алгебра Хопфа

Конструкция в алгебре

В математике алгебра Хопфа , названная в честь Хайнца Хопфа , представляет собой структуру, которая одновременно является ( унитальной ассоциативной) алгеброй и (кунитальной коассоциативной) коалгеброй , причем совместимость этих структур делает ее биалгеброй , и которая, кроме того, снабжена антигомоморфизмом . удовлетворение определенного свойства. Теория представлений алгебры Хопфа особенно хороша, поскольку существование совместимых коумножений, коединицы и антипода позволяет строить тензорные произведения представлений, тривиальных представлений и двойственных представлений.

Алгебры Хопфа естественным образом встречаются в алгебраической топологии , где они возникли и связаны с концепцией H-пространства , в теории групповых схем , в теории групп (через концепцию группового кольца ) и во многих других местах, что делает их, вероятно, наиболее знакомый тип биалгебры . Алгебры Хопфа также изучаются сами по себе, с большим количеством работы над конкретными классами примеров, с одной стороны, и проблемами классификации, с другой. Они имеют разнообразные приложения: от физики конденсированного состояния и квантовой теории поля ^[1] до теории струн ^[2] и феноменологии БАК . ^[3]

Формальное определение

Формально алгебра Хопфа — это (ассоциативная и коассоциативная) биалгебра H над полем K вместе с K -линейным отображением S : H → H (называемым антиподом ) такая, что следующая диаграмма коммутирует :

Здесь Δ — коумножение биалгебры, ∇ — ее умножение, η — ее единица, ε — ее счетная единица. В безсуммированной нотации Свидлера это свойство можно также выразить как

${\displaystyle S(c_{(1)})c_{(2)}=c_{(1)}S(c_{(2)})=\varepsilon (c)1\qquad {\mbox{ for all }}c\in H.}$

Что касается алгебр , в приведенном выше определении можно заменить основное поле K коммутативным кольцом R. ^[4]

Определение алгебры Хопфа является самодвойственным (что отражено в симметрии приведенной выше диаграммы), поэтому, если можно определить двойственную к H ( что всегда возможно, если H конечномерна), то она автоматически является алгеброй Хопфа. . ^[5]

Структурные константы

Зафиксировав основу базового векторного пространства, можно определить алгебру в терминах структурных констант для умножения: ${\displaystyle \{e_{k}\}}$

${\displaystyle e_{i}\nabla e_{j}=\sum _{k}\mu _{\;ij}^{k}e_{k}}$

для совместного умножения:

${\displaystyle \Delta e_{i}=\sum _{j,k}\nu _{i}^{\;jk}e_{j}\otimes e_{k}}$

и антипод:

${\displaystyle Se_{i}=\sum _{j}\tau _{i}^{\;j}e_{j}}$

Тогда ассоциативность требует, чтобы

${\displaystyle \mu _{\;ij}^{k}\mu _{\;kn}^{m}=\mu _{\;jn}^{k}\mu _{\;ik}^{m}}$

тогда как коассоциативность требует, чтобы

${\displaystyle \nu _{k}^{\;ij}\nu _{i}^{\;mn}=\nu _{k}^{\;mi}\nu _{i}^{\;nj}}$

Связующая аксиома требует, чтобы

${\displaystyle \nu _{k}^{\;ij}\tau _{j}^{\;m}\mu _{\;pm}^{n}=\nu _{k}^{\;jm}\tau _{j}^{\,\;i}\mu _{\;pm}^{n}}$

Свойства антипода

Иногда требуется, чтобы антипод S имел K -линейный инверсный вариант, что происходит автоматически в конечномерном случае ^{[ необходимы пояснения ]} или если H коммутативен или кокоммутативен (или, в более общем смысле, квазитреугольен ) .

В общем случае S — антигомоморфизм ^[6] , поэтому S ² — гомоморфизм , который, следовательно, является автоморфизмом, если S обратим (что может потребоваться).

Если S ² = id _H , то алгебра Хопфа называется инволютивной (а лежащая в ее основе алгебра с инволюцией является *-алгеброй ). Если H конечномерно полупросто над полем нулевой характеристики, коммутативным или кокоммутативным, то оно инволютивно.

Если биалгебра B допускает антипод S , то S единственна («биалгебра допускает не более 1 структуры алгебры Хопфа»). ^[7] Таким образом, антипод не задаёт никакой дополнительной структуры, которую мы можем выбрать: Быть алгеброй Хопфа — это свойство биалгебры.

Антипод — это аналог отображения инверсии группы, которое переводит g в g ⁻¹ . ^[8]

Подалгебры Хопфа

Подалгебра A алгебры Хопфа H является подалгеброй Хопфа, если она является подалгеброй H и антипод S отображает A в A . Другими словами, подалгебра Хопфа A сама по себе является алгеброй Хопфа, когда умножение, коумножение, коединица и антипод H ограничены A ( и, кроме того, единица 1 H должна находиться в A). Теорема свободы Николса-Цёллера Уоррена Николса и Беттины Зеллер (1989) установила, что естественный A -модуль H свободен от конечного ранга, если H конечномерен: обобщение теоремы Лагранжа для подгрупп . ^[9] Как следствие этой и интегральной теории, подалгебра Хопфа полупростой конечномерной алгебры Хопфа автоматически является полупростой.

Подалгебра Хопфа A называется правонормальной в алгебре Хопфа H , если она удовлетворяет условию устойчивости ad _r ( h )( A ) ⊆ A для всех h в H , где правосопряженное отображение ad _r определяется формулой ad _р ( час )( а ) знак равно S ( час ₍₁₎ ) ах ₍₂₎ для всех a в A , h в H . Аналогично, подалгебра Хопфа A является левой нормальной в H , если она устойчива относительно левого сопряженного отображения, определенного формулой ad _l ( h )( a ) = h ₍₁₎ aS ( h ₍₂₎ ). Два условия нормальности эквивалентны, если антипод S биективен, и в этом случае A называется нормальной подалгеброй Хопфа.

Нормальная подалгебра Хопфа A в H удовлетворяет условию (равенства подмножеств H): HA ⁺ = A ⁺ H , где A ⁺ обозначает ядро ​​единицы на A . Из этого условия нормальности следует, что HA ⁺ является идеалом Хопфа группы H (т. е. идеалом алгебры в ядре коединицы, коидеалом коалгебры и устойчивым относительно антипода). Как следствие, имеется фактор-алгебра Хопфа H / HA ⁺ и эпиморфизм H → H / A ⁺ H — теория, аналогичная теории нормальных подгрупп и факторгрупп в теории групп . ^[10]

Хопф приказывает

Порядок Хопфа O над областью целостности R с полем частных K — это порядок в алгебре Хопфа H над K , замкнутый относительно операций алгебры и коалгебры: в частности, коумножение ∆ отображает O в O ⊗ O . ^[11]

Групповые элементы

Групповой элемент — это ненулевой элемент x такой, что ∆( x ) = x ⊗ x . Группоподобные элементы образуют группу с обратным антиподом. ^[12] Примитивный элемент x удовлетворяет условию ∆( x ) = x ⊗1 + 1⊗ x . ^{[13] [14]}

Примеры

Обратите внимание, что функции в конечной группе можно отождествить с групповым кольцом, хотя их более естественно считать двойственными - групповое кольцо состоит из конечных сумм элементов и, таким образом, соединяется с функциями в группе путем вычисления функции на суммированном элементы.

Когомологии групп Ли

Алгебра когомологий (над полем ) группы Ли является алгеброй Хопфа: умножение обеспечивается произведением чашки , а коумножение ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle G}$

${\displaystyle H^{*}(G,K)\rightarrow H^{*}(G\times G,K)\cong H^{*}(G,K)\otimes H^{*}(G,K)}$

групповым умножением . Это наблюдение фактически послужило источником понятия алгебры Хопфа. Используя эту структуру, Хопф доказал структурную теорему для алгебры когомологий групп Ли. ${\displaystyle G\times G\to G}$

Теорема (Хопфа) ^[18] Пусть — конечномерная градуированная коммутативная градуированная кокоммутативная алгебра Хопфа над полем характеристики 0. Тогда (как алгебра) — свободная внешняя алгебра с образующими нечётной степени. ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$

Квантовые группы и некоммутативная геометрия

Большинство приведенных выше примеров являются либо коммутативными (т. е. умножение коммутативно ), либо кокоммутативными (т. е. ^[19] ∆ = T ∘ ∘, где твист-отображение ^[20] T : H ⊗ H → H ⊗ H определяется формулой T ( x ⊗ у ) знак равно у ⊗ Икс ). Другими интересными алгебрами Хопфа являются некоторые «деформации» или « квантования » алгебр из примера 3, которые не являются ни коммутативными, ни кокоммутативными. Эти алгебры Хопфа часто называют квантовыми группами — термин, который до сих пор определен лишь в общих чертах. Они важны в некоммутативной геометрии , идея в следующем: стандартная алгебраическая группа хорошо описывается ее стандартной алгеброй Хопфа регулярных функций; тогда мы можем думать о деформированной версии этой алгебры Хопфа как описывающей некую «нестандартную» или «квантованную» алгебраическую группу (которая вообще не является алгебраической группой). Хотя, похоже, не существует прямого способа определения этих нестандартных объектов или манипулирования ими, с их алгебрами Хопфа все же можно работать, и действительно можно отождествлять их с их алгебрами Хопфа. Отсюда и название «квантовая группа».

Теория представлений

Пусть A — алгебра Хопфа, M и N — A -модули. Тогда M ⊗ N также является A -модулем, причем

${\displaystyle a(m\otimes n):=\Delta (a)(m\otimes n)=(a_{1}\otimes a_{2})(m\otimes n)=(a_{1}m\otimes a_{2}n)}$

для m ∈ M , n ∈ N и ∆( a ) = ( a1 , a2 _{) .} Более того, мы можем определить тривиальное представление как базовое поле K с

${\displaystyle a(m):=\epsilon (a)m}$

для м € К. _ Наконец, можно определить двойственное представление А : если М — А -модуль и М* — его двойственное пространство, то

${\displaystyle (af)(m):=f(S(a)m)}$

где f ∈ M * и m ∈ M.

Связь между ∆, ε и S гарантирует, что некоторые естественные гомоморфизмы векторных пространств действительно являются гомоморфизмами A -модулей. Например, естественные изоморфизмы векторных пространств M → M ⊗ K и M → K ⊗ M также являются изоморфизмами A -модулей. Кроме того, отображение векторных пространств M* ⊗ M → K с f ⊗ m → f ( m ) также является гомоморфизмом A -модулей. Однако отображение M ⊗ M* → K не обязательно является гомоморфизмом A -модулей.

Связанные понятия

Градуированные алгебры Хопфа часто используются в алгебраической топологии : они представляют собой естественную алгебраическую структуру прямой суммы всех групп гомологий или когомологий H-пространства .

Локально компактные квантовые группы обобщают алгебры Хопфа и несут топологию . Алгебра всех непрерывных функций на группе Ли является локально компактной квантовой группой.

Квази-алгебры Хопфа являются обобщениями алгебр Хопфа, где коассоциативность сохраняется только до поворота. Они использовались при исследовании уравнений Книжника–Замолодчикова . ^[21]

Алгебры-мультипликаторы Хопфа, введенные Альфонсом Ван Даэлем в 1994 году ^[22], представляют собой обобщения алгебр Хопфа , в которых коумножение алгебры (с единицей или без нее) в алгебру- мультипликатор тензорной алгебры произведения алгебры на саму себя.

Групповые (ко)алгебры Хопфа, введенные В. Г. Тураевым в 2000 г., также являются обобщениями алгебр Хопфа.

Слабые алгебры Хопфа

Слабые алгебры Хопфа , или квантовые группоиды, являются обобщениями алгебр Хопфа. Как и алгебры Хопфа, слабые алгебры Хопфа образуют самодвойственный класс алгебр; т. е. если H является (слабой) алгеброй Хопфа, то же самое относится и к H *, двойственному пространству линейных форм к H (относительно структуры алгебры-коалгебры, полученной в результате естественного спаривания с H и ее структуры коалгебры-алгебры). Слабой алгеброй Хопфа H обычно считается

• конечномерная алгебра и коалгебра с копроизведением ∆: H → H ⊗ H и единицей ε: H → k , удовлетворяющим всем аксиомам алгебры Хопфа, за исключением, возможно, ∆(1) ≠ 1 ⊗ 1 или ε( ab ) ≠ ε( a )ε ( b ) для некоторых a, b в H. Вместо этого требуется следующее:

${\displaystyle (\Delta (1)\otimes 1)(1\otimes \Delta (1))=(1\otimes \Delta (1))(\Delta (1)\otimes 1)=(\Delta \otimes {\mbox{Id}})\Delta (1)}$

${\displaystyle \epsilon (abc)=\sum \epsilon (ab_{(1)})\epsilon (b_{(2)}c)=\sum \epsilon (ab_{(2)})\epsilon (b_{(1)}c)}$

для всех a , b и c в H.

• H имеет ослабленный антипод S : H → H , удовлетворяющий аксиомам:

1. ${\displaystyle S(a_{(1)})a_{(2)}=1_{(1)}\epsilon (a1_{(2)})}$для всех a в H (правая часть представляет собой интересный проектор, обычно обозначаемый Π ^R ( a ) или ε _s ( a ), с изображением сепарабельной подалгебры ^, обозначаемой HR или H _s );
2. ${\displaystyle a_{(1)}S(a_{(2)})=\epsilon (1_{(1)}a)1_{(2)}}$для всех a в H (еще один интересный проектор, ^обычно обозначаемый Π ^R ( a ) или ε _t ( a ) с образом сепарабельной алгебры HL или H _t , антиизоморфной HL через S ) ^;
3. ${\displaystyle S(a_{(1)})a_{(2)}S(a_{(3)})=S(a)}$для всех a в H.

Заметим, что если ∆(1) = 1 ⊗ 1, эти условия сводятся к двум обычным условиям на антипод алгебры Хопфа.

Аксиомы частично выбраны так, что категория H -модулей является жесткой моноидальной категорией . Единичным H -модулем является ^{упомянутая} выше сепарабельная алгебра HL .

Например, конечная группоидная алгебра является слабой алгеброй Хопфа. В частности, группоидная алгебра на [n] с одной парой обратимых стрелок e _ij и e _ji между i и j в [ n ] изоморфна алгебре H матриц n x n . Структура слабой алгебры Хопфа на этом конкретном H задается копроизведением Δ( e _ij ) = e _ij ⊗ e _ij , единицей ε( e _ij ) = 1 и антиподом S ( e _ij ) = e _ji . Сепарабельные подалгебры HL и HR совпадают и в данном ^{частном} случае являются нецентральными коммутативными алгебрами (подалгеброй диагональных матриц) ^.

Ранние теоретические вклады в слабые алгебры Хопфа можно найти в ^[23] , а также в ^[24].

Алгеброиды Хопфа

См. алгеброид Хопфа.

Аналогия с группами

Группы могут быть аксиоматизированы с помощью тех же диаграмм (эквивалентно операциям), что и алгебра Хопфа, где G рассматривается как множество, а не как модуль. В этом случае:

• поле K заменяется одноточечным множеством
• есть натуральная единица (отобразить до 1 точки)
• существует естественное умножение (диагональное отображение)
• единица является идентификационным элементом группы
• умножение - это умножение в группе
• антипод - это обратная сторона

В этой философии группу можно рассматривать как алгебру Хопфа над « полем с одним элементом ». ^[25]

Алгебры Хопфа в сплетенных моноидальных категориях

Определение алгебры Хопфа естественным образом распространяется на произвольные сплетенные моноидальные категории . ^{[26] [27]} Алгебра Хопфа в такой категории — это шестерка, где — объект в , и ${\displaystyle (C,\otimes ,I,\alpha ,\lambda ,\rho ,\gamma )}$ ${\displaystyle (H,\nabla ,\eta ,\Delta ,\varepsilon ,S)}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle C}$

${\displaystyle \nabla :H\otimes H\to H}$(умножение),

${\displaystyle \eta :I\to H}$(единица),

${\displaystyle \Delta :H\to H\otimes H}$(умножение),

${\displaystyle \varepsilon :H\to I}$(единица),

${\displaystyle S:H\to H}$(антипод)

— являются морфизмами в таких, что ${\displaystyle C}$

1) тройка является моноидом в моноидальной категории , т. е. следующие диаграммы коммутативны: ^[б] ${\displaystyle (H,\nabla ,\eta )}$ ${\displaystyle (C,\otimes ,I,\alpha ,\lambda ,\rho ,\gamma )}$

2) тройка является комоноидом в моноидальной категории , т. е. следующие диаграммы коммутативны: ^[б] ${\displaystyle (H,\Delta ,\varepsilon )}$ ${\displaystyle (C,\otimes ,I,\alpha ,\lambda ,\rho ,\gamma )}$

3) структуры моноида и комоноида на согласованы: умножение и единица являются морфизмами комоноидов, и (что равносильно в данной ситуации) в то же время коумножение и коединица являются морфизмами моноидов; это означает, что следующие диаграммы должны быть коммутативными: ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle \nabla }$ ${\displaystyle \eta }$ ${\displaystyle \Delta }$ ${\displaystyle \varepsilon }$

где - морфизм левой единицы в и естественное преобразование функторов , единственное в классе естественных преобразований функторов, составленных из структурных преобразований (ассоциативность, левые и правые единицы, транспозиция и их обратные значения) в категории . ${\displaystyle \lambda _{I}:I\otimes I\to I}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle (A\otimes B)\otimes (C\otimes D){\stackrel {\theta }{\rightarrowtail }}(A\otimes C)\otimes (B\otimes D)}$ ${\displaystyle C}$

Пятерка со свойствами 1),2),3) называется биалгеброй в категории ; ${\displaystyle (H,\nabla ,\eta ,\Delta ,\varepsilon )}$ ${\displaystyle (C,\otimes ,I,\alpha ,\lambda ,\rho ,\gamma )}$

4) диаграмма антипода коммутативна:

Типичными примерами являются следующие.

• Группы . В моноидальной категории множеств ( с декартовым произведением в качестве тензорного произведения и произвольным одноцветным произведением, скажем, в качестве единичного объекта) тройка является моноидом в категориальном смысле тогда и только тогда, когда она является моноидом в обычном алгебраическом смысле. смысл , т.е. если операции и ведут себя как обычное умножение и единица в (но возможно без обратимости элементов ). В то же время тройка является комоноидом в категориальном смысле тогда и только тогда , когда является диагональной операцией (и операция также определяется однозначно: ). И любая такая структура комоноида совместима с любой структурой моноида в том смысле, что диаграммы в разделе 3 определения всегда коммутируют. Как следствие, каждый моноид в естественно можно рассматривать как биалгебру в и наоборот. Существование антипода такой биалгебры означает именно то, что каждый элемент имеет обратный элемент относительно умножения . Таким образом, в категории множеств алгебры Хопфа являются в точности группами в обычном алгебраическом смысле. ${\displaystyle ({\text{Set}},\times ,1)}$ ${\displaystyle \times }$ ${\displaystyle 1=\{\varnothing \}}$ ${\displaystyle (H,\nabla ,\eta )}$ ${\displaystyle \nabla (x,y)=x\cdot y}$ ${\displaystyle \eta (1)}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle x\in H}$ ${\displaystyle (H,\Delta ,\varepsilon )}$ ${\displaystyle \Delta }$ ${\displaystyle \Delta (x)=(x,x)}$ ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle \varepsilon (x)=\varnothing }$ ${\displaystyle (H,\Delta ,\varepsilon )}$ ${\displaystyle (H,\nabla ,\eta )}$ ${\displaystyle (H,\nabla ,\eta )}$ ${\displaystyle ({\text{Set}},\times ,1)}$ ${\displaystyle (H,\nabla ,\eta ,\Delta ,\varepsilon )}$ ${\displaystyle ({\text{Set}},\times ,1)}$ ${\displaystyle S:H\to H}$ ${\displaystyle (H,\nabla ,\eta ,\Delta ,\varepsilon )}$ ${\displaystyle x\in H}$ ${\displaystyle x^{-1}\in H}$ ${\displaystyle \nabla (x,y)=x\cdot y}$ ${\displaystyle ({\text{Set}},\times ,1)}$
• Классические алгебры Хопфа . В частном случае, когда категория векторных пространств над данным полем , алгебры Хопфа в являются в точности классическими алгебрами Хопфа, описанными выше. ${\displaystyle (C,\otimes ,s,I)}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle (C,\otimes ,s,I)}$
• Функциональные алгебры на группах . Стандартные функциональные алгебры , , , (непрерывных, гладких, голоморфных, регулярных функций) на группах являются алгебрами Хопфа в категории ( Ste , ) стереотипных пространств , ^[28] ${\displaystyle {\mathcal {C}}(G)}$ ${\displaystyle {\mathcal {E}}(G)}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}(G)}$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}(G)}$ ${\displaystyle \odot }$
• Групповые алгебры . Стереотипные групповые алгебры , , , (мер, распределений, аналитических функционалов и токов) на группах являются алгебрами Хопфа в категории ( Ste , ) стереотипных пространств . ^[28] Эти алгебры Хопфа используются в теориях двойственности некоммутативных групп . ^[29] ${\displaystyle {\mathcal {C}}^{\star }(G)}$ ${\displaystyle {\mathcal {E}}^{\star }(G)}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}^{\star }(G)}$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}^{\star }(G)}$ ${\displaystyle \circledast }$

Смотрите также

• Квазитреугольная алгебра Хопфа
• Алгебра/аналогия множеств
• Теория представлений алгебр Хопфа
• Ленточная алгебра Хопфа
• Супералгебра
• Супергруппа
• Любая алгебра Ли
• Алгебра Свидлера Хопфа
• Алгебра перестановок Хопфа
• Теорема Милнора – Мура

Примечания и ссылки

Примечания

1. Из конечности G следует, что K ^G ⊗ K ^G естественно изоморфен K ^{G x G} . Это используется в приведенной выше формуле коумножения. Для бесконечных групп G K G ^⊗ K G ^{является} собственным подмножеством в K ^{G x G} . В этом случае пространство функций с конечным носителем можно наделить структурой алгебры Хопфа.
2. Здесь , , — естественные преобразования ассоциативности, а также левых и правых единиц в моноидальной категории . ${\displaystyle \alpha _{H,H,H}:(H\otimes H)\otimes H\to H\otimes (H\otimes H)}$ ${\displaystyle \lambda _{H}:I\otimes H\to H}$ ${\displaystyle \rho _{H}:H\otimes I\to H}$ ${\displaystyle (C,\otimes ,I,\alpha ,\lambda ,\rho ,\gamma )}$

Цитаты

1. Холдейн, FDM; Ха, ЗНК; Талстра, JC; Бернард, Д.; Паскье, В. (1992). «Янгианская симметрия интегрируемых квантовых цепочек с дальнодействующими взаимодействиями и новое описание состояний в конформной теории поля». Письма о физических отзывах . 69 (14): 2021–2025. Бибкод : 1992PhRvL..69.2021H. doi : 10.1103/physrevlett.69.2021. ПМИД  10046379.
2. Плефка, Дж.; Спилл, Ф.; Торриелли, А. (2006). «Структура алгебры Хопфа S-матрицы AdS/CFT». Физический обзор D . 74 (6): 066008. arXiv : hep-th/0608038 . Бибкод : 2006PhRvD..74f6008P. doi : 10.1103/PhysRevD.74.066008. S2CID  2370323.
3. Абреу, Сэмюэл; Бритто, Рут ; Дур, Клод; Гарди, Эйнан (01 декабря 2017 г.). «Диаграмматическая алгебра Хопфа разрезанных фейнмановских интегралов: однопетлевой случай». Журнал физики высоких энергий . 2017 (12): 90. arXiv : 1704.07931 . Бибкод : 2017JHEP...12..090A. дои : 10.1007/jhep12(2017)090. ISSN  1029-8479. S2CID  54981897.
4. Андервуд 2011, с. 55
5. Андервуд 2011, с. 62
6. Даскалеску, Нэстасеску и Райану (2001). «Предложение 4.2.6». Алгебра Хопфа: Введение. п. 153.
7. Даскалеску, Нэстасеску и Райану (2001). «Примечания 4.2.3». Алгебра Хопфа: Введение. п. 151.
8. Конспекты лекций квантовых групп
9. Николс, Уоррен Д.; Золлер, М. Беттина (1989), «Теорема о свободе алгебры Хопфа», American Journal of Mathematics , 111 (2): 381–385, doi : 10.2307/2374514, JSTOR  2374514, MR  0987762
10. Монтгомери 1993, с. 36
11. Андервуд 2011, с. 82
12. Хазевинкель, Мишель; Губарени Надежда Михайловна; Кириченко, Владимир В. (2010). Алгебры, кольца и модули: алгебры Ли и алгебры Хопфа . Математические обзоры и монографии. Том. 168. Американское математическое общество . п. 149. ИСБН 978-0-8218-7549-0.
13. Михалев, Александр Васильевич; Пильц, Гюнтер, ред. (2002). Краткий справочник по алгебре . Спрингер-Верлаг . п. 307, С.42. ISBN 978-0792370727.
14. Абэ, Эйичи (2004). Алгебры Хопфа . Кембриджские трактаты по математике. Том. 74. Издательство Кембриджского университета . п. 59. ИСБН 978-0-521-60489-5.
15. Хохшильд, Г. (1965), Структура групп Ли , Холден-Дэй, стр. 14–32.
16. Янцен, Йенс Карстен (2003), Представления алгебраических групп , Математические обзоры и монографии, том. 107 (2-е изд.), Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество , ISBN. 978-0-8218-3527-2, раздел 2.3
17. См. Хазевинкель, Мишель (январь 2003 г.). «Симметричные функции, некоммутативные симметричные функции и квазисимметричные функции». Acta Applicandae Mathematicae . 75 (1–3): 55–83. arXiv : math/0410468 . дои : 10.1023/А: 1022323609001. S2CID  189899056.
18. Хопф, Хайнц (1941). «Über die Topologie der Gruppen – Mannigfaltigkeiten und ihre Verallgemeinerungen». Анна. математики . 2 (на немецком языке). 42 (1): 22–52. дои : 10.2307/1968985. JSTOR  1968985.
19. Андервуд 2011, с. 57
20. Андервуд 2011, с. 36
21. Монтгомери 1993, с. 203
22. Ван Даэле, Альфонс (1994). «Множители алгебр Хопфа» (PDF) . Труды Американского математического общества . 342 (2): 917–932. дои : 10.1090/S0002-9947-1994-1220906-5 .
23. Бём, Габриэлла; Нилл, Флориан; Шлачани, Корнель (1999). «Слабые алгебры Хопфа». Дж. Алгебра . 221 (2): 385–438. arXiv : математика/9805116 . дои : 10.1006/jabr.1999.7984. S2CID  14889155.
24. Никшич, Дмитрий; Вайнерман, Леонид (2002). «Конечные группоиды и их приложения». В Монтгомери, С.; Шнайдер, Х.-Й. (ред.). Новые направления в алгебрах Хопфа . Том. 43. Кембридж: Публикации ИИГС. стр. 211–262. ISBN 9780521815123.
25. Группа = алгебра Хопфа «Секретный семинар по ведению блогов, Групповые объекты и алгебры Хопфа, видео Саймона Уиллертона.
26. Тураев и Вирелизиер 2017, 6.2.
27. Акбаров 2009, с. 482.
28. Акбаров 2003, 10.3.
29. Акбаров 2009.

Рекомендации

• Даскалеску, Сорин; Нэстасеску, Константин; Райану, Шербан (2001), Алгебра Хопфа. Введение , Чистая и прикладная математика, вып. 235 (1-е изд.), Марсель Деккер, ISBN 978-0-8247-0481-0, Збл  0962.16026.
• Картье, Пьер (2007), «Букварь по алгебрам Хопфа», в Картье, П.; Мусса, П.; Юлия, Б.; Ванхов, П. (ред.), Границы теории чисел, физики и геометрии , том. II, Берлин: Springer, стр. 537–615, номер документа : 10.1007/978-3-540-30308-4_12, ISBN. 978-3-540-30307-7
• Фукс, Юрген (1992), Аффинные алгебры Ли и квантовые группы. Введение с приложениями в конформную теорию поля , Кембриджские монографии по математической физике, Кембридж: Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-48412-1, Збл  0925.17031
• Хайнц Хопф , Uber die Topologie der Gruppen-Mannigfaltigkeiten und ihrer Verallgemeinerungen, Annals of Mathematics 42 (1941), 22–52. Перепечатано в Selecta Heinz Hopf, стр. 119–151, Springer, Берлин (1964). МР 4784, Збл  0025.09303
• Монтгомери, Сьюзен (1993), Алгебры Хопфа и их действия на кольцах , Серия региональных конференций по математике, том. 82, Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество , ISBN 978-0-8218-0738-5, Збл  0793.16029
• Стрит, Росс (2007), Квантовые группы: путь к современной алгебре , Серия лекций Австралийского математического общества, том. 19, Издательство Кембриджского университета, ISBN 978-0-521-69524-4, МР  2294803, Збл  1117.16031.
• Свидлер, Мосс Э. (1969), Алгебры Хопфа, Серия лекций по математике, WA Benjamin, Inc., Нью-Йорк, ISBN 9780805392548, МР  0252485, Збл  0194.32901
• Андервуд, Роберт Г. (2011), Введение в алгебры Хопфа , Берлин: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-72765-3, Збл  1234.16022
• Тураев Владимир; Вирелизье, Алексис (2017), Моноидальные категории и топологическая теория поля, Progress in Mathematics, vol. 322, Спрингер, номер домена : 10.1007/978-3-319-49834-8, ISBN. 978-3-319-49833-1.
• Акбаров, С.С. (2003). «Двойственность Понтрягина в теории топологических векторных пространств и топологической алгебре». Журнал математических наук . 113 (2): 179–349. дои : 10.1023/А:1020929201133 . S2CID  115297067.
• Акбаров, СС (2009). «Голоморфные функции экспоненциального типа и двойственности для групп Штейна с алгебраической связной составляющей единицы». Журнал математических наук . 162 (4): 459–586. arXiv : 0806.3205 . дои : 10.1007/s10958-009-9646-1. S2CID  115153766.