В математике гомологии Флоера являются инструментом для изучения симплектической геометрии и низкоразмерной топологии . Гомологии Флоера являются новым инвариантом , который возникает как бесконечномерный аналог конечномерных гомологий Морса . Андреас Флоер представил первую версию гомологии Флоера, теперь называемую симплектической гомологией Флоера, в своем доказательстве гипотезы Арнольда в симплектической геометрии. Флоер также разработал тесно связанную теорию для лагранжевых подмногообразий симплектического многообразия . Третья конструкция, также принадлежащая Флоеру, связывает группы гомологии с замкнутыми трехмерными многообразиями с помощью функционала Янга–Миллса . Эти конструкции и их потомки играют фундаментальную роль в текущих исследованиях топологии симплектических и контактных многообразий, а также (гладких) трех- и четырехмерных многообразий.
Гомологии Флоера обычно определяются путем сопоставления интересующему объекту бесконечномерного многообразия и действительной функции на нем. В симплектической версии это свободное пространство петель симплектического многообразия с симплектическим функционалом действия. Для ( инстантонной ) версии для трехмерных многообразий это пространство SU(2) -связей на трехмерном многообразии с функционалом Черна–Саймонса . Грубо говоря, гомологии Флоера являются гомологиями Морса функции на бесконечномерном многообразии. Цепной комплекс Флоера формируется из абелевой группы, натянутой на критические точки функции (или, возможно, на определенные наборы критических точек). Дифференциал цепного комплекса определяется путем подсчета линий потока градиентного векторного поля функции, соединяющих фиксированные пары критических точек (или их наборы). Гомологии Флоера являются гомологиями этого цепного комплекса.
Уравнение градиентной линии потока в ситуации, когда идеи Флоера могут быть успешно применены, обычно является геометрически осмысленным и аналитически разрешимым уравнением. Для симплектических гомологий Флоера уравнение градиентного потока для пути в пространстве петель является (возмущенной версией) уравнения Коши–Римана для отображения цилиндра (полного пространства пути петель) в интересующее симплектическое многообразие; решения известны как псевдоголоморфные кривые . Затем теорема о компактности Громова используется для того, чтобы показать, что количество линий потока, определяющих дифференциал, конечно, так что дифференциал хорошо определен и квадратичен к нулю. Таким образом, гомологии Флоера определены. Для инстантонных гомологий Флоера уравнение градиентного потока является в точности уравнением Янга–Миллса на трехмерном многообразии, пересеченном с действительной прямой.
Симплектическая гомология Флоера (SFH) — это теория гомологии, связанная с симплектическим многообразием и его невырожденным симплектоморфизмом . Если симплектоморфизм гамильтонов , гомология возникает из изучения функционала симплектического действия на ( универсальном покрытии ) свободном пространстве петель симплектического многообразия. SFH инвариантна относительно гамильтоновой изотопии симплектоморфизма.
Здесь невырожденность означает, что 1 не является собственным значением производной симплектоморфизма ни в одной из его неподвижных точек. Это условие подразумевает, что неподвижные точки изолированы. SFH является гомологией цепного комплекса, порожденного неподвижными точками такого симплектоморфизма, где дифференциал подсчитывает определенные псевдоголоморфные кривые в произведении действительной прямой и тора отображения симплектоморфизма. Это само по себе является симплектическим многообразием размерности на два больше, чем исходное многообразие. Для подходящего выбора почти комплексной структуры проколотые голоморфные кривые (конечной энергии) в нем имеют цилиндрические концы, асимптотические к петлям в торе отображения, соответствующем неподвижным точкам симплектоморфизма. Относительный индекс может быть определен между парами неподвижных точек, и дифференциал подсчитывает число голоморфных цилиндров с относительным индексом 1.
Симплектическая гомология Флоера гамильтонова симплектоморфизма компактного многообразия изоморфна сингулярной гомологии базового многообразия. Таким образом, сумма чисел Бетти этого многообразия дает нижнюю границу, предсказанную одной версией гипотезы Арнольда для числа неподвижных точек для невырожденного симплектоморфизма. SFH гамильтонова симплектоморфизма также имеет произведение пары штанов , которое является деформированным произведением чашки, эквивалентным квантовым когомологиям . Версия произведения также существует для неточных симплектоморфизмов.
Для кокасательного расслоения многообразия M гомологии Флоера зависят от выбора гамильтониана из-за его некомпактности. Для гамильтонианов, квадратичных на бесконечности, гомологии Флоера являются сингулярными гомологиями свободного пространства петель M (доказательства различных версий этого утверждения принадлежат Витербо, Саламону–Веберу, Аббондандоло–Шварцу и Коэну). Существуют более сложные операции над гомологиями Флоера кокасательного расслоения, которые соответствуют операциям струнной топологии над гомологиями пространства петель базового многообразия.
Симплектическая версия гомологии Флоера играет решающую роль в формулировке гипотезы гомологической зеркальной симметрии .
В 1996 году С. Пиунихин, Д. Саламон и М. Шварц обобщили результаты о связи между гомологиями Флоера и квантовыми когомологиями и сформулировали их следующим образом. Пиунихин, Саламон и Шварц (1996)
Вышеуказанное условие полуположительности и компактности симплектического многообразия M требуется для того, чтобы получить кольцо Новикова и для определения как гомологии Флоера, так и квантовых когомологий. Полуположительное условие означает, что выполняется одно из следующих условий (обратите внимание, что три случая не являются непересекающимися):
Группа квантовых когомологий симплектического многообразия M может быть определена как тензорные произведения обычных когомологий с кольцом Новикова Λ, т.е.
Эта конструкция гомологии Флоера объясняет независимость от выбора почти комплексной структуры на M и изоморфизм гомологии Флоера, обеспечиваемый идеями теории Морса и псевдоголоморфных кривых , где мы должны признать двойственность Пуанкаре между гомологиями и когомологиями в качестве фона.
Существует несколько эквивалентных гомологий Флоера, связанных с замкнутыми трехмерными многообразиями . Каждая из них дает три типа групп гомологии, которые вписываются в точный треугольник . Узел в трехмерном многообразии индуцирует фильтрацию на цепном комплексе каждой теории, цепной гомотопический тип которой является инвариантом узла. (Их гомологии удовлетворяют формальным свойствам, аналогичным комбинаторно определенным гомологиям Хованова .)
Эти гомологии тесно связаны с инвариантами Дональдсона и Зайберга 4-многообразий, а также с инвариантом Громова Таубса симплектических 4-многообразий; дифференциалы соответствующих трехмерных гомологий этих теорий изучаются путем рассмотрения решений соответствующих дифференциальных уравнений ( Янга–Миллса , Зайберга–Виттена и Коши–Римана соответственно) на кресте 3-многообразий R. Гомологии Флоера 3-многообразий также должны быть целями относительных инвариантов для четырехмерных многообразий с краем, связанных конструкциями склеивания с инвариантами замкнутого 4-многообразия, полученного путем склеивания ограниченных 3-многообразий вдоль их границ. (Это тесно связано с понятием топологической квантовой теории поля .) Для гомологии Хегора-Флоера сначала была определена гомология 3-многообразия, а затем в ее терминах был определен инвариант для замкнутых 4-многообразий.
Существуют также расширения гомологий 3-многообразий на 3-многообразия с краем: сшитые гомологии Флоера (Juhász 2008) и ограниченные гомологии Флоера (Lipshitz, Ozsváth & Thurston 2008). Они связаны с инвариантами для замкнутых 3-многообразий посредством формул склеивания для гомологий Флоера 3-многообразия, описываемого как объединение вдоль границы двух 3-многообразий с краем.
Гомологии Флоэра на трехмерных многообразиях также снабжены выделенным элементом гомологии, если трехмерное многообразие снабжено контактной структурой . Кронхаймер и Мровка впервые ввели контактный элемент в случае Зайберга–Виттена. Озват и Сабо построили его для гомологий Хегора–Флоэра, используя соотношение Жиру между контактными многообразиями и разложениями на открытую книгу, и он предоставляется бесплатно, как класс гомологии пустого множества, во вложенной контактной гомологии. (Которая, в отличие от трех других, требует контактной структуры для своего определения. О вложенной контактной гомологии см. Hutchings (2009).
Все эти теории оснащены априорными относительными градуировками; они были подняты до абсолютных градуировок (гомотопическими классами ориентированных 2-плоскостных полей) Кронхаймером и Мровкой (для SWF), Гриппом и Хуангом (для HF) и Хатчингсом (для ECH). Кристофаро-Гардинер показал, что изоморфизм Таубса между ECH и когомологиями Зайберга–Виттена–Флоера сохраняет эти абсолютные градуировки.
Это инвариант трехмерного многообразия, связанный с теорией Дональдсона, введенной самим Флоером. Он получается с помощью функционала Черна–Саймонса на пространстве связностей на главном SU(2) -расслоении над трехмерным многообразием (точнее, гомологическими 3-сферами). Его критические точки являются плоскими связями , а его линии потока являются инстантонами , т.е. антисамодвойственными связями на трехмерном многообразии, пересеченными с действительной прямой. Инстантонные гомологии Флоера можно рассматривать как обобщение инварианта Кассона , поскольку эйлерова характеристика гомологии Флоера согласуется с инвариантом Кассона.
Вскоре после введения Флоером гомологии Флоера Дональдсон понял, что кобордизмы индуцируют отображения. Это был первый пример структуры, которая стала известна как топологическая квантовая теория поля .
Гомологии Зайберга–Виттена Флоера или монопольные гомологии Флоера — это теория гомологии для гладких 3-многообразий (оснащенных структурой спина c ). Ее можно рассматривать как гомологию Морса функционала Черна–Саймонса–Дирака на связях U(1) на трехмерном многообразии. Соответствующее уравнение градиентного потока соответствует уравнениям Зайберга–Виттена на трехмерном многообразии, пересеченном с действительной прямой. Эквивалентно, генераторы цепного комплекса являются трансляционно-инвариантными решениями уравнений Зайберга–Виттена (известными как монополи) на произведении трехмерного многообразия и действительной прямой, а дифференциальные подсчеты — решениями уравнений Зайберга–Виттена на произведении трехмерного многообразия и действительной прямой, которые асимптотически приближаются к инвариантным решениям на бесконечности и отрицательной бесконечности.
Одна из версий гомологии Зайберга–Виттена–Флоера была строго построена в монографии « Монополи и трехмерные многообразия» Петера Кронхаймера и Томаша Мровки , где она известна как монопольная гомология Флоера. Таубс показал, что она изоморфна вложенной контактной гомологии. Альтернативные конструкции SWF для рациональных гомологических 3-сфер были даны Манолеску (2003) и Фрёйшовым (2010); известно, что они согласны.
Гомология Хегаарда Флоера // — инвариантПетера ОзсватаиЗолтана Сабозамкнутого 3-многообразия, снабженного структурой спинаc. Он вычисляется с использованиемдиаграммы Хегорапространства с помощью конструкции, аналогичной лагранжевым гомологиям Флоера. Кутлухан, Ли и Таубс (2020) объявили о доказательстве того, что гомологии Хегора и Флоера изоморфны гомологиям Зайберга–Виттена Флоера, а Колин, Гиггини и Хонда (2011) объявили о доказательстве того, что плюс-версия гомологии Хегора и Флоера (с обратной ориентацией) изоморфна вложенной контактной гомологии.
Узел в трехмерном многообразии индуцирует фильтрацию на группах гомологий Хегора-Флоера, а отфильтрованный гомотопический тип является мощным инвариантом узла , называемым гомологией узла Флоера. Он классифицирует многочлен Александера . Гомологии узла Флоера были определены Озсватом и Сабо (2004) и независимо Расмуссеном (2003). Известно, что он определяет род узла. Используя диаграммы сеток для расщеплений Хегора, гомологии узла Флоера были даны комбинаторной конструкцией Манолеску, Озсватом и Саркаром (2009).
Гомологии Хегора-Флоера двойного покрытия S^3, разветвленного над узлом, связаны спектральной последовательностью с гомологией Хованова (Ozsváth & Szabó 2005).
Версия «шляпы» гомологии Хегора Флоера была описана комбинаторно Саркаром и Вангом (2010). «Плюс» и «минус» версии гомологии Хегора Флоера и связанные с ними инварианты четырехмерного многообразия Озсвата–Сабо также могут быть описаны комбинаторно (Manolescu, Ozsváth & Thurston 2009).
Вложенная контактная гомология , предложенная Майклом Хатчингсом , является инвариантом 3-многообразий (с выделенным вторым гомологическим классом, соответствующим выбору спиновой c- структуры в гомологиях Зайберга–Виттена Флоера), изоморфным (согласно работе Клиффорда Таубса ) когомологиям Зайберга–Виттена Флоера и, следовательно (согласно работе, анонсированной Кутлуханом, Ли и Таубсом в 2020 году и Колином, Гиггини и Хондой в 2011 году) плюс-версии гомологии Хегора Флоера (с обратной ориентацией). Ее можно рассматривать как расширение инварианта Громова Таубса , который, как известно, эквивалентен инварианту Зайберга–Виттена , с замкнутых симплектических 4-многообразий на некоторые некомпактные симплектические 4-многообразия (а именно, контактный трехмерный крест-многообразие R). Его конструкция аналогична симплектической теории поля, в том смысле, что она порождается определенными наборами замкнутых орбит Риба , а ее дифференциал подсчитывает определенные голоморфные кривые с концами в определенных наборах орбит Риба. Она отличается от SFT техническими условиями на наборах орбит Риба, которые ее порождают, и тем, что не подсчитывает все голоморфные кривые с индексом Фредгольма 1 с заданными концами, а только те, которые также удовлетворяют топологическому условию, заданному индексом ECH , что, в частности, подразумевает, что рассматриваемые кривые (в основном) вложены.
Гипотеза Вайнштейна о том, что контактное 3-многообразие имеет замкнутую орбиту Риба для любой контактной формы, справедлива для любого многообразия, ECH которого нетривиален, и была доказана Таубсом с использованием методов, тесно связанных с ECH; расширения этой работы дали изоморфизм между ECH и SWF. Многие конструкции в ECH (включая его хорошо определенность) опираются на этот изоморфизм (Taubes 2007).
Контактный элемент ECH имеет особенно красивую форму: это цикл, связанный с пустым набором орбит Риба.
Аналог вложенных контактных гомологий может быть определен для отображения торов симплектоморфизмов поверхности (возможно, с границей) и известен как периодические гомологии Флоера, обобщающие симплектическую гомологию Флоера поверхностных симплектоморфизмов. В более общем смысле, он может быть определен относительно любой стабильной гамильтоновой структуры на 3-многообразии; подобно контактным структурам, стабильные гамильтоновы структуры определяют неисчезающее векторное поле (векторное поле Риба), и Хатчингс и Таубс доказали для них аналог гипотезы Вайнштейна, а именно, что они всегда имеют замкнутые орбиты (если только они не отображают торы 2-тора).
Лагранжевы гомологии Флоера двух трансверсально пересекающихся лагранжевых подмногообразий симплектического многообразия являются гомологиями цепного комплекса, порожденного точками пересечения двух подмногообразий, и дифференциал которого насчитывает псевдоголоморфные диски Уитни .
Для трех лагранжевых подмногообразий L 0 , L 1 и L 2 симплектического многообразия существует структура произведения на лагранжевых гомологиях Флоера:
которое определяется путем подсчета голоморфных треугольников (то есть голоморфных отображений треугольника, вершины и ребра которого отображаются в соответствующие точки пересечения и лагранжевы подмногообразия).
Статьи по этой теме принадлежат Фукайе, О, Оно и Охте; недавняя работа по "гомологии кластеров" Лалонда и Корнеа предлагает другой подход к этому. Гомология Флоера пары лагранжевых подмногообразий может существовать не всегда; когда она существует, она создает препятствие для изотопирования одного лагранжиана от другого с помощью гамильтоновой изотопии .
Несколько видов гомологий Флоэра являются частными случаями лагранжевых гомологий Флоэра. Симплектические гомологий Флоэра симплектоморфизма M можно рассматривать как случай лагранжевых гомологий Флоэра, в которых объемлющее многообразие — это M, скрещенное с M, а лагранжевы подмногообразия — это диагональ и график симплектоморфизма. Построение гомологий Хегора-Флоэра основано на варианте лагранжевых гомологий Флоэра для вполне вещественных подмногообразий, определенных с помощью разбиения Хегора трехмерного многообразия. Зайдель–Смит и Манолеску построили инвариант зацепления как определенный случай лагранжевых гомологий Флоэра, который предположительно согласуется с гомологией Хованова , комбинаторно определенным инвариантом зацепления.
Гипотеза Атьи–Флоера связывает гомологию Флоера инстантона с гомологией Флоера лагранжевого пересечения. [1] Рассмотрим 3-многообразие Y с разбиением Хегора вдоль поверхности . Тогда пространство плоских связностей по модулю калибровочной эквивалентности является симплектическим многообразием размерности 6 g − 6, где g — род поверхности . В разбиении Хегора ограничивает два различных 3-многообразия; пространство плоских связностей по модулю калибровочной эквивалентности на каждом 3-многообразии с границей вкладывается в как лагранжево подмногообразие. Можно рассмотреть гомологию Флоера лагранжева пересечения. С другой стороны, мы можем рассмотреть гомологию Флоера инстантона 3-многообразия Y. Гипотеза Атьи–Флоера утверждает, что эти два инварианта изоморфны.
Гипотеза о гомологической зеркальной симметрии Максима Концевича предсказывает равенство между лагранжевыми гомологиями Флоера лагранжианов в многообразии Калаби–Яу и группами Ext когерентных пучков на зеркальном многообразии Калаби–Яу. В этой ситуации следует сосредоточиться не на группах гомологий Флоера, а на группах цепей Флоера. Подобно произведению пары штанов, можно построить мультикомпозиции, используя псевдоголоморфные n -угольники. Эти композиции удовлетворяют -отношениям, превращающим категорию всех (незатрудненных) лагранжевых подмногообразий в симплектическом многообразии в -категорию, называемую категорией Фукая .
Чтобы быть более точным, необходимо добавить дополнительные данные к лагранжиану – градуировку и спиновую структуру . Лагранжиан с выбором этих структур часто называют браной в знак уважения к базовой физике. Гипотеза гомологической зеркальной симметрии утверждает, что существует тип производной эквивалентности Мориты между категорией Фукая Калаби-Яу и dg-категорией, лежащей в основе ограниченной производной категории когерентных пучков зеркала, и наоборот.
Это инвариант контактных многообразий и симплектических кобордизмов между ними, изначально принадлежащий Якову Элиашбергу , Александру Гивенталю и Хельмуту Хоферу . Симплектическая теория поля, а также ее подкомплексы, рациональная симплектическая теория поля и контактные гомологии определяются как гомологии дифференциальных алгебр, которые порождаются замкнутыми орбитами векторного поля Риба выбранной контактной формы. Дифференциал учитывает определенные голоморфные кривые в цилиндре над контактным многообразием, где тривиальными примерами являются разветвленные покрытия (тривиальных) цилиндров над замкнутыми орбитами Риба. Он также включает линейную теорию гомологии, называемую цилиндрической или линеаризованной контактной гомологией (иногда, из-за злоупотребления обозначениями, просто контактной гомологией), чьи цепные группы являются векторными пространствами, порождаемыми замкнутыми орбитами, и чьи дифференциалы учитывают только голоморфные цилиндры. Однако цилиндрическая контактная гомология не всегда определяется из-за наличия голоморфных дисков и отсутствия регулярности и трансверсальности. В ситуациях, когда цилиндрическая контактная гомология имеет смысл, ее можно рассматривать как (слегка модифицированную) гомологию Морса функционала действия на свободном пространстве петель, которая отправляет петлю в интеграл контактной формы альфа по петле. Орбиты Риба являются критическими точками этого функционала.
SFT также связывает относительный инвариант лежандрова подмногообразия контактного многообразия, известный как относительная контактная гомология . Его генераторами являются хорды Риба, которые являются траекториями векторного поля Риба, начинающимися и заканчивающимися на лагранжиане, а его дифференциал подсчитывает определенные голоморфные полосы в симплектизации контактного многообразия, концы которых асимптотичны к заданным хордам Риба.
В SFT контактные многообразия могут быть заменены отображением торов симплектических многообразий с симплектоморфизмами. В то время как цилиндрические контактные гомологии хорошо определены и заданы симплектическими гомологиями Флоера степеней симплектоморфизма, (рациональная) симплектическая теория поля и контактные гомологии могут рассматриваться как обобщенные симплектические гомологии Флоера. В важном случае, когда симплектоморфизм является отображением времени-единицы зависящего от времени гамильтониана, было, однако, показано, что эти высшие инварианты не содержат никакой дополнительной информации.
Одним из возможных способов построения теории гомологии Флоера некоторого объекта было бы построение связанного спектра , обычная гомология которого является желаемой гомологией Флоера. Применение других теорий гомологии к такому спектру может дать другие интересные инварианты. Эта стратегия была предложена Ральфом Коэном, Джоном Джонсом и Грэмом Сигалом и реализована в некоторых случаях для гомологии Зайберга–Виттена–Флоера Манолеску (2003) и для симплектической гомологии Флоера кокасательных расслоений Коэном. Этот подход был основой построения Манолеску в 2013 году Pin (2)-эквивариантной гомологии Зайберга–Виттена–Флоера, с помощью которой он опроверг гипотезу триангуляции для многообразий размерности 5 и выше.
Многие из этих гомологий Флоера не были полностью и строго построены, и многие предполагаемые эквивалентности не были доказаны. Технические трудности возникают при анализе, особенно при построении компактифицированных пространств модулей псевдоголоморфных кривых. Хофер в сотрудничестве с Крисом Высоцким и Эдуардом Цендером разработал новые аналитические основы с помощью своей теории полифолдов и «общей теории Фредгольма». Хотя проект полифолда еще не полностью завершен, в некоторых важных случаях трансверсальность была показана с использованием более простых методов.
Гомологии Флоера, как правило, трудно вычислить явно. Например, симплектическая гомология Флоера для всех симплектоморфизмов поверхности была завершена только в 2007 году. Гомология Хегора-Флоера стала историей успеха в этом отношении: исследователи использовали ее алгебраическую структуру для ее вычисления для различных классов 3-многообразий и нашли комбинаторные алгоритмы для вычисления большей части теории. Она также связана с существующими инвариантами и структурами, и в результате появилось много идей о топологии 3-многообразий.
![{\displaystyle \langle [\omega],A\rangle =\lambda \langle c_ {1},A\rangle }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a49773a35ec00315c49bc758ca60ea2f170f61ad)
