Геометрия контакта

Раздел геометрии

Стандартная контактная структура на R ³ . Каждая точка в R ³ имеет плоскость, связанную с ней контактной структурой, в данном случае как ядро ​​однократной формы d z − y d x . Эти плоскости кажутся закрученными вдоль оси y . Это не интегрируемо, в чем можно убедиться, нарисовав бесконечно малый квадрат в плоскости x - y и следуя по пути вдоль однократных форм. Путь не вернется к той же z -координате после одного цикла.

В математике контактная геометрия — это изучение геометрической структуры на гладких многообразиях, заданных гиперплоскостным распределением в касательном расслоении, удовлетворяющем условию, называемому «полной неинтегрируемостью». Эквивалентно, такое распределение может быть задано (по крайней мере локально) как ядро ​​дифференциальной одноформы, а условие неинтегрируемости переводится в максимальное условие невырожденности формы. Эти условия противоположны двум эквивалентным условиям для «полной интегрируемости» гиперплоскостного распределения, т. е. чтобы оно касалось слоения коразмерности один на многообразии, эквивалентность которого является содержанием теоремы Фробениуса .

Контактная геометрия во многих отношениях является нечетномерным аналогом симплектической геометрии , структуры на определенных четномерных многообразиях. Как контактная, так и симплектическая геометрия мотивированы математическим формализмом классической механики , где можно рассматривать либо четномерное фазовое пространство механической системы, либо гиперповерхность постоянной энергии, которая, будучи коразмерностью один, имеет нечетную размерность.

Приложения

Как и симплектическая геометрия, контактная геометрия имеет широкие приложения в физике , например, геометрическая оптика , классическая механика , термодинамика , геометрическое квантование , интегрируемые системы и теория управления . Контактная геометрия также имеет приложения к низкоразмерной топологии ; например, она использовалась Кронхаймером и Мровкой для доказательства гипотезы свойства P , Майклом Хатчингсом для определения инварианта гладких трехмерных многообразий и Ленхардом Нгом для определения инвариантов узлов. Она также использовалась Яковом Элиашбергом для вывода топологической характеристики многообразий Штейна размерности не менее шести.

Контактная геометрия использовалась для описания зрительной коры . ^[1]

Контактные формы и структуры

Контактная структура на нечетномерном многообразии — это плавно меняющееся семейство подпространств коразмерности один каждого касательного пространства многообразия, удовлетворяющее условию неинтегрируемости. Семейство может быть описано как сечение расслоения следующим образом:

Если задано n -мерное гладкое многообразие M и точка p ∈ M , то контактный элемент M с точкой контакта p является ( n  − 1)-мерным линейным подпространством касательного пространства к M в точке p . ^{[2] [3]} Контактный элемент может быть задан ядром линейной функции на касательном пространстве к M в точке p . Однако, если подпространство задано ядром линейной функции ω, то оно также будет задано нулями λω, где λ ≠ 0 — любое ненулевое действительное число. Таким образом, ядра { λω : λ ≠ 0 } все дают один и тот же контактный элемент. Из этого следует, что пространство всех контактных элементов M можно отождествить с фактором кокасательного расслоения T* M (с удаленным нулевым сечением ), ^[2] , а именно: ${\displaystyle 0_{M}}$

${\displaystyle {\text{PT}}^{*}M=({\text{T}}^{*}M-{0_{M}})/{\sim }\ {\text{ where, for }}\omega _{i}\in {\text{T}}_{p}^{*}M,\ \ \omega _{1}\sim \omega _{2}\ \iff \ \exists \ \lambda \neq 0\ :\ \omega _{1}=\lambda \omega _{2}.}$

Контактная структура на нечетномерном многообразии M размерности 2k +1 представляет собой гладкое распределение контактных элементов, обозначаемое ξ , которое является общим в каждой точке. ^{[2] [3]} Условие общего положения состоит в том, что ξ неинтегрируемо .

Предположим, что у нас есть гладкое распределение контактных элементов, ξ , заданное локально дифференциальной 1-формой α ; т.е. гладкое сечение кокасательного расслоения. Условие неинтегрируемости может быть задано явно как: ^[2]

${\displaystyle \alpha \wedge ({\text{d}}\alpha )^{k}\neq 0\ {\text{where}}\ ({\text{d}}\alpha )^{k}=\underbrace {{\text{d}}\alpha \wedge \ldots \wedge {\text{d}}\alpha } _{k{\text{-times}}}.}$

Обратите внимание, что если ξ задано дифференциальной 1-формой α , то то же распределение задается локально как β = ƒ⋅ α , где ƒ — ненулевая гладкая функция . Если ξ коориентируемо, то α определяется глобально.

Характеристики

Из теоремы Фробениуса об интегрируемости следует , что контактное поле ξ полностью неинтегрируемо . Это свойство контактного поля примерно противоположно тому, что оно является полем, образованным касательными плоскостями семейства неперекрывающихся гиперповерхностей в M. В частности, вы не можете найти гиперповерхность в M, касательные пространства которой совпадают с ξ , даже локально. Фактически, не существует подмногообразия размерности больше k , касательные пространства которого лежат в ξ .

Связь с симплектическими структурами

Следствием определения является то, что ограничение 2-формы ω  =  dα на гиперплоскость в ξ является невырожденной 2-формой. Эта конструкция обеспечивает любое контактное многообразие M естественным симплектическим расслоением ранга один, меньшего размерности M. Обратите внимание, что симплектическое векторное пространство всегда четномерно, в то время как контактные многообразия должны быть нечетномерными.

Кокасательное расслоение T * N любого n -мерного многообразия N само по себе является многообразием (размерности 2 n ) и естественным образом поддерживает точную симплектическую структуру ω = dλ . (Эта 1-форма λ иногда называется формой Лиувилля ). Существует несколько способов построения связанного контактного многообразия, некоторые из которых имеют размерность 2 n  − 1, некоторые — размерность 2 n  + 1.

Проективизация

Пусть M — проективизация кокасательного расслоения N : таким образом, M — расслоение над N , чей слой в точке x — это пространство прямых в T* N , или, что эквивалентно, пространство гиперплоскостей в T N ​​. 1-форма λ не спускается до настоящей 1-формы на M . Однако она однородна степени 1, и поэтому она определяет 1-форму со значениями в линейном расслоении O(1), которое является двойственным к послойному тавтологическому линейному расслоению M . Ядро этой 1-формы определяет контактное распределение.

Энергетические поверхности

Предположим, что H — гладкая функция на T* N , что E — регулярное значение для H , так что множество уровня является гладким подмногообразием коразмерности 1. Векторное поле Y называется векторным полем Эйлера (или Лиувилля), если оно трансверсально L и конформно симплектическо, что означает, что производная Ли от dλ по Y кратна dλ в окрестности L . ${\displaystyle L=\{(q,p)\in T^{*}N\mid H(q,p)=E\}}$

Тогда ограничение на L является контактной формой на L. ${\displaystyle i_{Y}\,d\lambda }$

Эта конструкция берет свое начало в гамильтоновой механике , где H — гамильтониан механической системы с конфигурационным пространством N и фазовым пространством T * N , а E — значение энергии.

Единичное котангенсное расслоение

Выберем риманову метрику на многообразии N и пусть H будет соответствующей кинетической энергией. Тогда множество уровня H = 1/2 является единичным кокасательным расслоением N , гладким многообразием размерности 2 n  − 1, расслоенным над N со слоями, являющимися сферами. Тогда форма Лиувилля, ограниченная единичным кокасательным расслоением, является контактной структурой. Это соответствует частному случаю второй конструкции, где поток векторного поля Эйлера Y соответствует линейному масштабированию импульсов p s , оставляя q s фиксированным. Вектор поля R , определяемый равенствами

λ ( R ) = 1 и dλ ( R ,  A ) = 0 для всех векторных полей A ,

называется векторным полем Риба , и оно порождает геодезический поток римановой метрики. Точнее, используя риманову метрику, можно отождествить каждую точку кокасательного расслоения N с точкой касательного расслоения N , и тогда значение R в этой точке (единичного) кокасательного расслоения будет соответствующим (единичным) вектором, параллельным N .

Первый реактивный комплект

С другой стороны, можно построить контактное многообразие M размерности 2 n  + 1, рассматривая первое струйное расслоение вещественных функций на N . Это расслоение изоморфно T * N × R с использованием внешней производной функции. С координатами ( x ,  t ) M имеет контактную структуру

α = dt + λ .

Наоборот, для любого контактного многообразия M произведение M × R имеет естественную структуру симплектического многообразия. Если α — контактная форма на M , то

ω = d ( et ^α )

является симплектической формой на M × R , где t обозначает переменную в направлении R. Это новое многообразие называется симплектизацией (иногда симплектификацией в литературе) контактного многообразия M.

Примеры

В качестве простого примера рассмотрим R3 , снабженное координатами ( x , y , z ) и одномерной формой dz − y dx . Контактная плоскость ξ _в точке ( _x , y , z ) охватывается _{векторами} X1 = ∂ _y и X2 = ^∂ _x + y ∂ z .

Заменив отдельные переменные x и y на многомерные x ₁ , ...,  x _n , y ₁ , ...,  y _n , можно обобщить этот пример на любое R ^{2 n +1} . По теореме Дарбу каждая контактная структура на многообразии локально выглядит как эта конкретная контактная структура на (2 n  + 1)-мерном векторном пространстве.

Сасакиевы многообразия составляют важный класс контактных многообразий.

Лежандровы подмногообразия и узлы

Наиболее интересными подпространствами контактного многообразия являются его лежандровы подмногообразия. Неинтегрируемость поля контактной гиперплоскости на (2 n  + 1)-мерном многообразии означает, что ни одно 2 n -мерное подмногообразие не имеет его в качестве своего касательного расслоения, даже локально. Однако, в общем случае возможно найти n-мерные (вложенные или погруженные) подмногообразия, касательные пространства которых лежат внутри контактного поля: они называются лежандровыми подмногообразиями .

Лежандровы подмногообразия аналогичны лагранжевым подмногообразиям симплектических многообразий. Существует точная связь: поднятие лежандрова подмногообразия в симплектизации контактного многообразия является лагранжевым подмногообразием.

Простейшим примером лежандровых подмногообразий являются лежандровы узлы внутри контактного трехмерного многообразия. Неэквивалентные лежандровы узлы могут быть эквивалентны как гладкие узлы; то есть существуют узлы, которые гладко изотопны, где изотопия не может быть выбрана как путь лежандровых узлов.

Лежандровы подмногообразия являются очень жесткими объектами; обычно существует бесконечно много классов лежандровой изотопии вложений, которые все гладко изотопны. Симплектическая теория поля предоставляет инварианты лежандровых подмногообразий, называемые относительной контактной гомологией , которая иногда может различать различные лежандровы подмногообразия, которые топологически идентичны (т.е. гладко изотопны).

векторное поле Риба

Если α является контактной формой для данной контактной структуры, векторное поле Риба R может быть определено как уникальный элемент (одномерного) ядра dα, такой что α( R ) = 1. Если контактное многообразие возникает как гиперповерхность с постоянной энергией внутри симплектического многообразия, то векторное поле Риба является ограничением на подмногообразие гамильтонова векторного поля, связанного с энергетической функцией. (Ограничение дает векторное поле на контактной гиперповерхности, поскольку гамильтонова векторное поле сохраняет уровни энергии.)

Динамика поля Риба может быть использована для изучения структуры контактного многообразия или даже базового многообразия с использованием методов гомологии Флоера , таких как симплектическая теория поля и, в трех измерениях, вложенная контактная гомология . Различные контактные формы, ядра которых дают одну и ту же контактную структуру, дадут различные векторные поля Риба, динамика которых в общем случае сильно различается. Различные разновидности контактной гомологии зависят априори от выбора контактной формы и строят алгебраические структуры замкнутых траекторий их векторных полей Риба; однако эти алгебраические структуры оказываются независимыми от контактной формы, т. е. они являются инвариантами базовой контактной структуры, так что в конечном итоге контактную форму можно рассматривать как вспомогательный выбор. В случае вложенной контактной гомологии получается инвариант базового трехмерного многообразия, т. е. вложенная контактная гомология не зависит от контактной структуры; это позволяет получать результаты, которые справедливы для любого векторного поля Риба на многообразии.

Месторождение Риба названо в честь Джорджа Риба .

Некоторые исторические замечания

Корни контактной геометрии появляются в работах Христиана Гюйгенса , Исаака Барроу и Исаака Ньютона . Теория контактных преобразований (т. е. преобразований, сохраняющих контактную структуру) была разработана Софусом Ли с двойной целью изучения дифференциальных уравнений (например, преобразование Лежандра или каноническое преобразование ) и описания «изменения элемента пространства», знакомого по проективной двойственности .

Первое известное использование термина «контактный коллектор» встречается в статье 1958 года ^{[4] [5] [6]}

Смотрите также

• Гомологии Флоера , некоторые разновидности которых задают инварианты контактных многообразий и их лежандровы подмногообразия
• Субриманова геометрия

Ссылки

1. Хоффман, Уильям С. (1989-08-01). «Зрительная кора — это контактный пучок». Прикладная математика и вычисления . 32 (2): 137–167. doi :10.1016/0096-3003(89)90091-X. ISSN  0096-3003.
2. Арнольд, VI (1989), "Приложение 4. Контактные структуры", Математические методы классической механики , Springer, стр. 349−370, ISBN 0-387-96890-3
3. Арнольд, VI (1989). «Контактная геометрия и распространение волн». Монография de l'Enseignement Mathématique . Конференции Международного математического союза. Университет Женевы. ISSN  0425-0818. Збл  0694.53001.
4. Boothby, WM; Wang, HC (1958). «О контактных многообразиях». Annals of Mathematics . 68 (3): 721–734. doi :10.2307/1970165. ISSN  0003-486X.
5. Гейгес, Хансйорг (1 января 2001 г.). «Краткая история контактной геометрии и топологии». Экспозиции Mathematicae . 19 (1): 25–53. дои : 10.1016/S0723-0869(01)80014-1 . ISSN  0723-0869.
6. Сломан, Лейла (2023-11-07). «На Диком Западе» геометрии математики переопределяют сферу». Журнал Quanta . Получено 2023-11-07 .

Введение в геометрию контакта

• Etnyre, J. (2003). "Вводные лекции по контактной геометрии". Proc. Sympos. Pure Math . Труды симпозиумов по чистой математике. 71 : 81–107. arXiv : math/0111118 . doi :10.1090/pspum/071/2024631. ISBN 9780821835074. S2CID  6174175.
• Гейгес, Х. (2003). «Контактная геометрия». arXiv : math/0307242 .
• Гейгес, Хансйорг (2008). Введение в контактную топологию. Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-1-139-46795-7.
• Aebischer (1994). Симплектическая геометрия . Биркхойзер. ISBN 3-7643-5064-4.
• Арнольд, VI (1989). Математические методы классической механики . Springer-Verlag. ISBN 0-387-96890-3.

Приложения к дифференциальным уравнениям

• Арнольд, VI (1988). Геометрические методы в теории обыкновенных дифференциальных уравнений . Springer-Verlag. ISBN 0-387-96649-8.

Контактные трехмерные многообразия и лежандровы узлы

• Терстон, Уильям (1997). Трехмерная геометрия и топология . Princeton University Press. ISBN 0-691-08304-5.

Информация по истории контактной геометрии

• Лутц, Р. (1988). «Quelques remarques historiques et perspectives sur la geométrie de contact». Конференция по дифференциальной геометрии и топологии (Сардиния, 1988 г.) . Ренд. Фак. наук. унив. Кальяри. Том. 58 доп. стр. 361–393. МР  1122864.
• Гейгес, Х. (2001). «Краткая история контактной геометрии и топологии». Expo. Math . 19 : 25–53. doi : 10.1016/S0723-0869(01)80014-1 .
• Арнольд, Владимир И. (2012) [1990]. Гюйгенс и Барроу, Ньютон и Гук: Пионеры математического анализа и теории катастроф от эвольвент до квазикристаллов. Биркхойзер. ISBN 978-3-0348-9129-5.
• Контактная геометрия Тема на arxiv.org

Внешние ссылки

• Контактный коллектор в Manifold Atlas