Сигма-аддитивная функция множества

Функция сопоставления

В математике аддитивная функция множества — это функция, отображающая множества в числа, со свойством, что ее значение в объединении двух непересекающихся множеств равно сумме ее значений в этих множествах, а именно: если это свойство аддитивности справедливо для любых двух множеств, тогда оно справедливо и для любого конечного числа множеств, а именно, значение функции на объединении k непересекающихся множеств (где k — конечное число) равно сумме ее значений на множествах. Поэтому аддитивную функцию множества также называют конечно-аддитивной функцией множества (эти термины эквивалентны). Однако конечно-аддитивная функция множества может не обладать свойством аддитивности для объединения бесконечного числа множеств. σ-аддитивная функция множества — это функция, обладающая свойством аддитивности даже для счетного числа множеств, т. е. ${\textstyle \mu (A\cup B)=\mu (A)+\mu (B).}$ ${\textstyle \mu \left(\bigcup _{n=1}^{\infty }A_{n}\right)=\sum _{n=1}^{\infty }\mu (A_{n}).}$

Аддитивность и сигма-аддитивность являются особенно важными свойствами мер . Они представляют собой абстракции того, как интуитивные свойства размера ( длины , площади , объема ) суммируются при рассмотрении нескольких объектов. Аддитивность — более слабое условие, чем σ-аддитивность; то есть σ-аддитивность подразумевает аддитивность.

Термин «модульная функция множества» эквивалентен аддитивной функции множества; см. модульность ниже.

Аддитивные (или конечно-аддитивные) функции множества

Пусть — функция множества , определенная на алгебре множеств со значениями в (см. расширенную строку действительных чисел ). Функция называется ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \scriptstyle {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle [-\infty ,\infty ]}$ ${\displaystyle \mu }$добавка иликонечно аддитивна , если всякий раз, когдаиявляютсянепересекающимисямножествами, то ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle \scriptstyle {\mathcal {A}},}$

$${\displaystyle \mu (A\cup B)=\mu (A)+\mu (B).}$$

${\displaystyle -\infty }$ ${\displaystyle +\infty }$ ${\displaystyle \infty -\infty }$

С помощью математической индукции можно доказать , что аддитивная функция удовлетворяет условию

$${\displaystyle \mu \left(\bigcup _{n=1}^{N}A_{n}\right)=\sum _{n=1}^{N}\mu \left(A_{n}\right)}$$

${\displaystyle A_{1},A_{2},\ldots ,A_{N}}$ ${\textstyle {\mathcal {A}}.}$

σ-аддитивные функции множества

Предположим, что это σ-алгебра . Если для каждой последовательности попарно непересекающихся множеств в ${\displaystyle \scriptstyle {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle A_{1},A_{2},\ldots ,A_{n},\ldots }$ ${\displaystyle \scriptstyle {\mathcal {A}},}$

$${\displaystyle \mu \left(\bigcup _{n=1}^{\infty }A_{n}\right)=\sum _{n=1}^{\infty }\mu (A_{n}),}$$

счетно-аддитивным𝜎-аддитивным ${\displaystyle \mu }$

τ-аддитивные функции множества

Предположим, что помимо сигма-алгебры у нас есть топология If для каждого направленного семейства измеримых открытых множеств ${\textstyle {\mathcal {A}},}$ ${\displaystyle \tau .}$ ${\textstyle {\mathcal {G}}\subseteq {\mathcal {A}}\cap \tau ,}$

$${\displaystyle \mu \left(\bigcup {\mathcal {G}}\right)=\sup _{G\in {\mathcal {G}}}\mu (G),}$$

внутренне регулярно^[1] ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle \mu }$

Характеристики

Полезные свойства аддитивной функции множества включают следующее. ${\displaystyle \mu }$

Значение пустого набора

Либо либо присваивает всем наборам в своем домене, либо присваивает всем наборам в своем домене. Доказательство : из аддитивности следует, что для любого множества If то этому равенству может соответствовать только плюс или минус бесконечность. ${\displaystyle \mu (\varnothing )=0,}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \infty }$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle -\infty }$ ${\displaystyle A,}$ ${\displaystyle \mu (A)=\mu (A\cup \varnothing )=\mu (A)+\mu (\varnothing ).}$ ${\displaystyle \mu (\varnothing )\neq 0,}$

Монотонность

Если неотрицательно, а затем То есть, является ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle A\subseteq B}$ ${\displaystyle \mu (A)\leq \mu (B).}$ ${\displaystyle \mu }$монотонная функция множества . Аналогично, еслинеположительно,то ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle A\subseteq B}$ ${\displaystyle \mu (A)\geq \mu (B).}$

Модульность

Функция множества на семействе множеств называется ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$функция модульного набора иоценка , если всякий разиявляются элементамито ${\displaystyle A,}$ ${\displaystyle B,}$ ${\displaystyle A\cup B,}$ ${\displaystyle A\cap B}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}},}$

$${\displaystyle \phi (A\cup B)+\phi (A\cap B)=\phi (A)+\phi (B)}$$

модульность

Дано и Доказательство : напишите и и где все множества в объединении не пересекаются. Аддитивность подразумевает, что обе части равенства равны ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B,}$ ${\displaystyle \mu (A\cup B)+\mu (A\cap B)=\mu (A)+\mu (B).}$ ${\displaystyle A=(A\cap B)\cup (A\setminus B)}$ ${\displaystyle B=(A\cap B)\cup (B\setminus A)}$ ${\displaystyle A\cup B=(A\cap B)\cup (A\setminus B)\cup (B\setminus A),}$ ${\displaystyle \mu (A\setminus B)+\mu (B\setminus A)+2\mu (A\cap B).}$

Однако связанные свойства субмодулярности и субаддитивности не эквивалентны друг другу.

Обратите внимание, что модульность имеет другое и несвязанное значение в контексте сложных функций; см. модульную форму .

Разница наборов

Если и определено, то ${\displaystyle A\subseteq B}$ ${\displaystyle \mu (B)-\mu (A)}$ ${\displaystyle \mu (B\setminus A)=\mu (B)-\mu (A).}$

Примеры

Примером 𝜎-аддитивной функции является функция, определенная над набором степеней действительных чисел , такая, что ${\displaystyle \mu }$

$${\displaystyle \mu (A)={\begin{cases}1&{\mbox{ if }}0\in A\\0&{\mbox{ if }}0\notin A.\end{cases}}}$$

Если — последовательность непересекающихся наборов действительных чисел, то либо ни один из наборов не содержит 0, либо ровно один из них содержит. В любом случае равенство ${\displaystyle A_{1},A_{2},\ldots ,A_{n},\ldots }$

$${\displaystyle \mu \left(\bigcup _{n=1}^{\infty }A_{n}\right)=\sum _{n=1}^{\infty }\mu (A_{n})}$$

Дополнительные примеры 𝜎-аддитивных функций см . в разделе «Мера» и «Знаковая мера» .

Заряд определяется как конечно-аддитивная функция множества, которая отображается в ^[2] ( Информацию об ограниченных зарядах см. в пространстве ba , где мы говорим , что заряд ограничен , что означает, что его диапазон является ограниченным подмножеством R .) ${\displaystyle \varnothing }$ ${\displaystyle 0.}$

Аддитивная функция, не являющаяся σ-аддитивной.

Пример аддитивной функции, не являющейся σ-аддитивной, получается при рассмотрении , определенного над множествами Лебега действительных чисел по формуле ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$

$${\displaystyle \mu (A)=\lim _{k\to \infty }{\frac {1}{k}}\cdot \lambda (A\cap (0,k)),}$$

меру Лебегапредел ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \lim }$ ${\displaystyle 0\leq \mu (A)\leq 1}$ ${\displaystyle \sup A<\infty }$ ${\displaystyle \mu (A)=0.}$

Аддитивность этой функции можно проверить, используя линейность предела. То, что эта функция не является σ-аддитивной, следует из рассмотрения последовательности непересекающихся множеств

$${\displaystyle A_{n}=[n,n+1)}$$

положительные числа ${\displaystyle n=0,1,2,\ldots }$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \mu (A_{n})}$

Обобщения

Можно определить аддитивные функции со значениями в любом аддитивном моноиде (например, в любой группе или, чаще, в векторном пространстве ). Для сигма-аддитивности дополнительно необходимо, чтобы на этом множестве было определено понятие предела последовательности . Например, спектральные меры — это сигма-аддитивные функции со значениями в банаховой алгебре . Другой пример, также из квантовой механики, — положительная операторнозначная мера .

Смотрите также

• Аддитивное отображение  - гомоморфизм Z-модуля
• Теорема Хана – Колмогорова  - Теорема о распространении предварительных мер на мерыPages displaying short descriptions of redirect targets
• Мера (математика)  - Обобщение массы, длины, площади и объема.
• σ-конечная мера  - понятие теории меры
• Знаковая мера  - обобщенное понятие меры в математике.
• Субмодульная функция множества  – отображение реального значения с убывающей отдачей
• Субадитивная функция множества
• τ-аддитивность
• пространство ba - набор ограниченных зарядов на данной сигма-алгебре.

В эту статью включены материалы из дополнения PlanetMath , которое распространяется по лицензии Creative Commons Attribution/Share-Alike License .

Рекомендации

1. Теория меры Д.Х. Фремлина , Том 4 , Торрес Фремлин, 2003.
2. Бхаскара Рао, КПС; Бхаскара Рао, М. (1983). Теория зарядов: исследование конечно-аддитивных мер. Лондон: Академическая пресса. п. 35. ISBN 0-12-095780-9. ОСЛК  21196971.