Анализ количественной рекуррентности

Анализ квантификации рекуррентности ( RQA ) — это метод нелинейного анализа данных (ср. теория хаоса ) для исследования динамических систем . Он количественно определяет количество и длительность рекуррентных событий динамической системы, представленной ее фазовой траекторией.

Фон

Анализ квантификации рекуррентности (RQA) был разработан для количественной оценки по-разному проявляющихся рекуррентных диаграмм (RP) на основе мелкомасштабных структур в них. Рекуррентные диаграммы являются инструментами, которые визуализируют рекуррентное поведение фазовой траектории пространства динамических систем : ${\displaystyle {\vec {x}}(i)}$

${\displaystyle {R}(i,j)=\Theta (\varepsilon -\|{\vec {x}}(i)-{\vec {x}}(j)\|)}$,

где — функция Хевисайда и предопределенный допуск. ${\displaystyle \Theta :\mathbf {R} \rightarrow \{0,1\}}$ ${\displaystyle \varepsilon }$

Графики рекуррентности в основном содержат отдельные точки и линии, которые параллельны средней диагонали ( линии идентичности , LOI) или которые являются вертикальными/горизонтальными. Линии, параллельные LOI, называются диагональными линиями , а вертикальные структуры — вертикальными линиями . Поскольку RP обычно симметрична, горизонтальные и вертикальные линии соответствуют друг другу, и, следовательно, рассматриваются только вертикальные линии. Линии соответствуют типичному поведению траектории фазового пространства: в то время как диагональные линии представляют такие сегменты траектории фазового пространства, которые идут параллельно в течение некоторого времени, вертикальные линии представляют сегменты, которые остаются в той же области фазового пространства в течение некоторого времени.

Если доступен только временной ряд , фазовое пространство можно реконструировать, используя вложение с временной задержкой (см. теорему Такенса ):

${\displaystyle {\vec {x}}(i)=(u(i),u(i+\tau ),\ldots ,u(i+\tau (m-1)),}$

где — временной ряд, размерность внедрения и временная задержка. ${\displaystyle u(i)}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle \tau }$

RQA количественно определяет мелкомасштабные структуры графиков повторений, которые представляют количество и продолжительность повторений динамической системы. Меры, введенные для RQA, были разработаны эвристически между 1992 и 2002 годами (Zbilut & Webber 1992; Webber & Zbilut 1994; Marwan et al. 2002). Они фактически являются мерами сложности . Главное преимущество анализа квантификации повторений заключается в том, что он может предоставить полезную информацию даже для коротких и нестационарных данных, где другие методы терпят неудачу.

RQA можно применять практически к любому виду данных. Он широко используется в физиологии , но также успешно применялся к проблемам в области инженерии , химии , наук о Земле и т. д.

Меры RQA

Простейшей мерой является частота повторения , которая представляет собой плотность точек повторения на графике повторения:

${\displaystyle {\text{RR}}={\frac {1}{N^{2}}}\sum _{i,j=1}^{N}{R}(i,j).}$

Коэффициент повторения соответствует вероятности повторения определенного состояния. Он почти совпадает с определением суммы корреляции , где LOI исключен из вычисления.

Следующая мера — процент точек повторения, которые образуют диагональные линии на графике повторения минимальной длины : ${\displaystyle \ell _{\min }}$

${\displaystyle {\text{DET}}={\frac {\sum _{\ell =\ell _{\min }}^{N}\ell \,P(\ell )}{\sum _{\ell =1}^{N}\ell P(\ell )}},}$

где — распределение частот длин диагональных линий (т. е. подсчитывает, сколько экземпляров имеют длину ). Эта мера называется детерминизмом и связана с предсказуемостью динамической системы , поскольку белый шум имеет рекуррентный график с почти только одиночными точками и очень небольшим количеством диагональных линий, тогда как детерминированный процесс имеет рекуррентный график с очень небольшим количеством одиночных точек, но большим количеством длинных диагональных линий. ${\displaystyle P(\ell )}$ ${\displaystyle \ell }$ ${\displaystyle \ell }$

Количество точек повторения, образующих вертикальные линии, можно определить таким же образом:

${\displaystyle {\text{LAM}}={\frac {\sum _{v=v_{\min }}^{N}vP(v)}{\sum _{v=1}^{N}vP(v)}},}$

где — частотное распределение длин вертикальных линий, имеющих длину не менее . Эта мера называется ламинарностью и связана с количеством ламинарных фаз в системе ( прерывистостью ). ${\displaystyle P(v)}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle v_{\min }}$

Длины диагональных и вертикальных линий также могут быть измерены. Усредненная длина диагональной линии

${\displaystyle {\text{L}}={\frac {\sum _{\ell =\ell _{\min }}^{N}\ell \,P(\ell )}{\sum _{\ell =\ell _{\min }}^{N}P(\ell )}}}$

связано со временем предсказуемости динамической системы и временем захвата , измеряющим среднюю длину вертикальных линий,

${\displaystyle TT={\frac {\sum _{v=v_{\min }}^{N}vP(v)}{\sum _{v=v_{\min }}^{N}P(v)}}}$

связано со временем ламинарности динамической системы, т.е. с тем, как долго система остается в определенном состоянии.

Поскольку длина диагональных линий связана со временем, как долго сегменты траектории фазового пространства идут параллельно, т.е. с поведением расходимости траекторий, иногда утверждалось, что обратная величина максимальной длины диагональных линий (без LOI) будет оценкой для положительного максимального показателя Ляпунова динамической системы. Таким образом, максимальная длина диагональной линии или расходимость ${\displaystyle L_{\max }}$

${\displaystyle DIV={\frac {1}{L_{\max }}}}$

также являются мерами RQA. Однако связь между этими мерами и положительным максимальным показателем Ляпунова не так проста, как утверждается, а даже более сложна (чтобы вычислить показатель Ляпунова из RP, необходимо рассмотреть все распределение частот диагональных линий). Расхождение может иметь тенденцию положительного максимального показателя Ляпунова, но не более того. Более того, RP процессов белого шума также могут иметь действительно длинную диагональную линию, хотя и очень редко, просто с конечной вероятностью. Следовательно, расхождение не может отражать максимальный показатель Ляпунова.

Вероятность того , что диагональная линия имеет ровно длину, можно оценить из распределения частот с помощью . Энтропия Шеннона этой вероятности, ${\displaystyle p(\ell )}$ ${\displaystyle \ell }$ ${\displaystyle P(\ell )}$ ${\displaystyle p(\ell )={\frac {P(\ell )}{\sum _{\ell =l_{\min }}^{N}P(\ell )}}}$

${\displaystyle {\text{ENTR}}=-\sum _{\ell =\ell _{\min }}^{N}p(\ell )\ln p(\ell ),}$

отражает сложность детерминированной структуры в системе. Однако эта энтропия чувствительно зависит от номера ячейки и, таким образом, может различаться для разных реализаций одного и того же процесса, а также для разных приготовлений данных.

Последняя мера RQA количественно определяет прореживание графика повторения. Тренд — это коэффициент регрессии линейной зависимости между плотностью точек повторения на линии, параллельной LOI, и ее расстоянием до LOI. Точнее, рассмотрим частоту повторения на диагональной линии, параллельной LOI, на расстоянии k ( диагональная частота повторения или τ-частота повторения ):

${\displaystyle {\text{RR}}_{k}={\frac {1}{N-k}}\sum _{j-i=k}^{N-k}{R}(i,j),}$

тогда тренд определяется

${\displaystyle {\text{TREND}}={\frac {\sum _{i=1}^{\tilde {N}}(i-{\tilde {N}}/2)(RR_{i}-\langle RR_{i}\rangle )}{\sum _{i=1}^{\tilde {N}}(i-{\tilde {N}}/2)^{2}}},}$

с как среднее значение и . Это последнее отношение должно гарантировать, чтобы избежать краевых эффектов слишком низкой плотности точек повторения на краях графика повторения. Тренд меры предоставляет информацию о стационарности системы. ${\displaystyle \langle \cdot \rangle }$ ${\displaystyle {\tilde {N}}<N}$

Подобно частоте повторения, другие меры, основанные на диагональных линиях (DET, L, ENTR), могут быть определены по диагонали. Эти определения полезны для изучения взаимосвязей или синхронизации между различными системами (с использованием графиков повторения или перекрестных графиков повторения ). ${\displaystyle \tau }$

RQA, зависящий от времени

Вместо вычисления мер RQA всего графика повторения, их можно вычислить в небольших окнах, перемещающихся по графику повторения вдоль LOI. Это обеспечивает зависящие от времени меры RQA, которые позволяют обнаруживать, например, переходы хаос-хаос (Marwan et al. 2002). Примечание: выбор размера окна может сильно влиять на тренд меры .

Пример

Диаграмма бифуркации для логистической карты.

Меры RQA логистической карты для различных настроек управляющего параметра a. Меры RR и DET демонстрируют максимумы при переходах хаос-порядок/порядок-хаос. Мера DIV имеет схожую тенденцию с максимальным показателем Ляпунова (но это не то же самое!). Мера LAM имеет максимумы при переходах хаос-хаос ( ламинарные фазы , перемежаемость ).

Смотрите также

• График рекуррентности — мощный инструмент визуализации рекуррентных закономерностей в динамических (и других) системах.
• Энтропия плотности периода повторения — информационно-теоретический метод обобщения свойств повторения как детерминированных, так и стохастических динамических систем.
• Приблизительная энтропия

Дальнейшее чтение

• Марван, Н. (2008). «Исторический обзор диаграмм повторения». European Physical Journal ST . 164 (1): 3–12. arXiv : 1709.09971 . Bibcode : 2008EPJST.164....3M. doi : 10.1140/epjst/e2008-00829-1. S2CID  119494395.
• Марван, Н., Романо, М. К., Тиль, М., Куртс, Дж. (2007). «Диаграммы повторяемости для анализа сложных систем». Physics Reports . 438 (5–6): 237–329. Bibcode : 2007PhR...438..237M. doi : 10.1016/j.physrep.2006.11.001.{{cite journal}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
• Марван, Н., Вессель, Н., Мейерфельдт, У., Ширдеван, А., Куртс, Дж. (2002). "Измерения сложности на основе рекуррентных диаграмм и их применение к данным вариабельности сердечного ритма". Physical Review E. 66 ( 2): 026702. arXiv : physics/0201064 . Bibcode : 2002PhRvE..66b6702M. doi : 10.1103/PhysRevE.66.026702. PMID  12241313. S2CID  14803032.{{cite journal}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
• Марван, Н., Куртс, Дж. (2002). «Нелинейный анализ двумерных данных с графиками перекрестной рекуррентности». Physics Letters A. 302 ( 5–6): 299–307. arXiv : physics/0201061 . Bibcode : 2002PhLA..302..299M. doi : 10.1016/S0375-9601(02)01170-2. S2CID  8020903.{{cite journal}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
• Веббер-младший, CL, Збилут, JP (1994). «Динамическая оценка физиологических систем и состояний с использованием стратегий рекуррентных диаграмм». Журнал прикладной физиологии . 76 (2): 965–973. doi :10.1152/jappl.1994.76.2.965. PMID  8175612.{{cite journal}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
• Zbilut, JP, Webber Jr., CL (1992). «Вложения и задержки, полученные из количественной оценки графиков рекуррентности». Physics Letters A. 171 ( 3–4): 199–203. Bibcode : 1992PhLA..171..199Z. doi : 10.1016/0375-9601(92)90426-M.{{cite journal}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
• Пратьяса Бхуи; Ниланджан Сенрой (2016). «Применение анализа рекуррентного квантования к динамическим исследованиям энергосистем». Труды IEEE по энергосистемам . 31 (1): 581–591. Bibcode : 2016ITPSy..31..581B. doi : 10.1109/TPWRS.2015.2407894. S2CID  19049274.Номер статьи TPWRS-01211-2014
• Жиро, Ж.-М. (2015). «Рекуррентность и симметрия временных рядов: применение к обнаружению переходов» (PDF) . Хаос, солитоны и фракталы . 77 : 11–28. Bibcode : 2015CSF....77...11G. doi : 10.1016/j.chaos.2015.04.010.

Внешние ссылки

• http://www.recurrence-plot.tk/