Аналоговый фильтр

Фильтр, используемый при обработке сигналов непрерывного времени.

Аналоговые фильтры являются основным строительным блоком обработки сигналов , широко используемым в электронике . Среди их многочисленных применений — разделение аудиосигнала перед его подачей на низкочастотные , среднечастотные и высокочастотные громкоговорители ; объединение и последующее разделение нескольких телефонных разговоров на один канал; выбор выбранной радиостанции в радиоприемнике и отказ от других.

Пассивные линейные электронные аналоговые фильтры — это фильтры, которые можно описать линейными дифференциальными уравнениями (линейные); они состоят из конденсаторов , катушек индуктивности и, иногда, резисторов ( пассивных ) и предназначены для работы с постоянно меняющимися аналоговыми сигналами . Существует множество линейных фильтров , не являющихся аналогами по реализации ( цифровых фильтров ), и существует множество электронных фильтров , которые могут не иметь пассивной топологии – оба из которых могут иметь ту же передаточную функцию , что и фильтры, описанные в этой статье. Аналоговые фильтры чаще всего используются в приложениях волновой фильтрации, то есть там, где требуется пропустить определенные частотные компоненты и отклонить другие из аналоговых ( непрерывных ) сигналов.

Аналоговые фильтры сыграли важную роль в развитии электроники. Особенно в области телекоммуникаций фильтры сыграли решающую роль в ряде технологических прорывов и стали источником огромных прибылей для телекоммуникационных компаний. Поэтому неудивительно, что раннее развитие фильтров было тесно связано с линиями электропередачи . Теория линий передачи породила теорию фильтров, которая первоначально приняла очень похожую форму, и основное применение фильтров заключалось в использовании на линиях передачи телекоммуникаций. Однако появление методов сетевого синтеза значительно повысило степень контроля проектировщика.

Сегодня часто предпочитают выполнять фильтрацию в цифровой области, где сложные алгоритмы гораздо проще реализовать, но аналоговые фильтры все еще находят применение, особенно для простых задач фильтрации низкого порядка, и часто все еще являются нормой на более высоких частотах, где цифровые фильтры технология по-прежнему непрактична или, по крайней мере, менее экономически эффективна. Везде, где это возможно, и особенно на низких частотах , аналоговые фильтры теперь реализуются в активной топологии фильтра , чтобы избежать наличия намотанных компонентов (т.е. катушек индуктивности, трансформаторов и т. д.), необходимых для пассивной топологии.

Можно спроектировать линейные аналоговые механические фильтры с использованием механических компонентов, которые фильтруют механические вибрации или акустические волны. Хотя в механике у таких устройств мало применений, их можно использовать в электронике с добавлением преобразователей для преобразования в электрическую область и обратно. Действительно, одними из первых идей фильтров были акустические резонаторы, поскольку в то время электроника была плохо изучена. В принципе, конструкция таких фильтров может быть полностью реализована с использованием электронных аналогов механических величин, при этом кинетическая энергия , потенциальная энергия и тепловая энергия соответствуют энергии в катушках индуктивности, конденсаторах и резисторах соответственно.

Исторический обзор

В истории развития пассивных аналоговых фильтров можно выделить три основных этапа :

1. Простые фильтры . Частотная зависимость электрического отклика конденсаторов и катушек индуктивности была известна с самого начала. Явление резонанса также было известно с давних времен, и с помощью этих компонентов можно было создавать простые одноветвевые фильтры. Хотя в 1880-х годах были предприняты попытки применить их к телеграфии , эти конструкции оказались недостаточными для успешного мультиплексирования с частотным разделением каналов . Сетевой анализ еще не был достаточно мощным, чтобы обеспечить теорию более сложных фильтров, а прогресс еще больше сдерживался общей неспособностью понять природу сигналов в частотной области .
2. Фильтры изображений . Теория фильтра изображения выросла из теории линий передачи, и ее разработка велась аналогично анализу линии передачи. Впервые удалось создать фильтры с точно контролируемыми полосами пропускания и другими параметрами. Эти разработки произошли в 1920-х годах, и фильтры, изготовленные по этой конструкции, все еще широко использовались в 1980-х годах, и их количество только сокращалось по мере сокращения использования аналоговых телекоммуникаций. Их непосредственным применением стало экономически важное развитие частотного мультиплексирования для использования на междугородных и международных линиях .
3. Фильтры сетевого синтеза . Математические основы сетевого синтеза были заложены в 1930-х и 1940-х годах. После Второй мировой войны сетевой синтез стал основным инструментом проектирования фильтров . Сетевой синтез положил проектирование фильтров на прочную математическую основу, освободив его от математически небрежных методов проектирования изображений и разорвав связь с физическими линиями. Сущность сетевого синтеза заключается в том, что он создает конструкцию, которая (по крайней мере, если она реализована с идеальными компонентами) точно воспроизводит реакцию, первоначально заданную в терминах черного ящика .

В этой статье буквы R, L и C используются в их обычных значениях для обозначения сопротивления , индуктивности и емкости соответственно. В частности, они используются в комбинациях, таких как LC, для обозначения, например, сети, состоящей только из катушек индуктивности и конденсаторов. Z используется для электрического импеданса , любой 2-контактной ^{[примечание 1]} комбинации элементов RLC, а в некоторых разделах D используется для редко встречающейся величины упругости , которая является обратной емкостью.

Резонанс

Ранние фильтры использовали явление резонанса для фильтрации сигналов. Хотя электрический резонанс исследовался исследователями с самого начала, поначалу он не был широко понят инженерами-электриками. Следовательно, гораздо более знакомая концепция акустического резонанса (которая, в свою очередь, может быть объяснена с точки зрения еще более знакомого механического резонанса ) нашла свое применение в конструкции фильтров раньше, чем электрический резонанс. ^[1] Резонанс можно использовать для достижения эффекта фильтрации, поскольку резонансное устройство будет реагировать на частоты, близкие к резонансной частоте или близкие к ней, но не будет реагировать на частоты, далекие от резонанса. Следовательно, частоты, далекие от резонанса, отфильтровываются с выхода устройства. ^[2]

Электрический резонанс

Пример 1915 года резонансного контура раннего типа, известного как катушка Удена , в котором в качестве емкости используются лейденские банки.

Резонанс был замечен еще в экспериментах с лейденской банкой , изобретенной в 1746 году. Лейденская банка сохраняет электричество благодаря своей емкости и, по сути, является ранней формой конденсатора. Когда лейденскую банку разряжают за счет проскока искры между электродами, разряд носит колебательный характер. Об этом не подозревали до 1826 г., когда Феликс Савари во Франции, а позднее (1842 г.) Джозеф Генри ^[3] в США заметили, что стальная игла, помещенная вблизи разряда, не всегда намагничивается в одном и том же направлении. Оба они независимо друг от друга пришли к выводу, что существует переходное колебание, затухающее со временем. ^[4]

Герман фон Гельмгольц в 1847 году опубликовал свою важную работу по сохранению энергии ^[5] , в которой он использовал те принципы, чтобы объяснить, почему колебание затухает, что именно сопротивление цепи рассеивает энергию колебания на каждом последующем цикл. Гельмгольц также отметил, что существуют доказательства колебаний в экспериментах по электролизу Уильяма Хайда Волластона . Волластон пытался разложить воду электрическим током, но обнаружил, что на обоих электродах присутствуют и водород, и кислород. При обычном электролизе они разделяются, по одному на каждый электрод. ^[6]

Гельмгольц объяснил, почему колебание затухало, но не объяснил, почему оно вообще произошло. Это было оставлено на усмотрение сэра Уильяма Томсона (лорда Кельвина), который в 1853 году постулировал, что в цепи присутствует индуктивность, а также емкость банки и сопротивление нагрузки. ^[7] Это установило физическую основу явления – энергия, подаваемая банкой, частично рассеивалась в нагрузке, но также частично сохранялась в магнитном поле индуктора. ^[8]

До сих пор исследование касалось собственной частоты переходных колебаний резонансного контура, возникающих в результате внезапного раздражителя. Более важным с точки зрения теории фильтров является поведение резонансного контура при воздействии внешнего сигнала переменного тока : в отклике контура возникает внезапный пик, когда частота управляющего сигнала достигает резонансной частоты контура. ^{[примечание 2]} Джеймс Клерк Максвелл услышал об этом явлении от сэра Уильяма Гроува в 1868 году в связи с экспериментами на динамо-машинах , ^[9] а также был осведомлен о более ранней работе Генри Уайльда в 1866 году. Максвелл объяснил резонанс ^{[примечание 3]} математически: с набором дифференциальных уравнений, во многом в тех же терминах, которыми сегодня описывается схема RLC . ^{[1] [10] [11]}

Генрих Герц (1887) экспериментально продемонстрировал явления резонанса ^[12] , построив два резонансных контура, один из которых приводился в движение генератором, а другой был перестраиваемым и был связан с первым только электромагнитным путем (т. е. без связи с цепью). Герц показал, что отклик второго контура был максимальным, когда он был настроен на первый. Диаграммы, представленные Герцем в этой статье, были первыми опубликованными графиками электрического резонансного отклика. ^{[1] [13]}

Акустический резонанс

Как упоминалось ранее, именно акустический резонанс вдохновил на применение фильтров, первой из которых стала телеграфная система, известная как « гармонический телеграф ». Версии принадлежат Элише Грею , Александру Грэму Беллу (1870-е), ^[1] Эрнесту Меркадье и другим. Его цель заключалась в одновременной передаче нескольких телеграфных сообщений по одной и той же линии и представляет собой раннюю форму мультиплексирования с частотным разделением каналов (FDM). FDM требует, чтобы передающая сторона осуществляла передачу на разных частотах для каждого отдельного канала связи. Для этого требуются индивидуально настроенные резонаторы, а также фильтры для разделения сигналов на приемной стороне. Гармонический телеграф достиг этого с помощью настроенных язычков с электромагнитным приводом на передающем конце, которые вибрировали такие же язычки на приемном конце. Только трость с той же резонансной частотой, что и передатчик, будет вибрировать в сколько-нибудь заметной степени на принимающем конце. ^[14]

Между прочим, гармонический телеграф прямо подсказал Беллу идею телефона. Трости можно рассматривать как преобразователи , преобразующие звук в электрический сигнал и обратно. От этой точки зрения на гармонический телеграф не так уж и сложно перейти к идее, что речь можно преобразовывать в электрический сигнал и обратно. ^{[1] [14]}

Раннее мультиплексирование

Множественный телеграфный фильтр Ютена и Леблана 1891 года, демонстрирующий использование резонансных контуров при фильтрации. ^{[15] [примечание 4]}

К 1890-м годам электрический резонанс стал гораздо более широко понятен и стал обычной частью инструментария инженера. В 1891 году Ютен и Леблан запатентовали схему FDM для телефонных цепей с использованием фильтров резонансной цепи. ^[16] Конкурирующие патенты были поданы в 1892 году Майклом Пупином и Джоном Стоуном Стоуном с аналогичными идеями, приоритет в конечном итоге был отдан Пупину. Однако ни одна схема, использующая простые фильтры резонансной схемы, не может успешно мультиплексировать (т.е. объединять) более широкую полосу телефонных каналов (в отличие от телеграфных) без неприемлемого ограничения полосы пропускания речи или настолько большого разноса каналов, чтобы использовать преимущества мультиплексирования. неэкономично. ^{[1] [17]}

Основная техническая причина этой трудности заключается в том, что частотная характеристика простого фильтра приближается к падению на 6 дБ/октаву далеко от точки резонанса. Это означает, что если телефонные каналы втиснуться в частотный спектр бок о бок, в любом данном канале возникнут перекрестные помехи от соседних каналов. Что требуется, так это гораздо более сложный фильтр, который имеет плоскую частотную характеристику в требуемой полосе пропускания , как резонансный контур с низкой добротностью , но который быстро падает по отклику (гораздо быстрее, чем 6 дБ/октава) при переходе от полосы пропускания к полосе задерживания , как резонансный контур с высокой добротностью. ^{[примечание 5]} Очевидно, что это противоречивые требования, которым должен соответствовать один резонансный контур. Решение этих потребностей было основано на теории линий передачи, и, следовательно, необходимые фильтры не стали доступны до тех пор, пока эта теория не была полностью разработана. На этом раннем этапе идея ширины полосы сигнала и, следовательно, необходимость соответствующих ей фильтров не были полностью поняты; действительно, только в 1920 году концепция полосы пропускания была полностью утверждена. ^[18] Для раннего радио было достаточно понятий добротности, избирательности и настройки. Все должно было измениться с развитием теории линий передачи , на которой основаны фильтры изображений , как объясняется в следующем разделе. ^[1]

На рубеже веков, когда стали доступны телефонные линии, стало популярным добавлять телеграф к телефонным линиям с фантомной схемой возврата на землю . ^{[примечание 6]} Для предотвращения слышимости телеграфных щелчков на телефонной линии требовался LC -фильтр . Начиная с 1920-х годов, телефонные линии или симметричные линии, предназначенные для этой цели, использовались для телеграфа FDM на звуковых частотах. Первой из этих систем в Великобритании была установка Siemens and Halske между Лондоном и Манчестером. GEC и AT&T также имели системы FDM. Для сигналов отправки и приема использовались отдельные пары. Системы Siemens и GEC имели по шесть телеграфных каналов в каждом направлении, система AT&T — двенадцать. Все эти системы использовали электронные генераторы для генерации разных несущих для каждого телеграфного сигнала и требовали набора полосовых фильтров для выделения мультиплексированного сигнала на приемной стороне. ^[19]

Теория линий электропередачи

Модель линии передачи Ома представляла собой просто сопротивление.

Модель линии передачи лорда Кельвина учитывала емкость и вызываемую ею дисперсию. Диаграмма представляет модель Кельвина, переведенную на современный язык с использованием бесконечно малых элементов, но на самом деле это не тот подход, который использовал Кельвин.

Модель линии передачи Хевисайда. L, R, C и G на всех трех диаграммах являются основными константами линии. Бесконечно малые δL, δR, δC и δG следует понимать как Lδ x , Rδ x , Cδ x и Gδ x соответственно.

Самая ранняя модель линии передачи, вероятно, была описана Георгом Омом (1827 г.), который установил, что сопротивление провода пропорционально его длине. ^{[20] [примечание 7]} Таким образом, модель Ома включала только сопротивление. Латимер Кларк заметил, что сигналы задерживаются и удлиняются по кабелю - нежелательная форма искажения, которую сейчас называют дисперсией , а затем - задержкой, а Майкл Фарадей (1853) установил, что это происходит из-за емкости , присутствующей в линии передачи. ^{[21] [примечание 8]} Лорд Кельвин (1854 г.) нашел правильное математическое описание, необходимое в своей работе над ранними трансатлантическими кабелями; он пришел к уравнению, идентичному проведению теплового импульса по металлическому стержню. ^[22] Эта модель учитывает только сопротивление и емкость, но это все, что нужно для подводных кабелей, в которых преобладают эффекты емкости. Модель Кельвина предсказывает ограничение скорости передачи телеграфных сигналов по кабелю, но Кельвин все еще не использовал концепцию полосы пропускания, предел был полностью объяснен с точки зрения дисперсии телеграфных символов . ^[1] Математическая модель линии электропередачи достигла своего полного развития при Оливере Хевисайде . Хевисайд (1881) ввел в модель последовательную индуктивность и шунтирующую проводимость , составив всего четыре распределенных элемента . Эта модель теперь известна как уравнение телеграфиста , а параметры распределенных элементов называются константами первичной линии . ^[23]

Из работы Хевисайда (1887) стало ясно, что характеристики телеграфных линий, и особенно телефонных, можно улучшить, добавив в линию индуктивность. ^[24] Джордж Кэмпбелл из AT&T реализовал эту идею (1899 г.), вставив нагрузочные катушки через определенные промежутки вдоль линии. ^[25] Кэмпбелл обнаружил, что помимо желаемых улучшений характеристик линии в полосе пропускания существует также определенная частота, за пределами которой сигналы не могут передаваться без значительного ослабления . Это произошло из-за того, что нагрузочные катушки и емкость линии образуют фильтр нижних частот , эффект, который проявляется только в линиях, включающих компоненты с сосредоточенными параметрами , такие как нагрузочные катушки. Это, естественно, привело Кэмпбелла (1910) к созданию фильтра с лестничной топологией ; одного взгляда на принципиальную схему этого фильтра достаточно, чтобы увидеть его связь с нагруженной линией передачи. ^[26] Явление отсечки является нежелательным побочным эффектом для загруженных линий, но для телефонных фильтров FDM это именно то, что требуется. Для этого приложения Кэмпбелл изготовил полосовые фильтры с той же лестничной топологией, заменив катушки индуктивности и конденсаторы резонаторами и антирезонаторами соответственно. ^{[примечание 9]} И загруженная линия, и FDM принесли AT&T большую экономическую выгоду, и с этого момента это привело к быстрому развитию фильтрации. ^[27]

Фильтры изображений

Набросок Кэмпбелла низкочастотной версии его фильтра из его патента 1915 года ^[28], показывающий теперь повсеместную лестничную топологию с конденсаторами для ступеней лестницы и индукторами для перекладин. Фильтры более современной конструкции также часто используют ту же лестничную топологию, что и Кэмпбелл. Следует понимать, что хотя внешне они и похожи, на самом деле они совершенно разные. Лестничная конструкция важна для фильтра Кэмпбелла, и все секции имеют одинаковые значения элементов. Современные конструкции могут быть реализованы в любом количестве топологий, выбор лестничной топологии является лишь вопросом удобства. Их ответ совершенно отличается (лучше) от ответа Кэмпбелла, и значения элементов, как правило, будут разными.

Фильтры, разработанные Кэмпбеллом ^{[примечание 10],} были названы волновыми фильтрами из-за их свойства пропускать одни волны и сильно подавлять другие. Метод, с помощью которого они были разработаны, получил название метода параметров изображения ^{[примечание 11] [29] [30]} , а фильтры, разработанные для этого метода, называются фильтрами изображения. ^{[примечание 12]} Метод изображения по существу состоит из разработки констант пропускания бесконечной цепочки идентичных секций фильтра и последующего завершения желаемого конечного числа секций фильтра в импедансе изображения . Это в точности соответствует тому, как свойства линии передачи конечной длины выводятся из теоретических свойств бесконечной линии, при этом импеданс изображения соответствует характеристическому импедансу линии. ^[31]

С 1920 года Джон Карсон , также работавший в AT&T, начал разрабатывать новый способ рассмотрения сигналов, используя операционное исчисление Хевисайда, которое, по сути, работает в частотной области . Это дало инженерам AT&T новое представление о том, как работают их фильтры, и побудило Отто Зобеля изобрести множество улучшенных форм. Карсон и Зобель постепенно разрушали многие старые идеи. Например, старые инженеры телеграфа считали сигнал одночастотным, и эта идея сохранялась до эпохи радио, при этом некоторые все еще считали, что передача с частотной модуляцией (FM) может быть достигнута с меньшей полосой пропускания, чем сигнал основной полосы частот, вплоть до тех пор, пока не публикация статьи Карсона 1922 года. ^[32] Еще одно достижение касалось природы шума: Карсон и Зобель (1923) ^[33] рассматривали шум как случайный процесс с непрерывной полосой пропускания, идея, которая намного опередила свое время и, таким образом, ограничила количество шума, которое он можно было убрать фильтрацией к той части спектра шума, которая попала за пределы полосы пропускания. Это тоже поначалу не было общепринятым, в частности, против него выступал Эдвин Армстронг (которому, по иронии судьбы, действительно удалось снизить шум с помощью широкополосной ЧМ ) и было окончательно решено только благодаря работе Гарри Найквиста , чья формула мощности теплового шума хорошо известна. сегодня. ^[34]

Отто Зобель внес несколько улучшений в фильтры изображений и теорию их работы . Зобель ввел термин « фильтр постоянного k» (или фильтр k-типа), чтобы отличить фильтр Кэмпбелла от более поздних типов, в частности от фильтра Зобеля, производного от m (или фильтра m-типа). Конкретными проблемами, которые Зобель пытался решить с помощью этих новых форм, были согласование импеданса на концевых нагрузках и улучшенная крутизна спада. Это было достигнуто за счет увеличения сложности схемы фильтра. ^{[35] [36]}

Более систематический метод создания фильтров изображений был предложен Хендриком Боде (1930) и далее развит несколькими другими исследователями, включая Пилоти (1937–1939) и Вильгельма Кауэра (1934–1937). Вместо того, чтобы перечислять поведение (передаточная функция, функция затухания, функция задержки и т. д.) конкретной схемы, вместо этого были разработаны требования к самому импедансу изображения. Импеданс изображения можно выразить через импеданс холостого хода и короткого замыкания ^{[примечание 13]} фильтра как . Поскольку импеданс изображения должен быть действительным в полосах пропускания и мнимым в полосах задерживания согласно теории изображения, существует требование, чтобы полюсы и нули Z o _и Z s _{сокращались} в полосе пропускания и соответствовали в полосе задерживания. Поведение фильтра можно полностью определить с точки зрения положения этих пар полюсов и нулей в комплексной плоскости . Любая схема, имеющая необходимые полюса и нули, также будет иметь необходимый отклик. Кауэр исследовал два связанных вопроса, возникающих в связи с этой техникой: какую спецификацию полюсов и нулей можно реализовать как пассивные фильтры; и какие реализации эквивалентны друг другу. Результаты этой работы побудили Кауэра разработать новый подход, который теперь называется сетевым синтезом. ^{[36] [37] [38]} ${\displaystyle \scriptstyle Z_{i}={\sqrt {Z_{o}Z_{s}}}}$

Этот подход к конструкции фильтров «полюса и нули» был особенно полезен в тех случаях, когда группа фильтров, каждый из которых работает на разных частотах, подключена к одной и той же линии передачи. Более ранний подход не мог должным образом справиться с этой ситуацией, но подход полюсов и нулей мог охватить ее, задав постоянный импеданс для комбинированного фильтра. Эта проблема изначально была связана с телефонией FDM, но теперь часто возникает в кроссоверных фильтрах громкоговорителей . ^[37]

Фильтры сетевого синтеза

Суть синтеза сети состоит в том, чтобы начать с требуемого ответа фильтра и создать сеть, которая доставляет этот ответ или приближается к нему в пределах заданной границы. Это обратный анализ сети , который начинается с заданной сети и путем применения различных теорем об электрических цепях предсказывает реакцию сети. ^[39] Термин впервые был использован в этом значении в докторской диссертации Юк-Винга Ли (1930) и, по-видимому, возник из разговора с Ванневаром Бушем . ^[40] Преимущество сетевого синтеза по сравнению с предыдущими методами заключается в том, что он обеспечивает решение, которое точно соответствует проектным спецификациям. Это не относится к фильтрам изображения, при их проектировании требуется определенный опыт, поскольку фильтр изображения соответствует проектным спецификациям только в том нереалистичном случае, когда он ограничен собственным импедансом изображения, для создания которого потребуется именно искомая схема. . С другой стороны, синтез сети учитывает импедансы нагрузки, просто включая их в проектируемую сеть. ^[41]

Развитие сетевого анализа должно было произойти до того, как стал возможен сетевой синтез. Основу заложили теоремы Густава Кирхгофа и других, а также идеи Чарльза Штейнмеца ( векторы ) и Артура Кеннелли ( комплексный импеданс ) ^{[42] . [43]} Концепция порта также сыграла свою роль в развитии теории и оказалась более полезной идеей, чем сетевые терминалы. ^{[примечание 1] [36]} Первой вехой на пути к синтезу сети стала важная статья Рональда М. Фостера (1924), ^[44] Теорема реактивного сопротивления , в которой Фостер вводит идею импеданса движущей точки , то есть , импеданс, подключенный к генератору. Выражение для этого импеданса определяет отклик фильтра и наоборот, а реализацию фильтра можно получить путем расширения этого выражения. Невозможно реализовать любое произвольное выражение импеданса в виде сети. Теорема Фостера о реактивном сопротивлении предусматривает необходимые и достаточные условия реализуемости: реактивное сопротивление должно алгебраически увеличиваться с частотой, а полюсы и нули должны чередоваться. ^{[45] [46]}

Вильгельм Кауэр развил работу Фостера (1926) ^[47] и первым заговорил о реализации однопортового импеданса с заданной частотной функцией. В работе Фостера рассматривались только реактивные сопротивления (т.е. только цепи LC-типа). Кауэр обобщил это на любую однопортовую сеть двухэлементного типа, обнаружив, что между ними существует изоморфизм. Он также нашел лестничные реализации ^{[примечание 14]} сети, используя непрерывное расширение дробей Томаса Стилтьеса . Эта работа послужила основой для построения сетевого синтеза, хотя работа Кауэра поначалу не слишком широко использовалась инженерами, отчасти из-за начала Второй мировой войны, отчасти по причинам, объясненным в следующем разделе, а отчасти потому, что Кауэр представил свои результаты, используя топологии, которые требовали взаимно связанных индукторов и идеальных трансформаторов. Разработчики стараются по возможности избегать усложнения взаимных индуктивностей и трансформаторов, хотя усилители с двойной настройкой и трансформаторной связью являются распространенным способом расширения полосы пропускания без ущерба для селективности. ^{[48] ​​[49] [50]}

Метод изображения против синтеза

Фильтры изображений продолжали использоваться дизайнерами еще долгое время после того, как стали доступны превосходные методы сетевого синтеза. Частично причиной этого могла быть просто инерция, но в основном это было связано с большим объемом вычислений, необходимых для фильтров сетевого синтеза, часто требующих математического итерационного процесса. Фильтры изображений в своей простейшей форме состоят из цепочки повторяющихся одинаковых разделов. Дизайн можно улучшить, просто добавив больше секций, а вычисления, необходимые для создания начальной секции, находятся на уровне проектирования «обратной стороны конверта». С другой стороны, в случае фильтров сетевого синтеза фильтр спроектирован как единое целое, и для добавления дополнительных разделов (т. е. увеличения порядка) ^{[примечание 15]} у разработчика не будет другого выбора, кроме как вернуться к начало и начать сначала. Преимущества синтезированных дизайнов реальны, но они не являются подавляющими по сравнению с тем, чего может достичь опытный дизайнер изображений, и во многих случаях было более рентабельно обойтись без трудоемких вычислений. ^[51] Это просто не проблема с современной доступностью вычислительной мощности, но в 1950-х годах ее не было, в 1960-х и 1970-х годах она была доступна только по себестоимости и, наконец, не стала широко доступной для всех проектировщиков до 1980-х годов, когда появление настольного персонального компьютера. Фильтры изображений продолжали разрабатываться до этого момента, и многие из них остались в эксплуатации до 21 века. ^[52]

Вычислительная сложность метода сетевого синтеза была решена путем табулирования значений компонентов прототипа фильтра , а затем масштабирования частоты и импеданса и преобразования формы полосы до тех, которые действительно необходимы. Подобный или аналогичный подход уже использовался с фильтрами изображений, например, Зобелем ^[35] , но концепция «эталонного фильтра» принадлежит Сидни Дарлингтону . ^[53] Дарлингтон (1939), ^[30] был также первым, кто свел в таблицу значения для прототипов фильтров сетевого синтеза, ^{[54] тем не менее, ему пришлось ждать до 1950-х годов, прежде чем} эллиптический фильтр Кауэра-Дарлингтона впервые стал использоваться. ^[55]

Как только вычислительная мощность стала доступной, стало возможным легко разрабатывать фильтры, позволяющие минимизировать любой произвольный параметр, например задержку по времени или устойчивость к изменениям компонентов. Трудности метода изображений прочно остались в прошлом, и даже необходимость в прототипах стала во многом излишней. ^{[56] [57]} Кроме того, появление активных фильтров облегчило сложность вычислений, поскольку секции можно было изолировать, и итерационные процессы тогда вообще не были необходимы. ^[51]

Реализуемость и эквивалентность

Реализуемость (то есть, какие функции реализуемы как реальные импедансные сети) и эквивалентность (какие сети эквивалентно выполняют одну и ту же функцию) — два важных вопроса в синтезе сетей. Следуя аналогии с механикой Лагранжа , Кауэр составил матричное уравнение:

${\displaystyle \mathbf {[A]} =s^{2}\mathbf {[L]} +s\mathbf {[R]} +\mathbf {[D]} =s\mathbf {[Z]} }$

где [ Z ],[ R ],[ L ] и [ D ] — матрицы n x n , соответственно, импеданса , сопротивления , индуктивности и упругости n - сеточной сети , а s — оператор комплексной частоты . Здесь [ R ], [ L ] и [ D ] имеют связанные энергии, соответствующие кинетической, потенциальной и диссипативной тепловой энергии соответственно в механической системе, и здесь могут быть применены уже известные результаты механики. Кауэр определял сопротивление точки возбуждения методом множителей Лагранжа ; ${\displaystyle \scriptstyle s=\sigma +i\omega }$

${\displaystyle Z_{\mathrm {p} }(s)={\frac {\det \mathbf {[A]} }{s\,a_{11}}}}$

где a ₁₁ — дополнение к элементу A ₁₁ , к которому должен быть подключен однопортовый порт. Из теории стабильности Кауэр обнаружил, что [ R ], [ L ] и [ D ] должны быть положительно определенными матрицами для того, чтобы Z _p ( s ) было реализуемым, если не исключены идеальные преобразователи. В остальном реализуемость ограничивается лишь практическими ограничениями топологии. ^[39] Эта работа также частично принадлежит Отто Брюну (1931), который работал с Кауэром в США до того, как Кауэр вернулся в Германию. ^[49] Хорошо известное условие реализации однополюсного рационального ^{[примечание 16]} импеданса, предложенное Кауэром (1929), состоит в том, что он должен быть функцией s , аналитической в ​​правой полуплоскости (σ>0), иметь положительная действительная часть в правой полуплоскости и принимает действительные значения на действительной оси. Это следует из интегрального представления Пуассона этих функций. Брюн ввел термин «положительная вещественность» для этого класса функций и доказал, что это необходимое и достаточное условие (Кауэр доказал только его необходимость), и они распространили работу на многопортовые LC. Теорема Сидни Дарлингтона утверждает, что любая положительно-действительная функция Z ( s ) может быть реализована как двухпортовый преобразователь без потерь , оканчивающийся положительным резистором R. Для реализации указанного отклика в сети не требуются никакие резисторы. ^{[49] [58] [59]}

Что касается эквивалентности, Кауэр обнаружил , что группа действительных аффинных преобразований

${\displaystyle \mathbf {[T]} ^{T}\mathbf {[A]} \mathbf {[T]} }$

где,

${\displaystyle \mathbf {[T]} ={\begin{bmatrix}1&0\cdots 0\\T_{21}&T_{22}\cdots T_{2n}\\\cdot &\cdots \\T_{n1}&T_{n2}\cdots T_{nn}\end{bmatrix}}}$

инвариантен относительно Z _p ( s ), т. е. все преобразованные сети эквивалентны исходным. ^[39]

Приближение

Задача аппроксимации в синтезе сетей состоит в том, чтобы найти функции, которые будут создавать реализуемые сети, приближающиеся к заданной функции частоты в произвольно установленных пределах. Проблема аппроксимации является важной проблемой, поскольку требуемая идеальная функция частоты обычно недостижима с помощью рациональных сетей. Например, идеальной заданной функцией часто считается недостижимая передача без потерь в полосе пропускания, бесконечное затухание в полосе задерживания и вертикальный переход между ними. Однако идеальную функцию можно аппроксимировать рациональной функцией , становясь тем ближе к идеалу, чем выше порядок многочлена. Первым, кто решил эту проблему, был Стивен Баттерворт (1930), используя свои полиномы Баттерворта . Независимо, Кауэр (1931) использовал полиномы Чебышева , первоначально применявшиеся к фильтрам изображений, а не к теперь известной лестничной реализации этого фильтра. ^{[49] [60]}

Фильтр Баттерворта

Фильтры Баттерворта представляют собой важный класс ^{[примечание 15]} фильтров, предложенных Стивеном Баттервортом (1930) ^{[61], которые теперь признаны частным случаем} эллиптических фильтров Кауэра . Баттерворт обнаружил этот фильтр независимо от работы Кауэра и реализовал его в своей версии, в которой каждая секция изолирована от другой с помощью лампового усилителя , что упрощало расчет значений компонентов, поскольку секции фильтра не могли взаимодействовать друг с другом, и каждая секция представляла один термин в Полиномы Баттерворта . Это дает Баттерворту честь быть первым, кто отклонился от теории параметров изображения, и первым, кто разработал активные фильтры. Позже было показано, что фильтры Баттерворта можно реализовать в лестничной топологии без необходимости использования усилителей. Вероятно, первым это сделал Уильям Беннетт (1932) ^[62] в патенте, в котором представлены формулы для значений компонентов, идентичные современным. Однако Беннетт на данном этапе все еще обсуждает проект искусственной линии передачи и поэтому применяет подход с параметрами изображения, несмотря на то, что разработал то, что сейчас можно было бы считать проектом синтеза сети. Он также, похоже, не знает о работе Баттерворта или связи между ними. ^{[29] [63]}

Метод вносимых потерь

Метод проектирования фильтров с учетом вносимых потерь, по сути, заключается в том, чтобы предписать желаемую функцию частоты для фильтра как затухание сигнала, когда фильтр вставлен между нагрузками, относительно уровня, который был бы получен, если бы нагрузки были подключены. друг к другу через идеальный преобразователь, идеально соответствующий им. Версии этой теории возникли благодаря Сидни Дарлингтону , Вильгельму Кауэру и другим, работавшим более или менее независимо, и часто воспринимаются как синоним сетевого синтеза. Реализация фильтра Баттерворта, в этих терминах, является фильтром вносимых потерь, но с математической точки зрения она относительно тривиальна, поскольку активные усилители, использованные Баттервортом, гарантировали, что каждый каскад индивидуально работает на резистивную нагрузку. Фильтр Баттерворта становится нетривиальным примером, когда он полностью реализован с помощью пассивных компонентов. Еще более ранним фильтром, повлиявшим на метод вносимых потерь, был двухполосный фильтр Нортона, в котором входы двух фильтров подключены параллельно и спроектированы так, что объединенный вход представляет постоянное сопротивление. Метод проектирования Нортона вместе с каноническими LC-сетями Кауэра и теоремой Дарлингтона о том, что в теле фильтра требуются только LC-компоненты, привел к созданию метода вносимых потерь. Однако лестничная топология оказалась более практичной, чем канонические формы Кауэра. ^[64]

Метод вносимых потерь Дарлингтона является обобщением процедуры, используемой Нортоном. В фильтре Нортона можно показать, что каждый фильтр эквивалентен отдельному фильтру, не ограниченному на общем конце. Метод Дарлингтона применим к более простому и общему случаю 2-портовой сети LC, терминированной на обоих концах. Процедура состоит из следующих шагов:

1. определить полюсы заданной функции вносимых потерь,
2. отсюда найдите комплексную передаточную функцию,
3. отсюда найдите комплексные коэффициенты отражения на согласующих резисторах,
4. найдите сопротивление движущей точки по сопротивлениям короткого замыкания и холостого хода, ^{[примечание 13]}
5. расширить импеданс ведущей точки до сети LC (обычно лестничной).

Дарлингтон дополнительно использовал преобразование, найденное Хендриком Боде , которое предсказывало отклик фильтра, использующего неидеальные компоненты, но все с одинаковым Q. Дарлингтон использовал это преобразование в обратном порядке, чтобы создать фильтры с заданными вносимыми потерями и неидеальными компонентами. Такие фильтры имеют идеальную характеристику вносимых потерь плюс равномерное затухание на всех частотах. ^{[51] [65]}

Эллиптические фильтры

Эллиптические фильтры — это фильтры, созданные методом вносимых потерь, которые используют эллиптические рациональные функции в своей передаточной функции в качестве приближения к идеальному отклику фильтра, и результат называется аппроксимацией Чебышева. Это тот же метод аппроксимации Чебышева, который использовал Кауэр для фильтров изображений, но он следует методу расчета вносимых потерь Дарлингтона и использует несколько другие эллиптические функции. До Второй мировой войны Кауэр имел некоторые контакты с Дарлингтоном и Bell Labs (некоторое время он работал в США), но во время войны они работали независимо, в некоторых случаях делая одни и те же открытия. Кауэр раскрыл аппроксимацию Чебышева лабораториям Белла, но не оставил им доказательство. Сергей Щелкунов представил это и обобщил все проблемы равной пульсации. Эллиптические фильтры — это общий класс фильтров, который в особых случаях включает в себя несколько других важных классов: фильтр Кауэра (равные пульсации в полосе пропускания и полосе задерживания ), фильтр Чебышева (пульсации только в полосе пропускания), обратный фильтр Чебышева (пульсации только в полосе задерживания) и фильтр Баттерворта. (нет пульсаций в обоих диапазонах). ^{[64] [66]}

Как правило, для фильтров вносимых потерь, где нули передачи и бесконечные потери находятся на действительной оси плоскости комплексной частоты (что обычно и происходит для минимального количества компонентов), функцию вносимых потерь можно записать как:

${\displaystyle {\frac {1}{1+JF^{2}}}}$

где F — либо четная (что приводит к антиметрическому фильтру), либо нечетная (что приводит к симметричному фильтру) функция частоты. Нули F соответствуют нулевым потерям, а полюсы F соответствуют нулям передачи. J устанавливает высоту пульсаций в полосе пропускания и потери в полосе задерживания, и эти два проектных требования можно поменять местами. Нули и полюса F и J могут быть установлены произвольно. Характер F определяет класс фильтра;

• если F — аппроксимация Чебышева, результатом будет фильтр Чебышева,
• если F - максимально плоское приближение, результатом будет максимально плоский фильтр в полосе пропускания,
• если 1/ F — аппроксимация Чебышева, результатом будет обратный фильтр Чебышева,
• если 1/ F — максимально плоское приближение, то результатом будет максимально плоский фильтр в полосе задерживания,

Возможен ответ Чебышева одновременно в полосе пропускания и полосе задерживания, например, эллиптический фильтр с равными пульсациями Кауэра. ^[64]

Дарлингтон рассказывает, что он нашел в библиотеке Нью-Йорка оригинальную статью Карла Якоби об эллиптических функциях, опубликованную на латыни в 1829 году. В этой статье Дарлингтон был удивлен, обнаружив складные таблицы с точными преобразованиями эллиптических функций, необходимыми для чебышевских аппроксимаций обеих уравнений Кауэра. параметр изображения и фильтры вносимых потерь Дарлингтона. ^[51]

Другие методы

Дарлингтон считает, что топология связанных настроенных схем включает в себя отдельный метод аппроксимации метода вносимых потерь, но также создает номинально плоские полосы пропускания и полосы задерживания с высоким затуханием. Наиболее распространенной топологией для них являются шунтирующие антирезонаторы, связанные последовательными конденсаторами, реже - дросселями, а в случае двухсекционного фильтра - взаимной индуктивностью. Они наиболее полезны там, где требования к проектированию не слишком строгие, то есть умеренная полоса пропускания, спад и пульсации в полосе пропускания. ^[57]

Другие заметные разработки и приложения

Механические фильтры

Механический фильтр Нортона вместе с его электрической эквивалентной схемой. Показаны два эквивалента: «Рис.3» напрямую соответствует физическому взаимодействию механических компонентов; «Рис.4» представляет собой эквивалентную преобразованную схему, полученную путем многократного применения хорошо известного преобразования , цель которого состоит в том, чтобы удалить последовательный резонансный контур из корпуса фильтра, оставив простую лестничную схему LC . ^[67]

Эдвард Нортон примерно в 1930 году разработал механический фильтр для использования в граммофонных записывающих устройствах и проигрывателях. Нортон разработал фильтр в электрической области, а затем использовал соответствие механических величин электрическим величинам , чтобы реализовать фильтр с использованием механических компонентов. Масса соответствует индуктивности , жесткость - упругости , а демпфирование - сопротивлению . Фильтр был спроектирован так, чтобы иметь максимально плоскую частотную характеристику. ^[59]

В современных конструкциях обычно используются кварцевые фильтры , особенно для узкополосной фильтрации. Сигнал существует в виде механической акустической волны, пока он находится в кристалле, и преобразуется преобразователями между электрическими и механическими доменами на концах кристалла. ^[68]

Фильтры с распределенными элементами

Фильтры с распределенными элементами состоят из отрезков линии передачи, длина которых составляет по крайней мере значительную часть длины волны. Все первые неэлектрические фильтры относились к этому типу. Уильям Гершель (1738–1822), например, сконструировал аппарат с двумя трубками разной длины, который ослаблял одни частоты, но не другие. Жозеф-Луи Лагранж (1736–1813) изучал волны на струне, периодически нагруженной гирями. Устройство никогда не изучалось и не использовалось в качестве фильтра ни Лагранжем, ни более поздними исследователями, такими как Чарльз Годфри. Однако Кэмпбелл использовал результаты Годфри по аналогии , чтобы рассчитать количество нагрузочных катушек, необходимых для его нагруженных линий, устройства, которое привело к разработке его электрического фильтра. Лагранж, Годфри и Кэмпбелл в своих расчетах сделали упрощающие предположения, игнорируя распределенную природу их аппарата. Следовательно, их модели не показали множественных полос пропускания, характерных для всех фильтров с распределенными элементами. ^[69] Первые электрические фильтры, которые действительно были разработаны на основе принципов распределенных элементов, были созданы Уорреном П. Мейсоном в 1927 году. ^[70]

Трансверсальные фильтры

Трансверсальные фильтры обычно не связаны с пассивными реализациями, но эту концепцию можно найти в патенте Винера и Ли от 1935 года, в котором описывается фильтр, состоящий из каскада всепроходных секций . ^[71] Выходные данные различных секций суммируются в пропорциях, необходимых для получения требуемой частотной функции. Это работает по принципу, что определенные частоты будут находиться в противофазе или близки к ней на разных участках и будут иметь тенденцию к нейтрализации при добавлении. Эти частоты отклоняются фильтром и могут создавать фильтры с очень резкими срезами. Этот подход не нашел немедленного применения и не распространен в пассивных фильтрах. Однако этот принцип находит множество применений в качестве реализации активной линии задержки для широкополосных фильтров с дискретным временем, таких как телевидение, радар и высокоскоростная передача данных. ^{[72] [73]}

Соответствующий фильтр

Целью согласованных фильтров является максимизация отношения сигнал/шум (S/N) за счет формы импульса. Форма импульса, в отличие от многих других приложений, не имеет значения в радаре, тогда как соотношение сигнал/шум является основным ограничением производительности. Фильтры были представлены во время Второй мировой войны (описаны в 1943 году) ^[74] Дуайтом Нортом и часто одноименно называются « фильтрами Норта ». ^{[72] [75]}

Фильтры для систем управления

Системы управления нуждаются в сглаживающих фильтрах в своих контурах обратной связи с критериями, позволяющими максимизировать скорость движения механической системы до заданной отметки и в то же время минимизировать перерегулирование и движения, вызванные шумом. Ключевой проблемой здесь является выделение гауссовых сигналов из зашумленного фона. Ранняя статья по этому вопросу была опубликована во время Второй мировой войны Норбертом Винером и касалась конкретного применения к аналоговым компьютерам управления зенитным огнем. Руди Калман ( фильтр Калмана ) позже переформулировал это в терминах сглаживания и прогнозирования в пространстве состояний , где это известно как задача линейно-квадратично-гауссовского управления . Калман начал интересоваться решениями в пространстве состояний, но, по словам Дарлингтона, этот подход можно также найти в работах Хевисайда и ранее. ^[72]

Современная практика

LC-фильтры на низких частотах становятся неуклюжими; компоненты, особенно индукторы, становятся дорогими, громоздкими, тяжелыми и неидеальными. Практичные 1 H-индукторы требуют большого количества витков на сердечнике с высокой проницаемостью; этот материал будет иметь высокие потери и проблемы со стабильностью (например, большой температурный коэффициент). Для таких применений, как сетевые фильтры, с неловкостью следует мириться. Для низкоуровневых, низкочастотных приложений возможны RC-фильтры, но они не могут реализовать фильтры с комплексными полюсами или нулями. Если приложение может использовать мощность, то усилители можно использовать для создания RC- активных фильтров , которые могут иметь комплексные полюса и нули. В 1950-х годах активные RC-фильтры Саллена – Ки производились с ламповыми усилителями; эти фильтры заменили громоздкие индукторы громоздкими и горячими вакуумными трубками. Транзисторы предлагали более энергоэффективные конструкции активных фильтров. Позже недорогие операционные усилители позволили использовать другие топологии конструкции активных RC-фильтров. Хотя конструкции активных фильтров были обычным явлением на низких частотах, они были непрактичны на высоких частотах, где усилители не были идеальными; LC-фильтры (и линии передачи) все еще использовались на радиочастотах.

Постепенно низкочастотный активный RC-фильтр был вытеснен фильтром на переключаемых конденсаторах , который работал в дискретной временной области, а не в непрерывной временной области. Все эти технологии фильтрации требуют прецизионных компонентов для высокопроизводительной фильтрации, а это часто требует настройки фильтров. Регулируемые компоненты дороги, а трудозатраты на настройку могут быть значительными. Настройка полюсов и нулей эллиптического фильтра 7-го порядка — непростая задача. Интегральные схемы сделали цифровые вычисления недорогими, поэтому теперь низкочастотная фильтрация выполняется с помощью цифровых сигнальных процессоров. Такие цифровые фильтры без проблем обеспечивают сверхточные (и стабильные) значения, поэтому не требуется никакой настройки или настройки. Цифровым фильтрам также не нужно беспокоиться о паразитных путях связи и экранировании отдельных секций фильтра друг от друга. Недостатком является то, что цифровая обработка сигнала может потреблять гораздо больше энергии, чем эквивалентный LC-фильтр. Недорогие цифровые технологии в значительной степени вытеснили аналоговые реализации фильтров. Однако для них все еще есть место в более простых приложениях, таких как связь, где сложные функции частоты не нужны. ^{[76] [77]} Пассивные фильтры по-прежнему остаются предпочтительной технологией на микроволновых частотах. ^[78]

Смотрите также

• Аудио фильтр
• Составной фильтр изображения
• Цифровой фильтр
• Электронный фильтр
• Линейный фильтр
• Фильтры сетевого синтеза

Сноски

1. Терминал сети — это точка подключения, где ток может входить в сеть или выходить из нее из внешнего мира. В литературе его часто называют полюсом , особенно в более математической, но не следует путать с полюсом передаточной функции , значение которого также используется в этой статье. Сеть с двумя терминалами соответствует одному импедансу (хотя она может состоять из многих элементов, соединенных в сложный набор ячеек ) и также может быть описана как сеть с одним портом. Для сетей с более чем двумя терминалами не обязательно можно идентифицировать пары терминалов как порты.
2. Резонансная частота очень близка к собственной частоте колебаний контура, но обычно не совсем равна ей.
3. Оливер Лодж и некоторые другие английские ученые пытались разделить акустическую и электрическую терминологию и продвигали термин «синтония». Однако победу одержал «резонанс». Бланшар, стр.422
4. Это изображение взято из более позднего исправленного патента США, но запатентовано то же изобретение, что и оригинальный французский патент.
5. Добротность — безразмерная величина, характеризующая качество резонирующего контура. Оно примерно пропорционально количеству колебаний, которые поддержит резонатор после однократного внешнего возбуждения (например, сколько раз гитарная струна будет колебаться, если ее потянуть). Одним из определений добротности, наиболее актуальным в этом контексте, является отношение резонансной частоты к полосе пропускания цепи. Он возник как мера избирательности в радиоприемниках.
6. Телеграфные линии обычно несимметричны , в них имеется только один проводник, обратный путь достигается за счет заземления , которое является общим для всех телеграфных линий на маршруте. Телефонные линии обычно сбалансированы с двумя проводниками в каждой цепи. Телеграфный сигнал, подключенный синфазно к обоим проводникам телефонной линии, не будет слышен в телефонной трубке, которая может обнаруживать только разницу напряжений между проводниками. Телеграфный сигнал обычно восстанавливается на дальнем конце путем подключения к центральному отводу линейного трансформатора . Обратный путь, как обычно, осуществляется через заземление. Это разновидность фантомной цепи
7. По крайней мере, Ом описал первую модель, которая была хоть в чем-то верна. Более ранние идеи, такие как закон Барлоу Питера Барлоу, были либо неправильными, либо неадекватно описанными. См., например. стр.603 оф;
   * Джон К. Шедд, Мэйо Д. Херши, «История закона Ома», The Popular Science Monthly , стр. 599–614, декабрь 1913 г., ISSN 0161-7370.
8. Вернер фон Сименс также отметил эффект замедления несколькими годами ранее, в 1849 году, и пришел к такому же выводу, что и Фарадей. Однако в Германии не было такого большого интереса к подводным и подземным кабелям, как в Великобритании, немецкие воздушные кабели заметно не пострадали от замедления и идеи Симена не были приняты. (Хант, стр. 65.)
9. Точная дата производства Кэмпбеллом каждой разновидности фильтров неясна. Работа началась в 1910 году, первоначально запатентована в 1917 году (US1227113), а полная теория опубликована в 1922 году, но известно, что фильтры Кэмпбелла использовались AT&T задолго до 1922 года (Брэй, стр. 62, Дарлингтон, стр. 5). )
10. Кэмпбелл имеет приоритет публикации этого изобретения, но стоит отметить, что Карл Вилли Вагнер независимо сделал аналогичное открытие, которое ему не разрешили опубликовать немедленно, поскольку Первая мировая война все еще продолжалась. (Томас Х. Ли, Планарная микроволновая техника , стр. 725, Cambridge University Press, 2004 ISBN  0-521-83526-7 .)
11. Термин «метод параметров изображения» был придуман Дарлингтоном (1939), чтобы отличить этот более ранний метод от его более позднего «метода вносимых потерь».
12. Термины «волновой фильтр» и «фильтр изображения» не являются синонимами. Волновой фильтр может быть разработан не с использованием метода изображения, но в 1920-х годах это различие было спорным, поскольку метод изображения был единственным доступным.
13. Импеданс холостого хода двухпортовой сети — это импеданс, обращенный к одному порту, когда другой порт разомкнут. Аналогично, импеданс короткого замыкания — это импеданс, обращенный к одному порту, когда другой замыкается на короткое замыкание. Сопротивление холостого хода первого порта в целом (за исключением симметричных сетей) не равно сопротивлению холостого хода второго, как и для сопротивлений короткого замыкания.
14. которая является наиболее известной из топологий фильтра. Именно по этой причине лестничную топологию часто называют топологией Кауэра (формы, использованные ранее Фостером, совершенно другие), хотя лестничная топология уже давно использовалась при проектировании фильтров изображений.
15. Класс фильтров — это набор фильтров, которые все описываются одним и тем же классом математических функций , например, все классы фильтров Чебышева описываются классом полиномов Чебышева . Для реализуемых линейных пассивных сетей передаточная функция должна быть отношением полиномиальных функций . Порядок фильтра — это порядок полинома высшего порядка из двух и равен количеству элементов (или резонаторов), необходимых для его построения. Обычно, чем выше порядок фильтра, тем круче будет его спад. В общем случае значения элементов в каждой секции фильтра не будут одинаковыми, если порядок увеличить, и их потребуется пересчитывать. В этом отличие от графического метода дизайна, который просто добавляет больше одинаковых разделов.
16. Рациональный импеданс — это соотношение двух конечных полиномов от s , то есть рациональной функции от s . Смысл конечных полиномов заключается в том, что импеданс, когда он будет реализован, будет состоять из конечного числа ячеек с конечным числом элементов.

Рекомендации

1. Лундхейм, стр.24
2. Л. Дж. Рафаэль, Г. Дж. Борден, К. С. Харрис, Букварь по науке о речи: физиология, акустика и восприятие речи , стр. 113, Lippincott Williams & Wilkins, 2006 ISBN 0-7817-7117-X 
3. Джозеф Генри, «Об индукции от обычного электричества и о колебательном разряде», Труды Американского философского общества , том 2 , стр. 193–196, 17 июня 1842 г.
4. Бланшар, стр. 415–416.
5. Герман фон Гельмгольц, Uber die Erhaltung der Kraft (О сохранении силы) , Г. Реймер, Берлин, 1847 г.
6. Бланшар, стр. 416–417.
7. Уильям Томсон, «О переходных электрических токах», Philosophical Magazine , том 5 , стр. 393–405, июнь 1853 г.
8. Бланшар, стр.417
9. Уильям Гроув, «Эксперимент по магнитоэлектрической индукции», Philosophical Magazine , том 35 , стр. 184–185, март 1868 г.
10. Джеймс Клерк Максвелл, «Об эксперименте мистера Гроува по магнитоэлектрической индукции», Philosophical Magazine , том 35 , стр. 360–363, май 1868 г.
11. Бланшар, стр. 416–421.
12. Генрих Герц, «Электрические волны», стр. 42, The Macmillan Company, 1893 г.
13. Бланшар, стр. 421–423.
14. Бланшар, стр.425
15. М. Хутин, М. Леблан, Множественная телеграфия и телефония , патент США US0838545, подан 9 мая 1894 г., выдан 18 декабря 1906 г.
16. Морис Ютен, Морис Леблан, «Êtude sur les Courants Alternatifs et leur Application au Transport de la Force», La Lumière Electrique , 2 мая 1891 г.
17. Бланшар, стр. 426–427.
18. Лундхейм (2002), с. 23
19. К. Г. Бошан, История телеграфии , стр. 84–85, Институт инженеров-электриков, 2001 ISBN 0-85296-792-6 
20. Георг Ом, Die galvanische Kette, mathematisch Bearbeitet , Риман Берлин, 1827 г.
21. Хант, стр. 62–63.
22. Томас Уильям Кёрнер, анализ Фурье , стр.333, Cambridge University Press, 1989 ISBN 0-521-38991-7 
23. Бриттен, стр. 39
    Хевисайд, О., Electrical Papers , том 1 , стр. 139–140, Бостон, 1925 г.
24. Хевисайд, О., «Электромагнитная индукция и ее распространение», The Electrician , 3 июня 1887 г.
25. Джеймс Э. Бриттен, «Представление загрузочной катушки: Джордж А. Кэмпбелл и Майкл И. Пупин», Technology and Culture , Vol. 11 , № 1 (январь 1970 г.), стр. 36–57, Издательство Университета Джонса Хопкинса, номер : 10.2307/3102809.
26. Дарлингтон, стр. 4–5.
27. Брэй, Дж. Инновации и революция в области коммуникаций , стр. 62, Институт инженеров-электриков, 2002 г.
28. Джордж А., Кэмпбелл, Электрический волновой фильтр , патент США № 1 227 113 , подан 15 июля 1915 г., выдан 22 мая 1917 г.
29. "История теории фильтров", Quadrivium, получено 26 июня 2009 г.
30. С. Дарлингтон, «Синтез 4-полюсных реактивных сопротивлений, которые обеспечивают заданные характеристики вносимых потерь», Журнал математики и физики , том 18 , стр. 257–353, сентябрь 1939 г.
31. Маттеи, стр. 49–51.
32. Карсон, младший, «Заметки по теории модуляции» , процедуры IRE , том 10 , № 1, стр. 57–64, 1922 doi : 10.1109/JRPROC.1922.219793
33. Карсон, Дж. Р. и Зобель, О. Дж., «Переходные колебания в электрических волновых фильтрах», Технический журнал Bell System , том 2, июль 1923 г., стр. 1–29.
34. Лундхейм, стр. 24–25.
35. Zobel, OJ, Теория и проектирование однородных и составных фильтров электрических волн , Технический журнал Bell System, Vol. 2 (1923), стр. 1–46.
36. Дарлингтон, стр.5
37. Белевич, стр.851
38. Кауэр и др., стр.6.
39. Cauer и др., стр.4
40. Карл Л. Уайлдс, Нило А. Линдгрен, Столетие электротехники и информатики в Массачусетском технологическом институте, 1882–1982 , стр.157, MIT Press, 1985 ISBN 0-262-23119-0 
41. Маттеи, стр.83–84.
42. Артур Э. Кеннелли, 1861–1939, биография IEEE, получено 13 июня 2009 г.
43. Дарлингтон, стр.4
44. Фостер, Р.М., «Теорема о реактивном сопротивлении», Технический журнал Bell System , том 3 , стр. 259–267, 1924 г.
45. Кауэр и др., стр.1
46. Дарлингтон, стр. 4–6.
47. Кауэр, В., «Die Verwirklichung der Wechselstromwiderstände vorgeschriebener Frequenzabhängigkeit» («Реализация импедансов заданной частотной зависимости»), Archiv für Elektrotechnic , том 17 , стр. 355–388, 1926 doi : 10.1007/BF01662000
48. Атул П. Годзе, У.А. Бакши, Анализ электронных цепей , стр.5-20, Технические публикации, 2007 ISBN 81-8431-047-1 
49. Белевич, стр.850
50. Кауэр и др., стр. 1,6.
51. Дарлингтон, стр.9
52. Ирвин В. Сандберг, Эрнест С. Ку , «Сидни Дарлингтон», Биографические мемуары , том 84 , страница 85, Национальная академия наук (США), National Academies Press 2004 ISBN 0-309-08957-3 
53. Дж. Здунек, «Синтез сети на основе вносимых потерь», Труды Института инженеров-электриков , стр.283, часть 3, том 105 , 1958
54. Маттеи и др., стр.83.
55. Майкл Глинн Эллис, Анализ и синтез электронных фильтров , стр.2, Artech House 1994 ISBN 0-89006-616-7 
56. Джон Т. Тейлор, Цютин Хуан, Справочник CRC по электрическим фильтрам , стр.20, CRC Press, 1997 ISBN 0-8493-8951-8 
57. Дарлингтон, стр.12
58. Кауэр и др., стр. 6–7.
59. Дарлингтон, стр.7
60. Дарлингтон, стр.7–8.
61. Баттерворт, С., «К теории усилителей с фильтрами», Wireless Engineer , vol. 7 , 1930, стр. 536–541.
62. Уильям Р. Беннетт, Сеть передачи , патент США 1 849 656 , подан 29 июня 1929 г., выдан 15 марта 1932 г.
63. Маттеи и др., стр. 85–108.
64. Дарлингтон, стр.8
65. Васудев К. Аатре, Теория сетей и конструкция фильтров , стр.355, New Age International 1986, ISBN 0-85226-014-8 
66. Маттеи и др., стр.95.
67. Э. Л. Нортон, «Воспроизводитель звука», патент США US1792655 , подан 31 мая 1929 г., выдан 17 февраля 1931 г.
68. Визмюллер, П., Руководство по проектированию радиочастот: системы, схемы и уравнения , стр. 81–84, Artech House, 1995 ISBN 0-89006-754-6 
69. Мейсон, стр. 409–410.
70. Фаген и Миллман, с. 108
71. Н. Винер и Юк-Винг Ли, Система электрической сети , патент США US2024900, 1935 г.
72. Дарлингтон, стр.11
73. BS Sonde, Введение в проектирование систем с использованием интегральных схем , стр. 252–254, New Age International, 1992, ISBN 81-224-0386-7 
74. Д.О. Норт, «Анализ факторов, определяющих различение сигнала/шума в системах с импульсной несущей», RCA Labs. Образец ПТР-6С , 1943 г.
75. Надав Леванон, Эли Мозесон, Радиолокационные сигналы , стр.24, Wiley-IEEE 2004 ISBN 0-471-47378-2 
76. Джек Л. Бауэрс, «Дизайн полосового RC-фильтра», Electronics , том 20 , страницы 131–133, апрель 1947 г.
77. Дарлингтон, стр. 12–13.
78. Ларс Ванхаммар , Аналоговые фильтры с использованием MATLAB , стр. 10–11, Springer, 2009 ISBN 0387927670 . 

Библиография

• Белевич В. , «Краткий обзор истории теории цепей», Труды ИРЭ , вып. 50, вып. 5, стр. 848–855, май 1962 г., номер : 10.1109/JRPROC.1962.288301.
• Бланшар, Дж. «История электрического резонанса», Технический журнал Bell System , том. 23, стр. 415–433, 1944.
• Кауэр, Э; Матис, В; Паули, Р., «Жизнь и деятельность Вильгельма Кауэра (1900–1945)», Труды четырнадцатого международного симпозиума по математической теории сетей и систем (MTNS2000) , Перпиньян, июнь 2000 г.
• Дарлингтон, С., «История сетевого синтеза и теории фильтров для схем, состоящих из резисторов, катушек индуктивности и конденсаторов», IEEE Transactions on Circuits and Systems , vol. 31, стр. 3–13, 1984 г. , номер : 10.1109/TCS.1984.1085415.
• Фаген, доктор медицины; Миллман, С., История техники и науки в системе Bell: Том 5: Науки о связи (1925–1980) , AT&T Bell Laboratories, 1984 ISBN 0932764061 . 
• Годфри, Чарльз, «О разрывах, связанных с распространением волнового движения вдоль периодически нагруженной струны», Philosophical Magazine , сер. 5, том. 45, нет. 275, стр. 356–363, апрель 1898 г.
• Хант, Брюс Дж. Максвеллианцы, издательство Корнельского университета, ISBN 2005 г. 0-8014-8234-8 . 
• Лундхейм, Л., «О формуле Шеннона и Шеннона», Telektronikk , vol. 98, нет. 1, стр. 20–29, 2002.
• Мейсон, Уоррен П., «Электрические и механические аналогии», Технический журнал Bell System , том. 20, нет. 4, стр. 405–414, октябрь 1941 г.
• Маттеи, Янг, Джонс, Микроволновые фильтры, сети согласования импедансов и структуры связи , McGraw-Hill, 1964.

дальнейшее чтение

• Фрай, Т.К., «Использование цепных дробей при проектировании электрических сетей», Бюллетень Американского математического общества , том 35, страницы 463–498, 1929 г. (доступен полный текст).