано Пуанкаре в 1907 году, показав, что их группы автоморфизмов имеют разные размерности как группы Ли . ^{[5] [13]} Однако даже в случае нескольких комплексных переменных есть некоторые результаты, похожие на результаты теории униформизации по одной комплексной переменной. ^[14] ${\displaystyle n>1}$

Аналитическое продолжение

Пусть U, V — область на , такая, что и , ( — множество/кольцо голоморфных функций на U .) предположим, что и — связная компонента . Если тогда f называется связанной с V , а g называется аналитическим продолжением f . Из теоремы о тождестве, если g существует, то для каждого способа выбора W он уникален. Когда n > 2, в зависимости от формы границы происходит следующее явление : существует область U , V , такая, что все голоморфные функции над областью U , имеют аналитическое продолжение . Другими словами, может не существовать функции такой, что в качестве естественной границы. Это называется явлением Хартогса. Поэтому исследование того, когда границы областей становятся естественными границами, стало одной из основных тем исследований нескольких комплексных переменных. Кроме того, когда , то вышеуказанное V имеет часть пересечения с U, отличную от W . Это способствовало развитию понятия когомологий пучков. ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$ ${\displaystyle f\in {\mathcal {O}}(U)}$ ${\displaystyle g\in {\mathcal {O}}(V)}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}(U)}$ ${\displaystyle U,\ V,\ U\cap V\neq \varnothing }$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle U\cap V}$ ${\displaystyle f|_{W}=g|_{W}}$ ${\displaystyle \partial U}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g\in {\mathcal {O}}(V)}$ ${\displaystyle f\in {\mathcal {O}}(U)}$ ${\displaystyle \partial U}$ ${\displaystyle n\geq 2}$

Домен Рейнхардта

В полидисках справедлива интегральная формула Коши и определено разложение голоморфных функций в степенной ряд, но полидиски и открытые единичные шары не являются биголоморфным отображением, поскольку теорема об отображении Римана не справедлива, а также в полидисках возможно разделение переменных, но оно не всегда справедливо для любой области. Поэтому для изучения области сходимости степенного ряда необходимо было наложить дополнительное ограничение на область, это была область Рейнхардта. Ранние знания о свойствах области изучения нескольких комплексных переменных, таких как логарифмически-выпуклый, теорема о продолжении Хартогса и т. д., были даны в области Рейнхардта.

Пусть ( ) будет областью с центром в точке , такой, что вместе с каждой точкой область также содержит множество ${\displaystyle D\subset \mathbb {C} ^{n}}$ ${\displaystyle n\geq 1}$ ${\displaystyle a=(a_{1},\dots ,a_{n})\in \mathbb {C} ^{n}}$ ${\displaystyle z^{0}=(z_{1}^{0},\dots ,z_{n}^{0})\in D}$

${\displaystyle \left\{z=(z_{1},\dots ,z_{n});\left|z_{\nu }-a_{\nu }\right|=\left|z_{\nu }^{0}-a_{\nu }\right|,\ \nu =1,\dots ,n\right\}.}$

Домен D называется доменом Рейнхардта, если он удовлетворяет следующим условиям: ^{[15] [16]}

Пусть — произвольное действительное число, область D инвариантна относительно вращения: . ${\displaystyle \theta _{\nu }\;(\nu =1,\dots ,n)}$ ${\displaystyle \left\{z^{0}-a_{\nu }\right\}\to \left\{e^{i\theta _{\nu }}(z_{\nu }^{0}-a_{\nu })\right\}}$

Домены Рейнхардта, которые определяются следующим условием: Вместе со всеми точками , домен содержит множество ${\displaystyle z^{0}\in D}$

${\displaystyle \left\{z=(z_{1},\dots ,z_{n});z=a+\left(z^{0}-a\right)e^{i\theta },\ 0\leq \theta <2\pi \right\}.}$

Область Рейнхардта D называется полной областью Рейнхардта с центром в точке a, если вместе со всеми точками она также содержит полидиск ${\displaystyle z^{0}\in D}$

${\displaystyle \left\{z=(z_{1},\dots ,z_{n});\left|z_{\nu }-a_{\nu }\right|\leq \left|z_{\nu }^{0}-a_{\nu }\right|,\ \nu =1,\dots ,n\right\}.}$

Полная область Рейнхардта D является звездообразной относительно своего центра a . Следовательно, полная область Рейнхардта односвязна , также когда полная область Рейнхардта является граничной линией, существует способ доказать интегральную теорему Коши без использования теоремы о кривой Жордана .

Логарифмически-выпуклый

Когда некоторая полная область Рейнхардта является областью сходимости степенного ряда, требуется дополнительное условие, которое называется логарифмически-выпуклым.

Область Рейнхардта D называется логарифмически выпуклой, если образ множества ${\displaystyle \lambda (D^{*})}$

${\displaystyle D^{*}=\{z=(z_{1},\dots ,z_{n})\in D;z_{1},\dots ,z_{n}\neq 0\}}$

под отображением

${\displaystyle \lambda ;z\rightarrow \lambda (z)=(\ln |z_{1}|,\dots ,\ln |z_{n}|)}$

представляет собой выпуклое множество в действительном координатном пространстве . ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

Каждая такая область в является внутренней частью множества точек абсолютной сходимости некоторого степенного ряда в , и наоборот; Область сходимости каждого степенного ряда в является логарифмически выпуклой областью Рейнхардта с центром . ^{[примечание 7]} Но существует пример полной области Рейнхардта D, которая не является логарифмически выпуклой. ^[17] ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$ ${\textstyle \sum _{k_{1},\dots ,k_{n}=0}^{\infty }c_{k_{1},\dots ,k_{n}}(z_{1}-a_{1})^{k_{1}}\cdots (z_{n}-a_{n})^{k_{n}}\ }$ ${\displaystyle z_{1},\dots ,z_{n}}$ ${\displaystyle a=0}$

Некоторые результаты

Теорема расширения Хартогса и явление Хартогса

При исследовании области сходимости в области Рейнхардта Хартогс обнаружил явление Хартогса, при котором голоморфные функции в некоторой области на были все связаны с большей областью. ^[18] ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$

На полидиске, состоящем из двух дисков, когда . ${\displaystyle \Delta ^{2}=\{z\in \mathbb {C} ^{2};|z_{1}|<1,|z_{2}|<1\}}$ ${\displaystyle 0<\varepsilon <1}$

Внутренний домен ${\displaystyle H_{\varepsilon }=\{z=(z_{1},z_{2})\in \Delta ^{2};|z_{1}|<\varepsilon \ \cup \ 1-\varepsilon <|z_{2}|\}\ (0<\varepsilon <1)}$

Теорема о расширении Хартогса (1906); ^[19] Пусть f — голоморфная функция на множестве G  \  K , где G — ограниченная (окруженная спрямляемой замкнутой жордановой кривой) область ^{[примечание 8]} на ( n ≥ 2 ), а K — компактное подмножество G. Если дополнение G  \  K связно, то каждая голоморфная функция f, независимо от того, как она выбрана , может быть расширена до уникальной голоморфной функции на G. ^{[21] [20]} ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$

Ее также называют теоремой Осгуда–Брауна, которая заключается в том, что для голоморфных функций нескольких комплексных переменных сингулярность является точкой накопления, а не изолированной точкой. Это означает, что различные свойства, которые справедливы для голоморфных функций комплексных переменных с одной переменной, не справедливы для голоморфных функций нескольких комплексных переменных. Природа этих сингулярностей также выводится из подготовительной теоремы Вейерштрасса . Обобщение этой теоремы с использованием того же метода, что и у Хартогса, было доказано в 2007 году. ^{[22] [23]}

Из теоремы Хартогса о расширении область сходимости простирается от до . Рассматривая это с точки зрения области Рейнхардта, есть область Рейнхардта, содержащая центр z = 0, а область сходимости была расширена до наименьшей полной области Рейнхардта, содержащей . ^[24] ${\displaystyle H_{\varepsilon }}$ ${\displaystyle \Delta ^{2}}$ ${\displaystyle H_{\varepsilon }}$ ${\displaystyle H_{\varepsilon }}$ ${\displaystyle \Delta ^{2}}$ ${\displaystyle H_{\varepsilon }}$

Классические результаты Туллена

Классический результат Туллена ^[25] гласит, что двумерная ограниченная область Рейнхарда, содержащая начало координат, биголоморфна одной из следующих областей при условии, что орбита начала координат по группе автоморфизмов имеет положительную размерность:

1. ${\displaystyle \{(z,w)\in \mathbb {C} ^{2};~|z|<1,~|w|<1\}}$(полидиск);
2. ${\displaystyle \{(z,w)\in \mathbb {C} ^{2};~|z|^{2}+|w|^{2}<1\}}$(единичный шар);
3. ${\displaystyle \{(z,w)\in \mathbb {C} ^{2};~|z|^{2}+|w|^{\frac {2}{p}}<1\}\,(p>0,\neq 1)}$(домен Туллена).

Результаты Сунады

Тошикадзу Сунада (1978) ^[26] обобщил результат Туллена:

Две n -мерные ограниченные области Рейнхардта и взаимно биголоморфны тогда и только тогда, когда существует преобразование , заданное формулой , являющейся перестановкой индексов), такое, что . ${\displaystyle G_{1}}$ ${\displaystyle G_{2}}$ ${\displaystyle \varphi :\mathbb {C} ^{n}\to \mathbb {C} ^{n}}$ ${\displaystyle z_{i}\mapsto r_{i}z_{\sigma (i)}(r_{i}>0)}$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle \varphi (G_{1})=G_{2}}$

Естественная область голоморфной функции (область голоморфности)

При переходе от теории одной комплексной переменной к теории нескольких комплексных переменных, в зависимости от диапазона области, может оказаться невозможным определить голоморфную функцию так, чтобы граница области стала естественной границей. Рассматривая область, где границы области являются естественными границами (в комплексном координатном пространстве называем областью голоморфности), первым результатом области голоморфности была голоморфная выпуклость H. Картана и Туллена. ^[27] Проблема Леви показывает, что псевдовыпуклая область была областью голоморфности. (Сначала для , ^[28] позже расширено до . ^{[29] [30]} ) ^{[31] Понятие} Киёси Оки [ 34 ^{] [35]} idéal de domaines indéterminés интерпретируется теорией когомологий пучков H. Картана и далее развитием Серра. ^{[примечание 10] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [6]} В когомологиях пучков область голоморфности стала интерпретироваться как теория многообразий Штейна. ^[42] Понятие области голоморфности также рассматривается в других комплексных многообразиях, а также в комплексном аналитическом пространстве, которое является его обобщением. ^[4] ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{2}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$

Область голоморфности

Множества в определении. Примечание: В этом разделе замените на рисунке на D ${\displaystyle \Omega }$

Когда функция f голоморфна на области и не может напрямую соединиться с областью вне D , включая точку границы области , область D называется областью голоморфности f , а граница называется естественной границей f . Другими словами, область голоморфности D является супремумом области, где голоморфная функция f голоморфна, и область D , которая голоморфна, не может быть расширена больше. Для нескольких комплексных переменных, т. е. области , границы могут не быть естественными границами. Теорема расширения Хартогса дает пример области, где границы не являются естественными границами. ^[43] ${\displaystyle D\subset \mathbb {C} ^{n}}$ ${\displaystyle \partial D}$ ${\displaystyle D\subset \mathbb {C} ^{n}\ (n\geq 2)}$

Формально область D в n -мерном комплексном координатном пространстве называется областью голоморфности, если не существует непустых областей и , и таких, что для каждой голоморфной функции f на D существует голоморфная функция g на V с на U . ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$ ${\displaystyle U\subset D}$ ${\displaystyle V\subset \mathbb {C} ^{n}}$ ${\displaystyle V\not \subset D}$ ${\displaystyle U\subset D\cap V}$ ${\displaystyle f=g}$

В этом случае каждая область ( ) была областью голоморфности; мы можем определить голоморфную функцию с нулями, накапливающимися всюду на границе области, которая затем должна быть естественной границей для области определения ее обратной величины. ${\displaystyle n=1}$ ${\displaystyle D\subset \mathbb {C} }$

Свойства области голоморфности

• Если — области голоморфности, то их пересечение также является областью голоморфности. ${\displaystyle D_{1},\dots ,D_{n}}$ ${\textstyle D=\bigcap _{\nu =1}^{n}D_{\nu }}$
• Если — возрастающая последовательность областей голоморфности, то их объединение также является областью голоморфности (см. теорему Бенке–Штейна ). ^[44] ${\displaystyle D_{1}\subseteq D_{2}\subseteq \cdots }$ ${\textstyle D=\bigcup _{n=1}^{\infty }D_{n}}$
• Если и являются областями голоморфности, то является областью голоморфности. ${\displaystyle D_{1}}$ ${\displaystyle D_{2}}$ ${\displaystyle D_{1}\times D_{2}}$
• Первая проблема Кузена всегда разрешима в области голоморфности, также Картан показал, что обратный результат для этого результата неверен . ^[45] это также верно, с дополнительными топологическими предположениями, для второй проблемы Кузена. ${\displaystyle n\geq 3}$

Голоморфно выпуклая оболочка

Пусть будет областью, или, альтернативно, для более общего определения, пусть будет размерным комплексным аналитическим многообразием . Далее пусть обозначает множество голоморфных функций на G . Для компактного множества голоморфно выпуклая оболочка K есть ${\displaystyle G\subset \mathbb {C} ^{n}}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}(G)}$ ${\displaystyle K\subset G}$

${\displaystyle {\hat {K}}_{G}:=\left\{z\in G;|f(z)|\leq \sup _{w\in K}|f(w)|{\text{ for all }}f\in {\mathcal {O}}(G).\right\}.}$

Более узкое понятие полиномиально выпуклой оболочки можно получить , если вместо этого взять множество комплекснозначных полиномиальных функций на G. Полиномиально выпуклая оболочка содержит голоморфно выпуклую оболочку. ${\displaystyle {\mathcal {O}}(G)}$

Область называется голоморфно выпуклой , если для каждого компактного подмножества также является компактом в G. Иногда это просто сокращают до голоморфно-выпуклого . ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle K,{\hat {K}}_{G}}$

При , каждая область голоморфно выпукла, поскольку тогда является объединением K с относительно компактными компонентами . ${\displaystyle n=1}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle {\hat {K}}_{G}}$ ${\displaystyle G\setminus K\subset G}$

Когда , если f удовлетворяет указанной выше голоморфной выпуклости на D , то он обладает следующими свойствами. для каждого компактного подмножества K в D , где обозначает расстояние между K и . Также, в это время, D является областью голоморфности. Следовательно, каждая выпуклая область является областью голоморфности. ^[5] ${\displaystyle n\geq 1}$ ${\displaystyle {\text{dist}}(K,D^{c})={\text{dist}}({\hat {K}}_{D},D^{c})}$ ${\displaystyle {\text{dist}}(K,D^{c})}$ ${\displaystyle D^{c}=\mathbb {C} ^{n}\setminus D}$ ${\displaystyle (D\subset \mathbb {C} ^{n})}$

Псевдовыпуклость

Хартогс показал, что

Hartogs (1906): ^[19] Пусть D — область Гартогса на , а R — положительная функция на D такая, что множество в определяется и является областью голоморфности. Тогда — субгармоническая функция на D . ^[4] ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{2}}$ ${\displaystyle z_{1}\in D}$ ${\displaystyle |z_{2}|<R(z_{1})}$ ${\displaystyle -\log {R}(z_{1})}$

Если такие отношения выполняются в области голоморфности нескольких комплексных переменных, то это выглядит как более управляемое условие, чем голоморфно выпуклая функция. ^{[примечание 11]} Субгармоническая функция выглядит как своего рода выпуклая функция , поэтому она была названа Леви псевдовыпуклой областью (псевдовыпуклость Хартогса). Псевдовыпуклые области (граница псевдовыпуклости) важны, так как они позволяют классифицировать области голоморфности. Область голоморфности является глобальным свойством, в отличие от этого, псевдовыпуклость является локальным аналитическим или локальным геометрическим свойством границы области. ^[46]

Определение плюрисубгармонической функции

Функция

${\displaystyle f\colon D\to {\mathbb {R} }\cup \{-\infty \},}$

с доменом ${\displaystyle D\subset {\mathbb {C} }^{n}}$

называется плюрисубгармонической , если она полунепрерывна сверху , и для каждой комплексной линии

${\displaystyle \{a+bz;z\in \mathbb {C} \}\subset \mathbb {C} ^{n}}$с ${\displaystyle a,b\in \mathbb {C} ^{n}}$

функция является субгармонической функцией на множестве ${\displaystyle z\mapsto f(a+bz)}$

${\displaystyle \{z\in \mathbb {C} ;a+bz\in D\}.}$

В полной общности это понятие можно определить на произвольном комплексном многообразии или даже на комплексном аналитическом пространстве следующим образом. Полунепрерывная сверху функция ${\displaystyle X}$

${\displaystyle f\colon X\to \mathbb {R} \cup \{-\infty \}}$

называется плюрисубгармоническим тогда и только тогда, когда для любого голоморфного отображения

${\displaystyle \varphi \colon \Delta \to X}$функция

${\displaystyle f\circ \varphi \colon \Delta \to \mathbb {R} \cup \{-\infty \}}$

является субгармоническим, где обозначает единичный круг. ${\displaystyle \Delta \subset \mathbb {C} }$

В случае одной комплексной переменной необходимым и достаточным условием того, что вещественная функция , которая может быть дифференцируемой второго порядка по z комплексной функции одной переменной, является субгармонической, является . Следовательно, если принадлежит классу , то является плюрисубгармонической тогда и только тогда, когда эрмитова матрица положительно полуопределена. ${\displaystyle u=u(z)}$ ${\displaystyle \Delta =4\left({\frac {\partial ^{2}u}{\partial z\,\partial {\overline {z}}}}\right)\geq 0}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}^{2}}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle H_{u}=(\lambda _{ij}),\lambda _{ij}={\frac {\partial ^{2}u}{\partial z_{i}\,\partial {\bar {z}}_{j}}}}$

Эквивалентно, -функция u является плюрисубгармонической тогда и только тогда, когда является положительной (1,1)-формой . ^{[47] : 39–40} ${\displaystyle {\mathcal {C}}^{2}}$ ${\displaystyle {\sqrt {-1}}\partial {\bar {\partial }}f}$

Строго плюрисубгармоническая функция

Когда эрмитова матрица u положительно определена и принадлежит классу , мы называем u строго плюрисубгармонической функцией. ${\displaystyle {\mathcal {C}}^{2}}$

(Слабо) псевдовыпуклый (p-псевдовыпуклый)

Слабое псевдовыпуклое определяется как: Пусть будет областью. Говорят, что X является псевдовыпуклым, если существует непрерывная плюрисубгармоническая функция на X такая, что множество является относительно компактным подмножеством X для всех действительных чисел x . ^{[примечание 12]} т.е. существует гладкая плюрисубгармоническая функция исчерпания . Часто определение псевдовыпуклого используется здесь и записывается как; Пусть X будет комплексным n -мерным многообразием. Тогда говорят, что слабое псевдовыпуклое существует гладкая плюрисубгармоническая функция исчерпания . ^{[47] : 49} ${\displaystyle X\subset {\mathbb {C} }^{n}}$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle \{z\in X;\varphi (z)\leq \sup x\}}$ ${\displaystyle \psi \in {\text{Psh}}(X)\cap {\mathcal {C}}^{\infty }(X)}$ ${\displaystyle \psi \in {\text{Psh}}(X)\cap {\mathcal {C}}^{\infty }(X)}$

Сильно (строго) псевдовыпуклый

Пусть X — комплексное n -мерное многообразие. Сильно (или строго) псевдовыпуклое, если существует гладкая строго плюрисубгармоническая функция исчерпания , т. е. положительно определена в каждой точке. Сильно псевдовыпуклая область — это псевдовыпуклая область. ^{[47] : 49} Сильно псевдовыпуклое и строго псевдовыпуклое (т. е. 1-выпуклое и 1-полное ^[48] ) часто используются взаимозаменяемо, ^[49] см. Lempert ^[50] для технического различия. ${\displaystyle \psi \in {\text{Psh}}(X)\cap {\mathcal {C}}^{\infty }(X)}$ ${\displaystyle H\psi }$

форма Леви

(Слабо) псевдовыпуклость Леви(–Кржоски)

Если граница , можно показать, что D имеет определяющую функцию; т. е. существует , которая такова, что , и . Теперь, D является псевдовыпуклой тогда и только тогда, когда для каждого и в комплексном касательном пространстве в точке p, то есть, ${\displaystyle {\mathcal {C}}^{2}}$ ${\displaystyle \rho :\mathbb {C} ^{n}\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}^{2}}$ ${\displaystyle D=\{\rho <0\}}$ ${\displaystyle \partial D=\{\rho =0\}}$ ${\displaystyle p\in \partial D}$ ${\displaystyle w}$

${\displaystyle \nabla \rho (p)w=\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial \rho (p)}{\partial z_{j}}}w_{j}=0}$, у нас есть

${\displaystyle H(\rho )=\sum _{i,j=1}^{n}{\frac {\partial ^{2}\rho (p)}{\partial z_{i}\,\partial {\bar {z_{j}}}}}w_{i}{\bar {w_{j}}}\geq 0.}$^{[5] [51]}

Если D не имеет границы, может быть полезен следующий аппроксимационный результат. ${\displaystyle {\mathcal {C}}^{2}}$

Предложение 1. Если D псевдовыпуклое, то существуют ограниченные , сильно псевдовыпуклые по Леви области с границей класса , которые относительно компактны в ${\displaystyle D_{k}\subset D}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}^{\infty }}$ D , такие, что

${\displaystyle D=\bigcup _{k=1}^{\infty }D_{k}.}$

Это происходит потому, что как только у нас появляется определение, мы можем фактически найти функцию исчерпания. ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}^{\infty }}$

Сильно (или строго) Леви (–Кржоска) псевдовыпуклый (он же Сильно (строго) псевдовыпуклый)

Когда форма Леви (–Krzoska) положительно определена, она называется сильно Леви (–Krzoska) псевдовыпуклой или часто называется просто сильно (или строго) псевдовыпуклой. ^[5]

Леви тотальный псевдовыпуклый

Если для каждой граничной точки D существует аналитическое многообразие , проходящее полностью вне D в некоторой окрестности вокруг , за исключением самой точки . Область D , удовлетворяющая этим условиям, называется псевдовыпуклой полной по Леви. ^[52] ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle \rho }$

Ока псевдовыпуклая

Семейство дисков Ока

Пусть n -функции непрерывны на , голоморфны в , когда параметр t фиксирован в [0, 1], и предположим, что не все равны нулю в любой точке на . Тогда множество называется аналитическим диском, зависящим от параметра t , и называется его оболочкой. Если и , Q(t) называется семейством диска Ока. ^{[52] [53]} ${\displaystyle \varphi :z_{j}=\varphi _{j}(u,t)}$ ${\displaystyle \Delta :|U|\leq 1,0\leq t\leq 1}$ ${\displaystyle |u|<1}$ ${\displaystyle {\frac {\partial \varphi _{j}}{\partial u}}}$ ${\displaystyle \Delta }$ ${\displaystyle Q(t):=\{Z_{j}=\varphi _{j}(u,t);|u|\leq 1\}}$ ${\displaystyle B(t):=\{Z_{j}=\varphi _{j}(u,t);|u|=1\}}$ ${\displaystyle Q(t)\subset D\ (0<t)}$ ${\displaystyle B(0)\subset D}$

Определение

Когда выполняется на любом семействе диска Ока, D называется псевдовыпуклым Ока. ^[52] Доказательство Ока проблемы Леви состояло в том, что когда неразветвленная риманова область над ^[54] является областью голоморфности (голоморфно выпуклой), было доказано, что необходимо и достаточно, чтобы каждая граничная точка области голоморфности была псевдовыпуклой Ока. ^{[29] [53]} ${\displaystyle Q(0)\subset D}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$

Локально псевдовыпуклый (также известный как локально Штейн, Картановский псевдовыпуклый, локальное свойство Леви)

Для каждой точки существует окрестность U точек x и f голоморфная (т. е. голоморфно выпуклая), такая, что f не может быть продолжена ни до какой окрестности x . т. е. пусть будет голоморфным отображением, если каждая точка имеет окрестность U, такую, которая допускает -плюрисубгармоническую функцию исчерпания (слабо 1-полную ^[55] ), в этой ситуации мы называем, что X является локально псевдовыпуклым (или локально штейновым) над Y. Как старое название, его также называют псевдовыпуклым Картана. В локально псевдовыпуклой области является сама псевдовыпуклая область и является областью голоморфности. ^{[56] [52]} Например, Дидерих–Форнесс ^[57] нашел локальные псевдовыпуклые ограниченные области с гладкой границей на некэлеровых многообразиях, такие, что не является слабо 1-полной. ^{[58] [примечание 13]} ${\displaystyle x\in \partial D}$ ${\displaystyle U\cap D}$ ${\displaystyle \psi :X\to Y}$ ${\displaystyle y\in Y}$ ${\displaystyle \psi ^{-1}(U)}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}^{\infty }}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle \Omega }$

Условия, эквивалентные области голоморфности

Для домена следующие условия эквивалентны: ^{[примечание 14]} ${\displaystyle D\subset \mathbb {C} ^{n}}$

1. D — область голоморфности.
2. D голоморфно выпукло.
3. D — это объединение возрастающей последовательности аналитических многогранников в D.
4. D — псевдовыпуклый.
5. D локально псевдовыпуклый.

Импликации , ^{[примечание 15]} , ^{[примечание 16]} и являются стандартными результатами. Доказательство , т.е. построение глобальной голоморфной функции, которая не допускает расширения из нерасширяемых функций, определенных только локально. Это называется проблемой Леви (в честь Э. Э. Леви ) и было решено для неразветвленных римановых областей над Киёси Ока, ^{[примечание 17]} но для разветвленных римановых областей псевдовыпуклость не характеризует голоморфную выпуклость, ^[66] а затем Ларсом Хермандером с использованием методов функционального анализа и уравнений в частных производных (следствие -проблемы(уравнения) с методами L 2 ). ^{[1] [43] [3] [67]} ${\displaystyle 1\Leftrightarrow 2\Leftrightarrow 3}$ ${\displaystyle 1\Rightarrow 4}$ ${\displaystyle 4\Rightarrow 5}$ ${\displaystyle 5\Rightarrow 1}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$ ${\displaystyle {\bar {\partial }}}$

Снопы

Введение пучков в несколько комплексных переменных позволило переформулировать и решить несколько важных проблем в этой области.

Idéal de Domaines Indéterminés (Предшественник понятия связного (пучка))

Ока ввел понятие, которое он назвал «idéal de domaines indéterminés» или «идеал неопределенных областей». ^{[34] [35]} В частности, это набор пар , голоморфных на непустом открытом множестве , такой, что ${\displaystyle (I)}$ ${\displaystyle (f,\delta )}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \delta }$

1. Если и произвольно, то . ${\displaystyle (f,\delta )\in (I)}$ ${\displaystyle (a,\delta ')}$ ${\displaystyle (af,\delta \cap \delta ')\in (I)}$
2. Для каждого , тогда ${\displaystyle (f,\delta ),(f',\delta ')\in (I)}$ ${\displaystyle (f+f',\delta \cap \delta ')\in (I).}$

Происхождение неопределенных областей происходит из того факта, что области изменяются в зависимости от пары . Картан ^{[36] [37]} перевел это понятие в понятие когерентного ( пучка ) (особенно когерентного аналитического пучка) в когомологиях пучков. ^{[67] [68]} Это название происходит от А. Картана. ^[69] Также Серр (1955) ввел понятие когерентного пучка в алгебраическую геометрию, то есть понятие когерентного алгебраического пучка. ^[70] Понятие когерентности ( когерентных когомологий пучков ) помогло решить проблемы с несколькими комплексными переменными. ^[39] ${\displaystyle (f,\delta )}$

Когерентный пучок

Определение

Определение когерентного пучка следующее. ^{[70] [71] [72] [73] [47] : 83–89} Квазикогерентный пучок на окольцованном пространстве — это пучок - модулей , имеющий локальное представление, то есть каждая точка в имеет открытую окрестность , в которой существует точная последовательность ${\displaystyle (X,{\mathcal {O}}_{X})}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle U}$

${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}^{\oplus I}|_{U}\to {\mathcal {O}}_{X}^{\oplus J}|_{U}\to {\mathcal {F}}|_{U}\to 0}$

для некоторых (возможно бесконечных) множеств и . ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle J}$

Когерентный пучок на окольцованном пространстве — это пучок, удовлетворяющий следующим двум свойствам: ${\displaystyle (X,{\mathcal {O}}_{X})}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$

1. ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$имеет конечный тип над , то есть каждая точка в имеет открытую окрестность в , такую, что существует сюръективный морфизм для некоторого натурального числа ; ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}^{\oplus n}|_{U}\to {\mathcal {F}}|_{U}}$ ${\displaystyle n}$
2. для каждого открытого множества , целого числа и произвольного морфизма -модулей ядро ​​имеет конечный тип. ${\displaystyle U\subseteq X}$ ${\displaystyle n>0}$ ${\displaystyle \varphi :{\mathcal {O}}_{X}^{\oplus n}|_{U}\to {\mathcal {F}}|_{U}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$ ${\displaystyle \varphi }$

Морфизмы между (квази)когерентными пучками совпадают с морфизмами пучков -модулей. ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$

Также Жан-Пьер Серр (1955) ^[70] доказывает, что

Если в точной последовательности пучков -модулей два из трех пучков когерентны, то третий также когерентен. ${\displaystyle 0\to {\mathcal {F}}_{1}|_{U}\to {\mathcal {F}}_{2}|_{U}\to {\mathcal {F}}_{3}|_{U}\to 0}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{j}}$

Когерентная теорема (Оки – Картана)

Теорема о когерентности (Ока–Картана) ^[34] гласит, что каждый пучок, удовлетворяющий следующим условиям, является когерентным. ^[74]

1. пучок ростков голоморфных функций на , или структурный пучок комплексного подмногообразия или любого комплексного аналитического пространства [ ^75] ${\displaystyle {\mathcal {O}}:={\mathcal {O}}_{\mathbb {C} _{n}}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} _{n}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$ ${\displaystyle (X,{\mathcal {O}}_{X})}$
2. идеальный пучок аналитического подмножества A открытого подмножества . (Картан 1950 ^[36] ) ^{[76] [77]} ${\displaystyle {\mathcal {I}}\langle A\rangle }$ ${\displaystyle \mathbb {C} _{n}}$
3. нормализация структурного пучка комплексного аналитического пространства ^[78]

Из приведенной выше теоремы Серра (1955) следует, что является когерентным пучком, а также (i) используется для доказательства теорем Картана A и B. ${\displaystyle {\mathcal {O}}^{p}}$

Проблема кузена

В случае комплексных функций одной переменной теорема Миттаг-Леффлера смогла создать глобальную мероморфную функцию из заданной и главной частей (проблема Кузена I), а теорема о факторизации Вейерштрасса смогла создать глобальную мероморфную функцию из заданных нулей или нулевого локуса (проблема Кузена II). Однако эти теоремы не выполняются для нескольких комплексных переменных, поскольку особенности аналитической функции от нескольких комплексных переменных не являются изолированными точками; эти проблемы называются проблемами Кузена и формулируются в терминах когомологий пучков. Впервые они были введены в особых случаях Пьером Кузеном в 1895 году. ^[79] Именно Ока показал условия для решения первой проблемы Кузена для области голоморфности ^{[примечание 18]} на комплексном координатном пространстве, ^{[82] [83] [80] [примечание 19]} также решив вторую проблему Кузена с дополнительными топологическими предположениями. Проблема Кузена — это проблема, связанная с аналитическими свойствами комплексных многообразий, но единственными препятствиями к решению проблем комплексного аналитического свойства являются чисто топологические; ^{[80] [39] [31]} Серр назвал это принципом Ока. ^[84] Теперь они поставлены и решены для произвольного комплексного многообразия M в терминах условий на M. M , удовлетворяющее этим условиям, является одним из способов определения многообразия Штейна. Изучение проблемы Кузена заставило нас понять, что при изучении нескольких комплексных переменных можно изучать глобальные свойства из патчинга локальных данных, [ ^36] то есть оно разработало теорию когомологий пучков. (например, семинар Картана. ^[42] ) ^[39]

Проблема двоюродного брата

Без языка пучков задачу можно сформулировать следующим образом. На комплексном многообразии M задано несколько мероморфных функций вместе с областями , где они определены, и где каждая разность голоморфна (где бы разность ни была определена). Тогда первая задача Кузена требует мероморфной функции на M , которая голоморфна на ; другими словами, которая разделяет сингулярное поведение заданной локальной функции. ${\displaystyle f_{i}}$ ${\displaystyle U_{i}}$ ${\displaystyle f_{i}-f_{j}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f-f_{i}}$ ${\displaystyle U_{i}}$ ${\displaystyle f}$

Теперь пусть K — пучок мероморфных функций, а O — пучок голоморфных функций на M. Первую проблему Кузена всегда можно решить, если следующее отображение сюръективно:

${\displaystyle H^{0}(M,\mathbf {K} ){\xrightarrow {\phi }}H^{0}(M,\mathbf {K} /\mathbf {O} ).}$

По длинной точной когомологической последовательности ,

${\displaystyle H^{0}(M,\mathbf {K} ){\xrightarrow {\phi }}H^{0}(M,\mathbf {K} /\mathbf {O} )\to H^{1}(M,\mathbf {O} )}$

является точным, и поэтому первая проблема Кузена всегда разрешима при условии, что первая группа когомологий H ¹ ( M , O ) обращается в нуль. В частности, по теореме Картана B проблема Кузена всегда разрешима, если M — многообразие Штейна.

Проблема троюродного брата

Вторая задача Кузена начинается с похожей на первую постановки, указывая вместо этого, что каждое отношение является неисчезающей голоморфной функцией (где указанная разность определена). Она требует мероморфной функции на M , которая является голоморфной и неисчезающей. ${\displaystyle f_{i}/f_{j}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f/f_{i}}$

Пусть будет пучком голоморфных функций, которые нигде не обращаются в нуль, и пучком мероморфных функций, которые не равны тождественно нулю. Оба они являются пучками абелевых групп , и фактор-пучок хорошо определен. Если следующее отображение сюръективно, то проблема троюродного брата может быть решена: ${\displaystyle \mathbf {O} ^{*}}$ ${\displaystyle \mathbf {K} ^{*}}$ ${\displaystyle \mathbf {K} ^{*}/\mathbf {O} ^{*}}$ ${\displaystyle \phi }$

${\displaystyle H^{0}(M,\mathbf {K} ^{*}){\xrightarrow {\phi }}H^{0}(M,\mathbf {K} ^{*}/\mathbf {O} ^{*}).}$

Длинная точная последовательность когомологий пучка, связанная с фактором, имеет вид

${\displaystyle H^{0}(M,\mathbf {K} ^{*}){\xrightarrow {\phi }}H^{0}(M,\mathbf {K} ^{*}/\mathbf {O} ^{*})\to H^{1}(M,\mathbf {O} ^{*})}$

поэтому вторая задача Кузена разрешима во всех случаях при условии, что ${\displaystyle H^{1}(M,\mathbf {O} ^{*})=0.}$

Группу когомологий для мультипликативной структуры на можно сравнить с группой когомологий с ее аддитивной структурой, взяв логарифм. То есть, существует точная последовательность пучков ${\displaystyle H^{1}(M,\mathbf {O} ^{*})}$ ${\displaystyle \mathbf {O} ^{*}}$ ${\displaystyle H^{1}(M,\mathbf {O} )}$

${\displaystyle 0\to 2\pi i\mathbb {Z} \to \mathbf {O} \xrightarrow {\exp } \mathbf {O} ^{*}\to 0}$

где самый левый пучок — локально постоянный пучок с волокном . Препятствие к определению логарифма на уровне H ¹ находится в , из длинной точной последовательности когомологий ${\displaystyle 2\pi i\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle H^{2}(M,\mathbb {Z} )}$

${\displaystyle H^{1}(M,\mathbf {O} )\to H^{1}(M,\mathbf {O} ^{*})\to 2\pi iH^{2}(M,\mathbb {Z} )\to H^{2}(M,\mathbf {O} ).}$

Когда M — многообразие Штейна, средняя стрелка является изоморфизмом, поскольку для , поэтому необходимым и достаточным условием в этом случае для того, чтобы вторая проблема Кузена всегда была разрешима, является следующее (Это условие называется принципом Ока). ${\displaystyle H^{q}(M,\mathbf {O} )=0}$ ${\displaystyle q>0}$ ${\displaystyle H^{2}(M,\mathbb {Z} )=0.}$

Многообразия и аналитические многообразия с несколькими комплексными переменными

Многообразие Штейна (некомпактное кэлерово многообразие)

Поскольку некомпактная (открытая) риманова поверхность ^[85] всегда имеет непостоянную однозначную голоморфную функцию ^[86] и удовлетворяет второй аксиоме счетности , открытая риманова поверхность на самом деле является 1 -мерным комплексным многообразием, обладающим голоморфным отображением в комплексную плоскость . (На самом деле, Ганнинг и Нарасимхан показали (1967) ^[87] , что каждая некомпактная риманова поверхность на самом деле имеет голоморфное погружение в комплексную плоскость. Другими словами, существует голоморфное отображение в комплексную плоскость, производная которого никогда не обращается в нуль.) ^[88] Теорема вложения Уитни гласит, что каждое гладкое n -мерное многообразие может быть вложено как гладкое подмногообразие в , тогда как для комплексного многообразия «редко» иметь голоморфное вложение в . Например, для произвольного компактного связного комплексного многообразия X каждая голоморфная функция на нем является константой по теореме Лиувилля, и поэтому оно не может иметь никакого вложения в комплексное n-пространство. То есть, для нескольких комплексных переменных произвольные комплексные многообразия не всегда имеют голоморфные функции, которые не являются константами. Итак, рассмотрим условия, при которых комплексное многообразие имеет голоморфную функцию, которая не является константой. Теперь, если бы у нас было голоморфное вложение X в , то координатные функции ограничились бы непостоянными голоморфными функциями на X , что противоречит компактности, за исключением случая, когда X является просто точкой. Комплексные многообразия, которые могут быть голоморфно вложены в , называются многообразиями Штейна. Также многообразия Штейна удовлетворяют второй аксиоме счетности. ^[89] ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2n}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$

Многообразие Штейна — это комплексное подмногообразие векторного пространства n комплексных измерений. Они были введены и названы в честь Карла Штейна (1951). ^[90] Пространство Штейна похоже на многообразие Штейна, но может иметь особенности. Пространства Штейна являются аналогами аффинных многообразий или аффинных схем в алгебраической геометрии. Если одновалентная область на соединена с многообразием, может рассматриваться как комплексное многообразие и удовлетворяет условию разделения, описанному ниже, условием для становления многообразием Штейна является удовлетворение голоморфной выпуклости. Следовательно, многообразие Штейна — это свойства области определения (максимального) аналитического продолжения аналитической функции. ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$

Определение

Предположим, что X — паракомпактное комплексное многообразие комплексной размерности , и пусть обозначает кольцо голоморфных функций на X. Мы называем X многообразием Штейна , если выполняются следующие условия: ^[91] ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}(X)}$

1. X голоморфно выпукло, т.е. для каждого компактного подмножества существует так называемая голоморфно выпуклая оболочка , ${\displaystyle K\subset X}$

   ${\displaystyle {\bar {K}}=\left\{z\in X;|f(z)|\leq \sup _{w\in K}|f(w)|,\ \forall f\in {\mathcal {O}}(X)\right\},}$

   также является компактным подмножеством X.
2. X голоморфно отделимо , [ ^{примечание 20]} т.е. если есть две точки в X , то существует такое, что ${\displaystyle x\neq y}$ ${\displaystyle f\in {\mathcal {O}}(X)}$ ${\displaystyle f(x)\neq f(y).}$
3. Открытая окрестность каждой точки многообразия имеет голоморфную карту относительно . ${\displaystyle {\mathcal {O}}(X)}$

Обратите внимание, что условие (3) можно вывести из условий (1) и (2). ^[92]

Каждая некомпактная (открытая) риманова поверхность является многообразием Штейна.

Пусть X — связная, некомпактная (открытая) риманова поверхность . Глубокая теорема Бенке и Штейна (1948) ^[86] утверждает, что X — многообразие Штейна.

Другой результат, приписываемый Гансу Грауэрту и Хельмуту Рёрлю (1956), утверждает, что каждое голоморфное векторное расслоение на X тривиально. В частности, каждое линейное расслоение тривиально, поэтому . Последовательность экспоненциальных пучков приводит к следующей точной последовательности: ${\displaystyle H^{1}(X,{\mathcal {O}}_{X}^{*})=0}$

${\displaystyle H^{1}(X,{\mathcal {O}}_{X})\longrightarrow H^{1}(X,{\mathcal {O}}_{X}^{*})\longrightarrow H^{2}(X,\mathbb {Z} )\longrightarrow H^{2}(X,{\mathcal {O}}_{X})}$

Теорема Картана B показывает, что , следовательно , . ${\displaystyle H^{1}(X,{\mathcal {O}}_{X})=H^{2}(X,{\mathcal {O}}_{X})=0}$ ${\displaystyle H^{2}(X,\mathbb {Z} )=0}$

Это связано с решением второй (мультипликативной) задачи Кузена .

Проблемы Леви

Картан распространил проблему Леви на многообразия Штейна. ^[93]

Если относительно компактное открытое подмножество многообразия Штейна X является локально псевдовыпуклым, то D является многообразием Штейна, и наоборот, если D является локально псевдовыпуклым, то X является многообразием Штейна. То есть, X является многообразием Штейна тогда и только тогда, когда D является локально многообразием Штейна. ^[94] ${\displaystyle D\subset X}$

Это было доказано Бремерманном ^[95] путем вложения его в достаточно высокоразмерное пространство и сведения его к результату Оки. ^[29] ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$

Также Грауэрт доказал для произвольных комплексных многообразий M. ^{[примечание 21] [98] [31]} [ ^96]

Если относительно компактное подмножество произвольного комплексного многообразия M является сильно псевдовыпуклым на M , то M является голоморфно выпуклым (т.е. многообразием Штейна). Кроме того, D само является многообразием Штейна. ${\displaystyle D\subset M}$

А Нарасимхан ^{[99] [100]} распространил проблему Леви на комплексное аналитическое пространство , обобщив ее в особом случае комплексных многообразий.

Комплексное аналитическое пространство, допускающее непрерывную строго плюрисубгармоническую функцию исчерпания (т.е. сильно псевдовыпуклое), является пространством Штейна. ^[4]

Проблема Леви остается нерешенной в следующих случаях:

Предположим, что X — сингулярное пространство Штейна, ^{[примечание 22]} . Предположим, что для всех существует открытая окрестность , так что — пространство Штейна. Является ли само D пространством Штейна? ^{[4] [102] [101]} ${\displaystyle D\subset \subset X}$ ${\displaystyle p\in \partial D}$ ${\displaystyle U(p)}$ ${\displaystyle U\cap D}$

более обобщенный

Предположим, что N — пространство Штейна, а f — инъективное, а также неразветвленная область Римана, так что отображение f — локально псевдовыпуклое отображение (т.е. морфизм Штейна). Тогда M само является пространством Штейна ? ^{[101] [103] : 109} ${\displaystyle f:M\to N}$

и также,

Предположим, что X — пространство Штейна и возрастающее объединение открытых множеств Штейна. Тогда D само является пространством Штейна? ${\displaystyle D=\bigcup _{n\in \mathbb {N} }D_{n}}$

Это означает, что теорема Бенке–Штейна, справедливая для многообразий Штейна, не нашла условий, которые можно было бы установить в пространстве Штейна. ^[101]

K-полный

Грауэрт ввел концепцию K-полноты при доказательстве проблемы Леви.

Пусть X — комплексное многообразие, X является K-полным, если для каждой точки существует конечное число голоморфных отображений X в , , таких, что — изолированная точка множества . ^[98] Это понятие применимо также к комплексному аналитическому пространству. ^[104] ${\displaystyle x_{0}\in X}$ ${\displaystyle f_{1},\dots ,f_{k}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{p}}$ ${\displaystyle p=p(x_{0})}$ ${\displaystyle x_{0}}$ ${\displaystyle A=\{x\in X;f^{-1}f(x_{0})\ (v=1,\dots ,k)\}}$

Свойства и примеры многообразий Штейна

• Стандартное ^{[примечание 23]} комплексное пространство представляет собой многообразие Штейна. ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$
• Каждая область голоморфности в является многообразием Штейна. ^[12] ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$
• Можно довольно легко показать, что каждое замкнутое комплексное подмногообразие многообразия Штейна также является многообразием Штейна.
• Теорема вложения для многообразий Штейна утверждает следующее: каждое многообразие Штейна X комплексной размерности n может быть вложено биголоморфным собственным отображением . ^{[105] [106] [107]} ${\displaystyle \mathbb {C} ^{2n+1}}$

Из этих фактов следует, что многообразие Штейна является замкнутым комплексным подмногообразием комплексного пространства, комплексная структура которого совпадает со структурой окружающего пространства (поскольку вложение является биголоморфным).

• Каждое многообразие Штейна (комплексной) размерности n имеет гомотопический тип n -мерного CW-комплекса. ^[108]
• В одном комплексном измерении условие Штейна можно упростить: связная риманова поверхность является многообразием Штейна тогда и только тогда, когда она не компактна. Это можно доказать, используя версию теоремы Рунге ^[109] для римановых поверхностей, ^{[примечание 24]} принадлежащую Бенке и Штейну. ^[86]
• Каждое многообразие Штейна X является голоморфно распространяемым, т.е. для каждой точки существует n голоморфных функций, определенных на всем X , которые образуют локальную систему координат при ограничении некоторой открытой окрестностью точки x . ${\displaystyle x\in X}$
• Первую задачу Кузена всегда можно решить на многообразии Штейна.
• Быть многообразием Штейна эквивалентно быть (комплексным) сильно псевдовыпуклым многообразием . Последнее означает, что оно имеет сильно псевдовыпуклую (или плюрисубгармоническую ) исчерпывающую функцию, ^[98] т.е. гладкую вещественную функцию на X (которую можно считать функцией Морса ) с , ^[98] такую, что подмножества компактны в X для любого вещественного числа c . Это решение так называемой проблемы Леви , ^[110] названной в честь Э. Э. Леви (1911). Функция приглашает к обобщению многообразия Штейна до идеи соответствующего класса компактных комплексных многообразий с границей, называемых областью Штейна . ^[111] Область Штейна является прообразом . Поэтому некоторые авторы называют такие многообразия строго псевдовыпуклыми многообразиями. ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle i\partial {\bar {\partial }}\psi >0}$ ${\displaystyle \{z\in X\mid \psi (z)\leq c\}}$ ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle \{z\mid -\infty \leq \psi (z)\leq c\}}$
• Связанное с предыдущим пунктом, другое эквивалентное и более топологическое определение в комплексной размерности 2 таково: поверхность Штейна — это комплексная поверхность X с действительной функцией Морса f на X , такой что вдали от критических точек f поле комплексных касаний к прообразу является контактной структурой , которая индуцирует ориентацию на X _{c ,} совпадающую с обычной ориентацией в качестве границы То есть является заполнением Штейна X _c . ${\displaystyle X_{c}=f^{-1}(c)}$ ${\displaystyle f^{-1}(-\infty ,c).}$ ${\displaystyle f^{-1}(-\infty ,c)}$

Существуют многочисленные дополнительные характеристики таких многообразий, в частности, охватывающие свойство наличия у них «многих» голоморфных функций, принимающих значения в комплексных числах. См., например, теоремы Картана A и B , касающиеся когомологий пучков .

В наборе аналогий GAGA многообразия Штейна соответствуют аффинным многообразиям . ^[112]

Многообразия Штейна в некотором смысле двойственны эллиптическим многообразиям в комплексном анализе, которые допускают "многие" голоморфные функции из комплексных чисел в себя. Известно, что многообразие Штейна является эллиптическим тогда и только тогда, когда оно фибрантно в смысле так называемой "голоморфной гомотопической теории".

Комплексные проективные многообразия (компактное комплексное многообразие)

Мероморфные функции в комплексной функции одной переменной изучались на компактной (замкнутой) римановой поверхности, поскольку теорема Римана-Роха ( неравенство Римана ) справедлива для компактных римановых поверхностей (поэтому теорию компактной римановой поверхности можно рассматривать как теорию (гладкой (неособой) проективной) алгебраической кривой над ^{[113] [114]} ). Фактически, компактная риманова поверхность имела непостоянную однозначную мероморфную функцию ^[85] , а также компактная риманова поверхность имела достаточно мероморфных функций. Компактное одномерное комплексное многообразие было римановой сферой . Однако абстрактное понятие компактной римановой поверхности всегда алгебраизуемо ( теорема существования Римана , теорема вложения Кодаиры .), ^{[примечание 25]} но нелегко проверить, какие компактные комплексные аналитические пространства алгебраизуемы. ^[115] Фактически, Хопф нашел класс компактных комплексных многообразий без непостоянных мероморфных функций. ^[56] Однако существует результат Зигеля, который дает необходимые условия для того, чтобы компактные комплексные многообразия были алгебраическими. ^[116] Обобщение теоремы Римана-Роха на несколько комплексных переменных было впервые распространено на компактные аналитические поверхности Кодаирой, ^[117] Кодаира также распространил теорему на трехмерные ^[118] и n-мерные кэлеровы многообразия. ^[119] Серр сформулировал теорему Римана-Роха как проблему размерности когерентных пучковых когомологий , ^[6] а также Серр доказал двойственность Серра . ^[120] Картан и Серр доказали следующее свойство: ^[121] группа когомологий конечномерна для когерентного пучка на компактном комплексном многообразии M. ^[122] Теорема Римана–Роха на римановой поверхности для векторного расслоения была доказана Вейлем в 1938 году. ^[123] Хирцебрух обобщил теорему на компактные комплексные многообразия в 1994 году ^[124] , а Гротендик обобщил ее до относительной версии (относительные утверждения о морфизмах .). ^{[125] [126]} Далее, обобщение результата о том, что «компактные римановы поверхности проективны» на большую размерность. В частности, рассмотрим условия, что при вложении компактного комплексного подмногообразия X в комплексное проективное пространство . ^{[примечание 26]} Теорема об исчезновении (была впервые введена ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle {\widehat {\mathbb {C} }}\cong \mathbb {CP} ^{1}}$ ${\displaystyle \mathbb {CP} ^{n}}$Кодаира в 1953) дает условие, когда группа когомологий пучка обращается в нуль, и условие состоит в том, чтобы удовлетворять некоторому виду положительности . В качестве приложения этой теоремы теорема о вложении Кодаира ^[127] утверждает, что для компактного кэлерова многообразия M с метрикой Ходжа существует комплексно-аналитическое вложение M в комплексное проективное пространство достаточно высокой размерности N. Кроме того, теорема Чжоу ^[128] показывает, что комплексно-аналитическое подпространство (подмногообразие) замкнутого комплексного проективного пространства является алгебраическим, то есть оно является общим нулем некоторых однородных многочленов, такое соотношение является одним из примеров того, что называется принципом GAGA Серра . ^[8] Комплексно-аналитическое подпространство (многообразие) комплексного проективного пространства обладает как алгебраическими, так и аналитическими свойствами. Затем, в сочетании с результатом Кодаиры, компактное кэлерово многообразие M вкладывается как алгебраическое многообразие. Этот результат дает пример комплексного многообразия с достаточным количеством мероморфных функций. В широком смысле, принцип GAGA гласит, что геометрия проективных комплексных аналитических пространств (или многообразий) эквивалентна геометрии проективных комплексных многообразий. Сочетание аналитических и алгебраических методов для комплексных проективных многообразий приводит к таким областям, как теория Ходжа . Кроме того, теория деформации компактных комплексных многообразий развилась как теория Кодаиры–Спенсера. Однако, несмотря на то, что это компактное комплексное многообразие, существуют контрпримеры, которые не могут быть вложены в проективное пространство и не являются алгебраическими. ^[129] Аналог проблем Леви на комплексном проективном пространстве Такеучи. ^{[4] [130] [131] [132]} ${\displaystyle \mathbb {CP} ^{n}}$

Смотрите также

• Бикомплексное число
• Сложная геометрия
• CR-коллектор
• Когомологии Дольбо
• Гармонические карты
• Гармонические морфизмы
• Бесконечномерная голоморфность
• Теорема Ока–Вейля

Аннотация

1. Это открытое связное подмножество .
2. Название, принятое, сбивающее с толку, для геометрии нулей аналитических функций ; это не аналитическая геометрия, которую изучали в школе. (Другими словами, в смысле GAGA по Серру.) ^[8]
3. Поле комплексных чисел представляет собой двумерное векторное пространство над действительными числами.
4. Обратите внимание, что эта формула справедлива только для полидиска. См. формулу §Бохнера–Мартинелли для интегральной формулы Коши в более общей области.
5. Согласно теореме Жордана о кривой, область D является ограниченным замкнутым множеством, то есть каждая область компактна. ${\displaystyle D_{\nu }}$
6. Но есть точка, где она сходится вне круга сходимости. Например, если одна из переменных равна 0, то некоторые члены, представленные произведением этой переменной, будут равны 0 независимо от значений, принимаемых другими переменными. Поэтому, даже если взять переменную, которая расходится, когда переменная отлична от 0, она может сходиться.
7. При описании с использованием области голоморфности, которая является обобщением области сходимости, область Рейнхардта является областью голоморфности тогда и только тогда, когда она логарифмически выпукла.
8. Эта теорема верна, даже если условие не ограничивается ограниченным множеством. Т.е. теорема верна, даже если это условие заменить открытым множеством. ^[20]
9. Ока говорит, что ^[32] содержание этих двух статей различно. ^[33]
10. Идея самого снопа принадлежит Жану Лере .
11. Фактически, это было доказано Киёси Ока ^[28] относительно области определения. См. лемму Оки . ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$
12. Это условие хулломорфно выпуклой оболочки, выраженное плюрисубгармонической функцией. По этой причине его также называют p-псевдовыпуклым или просто p-выпуклым.
13. Определение слабо 1-полного. ^[59]
14. В алгебраической геометрии существует проблема, возможно ли удалить особую точку комплексного аналитического пространства, выполнив операцию, называемую модификацией ^{[60] [61]} на комплексном аналитическом пространстве (при n = 2, результат Хирцебруха ^[62] , при n = 3, результат Зарисского ^[63] для алгебраических многообразий), но Грауэрт и Реммерт привели пример области, которая не является ни псевдовыпуклой, ни голоморфно выпуклой, хотя она является областью голоморфности: ^[64]
15. Это соотношение называется теоремой Картана–Туллена. ^[65]
16. См. лемму Оки .
17. Доказательство Оки использует псевдовыпуклость Оки вместо псевдовыпуклости Картана.
18. Существуют некоторые контрпримеры в области голоморфности относительно второй проблемы Кузена. ^{[80] [81]}
19. Это называется классической проблемой Кузена. ^[39]
20. Из этого условия видно, что многообразие Штейна некомпактно.
21. Проблема Леви не верна для областей в произвольных многообразиях. ^{[31] [96] [97]}
22. В случае пространства Штейна с изолированными сингулярностями эта задача уже была положительно решена Нарасимханом. ^{[4] [101]}
23. ( является проективным комплексным многообразием) не становится многообразием Штейна, даже если оно удовлетворяет условию голоморфной выпуклости. ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}\times \mathbb {P} _{m}}$ ${\displaystyle \mathbb {P} _{m}}$
24. Метод доказательства использует аппроксимацию многогранной областью , как в теореме Ока-Вейля .
25. Обратите внимание, что теорема о расширении Римана и ссылки на нее, объясненные в связанной статье, включают обобщенную версию теоремы о расширении Римана Гротендика, которая была доказана с использованием принципа GAGA, а также каждое одномерное компактное комплексное многообразие является многообразием Ходжа.
26. Это стандартный метод компактификации , но не единственный метод, подобный методу сферы Римана, который был компактификацией . ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$

Ссылки

Встроенные цитаты

1. Hörmander, Lars (1965). "L2 оценки и теоремы существования для оператора ∂ ¯ {\displaystyle {\bar {\partial }}}". Acta Mathematica . 113 : 89–152. doi : 10.1007/BF02391775 . S2CID  120051843.
2. Осава, Такео (2002). Анализ нескольких комплексных переменных. ISBN 978-1-4704-4636-9.
3. Błocki, Zbigniew (2014). «Коши–Риман встречает Монжа–Ампера». Бюллетень математических наук . 4 (3): 433–480. doi : 10.1007/s13373-014-0058-2 . S2CID  53582451.
4. Siu, Yum-Tong (1978). «Псевдовыпуклость и проблема Леви». Бюллетень Американского математического общества . 84 (4): 481–513. doi : 10.1090/S0002-9904-1978-14483-8 . MR  0477104.
5. Чен, Со-Чин (2000). «Комплексный анализ с одной и несколькими переменными». Taiwanese Journal of Mathematics . 4 (4): 531–568. doi : 10.11650/twjm/1500407292 . JSTOR  43833225. MR  1799753. Zbl  0974.32001.
6. Чонг, CT; Леонг, YK (1986). «Интервью с Жан-Пьером Серром». The Mathematical Intelligencer . 8 (4): 8–13. doi :10.1007/BF03026112. S2CID  121138963.
7. Фрайтаг, Эберхард (2011). «Аналитические функции нескольких комплексных переменных». Complex Analysis 2. Universitext. стр. 300–346. doi :10.1007/978-3-642-20554-5_5. ISBN 978-3-642-20553-8.
8. Серр, Жан-Пьер (1956). «Алгебрическая и аналитическая геометрия». Анналы Института Фурье (на французском языке). 6 : 1–42. дои : 10.5802/aif.59 . ISSN  0373-0956. МР  0082175. Збл  0075.30401.
9. Осава, Такео (1984). «Исчезающие теоремы о полных кэлеровых многообразиях». Публикации Научно-исследовательского института математических наук . 20 : 21–38. doi : 10.2977/prims/1195181825 .
10. Соломенцев, Э.Д. (2001) [1994], "Теорема Вейерштрасса", Энциклопедия математики , EMS Press
11. Одзаки, Сигео; Оно, Исао (1 февраля 1953 г.). «Аналитические функции нескольких комплексных переменных». Научные отчеты Tokyo Bunrika Daigaku, раздел A. 4 ( 98/103): 262–270. JSTOR  43700400.
12. Field, M (1982). "Комплексные многообразия". Несколько комплексных переменных и комплексные многообразия I. стр. 134–186. doi :10.1017/CBO9781107325562.005. ISBN 9780521283014.
13. Пуанкаре, М. Анри (1907). «Аналитические функции двух переменных и соответствующее представление». Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo . 23 : 185–220. дои : 10.1007/BF03013518 . S2CID  123480258.
14. Siu, Yum-Tong (1991). «Униформизация в нескольких комплексных переменных». В Wu, Hung-Hsi (ред.). Contemporary Geometry. стр. 494. doi :10.1007/978-1-4684-7950-8. ISBN 978-1-4684-7950-8.
15. Ярницки, Марек; Пфлуг, Питер (2008). Первые шаги в нескольких комплексных переменных: домены Рейнхардта. doi : 10.4171/049. ISBN 978-3-03719-049-4.
16. Сакаи, Эйити (1970). «Мероморфное или голоморфное завершение области Рейнхардта». Nagoya Mathematical Journal . 38 : 1–12. doi : 10.1017/S0027763000013465 . S2CID  118248529.
17. Range, R. Michael (1986). "Области голоморфности и псевдовыпуклости". Голоморфные функции и интегральные представления по нескольким комплексным переменным. Graduate Texts in Mathematics. Vol. 108. p. 10.1007/978-1-4757-1918-5_2. doi :10.1007/978-1-4757-1918-5_2. ISBN 978-1-4419-3078-1.
18. Кранц, Стивен Г. (2008). "Явление расширения Хартогса снова". Complex Variables and Elliptic Equations . 53 (4): 343–353. doi :10.1080/17476930701747716. S2CID  121700550.
19. Hartogs, Фриц (1906), "Einige Folgerungen aus der Cauchyschen Integralformel bei Funktionen mehrerer Veränderlichen.", Sitzungsberichte der Königlich Bayerischen Akademie der Wissenschaften zu München, Mathematisch-Physikalische Klasse (на немецком языке), 36 : 223–24 2, ЯФМ  37.0443 .01
20. Simonič, Aleksander (2016). «Элементарный подход к теореме о расширении Хартогса». arXiv : 1608.00950 [math.CV].
21. Лауфер, Генри Б. (1 июня 1966 г.). «Некоторые замечания о теореме Хартогса». Труды Американского математического общества . 17 (6): 1244–1249. doi : 10.1090/S0002-9939-1966-0201675-2 . JSTOR  2035718.
22. Меркер, Джоэль; Портен, Эгмонт (2007). «Теоретическое доказательство теоремы расширения Хартогса на основе теории Морса». Журнал геометрического анализа . 17 (3): 513–546. arXiv : math/0610985 . doi : 10.1007/BF02922095 . S2CID  449210.
23. Боггесс, А.; Двилевич, Р. Дж.; Слодковски, З. (2013). «Расширение Хартогса для обобщенных трубок в Cn». Журнал математического анализа и приложений . 402 (2): 574–578. doi : 10.1016/j.jmaa.2013.01.049 .
24. Картан, Анри (1931). «Функции комплексов двух переменных и проблемы аналитического представления». Журнал Mathématiques Pures et Appliquées . 10 :1–116. Збл  0001.28501.
25. Таллен, Питер (1931). «Zu den Abbildungen durch analytische Funktionen mehrerer komplexer Veränderlichen die Invarianz des Mittelpunktes von Kreiskörpern». Математические Аннален . 104 : 244–259. дои : 10.1007/bf01457933 . S2CID  121072397.
26. Сунады, Тошикадзу (1978). «Проблема голоморфной эквивалентности для ограниченных областей Рейнхардта». Mathematische Annalen . 235 (2): 111–128. doi : 10.1007/BF01405009 . S2CID  124324696.
27. Картан, Анри; Таллен, Питер (1932). «Zur Theorie der Singularitäten der Funktionen mehrerer komplexen Veränderlichen Regularitäts-und Konvergenzbereiche». Математические Аннален . 106 : 617–647. дои : 10.1007/BF01455905 .
28. Ока, Киёси (1943), «Sur les fonctions Analytiques de Plusieurs переменных. VI. Псевдовыпуклые области», Tohoku Mathematical Journal , First Series, 49 : 15–52, ISSN  0040-8735, Zbl  0060.24006
29. Ока, Киёси (1953), «Sur les fonctions Analytiques de Plusieurs переменных. IX. Domaines Finis sans Point Critique Intérieur», Японский журнал математики: Transactions and Abstracts , 23 : 97–155, doi : 10.4099/jjm1924.23.0 _97 , ISSN  0075-3432
30. Ганс Дж. Бремерманн (1954), «Über die Äquivalenz der pseudokonvexen Gebiete und der Holomorphiegebiete im Raum vonn komplexen Veränderlichen», Mathematische Annalen , 106 : 63–91, doi : 10.1007/BF01360125 , S2CID  119837 287
31. Гекльберри, Алан (2013). «Ганс Грауэрт (1930–2011)». Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung . 115 : 21–45. arXiv : 1303.6933 . дои : 10.1365/s13291-013-0061-7. S2CID  119685542.
32. Ока, Киёси (1953). Меркер, Дж.; Ногучи, Дж. (ред.). «Sur les formes groups et les contenus subjectifs dans les sciences math'ematiques; Propos post'erieur» (PDF) .
33. Ногучи, Дж. «Связанные с работами доктора Киёси ОКА».
34. Ока, Киёси (1950). «Sur les fonctions Analytiques de Plusieurs переменных. VII. Sur Quelques Concepts arithmétiques». Бюллетень математического общества Франции . 2 : 1–27. дои : 10.24033/bsmf.1408 ., Ока, Киёси (1961). «Sur les fonctions Analytiques de Plusieurs переменных. VII. Sur Quelques Notions arithmétiques» (PDF) . Иванами Сётэн, Токио (оригинальная версия Оки) .^{[примечание 9]}
35. Ока, Киёси (1951), «Sur les Fonctions Analytiques de Plusieurs Variables, VIII - Lemme Fondamental», Журнал Математического общества Японии , 3 (1): 204–214, doi : 10.2969/jmsj/00310204, Ока, Киёси (1951), «Sur les Fonctions Analytiques de Plusieurs Variables, VIII - Lemme Fondamental (Suite)», Журнал Математического общества Японии , 3 (2): 259–278, doi : 10.2969/jmsj/ 00320259
36. Картан, Анри (1950). «Идеи и модули аналитических функций комплексов переменных». Бюллетень математического общества Франции . 2 : 29–64. дои : 10.24033/bsmf.1409 .
37. Картан, Анри (1953). «Аналитические комплексы и когомологии». Коллоквиум о функциях плюсовых переменных, Брюссель : 41–55. МР  0064154. Збл  0053.05301.
38. Картан, Х.; Эйленберг, Сэмюэл; Серр, Дж.П. «Семинар Анри Картана, Том 3 (1950–1951)». numdam.org .
39. Chorlay, Renaud (январь 2010 г.). «От проблем к структурам: проблемы кузенов и возникновение концепции пучка». Архив истории точных наук . 64 (1): 1–73. doi :10.1007/s00407-009-0052-3. JSTOR  41342411. S2CID  73633995.
40. Шкивы на коллекторах. Grundlehren der mathematischen Wissenschaften. Том. 136. 1990. doi : 10.1007/978-3-662-02661-8. ISBN 978-3-642-08082-1.
41. Серр, Жан-Пьер (1953). «Quelques problèmes globaux relatifs aux variétés de Stein». Центр Бельгийской Речи. Math., Colloque Functions Plusieurs Variables, Bruxelles du 11 Au 14 Mar : 67–58. Збл  0053.05302.
42. Картан, Х.; Брюа, Ф.; Серф, Жан; Дольбо, П.; Френкель, Жан; Эрве, Мишель; Малатян.; Серр, Дж.П. «Семинар Анри Картана, Том 4 (1951–1952)». Архивировано из оригинала 20 октября 2020 года.
43. Форстнерич, Франк (2011). «Многообразия Штейна». Многообразия Штейна и голоморфные отображения . Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. 3. Фольге / Серия современных обзоров по математике. Том. 56. дои : 10.1007/978-3-642-22250-4. ISBN 978-3-642-22249-8.
44. Бенке, Х.; Штейн, К. (1939). «Konvergente Folgen von Regularitätsbereichen und die Meromorphiekonvexität». Математические Аннален . 116 : 204–216. дои : 10.1007/BF01597355. S2CID  123982856.
45. Кадзивара, Дзёдзи (1 января 1965 г.). «Связи между областями голоморфности и множественными проблемами Кузена». Kodai Mathematical Journal . 17 (4). doi : 10.2996/kmj/1138845123 .
46. Range, R. Michael (2012). «ЧТО ТАКОЕ... псевдовыпуклая область?». Notices of the American Mathematical Society . 59 (2): 1. doi : 10.1090/noti798 .
47. Комплексная аналитическая и дифференциальная геометрия
48. Фриче, Клаус; Грауэрт, Ганс (6 декабря 2012 г.). От голоморфных функций к комплексным многообразиям. Спрингер. ISBN 9781468492736.
49. Кранц, Стивен Джордж (2001). Теория функций нескольких комплексных переменных. Американское математическое общество. ISBN 9780821827246.
50. Лемперт, Ласло (1981). «La métrique de Kobayashi et la représentation des Domaines sur la boule». Бюллетень математического общества Франции . 109 : 427–474. дои : 10.24033/bsmf.1948 .
51. Шон, Кванг Хо (1987). «Базисы окрестностей Штейна для произведений множеств полидисков и открытых интервалов». Мемуары факультета естественных наук Университета Кюсю. Серия A, Математика . 41 : 45–80. doi : 10.2206/kyushumfs.41.45 .
52. Син Хитоматсу (1958), «О некоторых гипотезах, касающихся псевдовыпуклых областей», Журнал математического общества Японии , 6 (2): 177–195, doi : 10.2969/jmsj/00620177 , Zbl  0057.31503
53. Kajiwara, Joji (1959). «Некоторые результаты об эквивалентности комплексно-аналитических расслоений». Мемуары факультета естественных наук Университета Кюсю. Серия A, Математика . 13 : 37–48. doi : 10.2206/kyushumfs.13.37 .
54. Соломенцев, Э.Д. (2001) [1994], "Риманов домен", Энциклопедия математики , EMS Press
55. Осава, Такео (2018). «О локальной псевдовыпуклости некоторых аналитических семейств C {\displaystyle \mathbb {C} }». Annales de l'Institut Fourier . 68 (7): 2811–2818. doi : 10.5802/aif.3226 .
56. Ohsawa, Takeo (февраль 2021 г.). «Жесткость Нишино, локально псевдовыпуклые отображения и голоморфные движения (топология псевдовыпуклых областей и анализ воспроизводящих ядер)». RIMS Kôkyûroku . 2175 : 27–46. hdl :2433/263965.
57. Дидерих, Клас; Форнесс, Джон Эрик (1982). «Гладкая псевдовыпуклая область без псевдовыпуклого исчерпывания». Manuscripta Mathematica . 39 : 119–123. doi :10.1007/BF01312449. S2CID  121224216.
58. Осава, Такео (2012). «Теоремы расширения типа Хартогса на некоторых областях в кэлеровых многообразиях». Annales Polonici Mathematici . 106 : 243–254. doi : 10.4064/ap106-0-19 . S2CID  123827662.
59. Осава, Такео (1981). «Слабо 1-полное многообразие и проблема Леви». Публикации Научно-исследовательского института математических наук . 17 : 153–164. doi : 10.2977/prims/1195186709 .
60. Генрих Бенке и Карл Штайн (1951), «Modifikationen koplexer Mannigfaltigkeiten und Riernannscher Gebiete», Mathematische Annalen , 124 : 1–16, doi : 10.1007/BF01343548, S2CID  120455177, Zbl  0043.30301
61. Онищик, АЛ (2001) [1994], «Модификация», Энциклопедия математики , EMS Press
62. Фридрих Хирцебрух (1953), «Über vier DimensioneRIEMANNsche Flächen mehrdeutiger analytischer Fon zwei komplexen Veränderlichen», Mathematische Annalen , 126 : 1–22, doi : 10.1007/BF01343146, hdl : 21.11116/00 00-0004-3A47-C , S2CID  122862268
63. Оскар Зарисский (1944), «Редукция особенностей алгебраических трехмерных многообразий», Annals of Mathematics , вторая серия, 45 (3): 472–542, doi :10.2307/1969189, JSTOR  1969189
64. Ханс Грауэрт и Райнхольд Реммерт (1956), «Konvexität in der komplexen Analysis. Nicht-holomorph-konvexe Holomorphiegebiete und Anwendungen auf die Abbildungstheorie», Commentarii Mathematici Helvetici , 31 : 152–183, doi : 10.1007/BF02564357, S 2CID  117913713, Збл  0073.30301
65. Цуруми, Казуюки; Джимбо, Тошия (1969). «Некоторые свойства голоморфной выпуклости в общих функциональных алгебрах». Научные отчеты Токийского Кёику Дайгаку, Раздел А. 10 (249/262): 178–183. JSTOR  43698735.
66. Форнесс, Джон Эрик (1978). «Контрпример для проблемы Леви для разветвленных римановых областей над C n {\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}». Mathematische Annalen . 234 (3): 275–277. doi :10.1007/BF01420649.
67. Noguchi, Junjiro (2019). «Краткая хроника проблемы Леви (обратной задачи Хартога), когерентности и открытой проблемы». Notices of the International Congress of Chinese Mathematicians . 7 (2): 19–24. arXiv : 1807.08246 . doi : 10.4310/ICCM.2019.V7.N2.A2. S2CID  119619733.
68. Ногучи, Дзюндзиро (2016). Аналитическая теория функций нескольких переменных. Элементы когерентности Оки (px). стр. XVIII, 397. doi :10.1007/978-981-10-0291-5. ISBN 978-981-10-0289-2. S2CID  125752012.
69. Ногучи, Дзюндзиро (2016). Аналитическая теория функций нескольких переменных. Элементы когерентности Оки (стр. 33). стр. XVIII, 397. doi :10.1007/978-981-10-0291-5. ISBN 978-981-10-0289-2. S2CID  125752012.
70. Серр, Жан-Пьер (1955), «Faisceaux algébriques cohérents» (PDF) , Annals of Mathematics , 61 (2): 197–278, doi : 10.2307/1969915, JSTOR  1969915, MR  0068874
71. Гротендик, Александр; Дьедонн, Жан (1960). «Элементы алгебраической геометрии: I. Язык схем (гл. 0 § 5. FAISCEAUX QUASI-COHÉRENTS ET FAISCEAUX COHÉRENTS (0.5.1–0.5.3)»). Публикации Mathématiques de l'IHÉS . 4 . дои : 10.1007/bf02684778. MR  0217083. S2CID  121855488.
72. Remmert, R. (1994). "Локальная теория комплексных пространств". Несколько комплексных переменных VII §6. Исчисления когерентных пучков. Энциклопедия математических наук. Т. 74. С. 7–96. doi :10.1007/978-3-662-09873-8_2. ISBN 978-3-642-08150-7.
73. Осава, Такео (10 декабря 2018 г.). Подходы L2 в нескольких комплексных переменных: к теории Ока–Картана с точными границами. Springer Monographs in Mathematics. doi : 10.1007/978-4-431-55747-0. ISBN 9784431568513.
74. Ногучи, Дзюнджиро (2019), «Теорема о слабой когерентности и замечания к теории Оки» (PDF) , Kodai Math. J. , 42 (3): 566–586, arXiv : 1704.07726 , doi : 10.2996/kmj/1572487232, S2CID  119697608
75. Грауэрт, Х.; Реммерт, Р. (6 декабря 2012 г.). Когерентные аналитические пучки. Спрингер. п. 60. ИСБН 978-3-642-69582-7.
76. Грауэрт, Х.; Реммерт, Р. (6 декабря 2012 г.). Когерентные аналитические пучки. Спрингер. п. 84. ИСБН 978-3-642-69582-7.
77. Демайи, Жан-Пьер. "Основные результаты по пучкам и аналитическим множествам" (PDF) . Institut Fourier.
78. Грауэрт, Ганс; Реммерт, Рейнхольд (1984). «Нормализация сложных пространств». Когерентные аналитические пучки . Grundlehren der mathematischen Wissenschaften. Том. 265. стр. 152–166. дои : 10.1007/978-3-642-69582-7_8. ISBN 978-3-642-69584-1.
79. Кузен, Пьер (1895). «Сюр-ле-функции комплексов n переменных». Акта Математика . 19 : 1–61. дои : 10.1007/BF02402869 .
80. Ока, Киёси (1939). «Sur les fonctions Analytiques de Plusieurs переменных. III – Вторая проблема Кузена». Научный журнал Хиросимского университета . 9 :7–19. дои : 10.32917/hmj/1558490525 .
81. Серр, Жан-Пьер (2003). «Quelques problèmes globaux relatifs aux variétés de Stein». Oeuvres - Сборник статей I (на французском языке). Шпрингер Берлин Гейдельберг. п. XXIII, 598. ISBN. 978-3-642-39815-5.
82. Ока, Киёси (1936). «Sur les fonctions Analytiques de Plusieurs переменных. I. Выпуклые области по взаимосвязи с рациональными функциями». Научный журнал Хиросимского университета . 6 : 245–255. дои : 10.32917/hmj/1558749869 .
83. Ока, Киёси (1937). «Sur les fonctions Analytiques de Plusieurs переменных. II – Области голоморфности». Научный журнал Хиросимского университета . 7 : 115–130. дои : 10.32917/hmj/1558576819 .
84. Серр, Ж. -П. «Приложения общей теории к различным глобальным проблемам». Семинар Анри Картана . 4 : 1–26.
85. Weyl, Hermann (2009) [1913], Концепция римановой поверхности (3-е изд.), Нью-Йорк: Dover Publications , ISBN 978-0-486-47004-7, МР  0069903
86. Генрих Бенке и Карл Штайн (1948), «Entwicklung analytischer Funktionen auf Riemannschen Flächen», Mathematische Annalen , 120 : 430–461, doi : 10.1007/BF01447838, S2CID  122535410, Zbl  0038.23502
87. Ганнинг, RC; Нарасимхан, Рагхаван (1967). «Погружение открытых римановых поверхностей». Математические Аннален . 174 (2): 103–108. дои : 10.1007/BF01360812. S2CID  122162708.
88. Fornaess, JE; Forstneric, F; Wold, EF (2020). «Наследие Вейерштрасса, Рунге, Ока–Вейля и Мергеляна». В Breaz, Daniel; Rassias, Michael Th. (ред.). Достижения в комплексном анализе – голоморфное приближение . Springer Nature . стр. 133–192. arXiv : 1802.03924 . doi : 10.1007/978-3-030-40120-7. ISBN 978-3-030-40119-1. S2CID  220266044.
89. Пати, Имре (2011). «О комплексных банаховых многообразиях, подобных многообразиям Штейна». Comptes Rendus Mathematique . 349 (1–2): 43–45. arXiv : 1010.3738 . дои : 10.1016/j.crma.2010.11.020. S2CID  119631664.
90. Штейн, Карл (1951), "Analytische Funktionen mehrerer komplexer Veränderlichen zu vorgegebenen Periodizitätsmoduln und das zweite Cousinsche Issue", Math. Энн. (на немецком языке), 123 : 201–222, doi : 10.1007/bf02054949, MR  0043219, S2CID  122647212
91. Ногучи, Дзюндзиро (2011). «Еще одно прямое доказательство теоремы Оки (Ока IX)» (PDF) . J. Math. Sci. Univ. Tokyo . 19 (4). arXiv : 1108.2078 . MR  3086750.
92. Грауэрт, Ганс (1955). «Характеристика голоморфа vollständigen komplexen Räume». Математические Аннален . 129 : 233–259. дои : 10.1007/BF01362369. S2CID  122840967.
93. Картан, Анри (1957). «Аналитические вариации и комплексы аналитических разновидностей». Бюллетень математического общества Франции . 85 : 77–99. дои : 10.24033/bsmf.1481 .
94. Барт, Теодор Дж. (1968). «Семейства неотрицательных делителей». Trans. Amer. Math. Soc . 131 : 223–245. doi : 10.1090/S0002-9947-1968-0219751-3 .
95. Бремерманн, Ханс Дж. (1957). «О теореме Ока для многообразий Штейна». Семинары по аналитическим функциям. Институт перспективных исследований (Принстон, Нью-Джерси) . 1 : 29–35. Zbl  0192.18304.
96. Sibony, Nessim (2018). «Проблема Леви в комплексных многообразиях». Mathematische Annalen . 371 (3–4): 1047–1067. arXiv : 1610.07768 . doi :10.1007/s00208-017-1539-x. S2CID  119670805.
97. Грауэрт, Ганс (1963). «Bemerkenswerte pseudokonvex Mannigfaltigkeiten». Mathematische Zeitschrift . 81 (5): 377–391. дои : 10.1007/BF01111528. S2CID  122214512.
98. Ганс Грауэрт (1958), «О проблеме Леви и вложении вещественно-аналитических многообразий», Annals of Mathematics , Вторая серия, 68 (2): 460–472, doi :10.2307/1970257, JSTOR  1970257, Zbl  0108.07804
99. Нарасимхан, Рагхаван (1961). «Задача Леви для комплексных пространств». Математические Аннален . 142 (4): 355–365. дои : 10.1007/BF01451029. S2CID  120565581.
100. Нарасимхан, Рагхаван (1962). «Проблема Леви для комплексных пространств II». Математические Аннален . 146 (3): 195–216. дои : 10.1007/BF01470950. S2CID  179177434.
101. Coltoiu, Mihnea (2009). "Проблема Леви о пространствах Штейна с особенностями. Обзор". arXiv : 0905.2343 [math.CV].
102. Форнес, Джон Эрик; Сибони, Нессим (2001). «Некоторые открытые проблемы многомерного комплексного анализа и сложной динамики». Публикации Matemàtiques . 45 (2): 529–547. дои : 10.5565/PUBLMAT_45201_11. JSTOR  43736735.
103. Осава, Такео (10 декабря 2018 г.). Подходы L2 в нескольких комплексных переменных: к теории Ока–Картана с точными границами. Springer Monographs in Mathematics. doi : 10.1007/978-4-431-55747-0. ISBN 9784431568513.
104. Андреотти, Альдо; Нарасимхан, Рагхаван (1964). «Heftungslemma Оки и проблема Леви для комплексных пространств». Труды Американского математического общества . 111 (2): 345–366. doi : 10.1090/S0002-9947-1964-0159961-3 . JSTOR  1994247.
105. Рагхаван, Нарасимхан (1960). «Вложение голоморфно полных комплексных пространств». Американский журнал математики . 82 (4): 917–934. doi :10.2307/2372949. JSTOR  2372949.
106. Элиашберг, Яков; Громов, Михаил (1992). «Вложения многообразий Штейна размерности n в аффинное пространство размерности 3n/2 +1». Анналы математики . Вторая серия. 136 (1): 123–135. дои : 10.2307/2946547. JSTOR  2946547.
107. Реммерт, Рейнхольд (1956). «Sur les espaces Analytiques Holomorphiquement Separables et Holomorphiquement Buildes». Comptes Rendus Hebdomadaires des Séances de l'Académie des Sciences de Paris (на французском языке). 243 : 118–121. Збл  0070.30401.
108. Форстер, Отто (1967). «Некоторые замечания о параллелизуемых многообразиях Штейна». Бюллетень Американского математического общества . 73 (5): 712–716. doi : 10.1090/S0002-9904-1967-11839-1 .
109. Simha, RR (1989). «Теорема Бенке-Штейна для открытых римановых поверхностей». Труды Американского математического общества . 105 (4): 876–880. doi : 10.1090/S0002-9939-1989-0953748-X . JSTOR  2047046.
110. Онищик, АЛ (2001) [1994], "Проблема Леви", Энциклопедия математики , EMS Press
111. Осава, Такео (1982). «Область Штейна с гладкой границей, которая имеет структуру произведения». Публикации Научно-исследовательского института математических наук . 18 (3): 1185–1186. doi : 10.2977/prims/1195183303 .
112. Ниман, Амнон (1988). «Штейнс, аффинные числа и четырнадцатая проблема Гильберта». Annals of Mathematics . 127 (2): 229–244. doi :10.2307/2007052. JSTOR  2007052.
113. Миранда, Рик (1995). Алгебраические кривые и римановы поверхности. Graduate Studies in Mathematics. Том 5. doi :10.1090/gsm/005. ISBN 9780821802687.
114. Арапура, Дону (15 февраля 2012 г.). Алгебраическая геометрия над комплексными числами. Springer. ISBN 9781461418092.
115. Данилов, В.И. (1996). «Когомологии алгебраических многообразий». Алгебраическая геометрия II. Энциклопедия математических наук. Том. 35. стр. 1–125. дои : 10.1007/978-3-642-60925-1_1. ISBN 978-3-642-64607-2.
116. Хартшорн, Робин (1977). Алгебраическая геометрия. Graduate Texts in Mathematics. Том 52. Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag . doi :10.1007/978-1-4757-3849-0. ISBN 978-0-387-90244-9. МР  0463157. S2CID  197660097. Збл  0367.14001.
117. Кодаира, Кунихико (1951). «Теорема Римана-Роха о компактных аналитических поверхностях». American Journal of Mathematics . 73 (4): 813–875. doi :10.2307/2372120. JSTOR  2372120.
118. Кодаира, Кунихико (1952). «Теорема Римана-Роха для сопряженных систем на трехмерных алгебраических многообразиях». Annals of Mathematics . 56 (2): 298–342. doi :10.2307/1969802. JSTOR  1969802.
119. Кодаира, Кунихико (1952). «О теореме Римана-Роха для сопряженных систем на кэлеровых многообразиях». Труды Национальной академии наук Соединенных Штатов Америки . 38 (6): 522–527. Bibcode :1952PNAS...38..522K. doi : 10.1073/pnas.38.6.522 . JSTOR  88542. PMC 1063603 . PMID  16589138. 
120. Серр, Жан-Пьер (1955), «Un theorème de Dualité», Commentarii Mathematici Helvetici , 29 : 9–26, doi : 10.1007/BF02564268, MR  0067489, S2CID  123643759
121. Картан, Анри; Серр, Жан-Пьер (1953). «Теорема конечности, касающаяся компактных аналитических разновидностей». Comptes Rendus Hebdomadaires des Séances de l'Académie des Sciences de Paris . 237 : 128–130. Збл  0050.17701.
122. Брынзанеску, Василе (1996). "Векторные расслоения над комплексными многообразиями". Голоморфные векторные расслоения над компактными комплексными поверхностями . Lecture Notes in Mathematics. Vol. 1624. pp. 1–27. doi :10.1007/BFb0093697. ISBN 978-3-540-61018-2.
123. Вейль, А. (1938). «Zur алгебраическая теория алгебраических функций. (Aus einem Brief an H. Hasse.)». Журнал для королевы и математики . 179 : 129–133. дои : 10.1515/crll.1938.179.129. S2CID  116472982.
124. Хирцебрух, Фридрих (1966). Топологические методы в алгебраической геометрии . doi :10.1007/978-3-642-62018-8. ISBN 978-3-540-58663-0.
125. Бертло, Пьер (1971). Александр Гротендик; Люк Иллюзи (ред.). Теория пересечений и теория Римана-Роха . Конспект лекций по математике. Том. 225. Springer Science+Business Media. стр. xii+700. дои : 10.1007/BFb0066283. ISBN 978-3-540-05647-8.
126. Борель, Арман; Серр, Жан-Пьер (1958). «Теорема Римана-Роха». Бюллетень математического общества Франции . 86 : 97–136. дои : 10.24033/bsmf.1500 . МР  0116022.
127. Кодаира, К. (1954). «О кэлеровых многообразиях ограниченного типа (внутренняя характеристика алгебраических многообразий)». Annals of Mathematics . Вторая серия. 60 (1): 28–48. doi :10.2307/1969701. JSTOR  1969701.
128. Chow, Wei-Liang (1949). «О компактных комплексных аналитических многообразиях». American Journal of Mathematics . 71 (2): 893–914. doi :10.2307/2372375. JSTOR  2372375.
129. Калаби, Эудженио; Экман, Бено (1953). «Класс компактных комплексных многообразий, которые не являются алгебраическими». Annals of Mathematics . 58 (3): 494–500. doi :10.2307/1969750. JSTOR  1969750.
130. Осава, Такео (2012). «О дополнении эффективных дивизоров с полуположительным нормальным расслоением». Киотский журнал математики . 52 (3). doi : 10.1215/21562261-1625181 . S2CID  121799985.
131. Мацумото, Казуко (2018). «Равенство Такеучи для формы Леви расстояния Фубини–Штуди до комплексных подмногообразий в комплексных проективных пространствах». Kyushu Journal of Mathematics . 72 (1): 107–121. doi : 10.2206/kyushujm.72.107 .
132. Такеучи, Акира (1964). «Бесконечные псевдовыпуклые области и римские метрики в космических проектах». Журнал Математического общества Японии . 16 (2). дои : 10.2969/jmsj/01620159 . S2CID  122894640.

Учебники

• Бенке, Х.; Таллен, П. (1934). Theorie der Funktionen mehrerer complexer Veränderlichen . дои : 10.1007/978-3-642-99659-7. ISBN 978-3-642-98844-8.
• Бохнер, С.; Мартин, У. Т. (1948). Несколько комплексных переменных . Математическая серия Принстона. Издательство Принстонского университета. ISBN 978-0-598-34865-4.
• Форстер, Отто (1981). Лекции по римановым поверхностям . Graduate Text in Mathematics. Vol. 81. New-York: Springer Verlag. ISBN 0-387-90617-7.
• Фукс, Б.А. (1962). Введение в аналитические функции многих комплексных функций . ОСЛК  896179082.
  • Фукс, Борис Абрамович (1963). Теория аналитических функций многих комплексных переменных . Американское математическое общество. ISBN 978-1-4704-4428-0.
• Картан, Анри; Такахаши, Рейджи (1992). Théorie élémentaire des fonctions Analytiques d'une или plusieurs комплексы переменных (на французском языке) (6-е изд., новое изд.). Париж: Германн. п. 231. ИСБН 9782705652159.
  • Картан, Анри (1992). Элементарная теория аналитических функций одной или нескольких комплексных переменных. Courier Corporation. стр. 228. ISBN 9780486318677.
• Фрайтаг, Эберхард (2011). Комплексный анализ 2: Римановы поверхности, несколько комплексных переменных, абелевы функции, высшие модулярные функции. Universitext (2-е изд.). Springer. doi :10.1007/978-3-642-20554-5. ISBN 978-3-642-20554-5.
• Форстнерич, Франк (2011). Многообразия Штейна и голоморфные отображения . Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. 3. Фольге / Серия современных обзоров по математике. Том. 56. дои : 10.1007/978-3-642-22250-4. ISBN 978-3-642-22249-8.
• Грауэрт, Ганс; Реммерт, Рейнхольд (1979), Теория пространств Штейна , Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, vol. 236, Берлин-Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN. 3-540-90388-7, МР  0580152
• Шабат, Б.В. (1985). Введение в комплексный анализ Введение в комплексный анализ . Наука, Глав. красный. физико-математической лит-ры, Москва. ОСЛК  14003250.
  • Введение в комплексный анализ Часть II. Функции нескольких переменных . Переводы математических монографий. Т. 110. 1992. doi :10.1090/mmono/110. ISBN 9780821819753.
• Ларс Хёрмандер (1990) [1966], Введение в комплексный анализ нескольких переменных (3-е изд.), Северная Голландия, ISBN 978-1-493-30273-4
• Ганнинг, Роберт Клиффорд; Росси, Хьюго (2009). Аналитические функции нескольких комплексных переменных. Американское математическое общество. ISBN 978-0-8218-2165-7.
• Кауп, Людгер; Кауп, Бурхард (9 мая 2011 г.). Голоморфные функции многих переменных: введение в фундаментальную теорию. Вальтер де Грюйтер. ISBN 9783110838350.
• Кодаира, Кунихико (17 ноября 2004 г.). Комплексные многообразия и деформация комплексных структур. Классика математики. Springer. doi :10.1007/b138372. ISBN 3-540-22614-1.
• Кранц, Стивен Г. (1992). Теория функций нескольких комплексных переменных (Второе издание). AMS Chelsea Publishing. стр. 340. doi :10.1090/chel/340. ISBN 978-0-8218-2724-6.
• Голоморфные функции и интегральные представления нескольких комплексных переменных . Graduate Texts in Mathematics. Vol. 108. 1986. doi :10.1007/978-1-4757-1918-5. ISBN 978-1-4419-3078-1.
• Введение в комплексный анализ нескольких переменных . 2005. doi :10.1007/3-7643-7491-8. ISBN 3-7643-7490-X.
• Ногучи, Дзюндзиро (2016). Аналитическая теория функций нескольких переменных. Элементы когерентности Оки . стр. XVIII, 397. doi :10.1007/978-981-10-0291-5. ISBN 978-981-10-0289-2. S2CID  125752012.
• Владимиров, Василий Сергеевич; Technica, Scripta (январь 2007). Методы теории функций многих комплексных переменных. Courier Corporation. ISBN 9780486458120.

Энциклопедия математики

• Гончар, А.А.; Шабат, Б.В. (2001) [1994], "Аналитическая функция", Энциклопедия математики , EMS Press
• Соломенцев, Э.Д. (2001) [1994], "Степенные ряды", Энциклопедия математики , Издательство ЭМС
• Соломенцев, Э.Д. (2001) [1994], "Биголоморфное отображение", Энциклопедия математики , Издательство EMS Press
• Соломенцев, Э.Д. (2001) [1994], "Домен Рейнхардта", Энциклопедия математики , EMS Press
• Чирка, Э.М. (2001) [1994], "Теорема Хартогса", Энциклопедия математики , EMS Press
• Гончар, А.А.; Владимиров, В.С. (2001) [1994], "Область голоморфности", Энциклопедия математики , Издательство EMS Press
• Онищик, А.Л. (2001) [1994], "Псевдовыпуклые и псевдовогнутые", Энциклопедия математики , Издательство ЭМС
• Соломенцев, Э.Д. (2001) [1994], "Плюрисубгармоническая функция", Энциклопедия математики , Издательство EMS
• Данилов, В.И. (2001) [1994], «Квазикогерентный пучок», Математическая энциклопедия , EMS Press
• Онищик, АЛ (2001) [1994], "Когерентный пучок", Энциклопедия математики , Издательство EMS Press
• Онищик, АЛ (2001) [1994], "Когерентный аналитический пучок", Энциклопедия математики , Издательство EMS
• Данилов, В.И. (2001) [1994], "Когерентный алгебраический пучок", Энциклопедия математики , Издательство EMS Press
• Чирка, Э.М. (2001) [1994], «Теоремы Оки», Математическая энциклопедия , EMS Press
• Чирка, Э.М. (2001) [1994], «Проблемы кузенов», Энциклопедия математики , EMS Press
• Онищик, АЛ (2001) [1994], "Многообразие Штейна", Энциклопедия математики , Издательство EMS
• Паршин, А.Н. (2001) [1994], "Теоремы конечности", Энциклопедия математики , Издательство EMS Press

Дальнейшее чтение

• Hartshorne, Robin (1977). Алгебраическая геометрия . Graduate Texts in Mathematics. Vol. 52. Berlin, New York: Springer-Verlag . doi :10.1007/978-1-4757-3849-0. ISBN 978-0-387-90244-9. МР  0463157. S2CID  197660097. Збл  0367.14001.
• Кранц, Стивен Г. (1987), «Что такое несколько комплексных переменных?», The American Mathematical Monthly , 94 (3): 236–256, doi :10.2307/2323391, JSTOR  2323391
• Зеебах, Дж. Артур; Зеебах, Линда А.; Стин, Линн А. (1970). «Что такое сноп?». The American Mathematical Monthly . 77 (7): 681–703. doi :10.2307/2316199. JSTOR  2316199.
• Ока, Киёси (1984), Реммерт Р. (редактор), Сборник статей , Springer-Verlag Berlin Heidelberg, стр. XIV, 226, ISBN 978-3-662-43412-3
• Мартин, В. Т. (1956). «Научный отчет о втором летнем институте, несколько комплексных переменных. Часть I. Отчет о семинаре по анализу». Бюллетень Американского математического общества . 62 (2): 79–102. doi : 10.1090/S0002-9904-1956-10013-X .
• Черн, Шиинг-Шен (1956). «Научный отчет о втором летнем институте, несколько комплексных переменных. Часть II. Комплексные многообразия». Бюллетень Американского математического общества . 62 (2): 101–118. doi : 10.1090/S0002-9904-1956-10015-3 .
• Зариски, Оскар (1956). «Научный отчет о втором летнем институте, несколько комплексных переменных. Часть III. Алгебраическая теория пучков». Бюллетень Американского математического общества . 62 (2): 117–142. doi : 10.1090/S0002-9904-1956-10018-9 .
• Реммерт, Рейнхольд (1998). «От римановых поверхностей к комплексным пространствам» (PDF) . Семинары и конгрессы . Збл  1044.01520.

Внешние ссылки

• Вкусные кусочки нескольких сложных переменных книга с открытым исходным кодом Иржи Лебла
• Комплексная аналитическая и дифференциальная геометрия (книга OpenContent, см. B2)
• Демайи, Жан-Пьер (2012). «Анри Картан и голоморфные функции плюсовых переменных» (PDF) . В Харинке, Паскаль; Плань, Ален; Саббах, Клод (ред.). Анри Картан и Андре Вейль. Математики XXesiecle. Journées mathématiques X-UPS, Палезо, Франция, 3–4 мая 2012 г. Палезо: Les Éditions de l'École Polytechnique. стр. 99–168. ISBN 978-2-7302-1610-4.
• Виктор Гийемен. 18.117 Темы в нескольких комплексных переменных. Весна 2005 г. Массачусетский технологический институт: MIT OpenCourseWare, https://ocw.mit.edu. Лицензия: Creative Commons BY-NC-SA .
• В данной статье использованы материалы из следующих статей PlanetMath , лицензированных по лицензии Creative Commons Attribution/Share-Alike : область Рейнхардта, голоморфно выпуклый, область голоморфности, полидиск, биголоморфно эквивалентный, псевдовыпуклый Леви, псевдовыпуклый, функция исчерпания.