поле Якоби

В римановой геометрии поле Якоби — это векторное поле вдоль геодезической в ​​римановом многообразии, описывающее разницу между геодезической и «бесконечно близкой» геодезической. Другими словами, поля Якоби вдоль геодезической образуют касательное пространство к геодезической в ​​пространстве всех геодезических. Они названы в честь Карла Якоби . ${\displaystyle \gamma }$

Определения и свойства

Поля Якоби можно получить следующим образом: возьмем гладкое однопараметрическое семейство геодезических с , тогда ${\displaystyle \gamma _{\tau }}$ ${\displaystyle \gamma _{0}=\gamma }$

${\displaystyle J(t)=\left.{\frac {\partial \gamma _{\tau }(t)}{\partial \tau }}\right|_{\tau =0}}$

является полем Якоби и описывает поведение геодезических в бесконечно малой окрестности заданной геодезической . ${\displaystyle \gamma }$

Вектор J вдоль геодезической называется полем Якоби, если он удовлетворяет уравнению Якоби : ${\displaystyle \gamma }$

${\displaystyle {\frac {D^{2}}{dt^{2}}}J(t)+R(J(t),{\dot {\gamma }}(t)){\dot {\gamma }}(t)=0,}$

где D обозначает ковариантную производную относительно связности Леви-Чивиты , R — тензор кривизны Римана , касательное векторное поле, а t — параметр геодезической. На полном римановом многообразии для любого поля Якоби существует семейство геодезических, описывающих поле (как в предыдущем абзаце). ${\displaystyle {\dot {\gamma }}(t)=d\gamma (t)/dt}$ ${\displaystyle \gamma _{\tau }}$

Уравнение Якоби является линейным обыкновенным дифференциальным уравнением второго порядка ; в частности, значения и в одной точке однозначно определяют поле Якоби. Более того, множество полей Якоби вдоль заданной геодезической образует действительное векторное пространство размерности, в два раза превышающей размерность многообразия. ${\displaystyle J}$ ${\displaystyle {\frac {D}{dt}}J}$ ${\displaystyle \gamma }$

В качестве тривиальных примеров полей Якоби можно рассмотреть и . Они соответствуют следующим семействам репараметризаций: и . ${\displaystyle {\dot {\gamma }}(t)}$ ${\displaystyle t{\dot {\gamma }}(t)}$ ${\displaystyle \gamma _{\tau }(t)=\gamma (\tau +t)}$ ${\displaystyle \gamma _{\tau }(t)=\gamma ((1+\tau )t)}$

Любое поле Якоби может быть представлено единственным образом в виде суммы , где — линейная комбинация тривиальных полей Якоби и ортогональна , для всех . Тогда поле соответствует той же вариации геодезических, что и , только с измененными параметризациями. ${\displaystyle J}$ ${\displaystyle T+I}$ ${\displaystyle T=a{\dot {\gamma }}(t)+bt{\dot {\gamma }}(t)}$ ${\displaystyle I(t)}$ ${\displaystyle {\dot {\gamma }}(t)}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle J}$

Мотивирующий пример

На единичной сфере геодезические линии , проходящие через Северный полюс, являются большими окружностями . Рассмотрим две такие геодезические и с натуральным параметром, , разделенные углом . Геодезическое расстояние ${\displaystyle \gamma _{0}}$ ${\displaystyle \gamma _{\tau }}$ ${\displaystyle t\in [0,\pi ]}$ ${\displaystyle \tau }$

${\displaystyle d(\gamma _{0}(t),\gamma _{\tau }(t))\,}$

является

${\displaystyle d(\gamma _{0}(t),\gamma _{\tau }(t))=\sin ^{-1}{\bigg (}\sin t\sin \tau {\sqrt {1+\cos ^{2}t\tan ^{2}(\tau /2)}}{\bigg )}.}$

Вычисление этого требует знания геодезических. Самая интересная информация заключается в том, что

${\displaystyle d(\gamma _{0}(\pi ),\gamma _{\tau }(\pi ))=0\,}$, для любого . ${\displaystyle \tau }$

Вместо этого мы можем рассмотреть производную по : ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle \tau =0}$

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial \tau }}{\bigg |}_{\tau =0}d(\gamma _{0}(t),\gamma _{\tau }(t))=|J(t)|=\sin t.}$

Обратите внимание, что мы по-прежнему обнаруживаем пересечение геодезических в точке . Обратите внимание также, что для вычисления этой производной нам на самом деле не нужно знать ${\displaystyle t=\pi }$

${\displaystyle d(\gamma _{0}(t),\gamma _{\tau }(t))\,}$,

вместо этого все, что нам нужно сделать, это решить уравнение

${\displaystyle y''+y=0\,}$,

для некоторых заданных исходных данных.

Поля Якоби дают естественное обобщение этого явления на произвольные римановы многообразия .

Решение уравнения Якоби

Пусть и завершим это, чтобы получить ортонормированный базис в . Параллельно перенесем его, чтобы получить базис по всему . Это дает ортонормированный базис с . Поле Якоби можно записать в координатах в терминах этого базиса как и, таким образом, ${\displaystyle e_{1}(0)={\dot {\gamma }}(0)/|{\dot {\gamma }}(0)|}$ ${\displaystyle {\big \{}e_{i}(0){\big \}}}$ ${\displaystyle T_{\gamma (0)}M}$ ${\displaystyle \{e_{i}(t)\}}$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle e_{1}(t)={\dot {\gamma }}(t)/|{\dot {\gamma }}(t)|}$ ${\displaystyle J(t)=y^{k}(t)e_{k}(t)}$

${\displaystyle {\frac {D}{dt}}J=\sum _{k}{\frac {dy^{k}}{dt}}e_{k}(t),\quad {\frac {D^{2}}{dt^{2}}}J=\sum _{k}{\frac {d^{2}y^{k}}{dt^{2}}}e_{k}(t),}$

и уравнение Якоби можно переписать в виде системы

${\displaystyle {\frac {d^{2}y^{k}}{dt^{2}}}+|{\dot {\gamma }}|^{2}\sum _{j}y^{j}(t)\langle R(e_{j}(t),e_{1}(t))e_{1}(t),e_{k}(t)\rangle =0}$

для каждого . Таким образом, мы получаем линейное обыкновенное дифференциальное уравнение (ОДУ). Поскольку это ОДУ имеет гладкие коэффициенты , то решения существуют для всех и являются единственными, заданными и , для всех . ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle y^{k}(0)}$ ${\displaystyle {y^{k}}'(0)}$ ${\displaystyle k}$

Примеры

Рассмотрим геодезическую с параллельной ортонормированной системой координат , построенную, как указано выше. ${\displaystyle \gamma (t)}$ ${\displaystyle e_{i}(t)}$ ${\displaystyle e_{1}(t)={\dot {\gamma }}(t)/|{\dot {\gamma }}|}$

• Векторные поля вдоль заданных и являются полями Якоби. ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle {\dot {\gamma }}(t)}$ ${\displaystyle t{\dot {\gamma }}(t)}$
• В евклидовом пространстве (а также для пространств постоянной нулевой секционной кривизны ) поля Якоби — это просто поля, линейные по . ${\displaystyle t}$
• Для римановых многообразий постоянной отрицательной секционной кривизны любое поле Якоби является линейной комбинацией , и , где . ${\displaystyle -k^{2}}$ ${\displaystyle {\dot {\gamma }}(t)}$ ${\displaystyle t{\dot {\gamma }}(t)}$ ${\displaystyle \exp(\pm kt)e_{i}(t)}$ ${\displaystyle i>1}$
• Для римановых многообразий постоянной положительной секционной кривизны любое поле Якоби является линейной комбинацией , , и , где . ${\displaystyle k^{2}}$ ${\displaystyle {\dot {\gamma }}(t)}$ ${\displaystyle t{\dot {\gamma }}(t)}$ ${\displaystyle \sin(kt)e_{i}(t)}$ ${\displaystyle \cos(kt)e_{i}(t)}$ ${\displaystyle i>1}$
• Ограничение векторного поля Киллинга на геодезическую является полем Якоби в любом римановом многообразии.

Смотрите также

• Сопряженные точки
• Уравнение геодезического отклонения
• Теорема сравнения Рауха
• Месторождение N-Jacobi

Ссылки

• Манфредо Пердигао ду Кармо . Риманова геометрия. Перевод со второго португальского издания Фрэнсиса Флаэрти. Математика: теория и приложения. Birkhäuser Boston, Inc., Бостон, Массачусетс, 1992. xiv+300 стр. ISBN  0-8176-3490-8
• Джефф Чигер и Дэвид Г. Эбин . Теоремы сравнения в римановой геометрии. Переиздание оригинала 1975 года. AMS Chelsea Publishing, Providence, RI, 2008. x+168 стр. ISBN 978-0-8218-4417-5 
• Shoshichi Kobayashi и Katsumi Nomizu . Основы дифференциальной геометрии. Том II. Переиздание оригинала 1969 года. Wiley Classics Library. A Wiley-Interscience Publication. John Wiley & Sons, Inc., Нью-Йорк, 1996. xvi+468 стр. ISBN 0-471-15732-5 
• Барретт О'Нил . Полуриманова геометрия. С приложениями к теории относительности. Чистая и прикладная математика, 103. Academic Press, Inc. [Harcourt Brace Jovanovich, Publishers], Нью-Йорк, 1983. xiii+468 стр. ISBN 0-12-526740-1